Helsinki University of Technology Laboratoty of Chemical Engineering and Plant Design Chemical Engineering Report Series

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Helsinki University of Technology Laboratoty of Chemical Engineering and Plant Design Chemical Engineering Report Series"

Transkriptio

1 Teknillinen korkeakoulu Kemian laitetekniikan ja tehdassuunnittelun laboratorio Kemian laitetekniikan raporttisarja Helsinki University of Technology Laboratoty of Chemical Engineering and Plant Design Chemical Engineering Report Series Pekkanen M. Prosessiteknologian peruskäsitteet Raportti - no Report Julkaisija: Teknillinen korkeakoulu Kemian laitetekniikan ja tehdassuunnittelun laboratorio Kemistintie 1 M Espoo Publisher: Helsinki University of Technology Laboratory of Chemical Engineering and Plant Design Kemistintie 1 M FIN-o2150 Espoo Finland Espoo ISBN ISSN X

2 MP (34) PROSESSITEKNOLOGIAN PERUSKÄSITTEET 1. Johdanto 2. Kiitos I TASE 1. Tase-esimerkkejä 2. Tase 3. Taseen oikeutus 4. Säilymislauseet 5. Pinnan tase 6. Estensiivinen suure 7. Esimerkki: Tislauskolonni 8. Yhteenveto 9. Viitteet II ILMIÖ 1. Laite ja ilmiö 2. Prosessi-ilmiöt 3. Esimerkki : Aineensiirtoaskel 4. Prosessiyksiköt 5. Yksikköilmiöt 6. Yhteenveto III PROSESSI 1. Johdanto 2. Prosessi 3. Fyysinen ja käsitteellinen maailma 4. Fyysinen ja käsitteellinen prosessi 5. Yhteenveto 6. Viitteet IV MALLI 1. Johdanto 2. Malli 3. Fyysinen ja käsitteellinen malli 4. Malli ja prototyyppi 5. Malli ja ilmiö 6. Yhteenveto 7. Viitteet V PROSESSIMALLI 1. Johdanto 2. Prosessi ja malli 3. Suunnittelu 4. Fyysinen prosessimalli 5. Käsitteellinen prosessimalli 6. Yhteenveto VI PROSESSIMALLITUS 1. Johdanto 2. Malliyhtälöt 3. Mallitusvaiheet 4. Mallitus ja koetoiminta 5. Mallin validointi ja ratkaisun validointi 6. Yhteenveto 7. Viitteer

3 MP (34) 1. JOHDANTO Artikkelisarja Prosessiteknologian peruskäsitteet sisältää kuusi osaa: i) tase, ii) ilmiö, iii) prosessi, iv) malli, v) prosessimalli ja vi) prosessimallitus. Artikkeleiden tarkoitus on tarkastella mahdollisimman yleisiä ja kaikille prosessiteknologian aloille yhteisiä käsitteitä. Todellisuuden ilmiöt ovat hahmotettavissa vain käsitteinä, jotka käsitteet puolestaan ovat ilmaistavissa vain sanoina. Jotta tieto todellisuuden ilmiöistä olisi käyttökelpoista, tulee tiedon olla totta (tai totuudenkaltaista) eli tiedon käsitteiden tulee vastata todellisuuden ilmiöitä. Jotta kieli olisi mahdollisimman käyttökelpoista tiedon ilmaisemiseen, tulee kielen sanojen yksikäsitteisesti vastata hyvin määriteltyjä käsitteitä. Osissa i), ii) ja iii) tarkastellaan fyysisen todellisuuden olioita tase, ilmiö ja prosessi sekä analysoidaan vastavia käsitteitä, joihin sanat tase, ilmiö ja prosessi viittaavat. Osissa iv), v) ja vi) tarkastellaan käsitteellisen todellisuuden olioita malli, prosessimalli ja prosessimallitus sekä analysoidaan vastaavia käsitteitä, joihin sanat malli, prosessimalli ja prosessimallitus viittaavat. Tässä esitettävä käsiteanalyysi on osa laajempaa prosessiteknologian perusteiden tutkimushanketta. Analyysi on ajankohtainen, sillä vuoden 1999 puolivälissä käynnistyy Suomen Akatemian kolmevuotinen Prosessiteknologian tutkimusohjelma, jossa painopistealueet ovat i) prosessien perusilmiöt, ii) prosessien simulointi, mallitus ja optimointi sekä iii) prosessitekniikan tutkimuksen menetelmäkehitys. Esitettävä käsiteanalyysi on yleinen ja siten väistämättä vähemmän käytännönläheinen. Analyysin kannustimina ovat olleet Ludwig Bolzmanin käsitys, jonka mukaan kaikista ajateltavissa olevista asioista käytännöllisintä on teoria, ja Francis Baconin usko siihen, että truth will sooner come out from error than from confusion. Kaikki hyödyllinen ei ole välittömästi hyödyllistä! 2. KIITOS Olen kiitollinen Kaj Jakobssonin työtäni kohtaan osoittamasta mielenkiinnosta.

4 MP (34) I TASE Martti Pekkanen Kemian tekniikan osasto Teknillinen korkeakoulu 1. TASE-ESIMERKKEJÄ Tarkastellaan säästölipasta, jossa on 10 kolikkoa. Lippaaseen laitetaan 20 kolikkoa lisää. Pankissa lippaasta poistetaan 30 kolikkoa, jonka jälkeen lipas on tyhjä. Miksi? Standardivastaus on se, että lippaassa ei synny tai häviä kolikkoja, eli syy on kolikkojen säilymislause. Vaikka on totta, että kolikkoja ei synny tai häviä, on selitys kuitenkin väärä. Tarkastellaan kanitarhaa: Keväällä tyhjään tarhaan sijoitetaan 20 kania. Kesän aikana 10 kania karkaa ja 30 kania syntyy. Syksyllä tarhassa on = 40 kania. Miksi? Tarkasteltava ilmiö on sama kuin edellä ja nyt on ilmeistä, että ilmiön selitys ei voi olla kanien säilymislause, sillä kaneja sekä syntyy että häviää. Tarkastellaan vakiotoimista reaktoria: Reaktorin syöttö on F A moolia (tai kiloa) ainetta A, josta reaktorissa reagoi R A moolia (tai kiloa) ainetta A aineeksi B. Reaktorin tuotto on P A moolia (tai kiloa) ainetta A. Osoittautuu, että välttämättä P A = F A - R A. Mutta miksi? Ilmiö on sama kuin edellä ja on ilmeistä, että ilmiön selitys ei ole aineen A säilymislause, sillä reaktorissa ainetta A häviää. Koska suureen säilymislause tarkoittaa, että suuretta ei synny tai häviä, edellä olevia ilmiötä ei selitä suureen säilyminen vaan suureen tase, joka on myös ainoa kaikkia kolmea tapausta yhdistävä ilmiö. Seuraavassa tarkastellaan ekstensiivisen suureen tasetta ja ekstensiivisen suureen säilymistä ja osoitetaan, että nämä ovat kaksi erillistä - ja erilaista - fyysisen todellisuuden fyysistä ilmiötä. 2. TASE Tarkastellaan tasealuetta, jonka taseraja erottaa ympäristöstä. Tarkastellaan seuraavaksi mielivaltaista ekstensiivistä suuretta ja suureen määrän muutosta tasealueessa. Pelkällä päättelyllä - so. ilman kokemusta fyysisestä todellisuudesta - on mahdollista vakuuttua siitä, että välttämättä kerääntyminen = nettoliike + tuotanto (1) Kerääntyminen tarkoittaa ekstensiivisen suureen määrän lisääntymistä tasealueessa. Jos määrä vähenee, on kerääntyminen negatiivista. Liike tarkoittaa ekstensiivisen suureen liikettä taserajan, so. tasepinnan, läpi tasealueen ja ympäristön välillä. Nettoliike tarkoittaa ekstensiivisen suureen liikettä sisään tasealueeseen vähennettynä ekstensiivisen suureen liikkellä ulos tasealueesta. Tuotanto tarkoittaa ekstensiivisen suureen syntymistä tasealueessa. Jos ekstensiivistä suuretta häviää tasealueessa, on tuotanto negatiivista. Lauseen (1) vastine englannin kielessä on accumulation = net transit + generation (2) Lauseen (1) vastine matematiikan kielessä on mielivaltaiselle ajanhetkelle t t x dv = X! n da + X! dv (3) V V A V GEN

5 MP (34) ja mielivaltaiselle ajanjaksolle t = t 2 - t 1 x dv x dv da t XGENdV t X! n +! (4) V V = V V A 2 1 V joista saadaan divergenssiteoreeman avulla inifinitesimaaliselle tasealueelle ajanhetkelle t ja ajanjaksolle t x t V = X! + X! (5) S GEN (! ) (! ) x x = X t + X t (6) V, 2 V, 1 S GEN joissa x V on ekstensiivisen suureen X määrä tilavuusyksikössä, t on aika, V on tasealue, A on taseraja (tasepinta), X! on suureen X vuovektori taserajan suhteen, n on taserajan ulkonormaali yksikkövektori ja X! GEN ekstensiivisen suureen tuotanto tilavuusyksikössä. Koska nettoliike on jaettavissa syöttöön ja tuottoon, voidaan (1) esittää edelleen muodossa tai kerääntyminen = syöttö - tuotto + tuotanto (7) accumulation = input - output + generation (8) tai edelleen vastaavasti matematiikan kielellä formuloituna. Kaikki lauseet (1) - (8) ilmaisevat saman yhden proposition, joka vastaa yhtä fyysistä ilmiötä aika-avaruudessa. Tätä fyysistä ilmiötä, vastaavaa propositiota ja sen ilmaisevia lauseita kutsutaan nimellä tase. Tase i) pätee jokaiselle ekstensiiviselle suureelle, ii) pätee määritellylle tasealueelle ja jokaiselle ajanhetkelle tai ajanjaksolle, iii) on johdettavissa pelkällä päättelyllä ilman kokemusta fyysisestä todellisuudesta ja iv) on välttämätön. Erityisesti on huomattava, että tase tai sen totuus ei mitenkään riipu säilymislauseista. 3. TASEEN OIKEUTUS Tase on tosi, koska on mahdoton kuvitella tilannetta, jossa tase ei vastaisi fyysistä todellisuutta. Näin tase on välttämätön. Koska taseen oikeutus on pelkkä päättely, so. oikeutus ei perustu kokemukseen fyysisestä todellisuudesta, tase on pelkällä päättelyllä todeksi osoitettavissa eli verifioitavissa. Koska tase on välttämätön ja verifioitavissa, se poikkeaa kaikista muista prosessiteknologian propositioista (tai lauseesta) mukaan lukien säilymislauseet. Kaikki muut propositiot perustuvat kokemukseen fyysisestä todellisuudesta ja eivät siten ole välttämättömiä tai verifioitavissa, sillä kaikki kokemus on potentiaallisesti epätotta. On vain yksi taseilmiö, jota vastaa vain yksi tasepropositio. Tasepropositio on kuitenkin ilmaistavissa äärettömän monella tavalla käyttäen eri kieliä (suomi, englanti, matematiikka,...) ja kielten eri termejä. Tästä seuraa, että kaikki yritykset perustella tai johtaa matemaattiset taseyhtälöt matematiikan avulla ovat sekä monimutkaisia (ja siten potentiaallisesti virheellisiä) että tarpeettomia, sillä tulos on saatavissa suoraan päättelyllä.

6 MP (34) 4. SÄILYMISLAUSEET Jos kokemus fyysisestä todellisuudesta osoittaa, että tiettyä ekstensiivistä suuretta (esim. energia tai liikemäärä) ei voi synnyttää tai hävittää, tämä on ilmaistavissa esimerkiksi tai ekvivalentisti ekstensiivistä suuretta ei voi synnyttää tai hävittää (9) tuotanto = 0 (10) Kyseessä oleva fyysinen ilmiö on ekstensiivisen suureen säilyminen ja vastaavaa propositioita (ja sen ilmaisevia lauseita) sanotaan suureen säilymislauseiksi. Koska säilymislauseet perustuvat kokemukseen fyysisestä todellisuudesta, ne eivät ole välttämättömiä tai verifioitavissa, vaan potentiaalisesti epätosia. Jokaista ekstensiivisen suureen säilymislausetta vastaa yksi aika-avaruuden symmetria: Energian säilymislausetta vastaa aika-avaruuden homogeenisuus siirrolle ajan suhteen ja liikemäärän säilymislausetta vastaa aika-avaruuden homogeenisuus siirrolle paikan suhteen. Koska oletus aikaavaruuden homogeenisuudesta - so. oletus siitä, että luonnonlait ovat samat aika-avaruudessa eri aikoina ja eri paikoissa - perustuu potentiaalisesti virheelliseen havaintoon fyysisestä todellisuudesta, ovat myös säilymislauseet potentiaalisesti epätosia. Säilymislause i) pätee vain säilyvälle ekstensiiviselle suureelle, ii) pätee kaikkialla aikaavaruudessa, iii) perustuu kokemukseen fyysisestä todellisuudesta ja iv) on potentiaalisesti epätosi. 5. PINNAN TASE Tarkastellaan erikoistapausta, jossa tasealueella ei ole tilavuutta. Tyypillinen tarkastelukohde on toisen tasealueen taseraja(pinta) tai kahden tasealueen (faasi)rajapinta, jolloin tase on pinnan tase. Jos tasealueella ei ole tilavuutta, tasealueessa ei voi olla ekstensiivisen suureen kerääntymistä tai tuotantoa. Joskus kuitenkin pinnalle (esimerkiksi kahden faasin rajapinalle) oletetaan reaktio, jonka nopeus on äärettömän suuri, jolloin pinnan tase on suoraan (7) mukaan 0 = syöttö - tuotto + tuotanto (11) Tarkastellaan esimerkiksi aineen i siirtoa kahden faasin V ja L välillä. Ilman reaktiota faasien rajapinnan tase on suoraan (11) mukaan eli syöttö = tuotto (12) N L i V = N (13) i Yleinen tietämättömyys fyysisestä taseilmiöstä näkyy selvästi esimerkiksi siinä, että Taylor ja Krishna (1993) muuten erinomaisessa ja uraauurtavassa teoksessaan katsovat, että yhtälön (13) käyttö edellyttää sitä monimutkaista ja pitkällistä perustelua ja tarkastelua, jota Truesdell ja Toupin (1960), Standart (1964) ja Slattery (1972) esittävät. Kaikki tämä perustelu on tarpeetonta (ja siten potentiaallisesti virheellistä), sillä (13) seuraa suoraan pinnan taseesta.

7 MP (34) 6. ESTENSIIVINEN SUURE Kaikki prosessiteknologian suureet ovat jaettavissa kolmeen kaikki suureet käsittävään luokkaan: i) ektensiiviset suureet, ii) intensiiviset suureet ja iii) muut suureeet. Ekstensiivinen suure on määriteltävissä seuraavasti: Suure X on ekstensiivinen, jos ja vain jos kahdelle samanlaiselle tasealueelle 1 ja 2 pätee, että X 1+2 = X 1 + X 2. Tasealueiden samanlaisuuden vaatimus poistaa sen mahdollisuuden, että tasealueiden yhdistyessä tapahtuisi jotain, joka vaikuttaisi ekstensiivisen suureen määrään yhdistetyssä tasealueessa. Esimerkiksi kun yhdistetään kaksi tasealuetta (kappaletta), joissa on eri lämpötila, S 1+2 > S 1 + S 2, johtuen lämpötilojen tasaantumisen aiheuttamasta entropiankehityksestä. Jos tasealueet ovat samanlaiset pätee S 1+2 = S 1 + S 2. Intensiivinen suure on määriteltävissä seuraavasti: Suure I on intensiivinen, jos ja vain jos suureella on arvo jokaisessa jatkumon pisteessä. Nykyisen prosessiteknologian perusoletus on se, että aine on jatkumo, so. aine oletetaan jatkuvaksi eikä huomioida aineen epäjatkuvaa perusrakennetta. Jatkumo-oletus on perusteltavissa sillä, että harvoja erikoistapauksia lukuunottamatta prosessi-ilmiöiden karakteristiset dimensiot ovat merkittävästi suurempia kuin molekulaaristen ilmiöiden karakteristiset dimensiot. Ekstensiivisiä suureita ovat esimerkiksi ainemäärä, massa, moolimäärä, tilavuus, energia, entropia, liikemäärä ja lukumäärä (kiteiden, eliöyksilöiden, rahayksiköiden, jne.). Intensiivisiä suureita ovat esimerkiksi lämpötila, paine, tiheys, pitoisuus, nopeus ja kenttävoima. Osoittautuu, että kaikki suureet eivät ole joko ekstensiivisiä tai intensiivisiä. Näiden luokkien ulkopuolelle jääviä muita suureita ovat esimerkiksi sellaiset perussuureet kuin aika, pituus ja pintaala sekä termodynamiikan keskeiset suureet työ ja lämpö. 7. ESIMERKKI: TISLAUSKOLONNI Tarkastellaan vakiotoimista tislauskolonnia, so. tislauskolonnissa tapahtuvia ilmiötä. Koska kyseessä on vakiotila, tarkastellaan mielivaltaista ajanhetkeä ja kuvaan piirrettyä tasealuetta. taseraja D F tasealue B Kuva 1: Tislauskolonni Koska aineen kokonaismassa on ekstensiivinen suure, kolonnin (so. kuvan tasealueen) kokonaismassatase on yhtälön (8) mukaan välttämättä: m = m! m! + m (14) ACC IN OUT GEN Usein kirjoitetaan suoraan: F = B + D (15) Yhtälö (14) on tase ja siten välttämätön ja aina tosi, kun taas yhtälö (15) on potentiaalisesti epätosi. Tämä johtuu siitä, että yhtälö (15) on saatu - yleensä implisiittisesti - yhtälöstä (14) käyttäen seuraavia konstitutiivisia yhtälöitä:

8 MP (34) m GEN = 0 (16a) m ACC = 0 (16b)!m IN = F (16c)!m OUT = B + D (16d) Näistä konstitutiivisista yhtälöistä (16a) on aineen kokonaismassan säilymislaki, josta ei tunneta yhtään poikkeusta (pienet nopeudet, ei ydinreaktioita). Yhtälöstä (16b) tiedetään, että se ei pidä koskaan paikkaansa, sillä vakiotila on vain aproksimaatio. Vuotojen takia yhtälö (16c) voi olla epätosi alipainekolonneille ja yhtälö (16d) painekolonneille. Konstitutiivisten yhtälöiden aiheuttamien virheiden lisäksi mittausvirheet aikaansaavat sen, että yhtälö (15) ei päde koskaan suureiden todellisille mitatuille arvoille. 8. YHTEENVETO Ekstensiivisen suureen tase ja ekstensiivisen suureen säilyminen ovat kaksi erillistä - ja erilaista - fyysisen todellisuuden fyysistä ilmiötä. Siten myös näitä ilmiöitä vastaavat propositiot ovat erilaiset: Tasepropositio Pätee jokaiselle ekstensiiviselle suureelle Pätee määritellylle tasealueelle On johdettavissa pelkällä päättelyllä On välttämätön Säilymislause Pätee vain säilyvälle ekstensiiviselle suureelle Pätee kaikkialla aika-avaruudessa Perustuu kokemukseen fyysisestä todellisuudesta On potentiaalisesti epätosi Prosessiteknologian kirjallisuus (tai fysiikan kirjallisuus) ei sisällä fyysisen taseen analyysiä, vaan käyttää sanoja tase ja säilymislause synonyymeinä viittaamaan ilmeisesti yhtenä ja saman pidettyyn käsitteeseen ja ilmiöön. Tietämättömyys fyysisestä taseilmiöstä ja tästä tietämättömyydestä seurauksena oleva taseen ja säilymisen käsitteiden sekaannus ei ole omiaan edistämään prosessiteknologian (tai fysiikan, erityisesti termodynamiikan) ymmärrystä, opetusta tai käytännön hyödyntämistä. 9. VIITTEET Slattery, J.C., Momentum, Energy, and Mass Transfer in Continua, McGraw-Hill, 1972 Standart, G. L., The Mass, Momentum and Energy Equations for Heterogeneous Flow Systems, Chem. Eng. Sci., 19, , 1964 Taylor, R., Krishna, R., Multicomponent Mass Transfer, John Wiley & Sons, 1993, pp Truesdell, C. and Toupin, R., The Classical Field Theories in S. Flügge, ed., Encyclopedia of Physics, Vol III/1, Springer-Verlag, 1960

9 MP (34) II ILMIÖ Martti Pekkanen Kemian tekniikan osasto Teknillinen korkeakoulu 1. LAITE JA ILMIÖ Teknistä osaa kemian tekniikasta tai prosessitekniikasta on Suomessa totuttu kutsumaan nimellä (kemian) laitetekniikka. Vaikka ei nimi olioita pahenna, olioon viittava termi voi olla enemmän tai vähemmän selkeä. Tässä katsannossa termi (kemian) laitetekniikka on vähemmän selkeä, sillä se antaa ymmärtää, että kemian tekniikan tai prosessitekniikan tutkimuskohde on jokin laite, vaikka se itse asiassa on jokin ilmiö. Laitteen ja ilmiön eron ymmärtäminen on oleellista koko prosessitekniikan ymmärtämisen kannalta. Ilmiö on tapahtuma, asiantila tai tosiasia kun taas laite on esine. On ilmeistä, että prosessitekniikan tutkimuskohde on jokin ilmiö, esimerkiksi tislausilmiö (so. tislaukseeen liittyvät fyysiset tapahtumat, asiantilat tai tosiasiat), eikä jokin laite, esimerkiksi tislauslaite (so. tislaukseeen liittyvät fyysiset esineet). Tämä on ilmeistä, sillä samassa laitteessa on mahdollista aikaansaada useita eri ilmiötä, esimerkiksi samassa kolonnissa eri aineiden tislausta tai uuttoa. Ilmiö ja laite liittyvät kuitenkin toisiinsa siten, että laite on ilmiöiden reunaehto. Tämä on tärkeä huomio prosessitekniikan mallien ymmärtämisen kannalta. Lisäksi tulisi tehdä ero termien tekniikka ja teknologia välille, josta edellinen viittaa fyysisen todellisuuden laitteisiin, välineisiin ja menetelmiin ja jälkimmäinen tietoon tekniikasta (so. laitteista, välineistä ja menetelmistä). 2. PROSESSI-ILMIÖT Näyttäisi siltä, että kaikki prosessitekniikan ilmiöt, so. prosessi-ilmiöt, ovat luokiteltavissa neljään kaikki prosessi-ilmiöt käsittävään luokkaan: taseilmiöt, säilymisilmiöt, nopeusilmiöt ja tasapainoilmiöt. 2.1 Taseilmiöt Taseilmiö on se fyysinen ilmiö, että välttämättä kerääntyminen = syöttö - tuotto + tuotanto. Tase i) pätee jokaiselle ekstensiiviselle suureelle, ii) pätee määritellylle tasealueelle ja jokaiselle ajanhetkelle tai ajanjaksolle, iii) on johdettavissa pelkällä päättelyllä ilman kokemusta fyysisestä todellisuudesta ja iv) on välttämätön. Esimerkkejä taseilmiöstä ovat mm. taloudenpidon raha(arvon) taseet, (ekologian, väestötieteen, kiteytyksen) populaatiotaseet, (massa-, mooli- tai tilavuusperustaiset) ainetaseet, (kokonais)energiataseet, lämpö(energia)taseet ja liikemäärätaseet. 2.2 Säilymisilmiöt Säilymisilmiö on se fyysinen ilmiö, että ekstensiivistä suuretta ei voi synnyttää tai hävittää. Säilymislause i) pätee vain säilyvälle ekstensiiviselle suureelle, ii) pätee kaikkialla aikaavaruudessa, iii) perustuu kokemukseen fyysisestä todellisuudesta ja iv) on potentiaalisesti epätosi. Esimerkkejä säilymisilmiöstä ovat energian säilymislause (joka prosessitekniikassa jakautuu aineen ja energian säilymislauseiksi) ja liikemäärän säilymislause.

10 MP (34) 2.3 Nopeusilmiöt Nopeusilmiö on se fyysinen ilmiö, että ilmiön nollasta poikkeava potentiaaliero aikaansaa ilmiön nollasta poikeavan nopeuden. Prosessiteknologiassa tarkasteltavana on tyypillisesti lämpö(energia), aine tai liikemäärä. Nopeusilmiön nopeus on määritettävissä pinnan suhteen (esim. syöttö- tai tuottonopeus) tai tilavuuden suhteen (tuotantonopeus). Näin kahdesta perustasta (pinta, tilavuus) ja kolmesta tyypillisestä ekstensiivisestä suureesta (lämpö, aine, liikemäärä) saadaan kuusi fundamentaalista nopeusilmiötä, joita seuraavassa ajatellaan tasepinnan ja tasealueen suhteen: Pintailmiöt Pintailmiöitä ovat ekstensiivisen suureen kuljetus (aineen bulkkiliikkeen vaikutuksesta) ja siirto (ilman aineen bulkkiliikettä, esim. johtumalla tai diffuusiolla) seuraavasti lämpö: Tähän ilmiöön kuuluvat lämmön kuljetus ja lämmönsiirto (johtuminen ja säteily) tasepinnan suhteen. aine: Tähän ilmiöön kuuluvat sekä kokonaisaineen että komponentin i kuljetus ja komponentin i siirto (diffuusio) tasepinnan suhteen. liikemäärä: Tähän ilmiöön kuuluvat liikemäärän kuljetus ja liikemäärän siirto (kitkavoimien vaikutus) tasepinnan suhteen. Tilavuusilmiöt Tilavuusilmiöitä ovat ei-säilyvän ekstensiivisen suureen (lämpöenergia, komponentti i) tuotanto ja liikemäärään vaikuttavat tilavuusvoimat lämpö: Tähän ilmiöön kuuluu lämpöenergian tuotanto (mutta ei energian tuotanto) tasealueessa. aine: Tähän ilmiöön kuuluu komponentin i tuotanto (mutta ei kokonaisaineen tuotanto) tasealueessa. liikemäärä: Tähän ilmiöön kuuluvat liikemäärään vaikuttavien tilavuusvoimien (esim. gravitaatio) vaikutus (mutta ei liikemäärän tuotanto) tasealueessa. 2.4 Tasapainoilmiöt Tasapainoilmiö on se fyysinen ilmiö, että ilmiön nollapotentiaaliero aikaansaa ilmiön nollanopeuden. Tämän määritelmän mukaan tasapainoilmiö on käsitettävä nopeusilmiön erikoistapaukseksi, joka merkityksensä vuoksi on kuitenkin mielekästä käsitellä omana ilmiölajinaan. Tasapainoilmiö on myös se raja-arvo, jota vapaasti etenevä nopeusilmiö lähenee. Koska tasapainoilmiö on nopeusilmiön erikoistapaus, saadaan kuusi fundamentaalista tasapainoilmiötä, joita seuraavassa ajatellaan tasepinnan ja tasealueen suhteen: Pintailmiöt Pintailmiöitä ovat ekstensiivisen suureen kuljetus ja siirto, joista seuraavassa tarkastellaan vain siirtoa perustapauksessa (kuljetus on nolla kun aineen bulkkiliike on nolla): lämpö: Perustapauksessa lämmönsiirto (johtuminen ja säteily) on nolla kun lämpötilaero on nolla, eli vallitsee terminen tasapaino. aine: Perustapauksessa aineensiirto (diffuusio) on nolla kun pitoisuusero (paremmin potentiaaliero) on nolla, eli vallitsee fysikaalinen tasapaino. liikemäärä: Perustapauksessa liikemääränsiirto (kitkavoimien vaikutuksesta) on nolla kun nopeusero on nolla. Yleisessä tapauksessa on tarkasteltava lämmön-, aineen- ja liikemääränsiirron muitakin potentiaaleja.

11 MP (34) Tilavuusilmiöt Tilavuusilmiöitä ovat ei-säilyvän ekstensiivisen suureen (lämpöenergia, komponentti i) tuotanto ja liikemäärään vaikuttavat tilavuusvoimat lämpö: Lämpöenergian tuotantonopeus on nolla kun reaktioiden potentiaaliero on nolla (ei reaktiolämpöä) ja kun voimien ero on nolla (ei kitkalämpöä) eli vallitsee kemiallinen tasapaino ja mekaaninen tasapaino faasin sisällä. aine: Komponentin i tuotantonopeus on nolla kun reaktioiden potentiaaliero on nolla, eli vallitsee kemiallinen tasapaino faasin sisällä. liikemäärä: Liikemäärään vaikuttavien tilavuusvoimien vaikutus on nolla kun tilavuusvoimien (esim. gravitaatio) kenttävoimakkuus on nolla. 3. ESIMERKKI : AINEENSIIRTOASKEL Tarkastellaan kuvan 1 aineensiirtoaskelta n. x n-1 L n-1 V n y n x n L n V n+1 y n+1 Kuva 1: Aineensiirtoaskel Aineensiirtoaskeleen rajat määräävät tasealueen, jossa pätee välttämättä jokaiselle ekstensiiviselle suureelle (vakiotila, ei reaktiota) syöttö = tuotto (17) eli Vn+ 1 + Ln 1 = Vn + Ln (18) Vn+ 1yn+ 1 + Ln 1xn 1 = Vnyn + Lnxn Nämä ovat kokonaisainetase ja komponentin A tase (osa-ainetase) koko aineensiirtoaskeleelle. Näin aineensiirtoaskel on aina taseilmiö riippumatta siitä mitä askeleen sisällä tapahtuu vai tapahtuuko mitään. Jos aineensiirtoaskeleeseen tulevat virrat L n-1 ja V n+1 eivät ole fysikaalisessa tasapainossa, so. niissä aineen A pitoisuudet eivät ole tasapainossa (kemialliset potentiaalit eivät ole yhtäsuuret), aineensiirtoaskeleessa tapahtuu aineensiirtoa faasien välillä. Faasiraja määrittää kaksi uutta tasealuetta aineensiirtoaskeleen sisälle kuvan 2 mukaan x n-1 L n-1 V n y n N n x n L n V n+1 y n+1 Kuva 2: Aineensiirtoaskel Aineensiirtoaskeleen faaseille pätee välttämättä (1), eli saadaan aineen A osa-ainetaseet Ln 1xn 1 + Nn = Lnxn V y = V y + N n+ 1 n+ 1 n n n Näin aineensiirtoaskel on myös nopeusilmiö, jos tulevat virrat eivät ole tasapainossa, so. tulevien virtojen välillä on aineensiirtoa aikaansaava nollasta poikkeava potentiaaliero. (19)

12 MP (34) Perinteinen tapa tarkastella aineensiirtoaskelta on olettaa, että askel on ideaalisen tehokas eli että askeleessa tapahtuu maksimimäärä aineensiirtoa, mistä seuraa, että poistuvat virrat ovat tasapainossa. Tällaista askelta kutsutaan ideaaliaskeleeksi tai tasapainoaskeleeksi. Ideaskeleessa siis [ ( )] * y = y = f x n n n 1 [ ( )] * x = x = f y n n n Ideaaliaskeleen ulostulovirrat ovat laskettavissa - kun tunnetaan syöttö L n-1, x n-1, V n+1, y n+1 ja tasapaino y * =f(x) - taseista (2) ja yhdestä lisäehdosta. Jos on kyseeessä ekvimolaarinen aineensiirto, kokonaisvirtaamat pysyvät vakioina, jolloin L = L 1 (21) n n Jos vain aine A siirtyy, tämä voidaan ilmaista Ln Ln 1 = Lnxn Ln 1xn 1 (22) Ulostulovirtojen laskennan jälkeen aineensiirron määrä ideaaliaskeleessa, N n, on laskettavissa faasien osa-ainetaseista (3). Nähdään siis, että ideaaliaskel tai tasapainoaskel on myös nopeusilmiö, so. ideaaliaskeleessakin on aineensiirron nopeus. Ideaaliaskeleessa aineensiirron nopeutta vain ei tarkastella sinänsä, vaan oletetaan, että aineensiirto saa vapaasti edetä kohti raja-arvoaan, so. faasien välistä tasapainotilaa, ja saavuttaa se. Ideaaliaskel tulisikin ymmärtää äärettömän pitkänä myötävirta-aineensiirtoaskeleena: (20) y n+1 y n = y n * N n x n = x n * x n-1 0 pituus Kuva 3: Ideaaliaskel Jos aineensiirtoaskeleessa tarkastellaan aineensiirron nopeutta sinänsä, ainensiirtoaskelta kutsutaan nimellä rate based -askel. Rate based -askeleessa aineensiirron määrä N n askeleessa määräytyy ja on laskettavissa faasien välisestä aineensiirrosta tilavuusyksikössä (so. faasien pitoisuuksista askeleessa, y n ja x n, faasien rajapinnan pinta-alasta tilavuusyksikössä, a V, jne.) sekä askeleen dimensioista. Tyypillisesti rate based -askeleessa faasit oletetaan täydellisesti sekoitetuiksi, jolloin rate based - askel on ymmärrettävissä kahtena toisiinsa kosketuksissa olevana ideaalisekoitussäiliönä. Vaihtoehtoisesti rate based -askel on ymmärrettävissä rajallisen pituisena myötävirtaaineensiirtoaskeleena: y n+1 y n N n x n-1 0 pituus L x n Kuva 4: Rate based -askel

13 MP (34) 4. PROSESSIYKSIKÖT Prosessitekniikan alkutaipaleella prosessien lukumäärän ollessa alhainen oli mahdollista tarkastella jokaista prosessia kokonaisuutena ja muista prosesseista erillisenä. Prosessien ja prosessityyppien lukumäärän kasvaessa tuli tarpeelliseksi pyrkiä hahmottamaan prosessityyppien sisäisiä yhtäläisyyksiä. Tämä oli erityisen tarpeellista opetuksen kannalta, sillä prosessien yhteisten ominaisuuksien identifiointi sekä vähensi opittavia asioita että jäsensi opittavaa kenttää. Tästä tarpeesta syntyi yksikköoperaation käsite MIT:ssa vuosisadan alussa. Ensimmäinen tälle käsitteelle perustuva oppikirja oli Walker, Lewis, McAdams, Principles of Chemical Engineering vuodelta Yksikköoperaatiokäsitteen idea on se, että prosesseja ei tarkastella kokonaisuuksina vaan prosessit jaetaan osiin ja pyritään identifioimaan prosesseissa esiintyviä samankaltaisia osia. Useassa prosessissa esiintyvää prosessin osaa, jossa esiintyy samankaltainen fysikaalinen muutos, kutsutaan yksikköoperaatioksi. Tyypillisiä yksikköoperaatioita ovat tislaus, uutto, pumppaus, sekoitus, seulonta, murskaus ja lämmönsiirto. Analoginen kehitys johti yksikköprosessin käsitteeseen, jonka esitti P.H. Groggins vuonna 1935 kirjassaan Unit Prosesses in Organic Synthesis, jossa käsiteltäviä yksikköprosesseja ovat mm. nitraatio, halogenaatio, hapetus, alkylaatio, esteröinti ja polymerointi. Näin useassa prosessissa esiintyvää prosessin osaa, jossa esiintyy samankaltainen kemiallinen muutos so. kemiallinen reaktio, kutsutaan yksikköprosessiksi. Prosessiyksiköiden - so. yksikköoperaatioiden ja yksikköprosessien - käyttö prosessien analysoinnissa on edullista, sillä jakamalla prosessit yksiköihin voidaan hyvin suuri määrä hyvin erillaisia prosesseja hallita tuntemalla pieni määrä yksiköitä. Tällä hetkellä prosessiyksikkölähestymistapa on vallitseva ainakin prosessiteknologian opetuksessa. 5. YKSIKKÖILMIÖT Nykyinen prosessitekniikan valtaisa kehitys aiheuttaa ongelmia yksikköoperaation ja yksikköprosessin käsitteiden käytössä. Jokaisen yksikköoperaation ja -prosessin sisällä tapahtunut kehitys ja sisäinen eriytyminen sekä uusien yksikköoperaatioiden ja -prosessien syntyminen johtavat näiden käsitteiden sumenemiseen ja vähentävät mahdollisuuksia jäsentää prosesseja näiden käsitteiden kautta. Lisäksi on syntynyt operaatioita ja prosesseja yhdistäviä prosessiyksikköjä, kuten reaktiivinen tislaus. On siis tarpeen etsiä uusia koko prosessitekniikan kentän kattavia hahmotustapoja, jotka prosessiyksikön käsitteen tavoin sekä vähentäisivät hallittavien asioiden määrää että jäsentäisivät koko prosessitekniikan kenttää. Ratkaisun tarjoaa prosessi-ilmiön käsite. Jokainen prosessi on ilmiö ja prosessiyksikön käsitteen vahvuus on siinä, että se mahdollistaa koko prosessin ilmiön tarkastelemisen prosessin osailmiöiden tasolla. Tämän jaon seuraava looginen askel on se, että prosessiyksikköjä ei tarkastella kokonaisuuksina, vaan ne jaetaan osiin ja pyritään identifioimaan niissä esiintyviä samankaltaisia osia so. ilmiöitä. Näin päädytään ylläesitettyihin prosessi-ilmiöihin. Esitetyn prosessi-ilmiöiden analyysin vahvuus - jos se on virheetön - riippuu vain ja ainoastaan siitä onko analyysi hedelmällinen, sillä on ilmeistä, että on mahdollista hahmottaa nämä ilmiöt myös muiden käsitteiden avulla. Jos analyysi on hedelmällinen, on mielekästä tarkastella koko prosesitekniikan kenttää prosessi-ilmiöiden kautta ja ottaa uudeksi prosessiteknologian paradigmaksi prosessi-ilmiöt eli yksikköilmiöt. YKSIKKÖILMIÖT tasapaino tase säilymis nopeus lämpö liikemäärä aine lämpö liikemäärä aine tilavuus pinta tilavuus pinta

14 MP (34) Kuva 5: Yksikköilmiöt Esitetty yksikköilmiöiden paradigma näyttäisi olevan käyttökelpoinen, sillä siitä seuraa sekä tarkasteltavien ilmiöiden pienempi lukumäärä että tarkasteltavien ilmiöiden suurempi fundamentaalisuus - prosessiyksikköihin verattuna. 6. YHTEENVETO Prosessiteknologian tutkimuskohde on prosessi-ilmiö eikä prosessilaite. Ilmiö ja laite liittyvät kuitenkin toisiinsa siten, että prosessilaite on prosessi-ilmiön reunaehto. Kaikki prosessi-ilmiöt ovat luokiteltavissa neljään luokkaan: taseilmiöt, säilymisilmiöt, nopeusilmiöt ja tasapainoilmiöt. Näiden ilmiöiden tarkastelu osoittaa esimerkiksi sen, että aineensiirtoaskel on aina sekä taseilmiö että nopeusilmiö. Ideaaliaskeleessa aineensiirron nopeus määräytyy poistuvien virtojen tasapainosta, joka on tasapainoilmiö. Rate based - askeleessa aineensiirron nopeus määräytyy suureista askeleen sisällä. Prosessiteknologian vallitseva lähestymistapa on prosessiyksikön - eli yksikköoperaation ja yksikköprosessin - käsite. Jakamalla prosessit prosessiyksikköihin on mahdollista hallita suuri määrä erillaisia prosesseja tuntemalla pieni määrä yksiköitä. Prosessitekniikan nykyinen ja ennustettavissa oleva kehitys kuitenkin edellyttää lähestymistavan tarkentamista. Kun tavoitteena on edelleen nopeuttaa ja voimistaa prosessiteknologian kehitystä, on edullista tarkentaa tarkastelutasoa prosessiyksiköistä näitä fundamentaalisempiin yksikköilmiöihin.

15 MP (34) III PROSESSI Martti Pekkanen Kemian tekniikan osasto Teknillinen korkeakoulu 1. JOHDANTO Sanalla prosessi on lukuisia merkityksiä, eikä liene mahdollista sanoa miten prosessin käsite tulisi oikein määritellä tai miten sanaa prosessi oikein käyttää. Käsitteiden määrittelyä ja sanojen käyttöä on kuitenkin mahdollista arvioida selvyyden ja käyttökelpoisuuden avulla. Erityisesti kun tekniikan alan nimi on prosessiteknikka ja kun tieteenalan (tai tiedonalan) nimi on prosessiteknologia on tärkeää tietää mihin sana prosessi tässä yhteydessä viittaa. Sanalla prosessi on ensinnäkin lukuisia merkityksiä, jotka selvästi jäävät prosessiteknologian ulkopuolelle. Tällaisiä ovat esim. liikeyrityksen toiminnan prosessit sekä ihmisen aivotoiminnan mentaalit prosessit. Lisäksi sanalla prosessi on enemmän kuin yksi merkitys myös prosessiteknologian sisällä. Erityisesti on huomattava sanan prosessi käyttö termodynamiikassa, jossa se on määriteltävissä esim. seuraavasti (Reklaitis, 1983): The sequence or path of change of state a given system undergoes in going from an initial state to a final state is called a process. Määritelmä sopinee termodynamiikan tarpeisiin, mutta on liian tiukka koko prosessiteknologiaa varten, sillä määritelmä sulkee pois esim. vakiotilaiset (steady state) prosessit. Kuitenkin Reklaitisin (1983) kirjassa Introduction to Material and Energy Balances(!) em. määritelmä on se, johon hakemiston sana process viittaa. Prosessin käsitteelle ei ole annettu prosessiteknologian sisällä yleisesti hyväksyttyä ja yleisesti käytössä olevaa määritelmää. Prosessin käsitettä on luonnehdittu mm. seuraavasti: (Chemical engineering has to do with) prosesses, in which raw materials are changed or separated into useful products. Seuraavassa pyritään määrittelemään prosessin käsite prosessiteknologian sisällä siten, että määritelmä olisi sekä selkeä että käyttökelpoinen. 2. PROSESSI Pohjola et al. (1994) ovat määritelleet prosessin käsitteen seuraavasti: Process is control of phenomena for purpose eli prosessi on ilmiön tavoitteellista säätöä, hallintaa tai ohjausta. Tämä määritelmä on erinomainen siinä mielessä, että se nostaa ilmiön käsitteen keskeiseen asemaan. On kuitenkin vaikea ymmärtää miten prosessi voisi olla ohjausta. Prosessiteknologian tutkimuskohde on jokin ilmiö, so. jokin tapahtuma, asiantila tai tosiasia, eikä jokin laite, so. esine. Näin lähtokohdaksi tässä valitaan se, että Prosessi on ilmiö. (23) Tämä lähtökohta on tärkeä siksi, että se erottaa prosessin prosessilaitteesta. Prosessi on mahdollista sekoittaa prosessilaitteeseen erityisesti siksi, että prosessilaite on se, joka näkyy ja on siten suoraan havainnoitavissa. Tätä sekaantumisen mahdollisuutta lisää yleinen tapa sanoa laitteen malli (esim. tislauslaitteen tai tislauskolonnin malli) kun tarkoitetaan laitteessa tapahtuvien ilmiöiden malli. Osan II Ilmiö mukaan kaikki prosessitekniikan ilmiöt, so. kaikki prosessi-ilmiöt, ovat luokiteltavissa neljään luokkaan: taseilmiöt, säilymisilmiöt, nopeusilmiöt ja tasapainoilmiöt. Tasapainoilmiöt ovat nopeusilmiöiden erityistapaus, joten niitä ei tarkastella tässä. Säilymisilmiöitä ja nopeusilmiöitä yhdistää se seikka, että molemmat pätevät joka paikassa ja kaikkina aikoina (säilymisilmiö niille ekstensiivisille suureille, joille pätee, ja nopeusilmiö, jos ilmiön tapahtumiselle luodaan suotuisat olosuhteet). Toisaalta, vaikka tase pätee jokaiselle ekstensiiviselle suureelle ja jokaiselle ajanhetkelle tai ajanjaksolle, tase pätee vain määritellylle

16 MP (34) tasealueelle. Näin näyttäisi siltä, että tasealueen määrittely luonnollisesti määrittelee prosessin, so. tasealueessa tapahtuvien ilmiöiden kokonaisuuden. Esimerkiksi aineen säilymistä (säilymisilmiö) sinänsä tai komponentin i syntymistä tai häviämistä kemiallisessa reaktiossa (nopeusilmiö) sinänsä ei pidetä prosessina, mutta jokaista tasealuetta (taseilmiö), jossa tapahtuu kemiallinen reaktio, so. jokaista reaktoria, pidetään prosessina tai prosessiyksikkönä. Edelleen energian säilymistä sinänsä tai johtumista tai konvektioita sinänsä ei pidetä prosessina, mutta jokaista tasealuetta, jossa tapahtuu johtumista tai konvektioita, so. jokaista lämmönsiirrintä, pidetään prosessina tai prosessiyksikkönä. Osoittautuu siis, että taseilmiö on (prosessitekniikan) prosessin käsitteen kannalta ratkaiseva, eli Prosessi on taseilmiö. (24) Tämä määritelmä on sovellettavissa jokaiseen ilmiöön, jolle on mahdollista kirjoittaa tase (siis myös prosessitekniikan ulkopuolella), ja siten määritelmä edellyttää esiymmärrystä siitä mikä prosessitekniikan prosessi on. Määritelmä näyttäisi kuitenkin hyödylliseltä, sillä se sanoo, että prosessi on ilmiö ja että prosessi on ilmiö, jota hallitsee tase. Koska jokainen prosessitekniikan ilmiö on jaettavissa osailmiöihin (aineen jatkumo-oletuksen asettamissa rajoissa), on määritelmä tarkennettavissa muotoon, jossa huomio kiinnitetään kaikkiin tasealueessa ja sen rajoilla tapahtuviin ilmiöihin ja vain niihin: Prosessi on tasealueen määräämä ilmiöjoukko. (25) Jos tarkasteltava prosessi on ihmisen luoma, so. teollinen, eikä luonnollinen, on määritelmä tarkennettavissa ohjauksen käsitteen kautta seuraavasti: Teollinen prosessi on ohjattu taseilmiö. (26) 3. FYYSINEN JA KÄSITTEELLINEN MAAILMA Prosessin - ja myöhemmin prosessimallin - käsitteen ymmärtämiseksi on välttämätöntä tarkastella yleisesti todellisuuden olioita. Tarkastelun lähtökohtana on se havainto, että todelliset oliot - esimerkiksi kivet, ihmisyksilön ajatukset ja Sibeliuksen sinfoniat - eroavat perustavanlaatuisesti toisistaan. Näiden erojen luonnehtimiseksi on Karl Popper (esim. Niiniluoto, 1980) esittänyt ajatuksen kolmesta maailmasta, jotka kaikki ovat todellisia (so. ovat todella olemassa): maailma 1: fyysinen aika-avaruus maailma 2: ihmisyksilön tietoisuus maailma 3: ihmisyhteisön tietoisuuden objektiivinen (so. intersubjektiivinen) sisältö, so. käsiteavaruus Esimerkkejä näihin maailmoihin kuuluvista olioista ovat: maailma 1: kivet, planeetat, talot, autot, kasvit, eläimet, ihmiset maailma 2: ihmisyksilön ajatukset kivistä, taloista, eläimistä, sinfonioista, taiteesta, luvuista, tieteestä, arvoista maailma 3: sinfoniat, maalaukset, taide, luvut, käsitteet, mallit, teoriat, tiede, arvot On ilmeistä ja ongelmatonta, että maailma 1 on todella olemassa (vaikka tätäkin sopii tietysti epäillä). Samoin on ilmeistä ja ongelmatonta, että maailma 2 on todella olemassa, vaikka yksilön ajatusten kohde (esim. yksisarvinen) ei olisikaan olemassa. Tärkeää on huomata, että maailma 2 edellyttää maailman 1 olemassaolon, mutta ei päinvastoin. Maailma 3 on ongelmallisempi. Maailman 3 perusidea on se, että vaikka maailman 3 oliot onkin realisoitava maailmaan 1 (so. fyysiseen aika-avaruuteen) ihmisten välistä kommunikointia varten, maailman 3 oliot eivät ole aidosti maailman 1 olioita (so. fyysisiä) tai maailman 2 olioita (so. yksilön ajatuksia). Tarkastellaan esimerkiksi sinfoniaa. Ihmisten välistä kommunikointia varten sinfonia on realisoitava maailmaan 1 esimerkiksi painamalla sen nuotit musteena paperilla tai esittämällä se paineaaltoina ilmassa. Mutta sinfonia ei ole mustetta paperilla tai paineaaltoja ilmassa (so. maailman 1 olio), vaan sinfonia on se, mitä muste paperilla tai paineaallot ilmassa esittävät tai

17 MP (34) merkitsevät (so. maailman 3 olio). Vastaavasti romaani taideteoksena ei ole se kirja, josta se on luetavissa, vaan se, mitä kirja esittää tai merkitsee. Tärkeää on huomata, että maailma 3 edellyttää sekä maailman 1 että maailman 2 olemassaolon, mutta ei päinvastoin. Prosessiteknologian kannalta tärkeä johtopäätös tästä analyysistä on se, että prosessitekniikka on maailman 1 olio ja prosessiteknologia, so. objektiivinen (intersubjektiivinen) tieto prosessitekniikasta, on maailman 3 olio. Maailma 1 (esim. prosessitekniikka) ja maailma 3 (esim. prosessiteknologia) voivat vaikuttaa toisiinsa vain yksilön tietoisuuden (maailman 2) välityksellä seuraavasti fyysinen avaruus maailma 1 prosessitekniikka yksilön tietoisuus maailma 2 käsiteavaruus maailma 3 prosessiteknologia Kuva 1: Prosessitekniikka ja prosessiteknologia 4. FYYSINEN JA KÄSITTEELLINEN PROSESSI Sanaa prosessi voi käyttää viittaamaan sekä maailman 1 fyysiseen prosessiin ( prosessin käynnistys, prosessin tila, prosessi räjähti ) että maailman 3 käsitteelliseen prosessiin ( prosessikaavio, (tislaus)prosessin (ideaaliaskel)malli, prosessimalli ) kuvan 2 mukaan. fyysinen avaruus (maailma 1) (maailma 2) käsiteavaruus (maailma 3) fyysinen prosessi ajatus prosessista käsitteellinen prosessi viittaus prosessi Kuva 2: Prosessi Kuvassa on esitetty myös sanan prosessi käyttö viittaamaan ajatukseen prosessista ( keksin uuden prosessin ). Koska prosessiteknologia, so. tiede tai tieto prosessitekniikasta, on objektiivista (so. intersubjektiivista), ei yksilön ajatuksia (maailmaa 2) tarkastella tässä. 4.1 Fyysinen prosessi Fyysinen prosessi on mikä tahansa fyysisen todellisuuden prosessi. Esimerkki teollisesta prosessista (so. ohjatusta taseilmiöstä) on paineastian tasealueessa tapahtuva ohjattu atomiydinten hajoaminen ja tähän liittyvä lämmöntuotanto. Esimerkki luonnon prosessista on radon-kaasun syntyminen ja vapautuminen maaperässä.

18 MP (34) 4.2 Käsitteellinen prosessi Käsitteellinen prossesi on ihmisyhteisön (esim. tiedeyhteisön tai insinööritoimiston henkilöstön) intersubjektiivisen tietoisuuden olio, eli käsitteellinen prosessi on tietoa. Prosessi, joka on tietoa, on ilmeisesti malli eli käsitteellinen prosessi on käsitteellinen prosessimalli. Näin sana prosessi viittaa myös mallin käsitteesen. fyysinen avaruus (maailma 1) (maailma 2) malli- eli käsiteavaruus (maailma 3) fyysinen prosessi ajatus prosessista käsitteellinen prosessimalli viittaus prosessi Kuva 3: Prosessi Käsitteellisiä prosessimalleja ovat esimerkiksi aineensiirtoprosessin ideaaliaskelmalli, prosessin virtauskaavio ja prosessin simulointimalli. Koska käsitteellinen prosessimalli on maailman 3 (ihmisyhteisön intersubjektiivisen tietoisuuden) olio eikä maailman 1 (fyysisen avaruuden) olio, käsitteellinen malli ei ole mallin fyysinen realisaatio, vaan se ajatus (idea, propositio), jonka fyysinen realisaatio ilmaisee. Näin prosessin simulointimalli ei ole sama kuin malliyhtälöt paperille painettuna tai mallin realisaatio tietokoneohjelmana, vaan mitä nämä realisaatiot sanovat. Jos malliyhtälöt on virheettömästi koodattu tietokoneohjelmaksi, molemmat sanovat saman asian ja ovat näin sama malli. 5. YHTEENVETO Sanalla prosessi on lukuisia merkityksiä sekä prosessiteknologian ulkopuolella että sen sisällä. Koska prosessiteknologian tutkimuskohde on ilmiö eikä laite, prosessiteknologian sisällä sana prosessi viittaa ilmiöön. Prosessi-ilmiöiden tarkastelu mahdollistaa sanan prosessi määrittelemisen taseen avulla seuraavasti: Prosessi on taseilmiö. Näyttäisi hyödylliseltä ajatella, että todellisuuden oliot ovat aidosti joko fyysisen avaruuden (maailma 1), yksilön tietoisuuden (maailma 2) tai käsiteavaruuden (maailma 3) olioita. Jos näin ajatellaan, nähdään, että sana prosessi voi viitata kaikkien kolmen maailman olioihin, joista yksilön tietoisuuden olioita ei kuitenkaan tarkastella prosessiteknologiassa. Koska käsitteellinen prosessi on tietoa, on käsitteellinen prosessi käsitteellinen prosessimalli. Näin lopputuloksena on se, että prosessiteknologiassa sana prosessi viittaa sekä fyysisen avaruuden fyysiseen prosessiin, so. taseilmiöön, että käsiteavaruuden käsitteelliseen prosessimalliin, so. tietoon taseilmiöstä. 6. VIITTEET Niiniluoto, I., Johdatus tieteenfilosofian, Otava, 1980, s. 128 Pohjola, V.J., Tanskanen, J., Lien, K.M., Combinations of Reaction and Separation for Improved Process Performance, ESCAPE-4, Dublin, 1994 Reklaitis, G.V., Introduction to Material and Energy Balances, John Wiley & Sons, 1983, s. 373

19 MP (34) IV MALLI Martti Pekkanen Kemian tekniikan osasto Teknillinen korkeakoulu 1. JOHDANTO Sanalla malli on lukuisia merkityksiä, eikä liene mahdollista sanoa miten mallin käsite tulisi oikein määritellä tai miten sanaa malli oikein käyttää. Käsitteiden määrittelyä ja sanojen käyttöä on kuitenkin mahdollista arvioida selvyyden ja käyttökelpoisuuden avulla. Sana malli on varmasti yksi prosessiteknologian ja koko teknologian - ja mahdollisesti koko tieteen - käytetyimpiä. Erityisen hämmentävä prosessiteknologian kannalta on sanan malli käyttö logiikassa (predikaattikalkyylissä), jossa on mahdollista sanoa, että fysikaalinen todellisuus on lauseen malli, kun suhde prosessiteknologiassa on tyypillisesti juuri päinvastainen. Logiikassa fysikaalinen todellisuus voi olla malli esimerkiksi lauseelle xp [ 1( x) P2( x) ], jossa P1( x)= x on metallia, P2 ( x) = x johtaa sähköä, eli lauseelle Kaikki metallit johtavat sähköä. Seuraavassa pyritään määrittelemään mallin käsite prosessiteknologian sisällä siten, että määritelmä olisi sekä selkeä että käyttökelpoinen. 2. MALLI Tyypillisesti sanalla malli viitataan (implisiittisesti) matemaattisen mallin käsitteeseen. Mallin (so. matemaattisen mallin) käsitteen ovat määritelleet Marvin Minsky vuonna 1965 seuraavasti: To an observer B an object M is a model of an object A to the extent that B can use M to answer questions that interest him about A. Aris (1978) seuraavasti: A system of equations, Σ, is said to be a model of the prototype system, S, if it is formulated to express the laws of S and its solution is intended to represent some aspects of the behavior of S. ja Denn (1986) seuraavasti: A mathematical model of a process is a system of equations whose solution, given specific input data, is representative of the response of the process to the corresponding set of inputs. Jos tavoitteena on yleinen mallin käsitteen analyysi ovat jälkimmäiset kaksi määritelmää liian suppeita, koska ne molemmat rajaavat mallin (matemaattisten) yhtälöiden systeemeihin. Kaikkissa kolmessa määritelmässä on yhteisenä piirteenä representaation so. sijasta toimimisen tai edustamisen käsite. Mallin käsite määritellään tässä siis seuraavasti Malli on prototyyppinsä representaatio. (27) jossa sana prototyyppi viittaa siihen, jota malli edustaa ja jonka sijasta malli toimii. Malli käsitetään usein (mieli)kuvana. Tämä on sopusoinnussa määritelmän (1) kanssa, sillä (mieli)kuvaa tyypillisesti käytetään edustamaan suhteellisesti monimutkaisempaa prototyyppiä ja (mieli)kuva toimii tarkastelun kohteena suhteellisesti monimutkaisemman prototyypin sijasta. Tästä esimerkkejä ovat kineettisen kaasuteorian malli kiinteiden pallojen kimmoisina törmäyksinä, atomin malli aurinkokuntana ja aurinkokunnan malli samankeskeisinä pallokuorina.

20 MP (34) Määritelmä (1) on tarkoituksella hyvin yleinen. Määritelmä ei mitenkään rajaa sitä mikä malli on, vaan määritelmä sanoo vain mitä malli tekee. Määritelmä ei myöskään ota kantaa siihen tuleeko representaation olla oikea ja tosi ; riittää vain, että joku mallia mallina käyttää. Näin tässä ei vaadita kuten Denn, että solution is representative, vaan vain kuten Aris, että solution is intended to represent. Eli Malli on se, jota mallina käytetään. (28) Onko malli oikea ja tosi - eli käytännössä käyttökelpoinen ja luotettava - ratkaistaan mallin validoinnin (tai viimeistään mallin käytön) yhteydessä. 3. FYYSINEN JA KÄSITTEELLINEN MALLI Osan III Prosessi mukaan todellisuus on jaettavissa kolmeen osaan: fyysinen avaruus (maailma 1), ihmisyksilön tietoisuus (maailma 2) sekä ihmisyhteisön tietoisuuden objektiivinen (so. intersubjektiivinen) sisältö eli käsiteavaruus (maailma 3). Sanaa malli voi käyttää viittaamaan sekä maailman 1 fyysiseen malliin ( pienoismalli ) että maailman 3 käsitteelliseen malliin ( ideaaliaskelmalli ) kuvan 1 mukaan. fyysinen avaruus (maailma 1) (maailma 2) malli- eli käsiteavaruus (maailma 3) fyysinen malli ajatus mallista käsitteellinen malli viittaus malli Kuva 1: Malli Kuvassa on esitetty myös sanan malli käyttö viittaamaan ajatukseen mallista ( Keksin uuden mallin ). Koska prosessiteknologia, so. tiede tai tieto prosessitekniikasta, on objektiivista (so. intersubjektiivista), ei yksilön ajatuksia (maailmaa 2) tarkastella tässä. 3.1 Fyysinen malli Fyysinen malli on fyysinen realisaatio. Näin fyysinen malli on maailman 1 (fyysisen avaruuden) olio. Fyysinen malli on yleensä joko esikuvaansa pienempi kooltaan kuten pienoismallit, joita käytetään esim. virtausteknisissä kokeissa, tai vähäisempi detaljeiltaan. Tyypillisiä prosessiteknisiä fyysisiä malleja ovat laboratoriolaitteet ja pilot plant -laitteet (so. näissä laitteissa tapahtuvat ilmiöt). Koska fyysinen malli on fyysinen realisaatio, tästä seuraa, että ja että fyysinen malli ei ole kopioitavissa yksi-yhteen (29) fyysisen mallin representaatio perustuu mallin fyysiseen realisaatioon (30)

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

7A.2 Ylihienosilppouma

7A.2 Ylihienosilppouma 7A.2 Ylihienosilppouma Vetyatomin perustilan kentän fotoni on λ 0 = 91,12670537 nm, jonka taajuus on f o = 3,289841949. 10 15 1/s. Tämä spektriviiva on kaksoisviiva, joiden ero on taajuuksina mitattuna

Lisätiedot

Molaariset ominaislämpökapasiteetit

Molaariset ominaislämpökapasiteetit Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA

Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Kemialliset reaktiot ja reaktorit Prosessi- ja ympäristötekniikan perusta I

Kemialliset reaktiot ja reaktorit Prosessi- ja ympäristötekniikan perusta I Kemialliset reaktiot ja reaktorit Prosessi- ja ympäristötekniikan perusta I Juha Ahola juha.ahola@oulu.fi Kemiallinen prosessitekniikka Sellaisten kokonaisprosessien suunnittelu, joissa kemiallinen reaktio

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

Y ja

Y ja 1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki 2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p

Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

6 TARKASTELU. 6.1 Vastaukset tutkimusongelmiin

6 TARKASTELU. 6.1 Vastaukset tutkimusongelmiin 173 6 TARKASTELU Hahmottavassa lähestymistavassa (H-ryhmä) käsitteen muodostamisen lähtökohtana ovat havainnot ja kokeet, mallintavassa (M-ryhmä) käsitteet, teoriat sekä teoreettiset mallit. Edellinen

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot

Kaksi yleismittaria, tehomittari, mittausalusta 5, muistiinpanot ja oppikirjat. P = U x I

Kaksi yleismittaria, tehomittari, mittausalusta 5, muistiinpanot ja oppikirjat. P = U x I Pynnönen 1/3 SÄHKÖTEKNIIKKA Kurssi: Harjoitustyö : Tehon mittaaminen Pvm : Opiskelija: Tark. Arvio: Tavoite: Välineet: Harjoitustyön tehtyäsi osaat mitata ja arvioida vastukseen jäävän tehohäviön sähköisessä

Lisätiedot

SONKAJÄRVEN LUKIO LUKUVUOSI 2015-2016 OPPIKIRJAT. Kurssi Kirjan nimi Kust. ISBN

SONKAJÄRVEN LUKIO LUKUVUOSI 2015-2016 OPPIKIRJAT. Kurssi Kirjan nimi Kust. ISBN SONKAJÄRVEN LUKIO LUKUVUOSI 2015-2016 OPPIKIRJAT Kurssi Kirjan nimi Kust. ISBN ÄIDINKIELI Kurssit 1-10 Särmä: Suomen kieli ja kirj. Kielenhuolto O 978-951-1265863 Kurssit 1-10 Särmä: Suomen kieli ja kirjallisuus,

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Tasapainotilaan vaikuttavia tekijöitä

Tasapainotilaan vaikuttavia tekijöitä REAKTIOT JA TASAPAINO, KE5 Tasapainotilaan vaikuttavia tekijöitä Fritz Haber huomasi ammoniakkisynteesiä kehitellessään, että olosuhteet vaikuttavat ammoniakin määrään tasapainoseoksessa. Hän huomasi,

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 9 /

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 9 / ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 9 / 14.11.2016 v. 03 / T. Paloposki Tämän päivän ohjelma: Vielä vähän entropiasta... Termodynamiikan 2. pääsääntö Entropian rooli 2. pääsäännön yhteydessä

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle.

Jos olet käynyt kurssin aikaisemmin, merkitse vuosi jolloin kävit kurssin nimen alle. 1(4) Lappeenrannan teknillinen yliopisto School of Energy Systems LUT Energia Nimi, op.nro: BH20A0450 LÄMMÖNSIIRTO Tentti 13.9.2016 Osa 1 (4 tehtävää, maksimi 40 pistettä) Vastaa seuraaviin kysymyksiin

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

RAK Statiikka 4 op

RAK Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Teoreettisen viitekehyksen rakentaminen

Teoreettisen viitekehyksen rakentaminen Teoreettisen viitekehyksen rakentaminen Eeva Willberg Pro seminaari ja kandidaatin opinnäytetyö 26.1.09 Tutkimuksen teoreettinen viitekehys Tarkoittaa tutkimusilmiöön keskeisesti liittyvän tutkimuksen

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Noudatat uutta opetussuunnitelmaa vain silloin, jos opiskelusi lukiossa alkaa (tai sen jälkeen)!

Noudatat uutta opetussuunnitelmaa vain silloin, jos opiskelusi lukiossa alkaa (tai sen jälkeen)! KANGASNIEMEN LUKIO / KÄYTETTÄVÄT OPPIKIRJAT LV. 2016 17 Noudatat uutta opetussuunnitelmaa vain silloin, jos opiskelusi lukiossa alkaa 11.8.2016 (tai sen jälkeen)! Käytettävä kirja Kurssi ISBN Kustantaja

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa.

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Valintakoe 2016/FYSIIKKA Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Boltzmannin vakio 1.3805 x 10-23 J/K Yleinen kaasuvakio 8.315 JK/mol

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Ratkaisu. Tarkastellaan aluksi Fe 3+ - ja Fe 2+ -ionien välistä tasapainoa: Nernstin yhtälö tälle reaktiolle on:

Ratkaisu. Tarkastellaan aluksi Fe 3+ - ja Fe 2+ -ionien välistä tasapainoa: Nernstin yhtälö tälle reaktiolle on: Esimerkki Pourbaix-piirroksen laatimisesta Laadi Pourbaix-piirros, jossa on esitetty metallisen ja ionisen raudan sekä raudan oksidien stabiilisuusalueet vesiliuoksessa 5 C:een lämpötilassa. Ratkaisu Tarkastellaan

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen

Lisätiedot

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Huomioi, että muutokset ovat vielä mahdollisia. Lisätietoja kurssien opettajilta. OPPIAINE KURSSI OPPIKIRJA KUSTANTAJA ISBN BIOLOGIA BI

Huomioi, että muutokset ovat vielä mahdollisia. Lisätietoja kurssien opettajilta. OPPIAINE KURSSI OPPIKIRJA KUSTANTAJA ISBN BIOLOGIA BI Haminan lukion oppikirjat lukuvuonna 06-07, opetussuunnitelma otettu käyttöön 00 Huomioi, että muutokset ovat vielä mahdollisia. Lisätietoja kurssien opettajilta. OPPIAINE KURSSI OPPIKIRJA KUSTANTAJA ISBN

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

Fraktaalit. Fractals. Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. 1 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit

Fraktaalit. Fractals. Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. 1 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit Fraktaalit Fractals Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.-7.10.2012 1 / 8 R. Kangaslampi Fraktaalit Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

NAANTALIN LUKION OPPIKIRJALUETTELO LV. 2016/2017

NAANTALIN LUKION OPPIKIRJALUETTELO LV. 2016/2017 NAANTALIN LUKION OPPIKIRJALUETTELO LV. 2016/2017 Kysykää painettujen kirjojen ja digikirjojen pakettitarjouksia! AINE ÄIDINKIELI 1-3 Jukola Tekstioppi, Sanoma Pro 1 Jukola 1, Sanoma Pro 2 Jukola 2, Sanoma

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 /

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 / ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 / 31.10.2016 TERVETULOA! v. 02 / T. Paloposki Tämän päivän ohjelma: Virtaussysteemin energiataseen soveltamisesta Kompressorin energiantarve, tekninen

Lisätiedot

2. Prosessikaavioiden yksityiskohtainen tarkastelu

2. Prosessikaavioiden yksityiskohtainen tarkastelu 2. Prosessikaavioiden yksityiskohtainen tarkastelu 2.1 Reaktorit Teolliset reaktorit voidaan toimintansa perusteella jakaa seuraavasti: panosreaktorit (batch) panosreaktorit (batch) 1 virtausreaktorit

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot