3 Lämpölaajaneminen ja tilanyhtälöt

Transkriptio

1 Läölaajaneinen ja tilanyhtälöt Läölaajeneinen POHDI J ETSI - a) Kaksisetalliläöittarissa n liitetty yhteen kaksi eri ateriaalista valistettua etalliliuskaa, jtka läölaajenevat eri tavalla Kska tinen laajenee eneän, liuska taiuu Läöittariasteikk laaditaan kkeellisesti Kaksisetalliliuskaa käytetään terstaateissa b) utiaassa äivän ja yön väliset läötilaert vat suuria Läön jhtuinen kivessä vaikuttaa raautuiseen Läötilaersta jhtuen kiven intakerrs laajenee alla levaa kerrsta neain Näin syntyy kerrsten välille jännite, jta kivi ei kestä, ja kivi raautuu c) Pull halkeaa, kska jäätyessään virvitusjuan (jka n lähes kknaan vettä) tilavuus kasvaa - a) esi alkaa jäätyä utken sisällä utken reunista alkaen, ja jäästä udstuu tula utken sisälle Pakkasen edelleen kiristyessä jäätulan halkaisija ienenee eneän kuin utken sisähalkaisija ja vettä ääsee virtaaaan lisää jäätulan yärille Tällöin utki jäätyy täysin ueen Pakkasjaksn jälkeen läötila khaa Tällöin jää läölaajenee viakkaain kuin etalliutki ja utki halkeaa Usein vesijhtutket n valistettu uvista, jka justaa arein kuin etalli Muviutket vat yös itkäikäisiä b) Satelliittien suunnittelussa n tettava huin läölaajeneinen Kun satelliitti n Maan varjssa, sen innan läötila n aljn alhaisei kuin sen liikkuessa uringn ulella - a) Läölaajeneista n yritty estäään entistä jäykeällä raiderakenteella ja kiskjen kiinnittäisellä jusella rataölkkyihin Myös alustassa n siirrytty käyttäään seeliä sran aseasta Rakenteen takia raiteissa n helteellä uristusjännitystä ja akkasella vetjännitystä b) Syynä n llut junien neuksien kasvu Uusi raidetyyi vähentää sekä kalustn että raiteiden hulta anhissa raiteissa liitskhdat kuluivat neasti sain kuin kalust "klkatessaan" liitskhtien yli Myös atkustusukavuus n arantunut c) Tällöin raiteisiin tulee vuden aikana lähinnä vetjännitystä, kska uina aikina läötila n alhaisei ja raiteiden ituus ienenee Näin raiteet ysyvät surina kaikkina vudenaikina 8

2 -4 Js heilurin varsi valistetaan yhdestä ateriaalista, läötilan uuttuessa yös heilurin ituus uuttuu Läötilan alentuessa heiluri sekä heilahdusaika lyhenevät ja kell edistää Kun heilurin varsi valistetaan rakenteellisesti ikein kahdesta hyvin valitusta ateriaalista, läötilan uuttuessa ituuksien uutkset kuavat tisensa ja kell käy tarkasti -5 a) = ( γ t) + Δ, jsta saadaan = + γδ t = γδ t Δ = γδ t, jssa = dl Kyseessä n ( Δt, Δ) -krdinaatistssa esitettynä rign kautta kulkeva sura, jnka kulakerrin n γetanli = dl γetanli b) Js ainetta lisi,5 dl, lisi kulakerrin γetanli =, 5 dl γetanli eli sura lisi jyrkei kuin a)-khdassa c) Js ullssa lisi vettä, kulakerrin lisi γvesi =, 5 dl γvesi eden tilavuuden läötilakerrin n γ vesi =, K Etanlin tilavuuden läötilakerrin n suurei kuin veden, γ etanli =, K Js ullssa lisi vettä, kulakerrin lisi ienin kaikista näistä klesta eli tää sura lisi livin TEHTÄIEN RTKISUJ -6 a) Uusi ituus n 6 l = l ( + αδ t) = 9 ( + 6,8 9 K) 9 K b) Tuls n liian suuri iha ikea tuls + C C 4, Pituuden uuts n 6 Δ l = αlδ t =,7 /K 4, K,9 Läötilassa C saataisiin ittaustuls 4,,9 4,9 9

3 -7 luiinin ituuden läötilakerrin n 6 6 α =, =, K C Kun kiinteä kaale laajenee, sen ut säilyy, kuten valkuvaa suurennettaessa Näin llen yös levyssä leva reikä laajenee yhtä aljn kuin reiän kkinen levy laajenisi Uusi halkaisija vidaan siis laskea ituuden läötilakerrinta käyttäen 6 l = l ( + αδ t) = 5, c ( +, 8 C) 5, c C -8 Lasketaan uudet tilavuudet Raudan tilavuuden läötilakerrin n 6 γ = α =,7 /K bensiini 4 = ( + γδ T) = 45, d ( + 9,5 /K K) 46,6 d tankki = ( + γδ T) = 45, d ( +,7 /K K) 45, d Bensiiniä valui aahan = 46,6 d 45, d,8 d =,8 l 6-9 = ( γ T) + Δ, jsta saadaan = + γδ T = + αδ T 6 = + 6,8 /K 77 K,9 Tilavuus kasvaa,9 % - Täydennetään taulukka Lasketaan läötiljen uutkset Läötilan uuts n Δ t = t 8, C t/ C 8, 8, 9, 49,5 57, Δ t / C 9,8,8 4, 49, Δ l /,,,6,47,57, Esitetään krdinaatistssa ituuden uuts Δ l läötilan uutksen Δt funktina (ertaa yhtälöitä y = kx ja Δ l = lαδ t Edellisen 4 5 Δy l yhtälön kulakerrin n k = ja jälkiäisen l α = Δ Js jnkin tehtävän ratkaisussa tarvitaan kahden suureen suhdetta, se vidaan usein äärittää Δ x Δ t iirrksen kulakertiesta) Yhtälöstä Δ l = lαδ t saadaan Δl Δl α = = l Δt l Δ t,6,4 C

4 Pituuden läötilakerrin vitaisiin laskea, js tiedettäisiin edellisessä yhtälössä levan urtlausekkeen arv Juuri sitä varten esitetään krdinaatis- Δl Δt tssa ituuden uuts läötilan uutksen funktina Saadun suran kulakerrin n tarvittava urtlauseke Kuvaajasta saadaan fysikaalisena kulakertiena ΔΔ ( l),6 = ΔΔ ( t) 5 C Tisaalta yhtälössä Δ l = lαδ t kulakerrin n l α Merkitään tää yhtä suureksi kuin kuvaajasta saatu kulakerrin,6 lα =, jsta saadaan 5 C,6,6 5 α = =, l 5 C 98 5 C C - kselin halkaisija kasvaa läötilan kasvaessa: 6 Δ l = αlδ t = / C 65, 75 C, kseli li, aliittainen - Läötilan alentuessa tilavuus uuttuu ja assa ysyy saana Uusi tilavuus n = γδ T = ( γδ T) = (,8 /K 7, K) ρ,995 = =,5 =,5 54 kg/,995 uusi 6 kg/ - a) eden läölaajeneinen ei le tasaista b) eden ain n suurin sillin, kun sen tiheys n suurin eli läötilassa 4 C c) Järven hjalla n vettä, jnka tiheys n suurin, eli hjalla n läötilaltaan 4 C -asteista vettä Näin talvella järvet eivät jäädy hjaa yöten

5 -4 a) Ensiksi ääritetään tyhjän itkäkaulaisen ulln assa Sitten kaadetaan ulln nestettä siten, että se ulttuu ulln kaulan alasaan asti Piirretään viiva nesteinnan khdalle Punnitaan ull, jssa n nestettä Mitattujen assjen ertuksesta saadaan nesteen assa Kun nesteen tiheys tiedetään, saadaan nesteen tilavuus ittauksen alkutilanteessa: = ρ Pull utetaan vesihauteeseen siten, että nesteinta n vesihauteen innan alla Tään jälkeen itataan läöittarilla nesteen alkuläötila Läitetään vesihaudetta hitaasti ja kirjitetaan uistiin uusi läötila sekä laajentuneen nesteen uusi innan krkeus Ktaan taulukkn ittaustulksia Lasketaan kutakin läötilaa vastaava läötilan uuts Esitetään nesteinnan krkeus läötilan uutksen funktina krdinaatistssa Δh b) Krdinaatiststa saadaan kulakerrin ΔΔ ( t) Tilavuuden uutkselle saadaan yhtälöari Δ = Δh, jsta saadaan Δ h= γ Δ = γ Δ Δ t t Ratkaistaan krkeuden uutksen ja läötilan uutksen suhde, jllin saadaan Δ h γ = Δt Tää suhde n yhtä suuri kuin krdinaatistssa levan suran kulakerrin Näin saadaan yhtälö, jsta vidaan ratkaista tilavuuden läötilakerrin Δh γ = Δt Murtlausekkeen sittaja saadaan krdinaatistesityksestä Näin vidaan enetellä, js letetaan, että lasiulln tilavuuden uuts n ieni Tilavuus n = 5,6 l ja ulln kaulan sisähalkaisija d = 5,5 Oletetaan, että ulln tilavuuden uuts n ieni Nesteen tilavuuden uuts n Δ = h= γδ t, jsta saadaan nesteen nusukrkeus γ h= Δ t Esitetään ittaustulkset ( Δth, )-krdinaatistssa, jllin iirretyn suran γ fysikaalinen kulakerrin n Δy (ert suran y = kx kulakerrin (x, y)-krdinaatistssa n k = ) Δ x

6 t/ C,,9 5,9 9,,9 5, Δt/ C,9 5,9 9,,9 5, h/ 8, 58,5 8,8 4,8 49, Kuvaajan fysikaaliseksi kulakertieksi saadaan Δh, = = ΔΔ ( t),4 C,4 C Merkitään,97/ C 5 5 h γ = tilavuuden läötilakertieksi γ =,97/ C,97/ C, jsta saadaan π (,575) 4 =,97/ C 8, 6 5,6 C t 5 5 C Kaasujen tilanyhtälöt POHDI J ETSI -5 Englantilainen Rbert Byle julkisti lakinsa vunna 66 Ranskalainen Ede Marritte keksi saan lain 7 vutta yöhein -6 Js letetaan, että ilan läötila ysyy vakina, vidaan sveltaa Bylen lakia Ilanaine ienenee ylösäin nustessa Näin llen saiuakulan khtessa sen tilavuus kasvaa -7 a) Paine kasvaa kaksinkertaiseksi, kun tilavuus ienenee uleen alkueräisestä Tuln arv n vaki, kun läötila n vaki b) Paine kasvaa viisinkertaiseksi, kun tilavuus ienenee viidessaan alkueräisestä -8 Pienissä aineissa ila ja vety nudattavat Bylen lakia klen erkitsevän nuern tarkkuudella ielä sadan baarin aineessa ert vat vain uutaia rsentteja, utta tuhannessa baarissa ikkeaat vat suuria

7 TEHTÄIEN RTKISUJ -9 Bylen laista = saadaan,9 bar,l = = 6,l,bar - Bylen laista = saadaan MPa 4, d = = 4, 4, MPa - Lasketaan käytetyn kaasun tilavuus bar:n aineisena Bylen lakia vidaan sveltaa, kska läötilan uuts n ieni =, jsta saadaan, bar 5 d = =,455 d bar ähennetään tää alkueräisestä tilavuudesta: 4, d,455 d 9,5 d Tää kaasuäärä laajenee tilavuuteen 4, d, jta vastaava aine lu lasketaan Tässä rsessissa alkuaine n alku = bar ja alkutilavuus astaavasti lutilavuus n lu = 4, d lu =? akualku = lulu, jsta saadaan akualku bar 9,5 d lu = = 9 bar 4 d lu alku = 9,5 d - Bylen laista = saadaan 6 kpa 6, = = = 4, 54 kpa Tilavuus ienenee Δ = = 6, 4, - Bylen lain ukaan = = : ρ ρ ρ,8 MPa,9 kg/ =, jsta saadaan ρ = =,6 kg/ ρ,kpa ρ 4

8 TEHTÄIEN RTKISUJ -4 a) (T, )-kuvaaja n sura Tällöin n viassa lineaarinen riiuvuus ~T eli Gay-Lussacin laki ätee b) Suran itäisi leikata T-akseli absluuttisessa nllaisteessä Nyt se leikkaa T-akselin khdassa 5 K Kyseessä n jkin systeaattinen ittausvirhe l,4,5,,5,,5,, T K -5 Tilavuus = 4,5 l Massaksi saadaan kg = ρ =,9,45 5,8 g Keuhkissa ilan läötila n 7 C = K ρ Kska aine ysyy vakina, saadaan = ja edelleen ρ =, T T T T jsta saadaan = : ρt ρt Kska ilan assa ysyy nyt vakina, vidaan uusi tiheys ratkaista yhtälöstä ρ T = ρ T ρt,9 kg/ 7 K = =, kg/ T K ρ 5

9 -6 a) Lukan ilan assa n = ρ =,9 kg/ 8,5,7 =,9 kg/ 5 kg b) Tilavuus alussa n = 5 T 5 98 K = = 57 T 9 K Δ = 5, -7 Paine ysyy vakina sir keuhkt = T T sir T keuhkt K, l keuhkt sir keuhkt = = Tsir 9 K, 4 l -8 Paine ysyy vakina Sillin =, jten T = T Sijittaalla T T lukuarvt saadaan 75 K = 55 K 55 K =,97 75 K Kska,97 =, 7, saadaan tulkseksi, että tilavuus ienenee 7, % -9 Uusi tilavuus n =,67 T 7 K,67 =, jsta saadaan T = = = 8 K = 9 C T T - Kska aine n vaki, saadaan, eli, jsta saadaan eli T T T = ρ T T = ρ ρ ρ T ρt = ρ T = - Tdellinen aine renkaassa n = +,9 MPa =,kpa +,9 MPa = 9,kPa Oletetaan, että renkaan tilavuus ei uutu 9, kpa 98 K = 58 K 6 kpa = 6 kpa, kpa, 4 MPa 6

10 POHDI J ETSI - Renkaan aine ienenee, kska läötila laskee - a) Ilaalln tilavuus ienenee, kska läötila laskee b) Pulln tilavuus kasvaa, kska läötila khaa -4 Kska aja hiean läiää, ajasta virtaa ulsäin eneän ilaa kuin tulee sisäänäin -5 Kulan tilavuus kasvaa, kska kulaan khdistuva hydrstaattinen aine ienenee kulan nustessa intaa khti -6 asealla levat krdinaatistt: Bylen laki Oikealla ylhäällä: Gay-Lussacin laki Oikealla alhaalla: Charlesin laki -7 Ideaalikaasun tilanyhtälöä jhdettaessa letetaan, että kaasulekyylit vat vurvaikutuksessa keskenään ainastaan täysin kiisissa töräyksissä tistensa tai astian reunaien kanssa ja kaasulekyylit vat isteäisiä Tdellisuudessa kaasulekyylien välillä n heikkja an der Waalsin vurvaikutuksia Nää vurvaikutukset vat sitä suureia, itä tiheäää kaasu n Kun läötila khaa riittävästi, saattavat lekyylien töräykset aiheuttaa kaasulekyylien inisituista ja hajaista Mitä tiheäää kaasu n, sitä eneän yös kaasulekyylien kk vaikuttaa niiden käyttäytyiseen Myöskään hyvin alhaisissa läötilissa kaasut eivät käyttäydy ideaalikaasun tavin Esierkiksi ilakehän taauksessa kaasun aineeseen vaikuttaa yös kaasuatsaan krkeus Ilanaine ienenee ilakehässä ylösäin siirryttäessä Ideaalikaasun tilanyhtälö kuvaa varsin hyvin tdellisten kaasujen käyttäytyistä, kun lsuhteet vat lähellä NTP-lsuhteita ja tarkasteltavat kaasuäärät vat verraten ieniä utta kuitenkin akrskisia -8 a) vnaisesta akasteiden säilytysaikasta aiheutuu aina lisäkustannuksia suljettuun säilytysaikkaan verrattuna Kaujen akastealtaat vat vaakasuria Kylä ila n tiheäää kuin läin ila, jten kylä ila ysyy altaissa Siksi ilavirtaus yäristöstä altaiden hjalle n elk vähäistä Js kdin akastekaain vi aukeaa sivusuuntaan, heti avaaisen jälkeen huneilaa tiheäi kylä ila valuu kaaista is ja kaaiin ääsee kylän ilan tilalle läintä huneilaa b) luiinikangas vähentää erkittävästi ilan kierta ja saalla läösäteilyn ääsyä yäristöstä akasteisiin 7

11 TEHTÄIEN RTKISUJ -9 Kaasujen yleisestä tilanyhtälöstä = saadaan T T T -6, kpa 75 K = = -6,5 MPa T 9 K -4 Tarkastellaan tiettyä kaasuäärää, jnka assa ysyy vakina Tiheyden ääritelästä ρ = saadaan kaasun alkutilavuudeksi = ρ ja lutilavuudeksi =, jtka sijitetaan kaasun yleiseen tilanyhtälöön ρ = T T Tällöin saadaan = Tρ Tρ Ratkaistaan tiheys ρ T ρ 7 K 5 bar, 9 kg/ ρ = =,87 kg/ T K bar -4 Ideaalikaasun tilanyhtälöstä = nrt saadaan, MPa 4, d n = = RT bar d,84 9 K l K bar 4, d = = 66 l bar d,84 9 K l K l,4 d jten 66 l 66,4 d = 78 d = ρ =, 4 g/d 78 d 5, kg 5 g -4 Haikaasun aineäärä n = =,94 l M g/l Kska = nr, T nrt,94 l,845 bar d /Kl K saadaan = = 55 d 4,96 bar 5 kpa 8

12 -4 Tarkastellaan kaasujen yleistä tilanyhtälöä =, jsta saadaan T T 9 K,6 T T = = =,8 K 4 C -44 Jtta ittaustulkset vitaisiin esittää, -krdinaatistssa, täydennetään taulukka /kpa ,9 78,5 /c,, 4, 5, 6, 7, 8, / c,5,,5,,7,4, Läötila T = ( + 7) K = 95 K, ja aineäärä n n =, 6 l kpa = 4, 6, = 4, c c c,,,,4,5,6,7,8,9 = nrt, jsta saadaan = nrt c Edellisessä yhtälössä nrt n (, )-krdinaatistn iirretyn suran kulakerrin (ertaa (x, y)-krdinaatistn iirrettyyn suraan y = kx, jssa k n kulakerrin) Kuvaajan kulakerrin n Δ 55 kpa = 646 kpa c Δ,4 c 9

13 Kirjitetaan 646 kpa c = nrt, jsta saadaan 646 kpa c R = nt Läötila T = ( + 7) K = 95 K ja aineäärä n n = 646 kpa c =,6 l 95 K N 646 = -,6 l 95 K J 8, 4 l K,6 l Δ -45 Ilan laajetessa sylinterin äntä nusee atkan Δh =, jssa Δ n ilan tilavuuden lisäys Oletetaan, että kyseessä n suljettu systeei Sylinterissä ilan kknaisaine n ulkilan aineen ja kurasta aiheutuvan aineen sua eli F g 45 kg 9,8/s = + = + =, bar , N/ +, N/ =, N/ =,bar Sylinterissä n ilaa 8, g, ja sen aineäärä n 8,g n = =,759l M 9, g/l Prsessia vidaan itää isbaarisena Käytetään kaasujen yleistä tilanyhtälöä = nrt, jsta saadaan nrt = Tilavuuden uuts Δ n Δ = nrt nrt nr = = T T ( ) Sijittaalla tilavuuden uuts Δ nusuatkan Δ Δh = yhtälöön saadaan ännän nusuatkaksi,759 l,84 bar d Δ nr Δ h= = ( T l K T) = 75K, bar,d a) tilanne ) = eli hai = tyi = +, jsta hai tyi ( + ), bar +, bar hai tyi = = =,bar 4

14 tilanne ) = + hai tyi ( + ), bar +, bar hai tyi = =,bar b),5l =,4 MPa +, MPa,6 MPa,l -47 a) = nrt, jsta saadaan n = RT, kpa, =,4 l J 8,45 9 K l K Massa n kg = ρ =,9,, g b) Bylen laki n vaki, jsta uudeksi tilavuudeksi saadaan, 4 Tarkastellaan nraaliaineista ilaa (NTP), jnka tilavuus n alussa yksi litra Tilavuutta suurennetaan =, kpa, = = = -, Pa 4-48 =, jsta saadaan T T T bar 68,5 K = =,47 T 7 bar 88 K Tilavuus kasvi nin 5 % TEST, OSTKO astaukset: b c b 4 b 5 c 6 a 7 b 8 c 9 bc c 4