Koska Box Jenkins-malleja on käsitelty kurssilla Mat Ennustaminen ja aikasarjaanalyysi, ei työohjeessa esitellä ARIMA-mallien perusasioita.
|
|
- Juha Haapasalo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat Systeemianalyysilaboratorio I Laboratoriotyö 2: Aikasarja-analyysi Aikasarja on joukko peräkkäisiä, toisistaan riippuvia havaintoja. Aikasarja-analyysin tavoitteena on kuvata, selittää, ennustaa ja mahdollisesti ohjata aikasarjan tuottanutta prosessia. Ehkä suosituin lähestymistapa aikasarja-analyysiin on Box-Jenkins -menetelmä, jossa tarkastellaan erästä lineaaristen stokastisten mallien luokkaa. Työssä rakennetaan kyseisellä menetelmällä sähkön kulutukselle malli. Mallilla ennustetaan seuraavan vuorokauden sähkön kulutusta. Sähkön hankinta optimoidaan ennusteeseen perustuen. 1 Box-Jenkins-malleista Koska Box Jenkins-malleja on käsitelty kurssilla Mat Ennustaminen ja aikasarjaanalyysi, ei työohjeessa esitellä ARIMA-mallien perusasioita. 1.1 SARIMA-mallit Mikäli datassa on kausivaihteluja, siirrytään Seasonal ARIMA- eli SARIMA-malleihin. Kausivaihteluita sisältävässä mallissa käytetään kausivaihtelun pituisen viiveen päästä otettuja suureen ja kohinan arvoja selittämään tämänhetkistä suureen arvoa. ARIMA-malli voidaan ymmärtää kausivaihtelumallin erikoistapaukseksi, jossa kausivaihtelun pituus on yksi. Käytetään ARIMA(p,d,q)-mallille seuraavaa notaatiota: Φ p (B) d z t = Θ q (B)a t, (1) missä z t on mallitettava suure, a t on valkoista kohinaa, viiveoperaattori Bz t = z t 1, = (1 B) ja polynomit Φ p (B) = (1 φ 1,1 B φ 1,2 B 2... φ 1,p B p ) ja Θ q (B) = (1 θ 1,1 B θ 1,2 B 2... θ 1,q B q ) sisältävät mallin parametrit. Data määrää kertaluvut p, d ja q. Yleensä d = 1. Käytännössä mallin AR- ja MA-osiin otetaan tilastollisesti merkitsevät parametrit, ellei ole erityistä syytä muuhun. On tietysti mahdollista, että jokin parametreistä p,d tai q on nolla, jolloin aito ARIMA-malli redusoituu ARMA-, ARI- tai IMA-malliksi. Mikäli kausivaihtelun pituus on s, käytetään ARIMA(P,D,Q)-mallia Φ P (B s ) D s z t = Θ Q (B s )a t, (2) missä viiveoperaattori B s z t = z t s, operaattori s = (1 B s ) ja polynomit Φ P (B s ) = (1 φ s,1 B s φ s,2 B 2s... φ s,p B Ps ) ja Θ Q (B s ) = (1 θ s,1 B s θ s,2 B 2s... θ s,q B Qs ) sisältävät mallin parametrit. On syytä huomata, että varsinkin jos viive s on pitkä datan kokonaispituuteen nähden, ei edes ole mahdollista käyttää kertaluvuille P, D ja Q suuria
2 arvoja, vaan käytännössä usein P=D=Q=1. Voi myös käydä niin, että P tai Q saa arvon nolla, jos viiveen s päässä olevat suureen tai kohinan arvot eivät ole merkittäviä selittäjiä. Jos datassa on useita kausivaihteluita, päädytään multiplikatiiviseen ARIMA(p,d,q) x (P,D,Q)-malliin eli kausivaihtelut jaksoilla 1 ja s johtavat malliin Φ p (B)Φ P (B s ) d D s z t = Θ q (B)Θ Q (B s )a t (3) missä merkinnät kuten edellä. Tässäkin on mahdollista, että jokin tai jotkin parametreistä p, d, q, P ja Q ovat nollia ja usein d=1 ja P ja Q ovat pieniä, ainakin jos viive on pitkä. Yleisesti kausivaihtelu viiveillä s 1, s 2,..., s i, johtaa multiplikatiiviseen malliin jossa on differoinnit viiveillä s 1, s 2,..., s i, AR-osassa polynomit Φ p1 (B s 1 ), Φ p2 (B s 2 ),..., Φ pi (B s i ) ja MA-osassa polynomit Θ q1 (B s 1 ), Θ q2 (B s 2 ),..., Θ qi (B s i ). Esimerkiksi seuraavassa mallissa on kaksi kausivaihtelua, viikkovaihtelu ja vuosivaihtelu, (1 φ 7,1 B 7 φ 7,2 B 14 φ 7,3 B 21 ) z t = (1 θ 7,1 B 7 θ 7,2 B 14 )a t. (4) Siis s 1 =7, p 1 =3, d 1 =1, q 1 =2, s 2 =365, p 2 =0, d 2 =1, q 2 = Mallien identifiointi Tarkasteltavan ilmiön kuvaamiseen käytettävän SARIMA-mallien luokan valinnan jälkeen tehtävänä on määrittää mahdollisten kausivaihteluiden pituudet ja kertaluvut sekä kertaluvut p, d ja q. Lineaarisesti kasvava tai vähenevä trendi poistetaan differoimalla aikasarjaa. Käytännössä differointien kanssa on kuitenkin syytä olla varovainen, sillä signaali kohina-suhde saattaa differoitaessa olennaisesti heikentyä, varsinkin kohinaisessa datassa. Mikäli kuitenkin AR(1)-parametrin φ 1 estimaatti mallissa (1 φ 1 B)z t = a(t) on hyvin lähellä ykköstä (> 0.9), differointia voidaan yleensä pitää perusteltuna. Kausivaihtelun tunnistamisessa käytetään hyväksi a priori -tietämystä mallitettavasta prosessista. Usein esiintyviä jaksoja ovat vuorokausivaihtelu, viikkovaihtelu ja vuosivaihtelu. Kausivaihtelumallien käyttöä on harkittava erityisen huolellisesti silloin, kun kausivaihtelun pituus on suuri aikasarjan pituuteen nähden, sillä differointi pitkällä viiveellä syö dataa. Myös s -operaation järkevyyttä voi testata sovittamalla dataan vastaava (1 φ s B s )-malli ja katsomalla kuinka lähellä parametrin φ s estimaatti on ykköstä. Matemaattisista identifioinnin apuvälineistä tärkeimmät ovat autokorrelaatio, osittaisautokorrelaatio ja käänteinen autokorrelaatio. Ne kaikki kuvaavat suureen korrelaatioominaisuuksia itsensä suhteen eripituisilla viiveillä. Autokorrelaatio r k on suureen kovarianssi itsensä kanssa viiveellä k jaettuna r 0 :lla eli varianssilla: r k = E[(z t µ)(z t+k µ)] (5) σz 2 Vaimeneva autokorrelaatio viittaa AR-osaan ja yksittäiset piikit MA-osaan. Jos yksittäisiä, vaimenevia piikkejä esiintyy viiveen s välein, kysymys on luultavasti kausivaihtelusta.
3 Osittaisautokorrelaatiot saadaan autokorrelaatioista ratkaisemalla ns. Yule-Walkerin yhtälöt ( Pindyck & Rubinfeld 3. painos (PR3) kaava (16.46) sivulla 484, 4. painos (PR4) kaavat ja 17.40, s. 531.). Osittaisautokorrelaatio viiveellä p kuvaa sitä, kuinka p ajanhetkeä taaksepäin oleva suureen arvo selittää tämänhetkistä suureen arvoa, kun muiden viiveiden selittävä osuus on poistettu. Selvästi nollasta poikkeavat osittaisautokorrelaatiot viiveeseen p 1 asti viittaavat siihen, että AR-osan kertaluku on ainakin p 1. Yksittäiset nollasta poikkeavat osittaisautokorrelaatiot puolestaan voivat liittyä kausivaihteluun ja johtaa multiplikatiiviseen malliin. Käänteinen autokorrelaatio on nk. duaalimallin autokorrelaatio. Alkuperäiselle primaalimallille Φ(B)w t = Θ(B)a t voidaan siis muodostaa duaalimalli Θ(B)z t = Φ(B)a t, jonka autokorrelaatiofunktioita tarkastellaan. Jos primaalimalli on puhdas AR(p)-prosessi, duaalimalli on puhdas MA-prosessi eli käänteiseesä autokorrelaatiofunktiossa nähdään yksittäinen piikki viiveellä p. Jos taas primaalimalli on puhdas MA-prosessi, duaalimalli on puhdas AR-prosessi ja käänteiset autokorrelaatiot vaimenevat. Jos primaalissa on mukana sekä AR- että MA-osa, myös duaalimalli on aito ARMA-malli, jonka käänteiseen autokorrelaatioon ilmestyvät sekä AR-osan generoimat yksittäiset piikit että MA-osan vaimenevat piikit. Duaalimallia on käsitelty esim. SAS-manuaalin sivulla Mallin diagnostiset tarkistukset Mallin testaus on olennainen osa mallitusprosessia. Mallin käyttötarkoitus vaikuttaa siihen, millainen testaus on järkevää. Jos mallia on tarkoitus käyttää ennustamiseen tutkitaan ex post ja mahdollisuuksien mukaan myös ex ante -ennustuksien hyvyyttä. Mallin hyvyyden arvioimiseen voidaan käyttää myös erilaisia tilastollisia testejä. On syytä aina tarkistaa, onko mallin generoima kohina riittävän satunnaista ja korreloimatonta. Residuaalien autokorrelaatiofunktion visuaalinen tarkastelu kertoo kohinan valkoisuudesta. Lisäksi käytetään nk. Portmanteau-testiä sen testaamiseksi, ovatko kohinan autokorrelaatiot riittävällä tarkkuudella nollia. (testisuure on esitetty PR3:n kaavassa (17.16)sivulla 505 ja PR4:n kaavassa (18.16) sivulla 555. Portmanteau-testissä lasketaan testisuureen arvoja eri K:lla.) 1.4 Aikasarjamallin rakentaminen Box-Jenkinsin menetelmällä 1. Identifioidaan kertaluvut. 2. Estimoidaan parametrit. 3. Suoritetaan diagnostiset tarkistukset. Jos malli ei ole hyvä, palataan kohtaan Käytetään mallia ennustamiseen, säätöön jne. Jos malli ei ole hyvä, palataan kohtaan 1 tai harkitaan jonkin muun malliluokan tai menetelmän käyttöönottoa.
4 2 Yrityksen sähkön hankinta Sähkömarkkinoiden vapautuminen on pohjoismaissa edennyt nopeammin kuin missään muissa maassa. Norjassa kaikki sähkönkäyttäjät ovat voineet valita sähköntoimittajansa vuodesta 1991 lähtien. Ruotsissa ja Suomessa sähkömarkkinat avautuivat vuosien 1995 ja 1996 aikana. Tällä hetkellä jokainen suomalainen ja ruotsalainen voi valita sähköntoimittajansa. Ehtona on kuitenkin, että asiakkaalle on asennettu tunneittaiset sähkön kulutukset rekisteröivä mittalaite. Tällaiset tuntikeruulaitteet ovat vielä suhteellisen kalliita (n mk). Jos asiakkaan sähkölasku on suhteellisen pieni, ei sähkön myyjien kilpailuttamisella aikaansaatu kustannussäästö ole riittävän suuri korvaamaan kalliin keruulaitteen hankintakuluja. Jotta kaikki sähkön käyttäjät voisivat kilpailuttaa energian hankintansa, käytetään pienten sähkönkäyttäjien sähkökaupassa ns. tyyppikulutuskäyriä, jolloin kalliilta mittari-investoinnilta vältytään. Ennen sähkömarkkinoiden vapautumista asiakas ei voinut optimoida sähkön hankintaansa. Nykyään monet suuret sähkön käyttäjät hankkivat sähkönsä useista eri lähteistä. Vapailla markkinoilla yrityksille on entistä tärkeämpää kyetä ennustamaan sähkön kysyntä ja tuleva hintakehitys. Riskejä minimoidaan erilaisilla sopimuksilla. Laboratoriotyön kohdassa 3.23 esitellään tyypillisiä sähkökaupan sopimuksia. Suomalaisilla sähkömarkkinoilla energiaa voidaan ostaa suomalaisesta sähköpörssi ELEX:stä, pohjoismaisesta sähköpörssi NordPool:ista, riippumattomilta sähkömeklareilta ja pienemmistä markkinapaikoista (esim. Voimatori Oy). Useimmat yritykset asioivat suoraan sähköpörssi ELEX:ssä, mutta sen sijaan NordPoolissa varsinkin pienemmät yritykset käyvät kauppaa meklarien välityksellä. Jokaisen sähkön käyttäjän (asiakas, sähkön myyjä, verkkoyhtiö jne.) pitää ilmoittaa viranomaisille taho, joka viime kädessä vastaa omilla resursseillaan kunkin sähkön käyttötunnin kysynnän ja tarjonnan tasapainosta. Kunkin asiakkaan ennakkohankintojen ja käyttötuntien toteutuneen kulutuksen välisen erotuksen toimittaa asiakkaalle hänen valitsemansa ns. avoin toimittaja, joka yleensä on sähkön myyntiyhtiö. Sähkön myyntiyhtiöiden taseesta vastaavaa sähköntuottajaa kutsutaan nimellä säätövastaava. Suomen kokonaissähkötaseen tasapainottamiseen tarvittavan säätösähkön markkinapaikkana on Suomen Kantaverkko Oy. Myös Kantaverkossa hintataso määräytyy kysynnän ja tarjonnan mukaan siten, että kukin tuottaja tai markkinaosapuoli, jolla on ylimääräistä kapasiteettia tarjoaa kantaverkolle tuotantoresurssejaan erilaisina kokonaisuuksina sopimaksi katsomallaan hinnalla ja Kantaverkko Oy hankkii sähköä aina halvimmista lähteistä. 3 Laboratoriotyö Tässä työssä käytetään aikasarjamallinnusta erään yrityksen sähkönkulutuksen mallintamiseen. Muodostetulla mallilla ennustetaan seuraavan vuorokauden kulutus ja ennusteeseen perustuen optimoidaan sähkönhankinta.
5 3.1 Esiselostustehtävä Tarkastellaan prosesseja (i) w t = (1 θb)(1 ΘB s )a t, s 3 (ii) (1 ΦB s )w t = (1 θb)(1 ΘB s )a t, s 3 missä w t = s z t. Millä viiveen k arvoilla prosessin autokorrelaatiofunktio r k = γ k /γ 0, missä γ k = E[w t w t+k ] saa nollasta poikkeavia arvoja? Perustele vastauksesi tarkastelemalla autokovarianssin γ k lauseketta. Piirrä autokorrelaatiofunktiot, kun s=24, θ = 0.8, Θ = 0.3, Φ = 0.5. Esiselostustehtävän ymmärtäminen on avuksi varsinaista työtä tehdessä, mutta voit kuitenkin aloittaa varsinaisen työn tekemisen yhtä aikaa esiselostustehtävän kanssa. Katso kurssin kotisivuilta, milloin esiselostustehtävä pitää viimeistään palauttaa. 3.2 Työtehtävät 1. Analysoi marras-joulukuulta 1997 mitattua yrityksen sähkönkulutusdataa. Päämääränäsi on löytää yrityksen sähkönkulutukselle hyvä SARIMAX-malli (SARIMAX = Seasonal ARIMA with external variable), missä mahdollisena ulkoisena selittäjänä on lämpötila. Tarkastele alkuperäistä aikasarjaa ja sen autokorrelaatio-, ristikorrelaatio- ja muita funktioita. Tutki aikasarjan stationaarisuutta ja kausivaihteluita. Esitä perustelut valitsemillesi differoinnille ja kausivaihteluiden pituuksille. Tutki differoidun aikasarjan korrelaatiofunktioita. Valitse AR- ja MA-osien kertaluvut käyttäen apuna korrelaatiofunktioita. Kokeile erilaisia vaihtoehtoja ja mieti syitä mallien ennustuskyvyn hyvyyteen. Perustele kaikissa vaiheissa tekemäsi ratkaisut. Koska lämpötilasignaali on jatkuvasti herättävä noin kertalukua yksi, lämpötilariippuvuus mallitetaan lineaarisena αt ulko. Pohdi kuitenkin, vaikuttaako ulkolämpötila viiveellä ja mistä mahdollinen viive voi johtua. Tutki, onko aikasarja oleellisesti nollakeskiarvoista vai tarvitaanko vakiotermi. Vertaa mallin antamia ex post -ennusteita toteutuneeseen kulutukseen. Analysoi poikkeamia ja tarkastele keskivirhettä. Käytä diagnostisia testejä (t-testi, χ 2 -testi) sekä korrelaatiofunktioita sen selvittämiseen, ovatko residuaalit valkoista kohinaa eli onko kaikki datan informaatio saatu mallitettua. 2. Tee valitsemallasi mallilla ennuste havaintojen jälkeisen vuorokauden (pe ) sähkön kulutukselle. Kukin pari palauttaa ennustamansa sähkönkulutuksen ja sen 95 % luottamusvälit Excel-tiedostona (ennexx.xls, missä XX on työparin numero) sähköpostitse assistentille. Assistentti vertaa kunkin ryhmän ennustamaa sähkönkulutusta toteutuneeseen kulutukseen sekä laskemalla neliöllisen virheen että graafisesti. Kuvat ennustetusta versus todellisesta sähkönkulutuksesta ja lasketut neliövirheet ilmestyvät kurssin
6 www-sivulle. Tässä malli perustuu usean viikon ehjään (ei puuttuvia havaintoja) dataan, mikä käytännössä on harvinaista, ja mallilla ennustetaan yksi vuorokausi eteenpäin. Mitä olisi otettava huomioon, jos mallilla haluttaisiin ennustaa pidemmälle tulevaisuuteen? Mihin olisi erityisesti kiinnitettävä huomiota, jos haluttaisiin ennustaa sähkönkulutusta lauantaille ? Esitä ehdotuksesi siitä, millaisia vaihtoehtoisia lähestymistapoja voitaisiin soveltaa sähkönkulutuksen ennustamiseen. 3. Laadi strategia kyseisen yrityksen sähköenergianhankinnalle klo Olet siis yrityksesi energiajohtaja. Eletään torstaita Kello on tasan 12 ja olet juuri palannut ruokatunniltasi Eteläranta 10:stä. Koska sähköpörssi sulkeutuu klo 16, seuraavan päivän sähkönhankintastrategia on ilmoitettava kaikille sähkömarkkinaosapuolille seuraavan neljän tunnin kuluessa. Sinun on hankittava kullekin sähkön käyttötunnille tarvittava määrä sähköä mahdollisimman halpaan hintaan. Yrityksesi toimitusjohtaja on sitonut henkilökohtaiset optiosi vuoden energiahankinnan onnistumiseen. Useissa sopimuksissa erotetaan päiväaika ja yöaika. Päiväaika käsittää (arkisin ma-pe) tunnit ja loppu on yöaikaa. Kaikissa hinnoissa on mukana siirtokustannukset eli tarvitsemasi sähkö toimitetaan mainittuun hintaan Suomen kantaverkkoon. Yrityksesi on mukana sähköpörssi ELEX:ssä, josta voit aina hankkia tarvitsemasi määrän sähköä. Huomaat ELEX:n päätteeltä, että seuraavana päivänä ELEX:ssä käydään paljon pieniä kauppoja ja hintatasosta ollaan yksimielisiä. Niinpä ELEX:n tunneittaiset hinnat voidaan olettaa jo kiinteiksi, kunhan myynti/ostotehosi ovat alle 100 MW tunnissa. Taulukossa 1 on esitetty ELEX:n tunneittaiset sähkön hinnat. Ostettaessa hintoihin on lisättävä ELEX:n välityspreemio, joka on 0,02 p/kwh. ELEX:iin myytäessä hinnoista on vähennettävä sama preemio.
7 Aikaleima Hinta [p/kwh] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4 Taulukko 1. ELEX:in tuntihinnat Yrityksesi käy kauppaa pohjoismaisessa NordPoolissa meklarin välityksellä. Meklari tarjoaa sinulle seuraavaksi päiväksi blokkituotetta, jossa ostat kunakin päivän tuntina määrän x p (t) ja kunakin yön tuntina määrän x y (t). (Huomaa, että päivätunnit Norjan aikaa klo vastaavat Suomen ajassa tunteja klo ) Päivähinta on 260 NOK/MWh ja yöhinta 169 NOK/MWh. Maksimissaan voit ostaa 50 MWh kunakin tuntina, joten maksimaalinen päiväosto on 750 MWh ja maksimaalinen yöosto on 450 MWh. Meklari ei osta sinulta sähköä. Mikäli päädyt ostamaan meklarilta sähköä, yrityksesi on maksettava sähkön hinnan lisäksi meklarisopimuksen sopimuspreemio, joka on kiinteät NOK riippumatta ostamasi sähkön määrästä. Dow Jones:n energiapäätteeltä saat NOK/FIM kurssin 1 NOK = FIM. Yrityksesi on suojannut Pohjoismaiset kassavirtansa ostamalla joukon OM:n valuuttajohdannaisia, joten Norjan kaupoissa ei ole valuuttariskiä. Yritykselläsi on myös kiinteä sopimus sähkönmyyntiyhtiö SVK:n kanssa. SVK:n sopimukseen on neuvoteltu seuraavat hinnat ja määrät. Perushintaa sovelletaan, kun ostat vähemmän kuin 40 MWh tunnissa. 40 MWh:n ylimenevästä osasta maksat huippuhintaa. Maksimaalinen ostoteho 70 MW tunnissa. Yöllä perushinta on 11,6 p/kwh ja huippuhinta 12,0 p/kwh. Päivällä perushinta on 20,0 p/kwh ja huippuhinta 20,3 p/kwh. Optimoi sähkönhankintasi Excelin Solverilla tai muulla vastaavalla optimointityökalulla.
8 Kun olet optimoinut hankintasi vastaamaan ennustamaasi kysyntää, täytä tunneittaiset ELEX:n ostosi ja myyntisi sekä tunneittaiset ostosi meklarilta ja SVK:ltä. Ilmoitus tehdään sähkömarkkinoiden ennakkoilmoituslomakkeella (Excel-pohja edixx.xls). Lähetä tiedosto sähköpostitse assistentille, joka välittää tiedot avoimelle toimittajallesi. Ennakkohankintasi ja kunkin käyttötunnin toteutuneen kulutuksesi välisen erotuksen tasaajaksi olet valinnut Assivoima Oy:n. Jos olet hankkinut sähköä enemmän kuin yrityksesi tarvitsee , Assivoima Oy ostaa ylimääräisen sähkön takaisin päiväaikaan hintaan ELEX:n tuntihinta - 4% ja yöaikaan hintaan ELEX:n tuntihinta - 3%. Vastaavasti jos olet hankkinut sähköä liian vähän, Assivoima Oy myy sinulle sähköä päiväaikaan hintaan ELEX:n tuntihinta + 5% ja yöaikaan hintaa ELEX:n tuntihinta + 4%. Jos et määräaikaan mennessä tilaa sähköä muilta toimittajilta, joudut maksamaan sähköstäsi yllämainitut hinnat. Avoimelta toimittajalta ostettava sähkö on siis kalliimpaa kuin etukäteen tilattu sähkö, mutta toisaalta saat keskimäärin ostohintaa huonomman hinnan myydessäsi ylijäävää sähköä eli joudut punnitsemaan vastakkain toisaalta sitä, että etukäteen ostamasi sähkö ei riitä ja toisaalta sitä, että olet etukäteen hankkinut liikaa sähköä, joista kummastakin koituu ylimääräisiä kustannuksia. Pohdi, millaista riskiasennetta valitsemasi sähkönhankintastrategia kuvastaa. Assistentti laskee kunkin työparin sähkönhankintastrategian kustannukset, kun otetaan huomioon, että sähköä on hankittava toteutuneen kulutuksen verran. Puuttuva sähkö siis ostetaan kantaverkosta ja ylijäävä sähkö myydään kantaverkkoon. Kunkin ryhmän strategian sähkönhankintakustannukset ilmestyvät kurssin www-sivulle. 3.3 Työselostus Jokainen ryhmä palauttaa esitehtävän ratkaisun ja työselostuksen kirjallisena SAL-käytävällä olevaan lokerikkoon sekä sähkönkulutuksen ennusteen (ennexx.xls) ja sähkönhankintastrategian (edixx.xls) sähköpostitse assistentille. Työselostuksen tulee sisältää vähintään: 1. kansilehti 2. sisällysluettelo 3. johdanto 4. aikasarjan analyysi aikasarjan ja sen korrelaatiofunktioiden analyysi perustelut differoinneille perustelut mallin parametrien valinnoille selostus siitä, millaisia malleja kokeilitte, mitä jätitte pois ja mihin lopulta päädyitte
9 diagnostisen testauksen suorittaminen valitulle mallille ja perustelut sille, miksi valittu malli on parempi kuin muut kuvia, jotka tukevat tekemiänne ratkaisuja seuraavan vuorokauden ennustettu kulutus 5. sähkönhankintasuunnitelma ja selvitys siitä, miten kyseiseen suunnitelmaan on päädytty sekä perustelut, miksi ratkaisu on optimaalinen 6. kommentit ja parannusehdotukset 7. liitteet oleelliset kuvat ja muut oleelliset SAS-tulostukset (ellei halua upottaa tekstin joukkoon) SAS-ohjelman listaus/listaukset, josta käy ilmi ryhmän itse tekemä osuus 3.4 Käytännön järjestelyt Kurssin aikataulu ja käytäännön järjestelyt on esitelty kurssin www-sivuilla. Sivuilla ilmoitetaan myös kaikista aikataulu- ym. viime hetken muutoksista ja annetaan tarvittaessa vinkkejä työn vaikeimpiin osiin. Käy tarkistamassa sivut säännöllisesti! Materiaali Työohjekansion voi lainata SAL-käytävältä kopiointia varten. Kansio on tarkoitettu pikalainaan. Kansion sisältö: Box & Jenkins -pruju (Seasonal Models) SAS-manuaalin ARIMA-osuus Ruusunen, J., Tietokonetuettu aikasarja-analyysi, Systeemianalyysin laboratorio, Teknillinen korkeakoulu, raportti B6, 1985, (prujuversio kansiossa) Lisämateriaali, josta voi olla hyötyä: Pindyck & Rubinfeld, erityisesti luku 19 Mat Ennustaminen ja aikasarja-analyysi -kurssin laskuharjoitukset ja luentomonisteet SAS-oppaat www:ssä Tietokone, ohjelmistot ja tiedostot SAS on monipuolinen tilastollisen analyysin ohjelmisto. Tässä työssä käytetään SAS/ETCohjelmapaketin ARIMA-aliohjelmaa. SAS-ohjelma pyörii CSC:n corona.csc.fi-tietokoneessa. Kullakin työparilla on oma käyttäjätunnus coronaan.
10 Tiedostot Sähkönkulutuksen mallitukseen kukin pari tarvitsee tiedostot sahko08.sas ja nov08.dat. Ennustus kirjataan tiedostoon ennexx.xls ja sähkönhankintastrategia tiedostoon edixx-.xls, jotka palautetaan sähköpostitse. Kaikki em. tiedostot löytyvät kurssin www-sivulta. Tiedostossa nov08.dat on 816 sähkönkulutusmittausta aikajaksolta ja 840 ulkolämpötilaa aikajaksolta Tarkoituksena on siis ennustaa sähkönkulutus pe , jonka lämpötilatiedot löytyvät tiedostosta. Tiedot ovat tiedostossa riveittäin järjestyksessä sähkönkulutus ja lämpötila. Havainnot ovat tunnin välein. Tiedostossa sahko08.sas on mallin rakentamisessa tarvittavan SAS-ohjelman pohja, jolla käsitellään kulutustietoja ja piirretään kuvia. Voit muunnella pohjaa tarpeen mukaan. Osa komennoista on pantu kommentteihin, joita merkitään SAS:issa seuraavasti: /* tämä on kommentti */. Poista käskyjä kommenteista jos ja kun tarvitset niitä. Huomaa, että kommentit eivät voi olla sisäkkäin. Excel-tiedostoissa enne.xls ja edi.xls on kummassakin keltainen ruutu, johon kukin työpari täydentää työparin numeron kahdella numerolla, siis pari 3 kirjoittaa 03. Enne.xlstiedostoon täydennetään myös parin nimet ja opintokirjan numerot. Tiedostot tallennetaan nimillä ennexx.xls ja edixx.xls, jossa XX on parin nimi. EnneXX.xls-tiedostoon täydennetään parin ennuste luottamusväleineen ja edixx.xls-tiedostoon sähkönhankintastrategia. SAS-ohjelmia voi editoida käyttämällä SAS:in program editoria. Useimpien ihmisten mielestä näppärämpi tapa on käyttää Emacsia. Editorin Locals-valikosta löytyvä Submitkomento ajaa ohjelman. SAS-ohjelmiston käytössä voi turvautua erilliseen ohjeeseen sekä SAS:in omaan hypertext-helppiin. Tekstitulostukset saa tallennettua File-valikon Savekäskyllä. Kuvat saa talletettua käyttämällä File-valikon Export-käskyä. On myös mahdollista käyttää xv:tä (kuvankaappausohjelma) tai tallettaa kuvat SAS-manuaalin kuvaamalla tavalla, mutta Export-komennolla saat talletettua kuvan suoraan sen kokoisena kuin se näkyy ruudulla, joten Export-komento lienee kätevin. Corona on CSC:n tietokone eikä se tunne koulun printtereitä, joten tulostettavat tiedostot täytyy siirtää ftp:llä työasemaan ja tulostaa sieltä lpr -komennolla. SAS-ikkunoita ei suljeta Close Window-komennolla, vaan ohjelmasta poistutaan valitsemalla Exit File-valikosta. SAS-ohjelma koostuu tietojen luvusta ja niiden käsittelystä. Luettu data ryhmitellään muuttujiksi, joista jokaisesta on useita havaintoja. Muuttujat ryhmitellään edelleen joukoiksi (Data set). Jos esimerkiksi on mitattu sähkönkulutus ja lämpötila tunnin välein vuoden ajalta, saadaan kolme muuttujaa: Aika (=mittaushetki), Sahko (=sähkön kulutus) ja Lampo (=mitattu lämpötila). Yhdessä nämä kolme muuttujaa muodostavat joukon nimeltä Kulutus. Kun muuttujat on määritelty ja luettu muistiin, niitä käsitellään aliohjelmilla (PROC), joista tässä työssä käytetään ARIMA-aliohjelmaa ja SAS-GRAPH:in piirtorutiineja. ARIMA-aliohjelmalla voi mallittaa ja ennustaa aikasarjoja. Myös kausivaihtelua sisältävät mallit (seasonal models) ovat mahdollisia. ARIMA-aliohjelma voisi näyttää vaikka tällaiselta: PROC ARIMA DATA=kulutus;
11 IDENTIFY VAR=sahko(1) CROSSCORR=lampo(1) NLAG=170 OUTCOV=cors NOPRINT; ESTIMATE P=(1)(168) Q=(1,2) NOCONSTANT INPUT=(36$lampo) MAXIT = 600; FORECAST BACK=24 LEAD=24 id=h OUT=ennus; RUN; Tässä siis estimoidaan mallin (1 φ 1 B)(1 φ 168 B 168 ) 1 sahko t = α 1 1 lampo t 36 + (1 θ 1 B θ 2 B 2 )a t parametrit ja ennustetaan viimeiset 24 havaintoa. Katso ARIMA-manuaalin sivulta 100 SAS-ohjelman käyttämä notaatio aikasarjamallille. ARIMA-ohjelmassa on kolme käskyä: IDENTIFY, ESTIMATE ja FORECAST, joiden on esiinnyttävä aina tässä järjestyksessä. IDENTIFY-käskyllä (s. 110 SAS-manuaalissa) differoidaan aikasarja ja lasketaan autokorrelaatiot, käänteiset autokorrelaatiot ja osittaisautokorrelaatiot. IDENTIFY-käskyyn liittyviä optioita: VAR=sahko(1) määrittelee käsiteltävän muuttujan ja differoinnit eli tässä differoidaan muuttujaa sahko yhden jaksolla kerran NLAG kertoo kuinka pitkällä viiveellä korrelaatiofunktiot lasketaan CROSSCORR kertoo minkä (ulkoisen) muuttujan kanssa ristikorrelaatiot lasketaan NOPRINT estää korrelaatiofunktioiden tulostumisen OUTCOV-joukko cors sisältää muuttujat LAG = viiveen arvot CORR = auto- ja ristikorrelaatiot INVCORR = käänteiset autokorrelaatiot PARTCORR = osittaisautokorrelaatiot ESTIMATE-käsky (s. 103 SAS-manuaalissa) määrittää halutun ARMA-mallin, jota sovelletaan (differoituun) aikasarjaan. ESTIMATE-käskyn parametreistä P määrittää ARosan ja Q MA-osan parametrit. ESTIMATE-käskyyn voidaan lisätä ulkoinen muuttuja INPUT-optiolla. Huomaa ero seuraavien merkintöjen välillä P=2 AR-malli (1 Φ 1 B Φ 2 B 2 )z t P=(2) AR-malli (1 Φ 2 B 2 )z t Q=(1,24) MA-malli (1 θ 1 B θ 24 B 24 )a t
12 Q=(1)(24) MA-malli (1 θ 1 B)(1 θ 24 B 24 )a t Jaksottaiset mallit voi siis esittää varsin helposti ja yksinkertaisesti. Määrittely IDENTIFY VAR = sahko(1,1,24) ESTIMATE Q=(1,2)(24) vastaa ARIMA(0,1,1)x(0,2,2)-mallia muuttujalle sahko. FORECAST-käskyllä (s. 108 SAS-manuaalissa) ennustetaan mallia käyttäen aikasarjaa eteenpäin halutusta kohdasta. Määre BACK kertoo kuinka monta havaintoa aikasarjan lopusta taaksepäin halutaan ennusteen alkavan. LEAD kertoo, montako havaintoa ennustetaan. BACK-optiolla tehdään siis ex post -ennusteita ja ellei BACK-optiota määritellä saadaan ex ante -ennuste. Esimerkissä tuotetaan aikasarjan lopusta alkava 24 tunnin pituinen ennuste. OUT-optiolla määritellyssä Ennus -nimisessä muuttujajoukossa on muuttujat FORECAST =ennustetut arvot sahko = oikeat arvot RESIDUAL = oikean ja ennustetun arvon erotukset L95 ja U95 = ennusteen 95 % luottamusvälit SAS näyttää eri korrelaatiofunktioiden numeeriset arvot ja luottamusvälit, estimoidut parametrit, niiden hajonnat ja t-arvot ja keskinäisen korrelaation, pyydetyn ennusteen sekä χ 2 -testisuureen residuaalien valkoisuuden testaamiseksi.
Laboratoriotyö 2: Sähkönkulutuksen ennustaminen ja hankinnan optimointi
MS-C2132 Systeemianalyysilaboratorio I Laboratoriotyö 2: Sähkönkulutuksen ennustaminen ja hankinnan optimointi Aikasarja on joukko peräkkäisiä, toisistaan riippuvia havaintoja. Aikasarja-analyysin tavoitteena
LisätiedotTyö 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi
Ma-2.3132 Syseemianalyysilaboraorio I Työ 2: 1) Sähkönkuluuksen ennusaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan opimoini 1 yö 2 Aikasarjamalli erään yriyksen sähkönkuluukselle SARIMAX-malli: kausivaihelu,
LisätiedotLaboratoriotyö 2: Sähkönkulutuksen ennustaminen ja hankinnan optimointi
MS-C2132 Systeemianalyysilaboratorio I Laboratoriotyö 2: Sähkönkulutuksen ennustaminen ja hankinnan optimointi Aikasarja on joukko peräkkäisiä, toisistaan riippuvia havaintoja. Aikasarja-analyysin tavoitteena
Lisätiedot4. Tietokoneharjoitukset
4. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 4.1 Tarkastellaan seuraavia aikasarjoja. Tiedosto (.txt) Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus INTEL Intel_Close Intelin osakekurssi Pörssipäivä n = 20 Intel_Volume
LisätiedotTyövoiman tarpeen ennustaminen SARIMA-aikasarjamallilla
Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Työvoiman tarpeen ennustaminen SARIMA-aikasarjamallilla Kandidaatintyö 27.5.2015 Touko Väänänen Työn saa
Lisätiedot4. Tietokoneharjoitukset
4. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 4.1 Tarkastellaan seuraavia aikasarjoja. Tiedosto (.txt) Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus INTEL Intel_Close Intelin osakekurssi Pörssipäivä n = 20 Intel_Volume
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotAuringonpilkkujen jaksollisuus
Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt 16.1.2004 Auringonpilkkujen jaksollisuus Teknillinen korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Keijo Jaakola 51624B 1 1. Johdanto...3 2. Aikasarjamalleja...3
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita multinormaalijakauman määritelmä. Ymmärtää likelihood-funktion ja todennäköisyystiheysfunktion ero. Oppia kirjoittamaan
LisätiedotViikon 5 harjoituksissa käytämme samoja aikasarjoja kuin viikolla 4. Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 5. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 2 Aihe: ARMA-mallit Viikon 5 harjoituksissa käytämme samoja aikasarjoja kuin viikolla 4. Tehtävä 5.1. Tarkastellaan
LisätiedotTiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotAikasarjamallit. Pekka Hjelt
Pekka Hjelt Aikasarjamallit Aikasarja koostuu järjestyksessä olevista havainnoista, ja yleensä se on tasavälinen ja diskreetti eli havaintopisteet ovat erillisiä. Lisäksi aikasarjassa on yleensä autokorrelaatiota
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotBL20A0400 Sähkömarkkinat. Valtakunnallinen sähkötaseiden hallinta ja selvitys Jarmo Partanen
BL20A0400 Sähkömarkkinat Valtakunnallinen sähkötaseiden hallinta ja selvitys Jarmo Partanen Valtakunnalliset sähkötaseet Kaikille sähkökaupan osapuolille on tärkeää sähköjärjestelmän varma ja taloudellisesti
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
LisätiedotLaskuharjoitus 9, tehtävä 6
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen
LisätiedotMännyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa. Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003
Männyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003 Johdantoa Pohjoismaisen käytännön mukaan rungot katkaistaan tukeiksi jo metsässä. Katkonnan ohjauksessa
LisätiedotIlkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 ARMA-mallit >> ARMA-mallit ja niiden ominaisuudet ARMA-mallien auto- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot ARMA-mallien spektri ARMA-mallien
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
Lisätiedot3. Tietokoneharjoitukset
3. Tietokoneharjoitukset Aikasarjan logaritmointi Aikasarjoja analysoidaan usein logaritmisessa muodossa. Asialooginen perustelu logaritmoinnille: Muuttujan arvojen suhteelliset muutokset ovat usein tärkeämpiä
Lisätiedot8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotMatriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotHarjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus 7.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
Lisätiedot6. Tietokoneharjoitukset
6. Tietokoneharjoitukset 6.1 Tiedostossa Const.txt on eräällä Yhdysvaltalaisella asuinalueella aloitettujen rakennusurakoiden määrä kuukausittain, aikavälillä 1966-1974. Urakoiden määrä on skaalattu asuinalueen
LisätiedotBL20A0400 Sähkömarkkinat. Valtakunnallinen sähkötaseiden hallinta ja selvitys Jarmo Partanen
BL20A0400 Sähkömarkkinat Valtakunnallinen sähkötaseiden hallinta ja selvitys Jarmo Partanen Valtakunnalliset sähkötaseet Kaikille sähkökaupan osapuolille on tärkeää sähköjärjestelmän varma ja taloudellisesti
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4
Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9
LisätiedotKysyntäjousto Fingridin näkökulmasta. Tasevastaavailtapäivä 20.11.2014 Helsinki Jonne Jäppinen
Kysyntäjousto Fingridin näkökulmasta Tasevastaavailtapäivä 20.11.2014 Helsinki Jonne Jäppinen 2 Sähköä ei voi varastoida: Tuotannon ja kulutuksen välinen tasapaino on pidettävä yllä joka hetki! Vuorokauden
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä Tehtävä 4.1. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu AR(1)-, AR(2)-, MA(1)- ja MA(2)-malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla.
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotLÄMMITYSENERGIA- JA KUSTANNUSANALYYSI 2014 AS OY PUUTARHAKATU 11-13
LÄMMITYSENERGIA- JA KUSTANNUSANALYYSI 2014 AS OY PUUTARHAKATU 11-13 2 LÄMMITYSENERGIA- JA KUSTANNUSANALYYSI 2014 Yhtiössä otettiin käyttöön lämmön talteenottojärjestelmä (LTO) vuoden 2013 aikana. LTO-järjestelmää
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotSAS-ohjelmiston perusteet 2010
SAS-ohjelmiston perusteet 2010 Luentorunko/päiväkirja Ari Virtanen 11.1.10 päivitetään luentojen edetessä Ilmoitusasioita Opintojakso suoritustapana on aktiivinen osallistuminen harjoituksiin ja harjoitustehtävien
LisätiedotEMS Light Nordic -seurantatyökalu
8 EMS Light Nordic EMS Light Nordic on helppokäyttöinen seurantatyökalu, jonka avulla yritys voi helposti seurata ja analysoida esimerkiksi energian kulutusta, jätemääriä sekä materiaaleihin liittyviä
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotSTOKASTISET PROSESSIT
TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan
LisätiedotTASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE
TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE Ryhmä Tekijä 1 Pari Tekijä 2 Päiväys Assistentti Täytä mittauslomake lyijykynällä. Muista erityisesti virhearviot ja suureiden yksiköt! 4 Esitehtävät 1. Mitä tarkoitetaan
LisätiedotALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6
Sisällysluettelo ALKUSANAT 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON 5 SISÄLLYSLUETTELO 6 1 PERUSASIOITA JA AINEISTON SYÖTTÖ 8 11 PERUSNÄKYMÄ 8 12 AINEISTON SYÖTTÖ VERSIOSSA 9 8 Muuttujan määrittely versiossa 9 11
LisätiedotSäätösähkömarkkinat uusien haasteiden edessä
1 Säätösähkömarkkinat uusien haasteiden edessä Johtaja Reima Päivinen, Fingrid Oyj Sähkömarkkinapäivä 21.4.2009 2 Mitä on säätösähkö? Vuorokauden sisäiset kulutuksen muutokset Vastuu: Markkinatoimijat
LisätiedotHarjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus 28.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
LisätiedotARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Viikko 4: 1 ARMA-mallien ominaisuudet 1 Stationaaristen
LisätiedotHarjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Harjoitustyö 3 Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Yleistä Systeemianalyysin laboratoriossa
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotTilastotieteessä aikasarja tarkoittaa yleensä sarjaa, jossa peräkkäisten havaintojen aikaväli on aina sama.
Aikasarjat Tilastotieteessä aikasarja tarkoittaa yleensä sarjaa, jossa peräkkäisten havaintojen aikaväli on aina sama. Aikasarja on laajassa mielessä stationäärinen (wide sense stationary, WSS), jos odotusarvo
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt
LisätiedotProf. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen
Harjoitukset 3. 1. (a) Dismalandissa eri puolueiden arvostukset katusiivoukselle ovat Q A (P ) = 60 6P P A (Q) = 10 Q/6 Q B (P ) = 80 5P P B (Q) = 16 Q/5 Q C (P ) = 50 2P P C (Q) = 25 Q/2 Katusiivous on
LisätiedotKysynnän ennustaminen muuttuvassa maailmassa
make connections share ideas be inspired Kysynnän ennustaminen muuttuvassa maailmassa Nina Survo ja Antti Leskinen SAS Institute Mitä on kysynnän ennustaminen? Ennakoiva lähestymistapa, jolla pyritään
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotErikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen
Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Tekijä: Mikko Nordlund 49857B mikko.nordlund@hut.fi Ohjaaja: Ilkka Mellin Jätetty: 11.12.2003 Sisällysluettelo 1. JOHDANTO... 3 2. MALLIEN TUTKIMINEN...
LisätiedotTAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Digitaali- ja tietokonetekniikan laitos. Harjoitustyö 4: Cache, osa 2
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Digitaali- ja tietokonetekniikan laitos TKT-3200 Tietokonetekniikka I Harjoitustyö 4: Cache, osa 2.. 2010 Ryhmä Nimi Op.num. 1 Valmistautuminen Cache-työn toisessa osassa
Lisätiedot1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet
VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 9. luento Pertti Palo 22.11.2012 Käytännön asioita Eihän kukaan paikallaolijoista tee 3 op kurssia? 2. seminaarin ilmoittautuminen. 2. harjoitustyön
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotLuku 3 Sähkömarkkinat
Luku 3 Sähkömarkkinat Asko J. Vuorinen Ekoenergo Oy Pohjana: Energiankäyttäjän käsikirja 2013 Energiankäyttäjän käsikirja 2013, helmikuu 2013 1 Sisältö Sähkön tarjonta Sähkön kysyntä Pullonkaulat Hintavaihtelut
LisätiedotDiskriminanttianalyysi I
Diskriminanttianalyysi I 12.4-12.5 Aira Hast 24.11.2010 Sisältö LDA:n kertaus LDA:n yleistäminen FDA FDA:n ja muiden menetelmien vertaaminen Estimaattien laskeminen Johdanto Lineaarinen diskriminanttianalyysi
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotKerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:
Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotKertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä
LisätiedotSähköjärjestelmän toiminta talven 2012-2013 huippukulutustilanteessa
Raportti 1 (5) Sähköjärjestelmän toiminta talven 2012-2013 huippukulutustilanteessa 1 Yhteenveto Talven 2012-2013 kulutushuippu saavutettiin 18.1.2013 tunnilla 9-10, jolloin sähkön kulutus oli 14 043 MWh/h
LisätiedotTilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa. Tapio Nummi Tampereen yliopisto
Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa Tapio Nummi Tampereen yliopisto Runkokäyrän ennustaminen Jotta runko voitaisiin katkaista optimaalisesti pitäisi koko runko mitata etukäteen. Käytännössä
LisätiedotSuomen ElFi Oy:n ja Suomen Sähkönkäyttäjät ry:n esitys talousvaliokunnalle
Suomen ElFi Oy:n ja Suomen Sähkönkäyttäjät ry:n esitys talousvaliokunnalle 22.3.2017 Pasi Kuokkanen Suomen ElFi Oy ja Suomen Sähkönkäyttäjät ry Esityksen sisältö 1. Direktiivi: 1. Sähkön fyysiset markkinapaikat
LisätiedotFingrid Markkinatoimikunta 4.3.2009. Kulutuksen jouston aktivoiminen sähkömarkkinalle. Suomen ElFi Oy 3.3.2009 1
Fingrid Markkinatoimikunta 4.3.2009 Kulutuksen jouston aktivoiminen sähkömarkkinalle Suomen ElFi Oy 3.3.2009 1 Sähkön käytön kysyntäjousto Lähtökohta kysyntäjoustolle: Jousto tulee saattaa markkinapaikalle
LisätiedotLuku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi
1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
Lisätiedot9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola
Rahoitusriskit ja johdannaiset Luentokurssi kevät 2011 Lehtori Matti Estola Itä-Suomen yliopisto, Yhteiskunta- ja Kauppatieteiden tiedekunta, Oikeustieteiden laitos, kansantaloustiede Luennot 22 t, harjoitukset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotOletko Bull, Bear vai Chicken?
www.handelsbanken.fi/bullbear Handelsbankenin bull & Bear -sertifikaatit Oletko Bull, Bear vai Chicken? Bull Valmiina hyökkäykseen sarvet ojossa uskoen markkinan nousuun. Mikäli olet oikeassa, saat nousun
LisätiedotNäistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, kevät 2019 https://coursepages.uta.fi/mtttp1/kevat-2019/ HARJOITUS 3 Joitain ratkaisuja 1. x =(8+9+6+7+10)/5 = 8, s 2 = ((8 8) 2 + (9 8) 2 +(6 8) 2 + (7 8) 2 ) +
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMarkkinointisuunnitelma 1(5) Markkinointisuunnitelma
Markkinointisuunnitelma 1(5) Markkinointisuunnitelma Yrityksen nimi/yksikön nimi: [kirjoita tähän] Päivä: 22. tammikuuta 2010 Markkinointisuunnitelma 2(5) Sisällysluettelo 1. Perustiedot yrityksestä...
LisätiedotARIMA- ja GARCH-mallit sekä mallin sovittaminen osakeaineistoon
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Laura Lizana Bister ARIMA- ja GARCH-mallit sekä mallin sovittaminen osakeaineistoon Informaatiotieteiden laitos Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotJoustavuuden lisääminen sähkömarkkinoilla. Sähkömarkkinapäivä 7.4.2014 Jonne Jäppinen, kehityspäällikkö, Fingrid Oyj
Joustavuuden lisääminen sähkömarkkinoilla Sähkömarkkinapäivä 7.4.2014 Jonne Jäppinen, kehityspäällikkö, Fingrid Oyj 74 Tuotannon ja kulutuksen välinen tasapaino on pidettävä yllä joka hetki! Vuorokauden
LisätiedotNBS MUUTOKSET Sähkönmyyjälle ja Tasevastaavalle. Tom Backman 29.8.2014
NBS MUUTOKSET Sähkönmyyjälle ja Tasevastaavalle Tom Backman 29.8.2014 NBS keskeiset muutokset, yhteenveto Sähkönmyyjä Taseselvitysosapuoli vaihtuu Fingrid -> esett. Kommunikointiin tulee myös uudet työvälineet
LisätiedotUuden sähkömarkkinamallin kuvaus ja vaikutusten analysointi. Selvitys Teknologiateollisuus ry:lle 3.6.2009
Uuden sähkömarkkinamallin kuvaus ja vaikutusten analysointi Selvitys Teknologiateollisuus ry:lle 3.6.2009 Sisältö 1. Työn lähtökohdat 2. Uuden sähkömarkkinamallin toiminnan kuvaus 3. Uuden sähkömarkkinamallin
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotNäistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte
LisätiedotMitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn
Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016) Tavoitteet (teoria): Ymmärtää kausivaihtelun käsite ja sen yhteys otoshetkiin. Oppia käsittelemään periodogrammia.. Tavoitteet (R): Periodogrammin,
Lisätiedot