Opas matematiikan ja tilastotieteen opiskelijoille. Tuomas Nurmi

Transkriptio

1 Opas matematiikan ja tilastotieteen opiskelijoille Tuomas Nurmi 2015

2 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Opintojen aloitus Yleisiä ohjeita Alun kurssivalinnoista Opiskelutekniikasta Opintojen arvostelusta Tutkinnoista Henkilökohtainen opintosuunnitelma Neuvontaa Matematiikan kurssivalinnoista Ensimmäinen syksy Ensimmäinen kevät Toisen vuoden opinnot Syventävät opinnot Tilastotieteen kurssivalinnoista Ensimmäinen vuosi Kirjalliset työt Aineista, kandidaatin tutkielmasta ja gradusta yleisesti Kirjallisten töiden tekeminen Vielä gradun teosta Valmistumisrutiinit 15 7 Sivuaineista Tutkintovaatimuksista Ainevalinnat Kieliopinnot Tärkeitä pikkujuttuja 18

3 1 Johdanto Tämän oppaan tarkoituksena on tarjota tietoa matematiikan ja tilastotieteen opetuksesta ja opiskelusta helposti ymmärrettävässä muodossa ilman byrokraattisia koukeroita. Jokaisen opiskelijan on syytä tutustua myös tiedekunnan opinto-oppaaseen (osoitteessa nettiopsu.utu.fi/opas), jossa esitetään tutkintojen opintovaatimukset. Opas on tarkoitettu ennen kaikkea matematiikan ja tilastotieteen tutkintoohjelman opiskelijoille, mutta sivuaineopiskelijakin saattaa löytää siitä hyödyllistä tietoa. 2 Opintojen aloitus 2.1 Yleisiä ohjeita Matematiikan ja tilastotieteen opiskelu on voimakkaasti kumulatiivista, eli myöhemmät opinnot perustuvat erittäin paljon perusopinnoissa käsiteltäviin asioihin. Mitä paremmin perusopintojen asiat hallitsee, sitä helpompaa on edetä myöhemmin aine- ja syventäviin opintoihin. Matematiikkaan tai tilastotieteeseen ei siis missään tapauksessa sovi ajattelu: Ekana vuonna juhlin, ja myöhemmin sitten opiskelen. Samasta syystä on myös tärkeää, ettei opiskelija ensimmäisenä syksynä haali niin paljon kursseja, että perusasioiden ymmärtäminen jää puolinaiseksi. Kun valmistuvilta opiskelijoilta on gradukyselyissä kysytty: Mitä tekisit toisin, jos nyt voisit aloittaa opintosi uudelleen?, on vastauksiin lähes aina kuulunut kommentti: Perusopintoihin panostaisin huomattavasti enemmän. Tilastotieteen teoria pohjautuu todennäköisyyslaskentaan, joten tilastotieteen todellisen ymmärtämisen kannalta matematiikan perusasioiden hallinta on keskeisessä roolissa. Kuitenkin käytännön tilastotieteilijän työssä keskeisessä asemassa on aineistojen analysointi, joka tapahtuu pitkälti tietokoneita ja tilastotieteellisiä sovellusohjelmia hyödyntäen. Tilastotieteen opinnot aloitetaan matematiikan perusopintojen ja todennäköisyyslaskennan opiskelulla, mutta varsinaisen tilastotieteen opiskeluun päästään kuitenkin kiinni jo ensimmäisen syksynkin aikana. Vielä ensimmäisen vuoden aikana suuri osa opinnoista painottuu harjoitusaineistojen analysointiin tietokoneella, mutta opiskelijoiden matemaattisten taitojen karttuessa myös tilastotieteen opetuksessa teorian osuus kasvaa suuremmaksi, mikä antaa opiskelijoille valmiudet kehitellä itsenäisesti uusia tilastotieteellisä analyysimenetelmiä. Täten matematiikan perusasioiden kunnol- 1

4 lisella hallinnalla on suuri merkitys myös tilastotieteessä. Toki osa tilastotieteen myöhemmistäkin opinnoista valmentaa myös käytännön tilastotieteelliseen työskentelyyn, esimerkiksi tilastolliseen konsultointiin ja todellisten aineistojen analysointiin. Pääaineen ja opintojen suunnan valinta matematiikan opettamisen, tilastotieteen, matematiikan ja sovelletun matematiikan välillä tapahtuu opintojen aikana. Opiskelija, joka jo alusta asti tietää, minkä pääaineen haluaa itselleen valita, voi optimoida kurssivalintansa jo alusta alkaen tätä tavoitetta ajatellen, mutta valinnastaan epävarma opiskelija voi tehdä valinnan vasta toisenkin opiskeluvuoden aikana valmistumisen juurikaan viivästymättä. 2.2 Alun kurssivalinnoista Kurssien määrää pohdittaessa kannattaa huomata, että yliopiston kursseihin kuuluu huomattavasti enemmän omaa työskentelyä kuin lukion kursseihin. Siten työviikkoon kuuluvien luento- ja laskuharjoitustuntien määrä saattaa paperilla näyttää pieneltä, vaikka työtä on liikaakin. Ensimmäisenä syksynä jokainen opiskelija suorittaa kurssit Analyysi I ja Lineaarialgebra. Ennen näiden kurssien asioiden omaksumista ei opintoja juurikaan voi jatkaa. Lisäksi aloitetaan yhden muun aineen opinnot: Tilastotieteilijän uraa harkitsevat aloittavat luonnollisesti tilastotieteen opinnot todennäköisyyslaskennan peruskurssilla. Opettajaksi aikovat aloittavat toisen opetettavan aineen (yleensä fysiikan tai kemian) opinnot. Sovelletusta matematiikasta kiinnostuneet opiskelijat aloittavat tilastotieteen tai tietojenkäsittelytieteen opinnot. Tietoteknisestä matematiikasta kiinnostuneet aloittavat tietojenkäsittelytieteen opinnot. Tämä valinta ei kuitenkaan vielä määrää opiskelijan tulevaisuutta, vaan suunnitelmia voi muuttaa vielä vuodenkin kuluttua valmistumisen viivästymättä. Kolmannen oppiaineen aloittaminen samana syksynä on käytännössä mahdotonta, eikä mainittujen opintojen lisäksi kannata ottaakaan kuin korkeintaan tietojenkäsittelytieteen alkeisopintoja ja kieliopintoja. 2

5 2.3 Opiskelutekniikasta Yliopistotason matematiikan (kuten myös tilastotieteen) oppiminen harjoituksia tekemättä on lähes mahdotonta, joten jo kurssin alusta asti kannattaa laskea laskuharjoitustehtäviä aktiivisesti. Jos ei kurssin aikana tee mitään ja vain lukee pari viikkoa tenttiin, niin ei luultavasti pääse edes läpi tentistä, mutta vaikka sattuisi pääsemäänkin, jää asioiden ymmärtäminen niin ohueksi, että seuraavilla kursseilla tulee vaikeuksia. Laskuharjoitukset eroavat huomattavasti lukion kotitehtävistä. Yliopistossa laskuharjoitukset ovat huomattavasti vaativampia eikä oikea ratkaisu usein aukea hyvällekään opiskelijalle ensi vilkaisulla, vaan tehtävän ratkaisun löytäminen vaatii asian pohtimista useaan otteeseen sekä runsaasti teorian tutkimista luentomuistiinpanoista. Yleensä tietyn viikon laskuharjoituksiin liittyvä teoria käsitellään jo edellisen viikon luennoilla. Laskuharjoitusten tekoa ei kannatakaan jättää viimeiseen iltaan, vaan niiden pohtiminen kannattaa aloittaa heti, kun niihin liittyvä teoria on luennoilla käsitelty. Nämä ohjeet pätevät myös tilastotieteen opinnoissa. Tilastotieteen opintoihin kuuluvat kuitenkin kiinteästi myös tietokoneella tehtävät käytännön harjoitukset, joista osa tehdään ohjatusti laskuharjoitusten yhteydessä. Itsenäisesti tehtävät harjoitukset kannattaa luonnollisesti pyrkiä tekemään mahdollisimman nopeasti kurssin yhteydessä, kun luennoilla ja harjoituksissa käsitellyt asiat ovat vielä tuoreessa muistissa. Luentomonisteiden sivumäärä on useimmiten huomattavasti pienempi kuin muissa aineissa. Niiden lukeminen vaatii kuitenkin vähintään yhtä paljon työtä, sillä pelkkä lukeminen ei riitä, vaan matemaattisia tieteitä luettaessa kaikki esitetyt laskut ja todistukset on käytävä huolellisesti läpi ja jokainen välivaihe todella ymmärrettävä. Opiskelijan on lukiessaan ikäänkuin mielessään varmistettava, että kaikki esitetyt väitteet pitävät paikkansa ja kaikki laskut on siis laskettava läpi päässä ja joskus paperillakin. Myös lukemiseen on siis varattava reilusti aikaa. Vaikka kurssin alussa asiat tuntuisivatkin helpoilta, kannattaa niidenkin opiskeluun suhtautua vakavasti. Useimmiten asiat vaikeutuvat salakavalasti ja, mikäli kurssin alun helppojen asioiden huolellisen opiskelun laiminlyö, havaintoa: No tämä asia ei enää vaikuta ihan triviaalilta. seuraakin hyvin pian havainto: Enhän mä tajua tästä mitään. Ryhmätyö on varsin hyvä työskentelymuoto. Pohdittaessa matemaattisia ongelmaa on kahden tai useamman ihmisen yhteistyö usein varsin hedelmällistä. Ihminen, joka juuri jotakin asiaa pohdittuaan on sen oivaltanut, pystyy usein se- 3

6 littämään sen havainnollisella tavalla muille asiaa yhä pohtiville. Asian selittäminen toisille parantaa usein myös selittäjän ymmärtämystä asiassa. Jotta ryhmätyö olisi hyödyllistä, on sen kuitenkin oltava aitoa ryhmätyöskentelyä, jossa kaikki työskentelevät. Tutkinto-ohjelman opiskelijoiden käyttöön varattu ryhmätyötila, Matikkapaja sijaitsee Quantumin ensimmäisessä kerroksessa. Tilassa on myös muutaman kerran viikossa paikalla ohjaaja (matematiikan tai tilastotieteen jatko-opiskelija), jolle voi esittää kysymyksiä laskuharjoituksista ja matemaattisten tieteiden opiskelusta yleisemminkin. Aine- ja syventäviin opintoihin siirryttäessä kannattaa aina hyvissä ajoin ennen tietylle kurssille osallistumista selvittää opinto-oppaasta, mitä esitietoja tällä kurssilla tarvitaan ja myös hieman kerrata esitietoina olevien kurssien asioita. Kun asioita hiukan palauttelee mieleen ennen kurssin alkua, on näihin asioihin perustuvien uusien juttujen omaksuminen helpompaa. 2.4 Opintojen arvostelusta Opinnot arvostellaan kokonaislukuarvosanoin yhdestä viiteen. Opintojen arvosteluperiaatteet poikkeavat yliopistossa huomattavasti siitä, mihin ehkä lukiossa on totuttu. Lukiossa kokeesta sai yleensä seiskan, jos osasi edes jotain, ja armovitosen, vaikkei osannut mitään. Yliopistossa taas jo pelkkä ykkösen saaminen edellyttää sitä, että on osannut asiat kelvollisesti (yleensä sanotaan, että päästäkseen läpi on opiskelijan tentissä vastattava oikein yli puoleen kysymyksistä). Ei siis kannata masentua, vaikka arvosanat hieman poikkeaisivatkin totutusta huonompaan suuntaan. 2.5 Tutkinnoista Kaikki uudet opiskelijat valmistuvat ensin Luonnontieteiden kandidaateiksi (LuK), minkä jälkeen opintoja voi jatkaa Filosofian maisterin tutkintoon (FM). LuKtutkinto ei vielä anna muodollista pätevyyttä juuri mihinkään virkaan, joten opinnoissa kannattaa alusta alkaen ottaa tavoitteeksi FM-tutkinnon suorittaminen. Pääaineen perus- ja aineopinnot kuuluvat LuK-tutkinnon opintoihin, syventävät taas FM-tutkinnon. Syventävät opinnot voi aloittaa kuitenkin jo ennen kuin LuKtutkinto on valmis. Tällöin on kuitenkin huolehdittava siitä, että LuK-tutkinto valmistuu ajoissa opintotuen kannalta. LuK-tutkintoon ei voi sisällyttää lainkaan syventäviä opintojaksoja, ei edes sivuaineista. Maisterin tutkinnon vapaavalin- 4

7 taisiin opintoihin voi sen sijaan kuulua minkä tasoisia sivuaineopintoja tahansa. Opettajaksi opiskelevilla FM-tutkintoon kuuluvat myös pedagogiset opinnot. LuK-tutkinnon suorittanut opiskelija voi myös hakeutua toiseen yliopistoon, jopa eri alalle tai ulkomaille, suorittamaan maisterintutkintoaan. Tällöin hän voi joutua suorittamaan maisterintutkinnon 120 opintopisteen lisäksi mahdollisesti erilaisia täydentäviä siltaopintoja, joilla hän hankkii itselleen riittävät pohjatiedot maisterintutkinnon suorittamiseen uudessa tutkinto-ohjelmassaan. Jos opiskeluhaluja vielä FM-tutkinnonkin jälkeen riittää, voi opintoja jatkaa filosofian lisensiaatin (FL) ja edelleen filosofian tohtorin (FT) tutkintoihin. 2.6 Henkilökohtainen opintosuunnitelma Opintojen alussa jokainen opiskelija laatii opettajatuutorin (Tuomas Nurmi) kanssa itselleen henkilökohtaisen opintosuunnitelman. Johdantoviikon aikana laaditaan pienryhmissä alustava suunnitelma, jota muutaman viikon opiskelun jälkeen tarkennetaan kahdenkeskisessä keskustelussa opettatuutorin kanssa. Opettajatuutori kutsuu opiskelijat tähän keskusteluun. Keväällä opettajatuutori kutsuu opiskelijat jälleen kahdenkeskiseen keskusteluun, tällä kertaa pohtimaan toisen vuoden opintoja. Opiskelija, joka jo tässä vaiheessa tietää valitsevansa pääaineekseen tilastotieteen, käy tämän HOPSkeskustelun tilastotieteen opetusamanuenssi Eila Seppäsen kanssa. Eri pääaineiden ja opintosuuntien (Matematiikan opettaja, Tilastotiede, Matematiikka, Sovellettu matematiikka) henkilökunta järjestää vuosittain pidemmälle ehtineiden opiskelijoiden henkilökohtaisten opintosuunnitelmien päivitystä tukemaan opiskelijoiden ja henkilökunnan yhteisiä tapaamisia, joissa keskustellaan kurssitarjonnasta, tutkielmista, valmistumisesta ja työelämästä. 2.7 Neuvontaa Kurssin sisältöön ja laskuharjoituksiin liittyvät kysymykset kannattaa yleensä esittää luennoitsijalle, harjoitusten pitäjälle tai matikkapajan ohjaajalle. Muut kysymykset, esimerkiksi opintojen suunnitteluun liittyvät, taas kannattaa esittää opettajatuutorille. Kaikki henkilökunnan jäsenet kuitenkin varmasti vastaavat opiskelijoiden kysymyksiin tai ohjaavat oikean henkilön puheille. Henkilökunnan päivystysaika tarkoittaa aikaa, jolloin henkilöt ovat ilmoittaneet olevansa paikalla työhuoneessaan opiskelijoiden käytettävissä. Useimpia 5

8 heistä saa toki häiritä muulloinkin, mikäli vain ovat paikalla. Yleisempiä opiskeluun liittyviä kysymyksiä voi esittää myös tiedekunnan opinto-neuvojalle. Yleisohjeeksi sopii: jos sinulla on kysyttävää, niin kysy. Jos satut kysymään väärältä ihmiseltä, hän kyllä varmasti ohjaa sinut oikeaan paikkaan. Jokaisen opiskelijan kannattaa myös tutustua laitoksen www-sivuihin, joille on koottu runsaasti opiskeluun liittyvää materiaalia ja ohjeita. Myös luennoilla ja laskuharjoituksissa (eli demoissa) saa ja pitää kysyä epäselvistä asioista. Luennoitsijoille kaikki asiat kurssilla ovat helppoja, joten mikäli opiskelijat eivät esitä kysymyksiä luennoilla, luennoitsijat hukkaavat helposti tuntuman siihen, mitkä asiat ovat opiskelijoille vaikeita ja mitä pitäisi selittää tarkemmin. 3 Matematiikan kurssivalinnoista Tilastotiede ja matematiikka ovat erillisiä oppiaineita, vaikka yhteyksiä ja yhtäläisyyksiä onkin, eivätkä kaikki tutkinto-ohjelman opiskelijat lue lainkaan tilastotiedettä. Tämän vuoksi eri oppiaineiden kurssimahdollisuuksia esitellään erikseen; matematiikkaa tässä kappaleessa ja tilastotiedettä seuraavassa. Alussa kaikki opiskelijat lukevat samoja matematiikan kursseja, mutta jo ensimmäisen vuoden keväänä matematiikankin kurssivalintoihin alkaa vaikuttaa se, mille alalle opiskelija aikoo suuntautua. Vaihtoehdot ovat Matematiikan opettajan opinnot, Tilastotiede, Matematiikka ja Sovellettu matematiikka Kurssivalinnoissa ja muussa opintojen suunnittelussa voi aina kysyä apua laitoksen opettajatuutorilta. Seuraavien kappaleiden tarkoituksena on kuitenkin antaa hieman yleiskuvaa siitä, mitä kursseja kannattaa lukea missäkin vaiheessa. 3.1 Ensimmäinen syksy Kaikki tutkinto-ohjelman opiskelijat lukevat ensimmäisenä syksynä matematiikan kurssit Analyysi I ja Lineaarialgebra. Muita matematiikan kursseja ei yleensä lueta, vaan aloitetaan jonkin muun oppiaineen perusopinnot. 6

9 3.2 Ensimmäinen kevät Ensimmäisenä keväänä opiskelija joutuu jo hieman valitsemaan, mitä kursseja lukea. Seuraavassa kommentoidaan lyhyesti eri kursseja, joita jo ensimmäisenä keväänä voi valita: Analyysi II on luettava ehdottomasti jatkosuunnitelmista riippumatta ja se onkin pakollinen perusopintojakso. Algebran peruskurssi I on pakollinen opettajan ja matematiikan opinnoissa ja hyödyllinen myös sovelletussa matematiikassa ja tilastotieteessä. Kurssi on jatkoa kurssille Lineaarialgebra, joten se kannattaa suorittaa jo ensimmäisenä keväänä. Algebran peruskurssi II on erittäin hyödyllinen kurssi varsinkin puhtaan matematiikan opiskelijoille. Koska kurssi on yleensä helpointa suorittaa suoraan Algebran peruskurssi I:n jatkoksi, on kurssin suorittaminen ensimmäisenä keväänä varsin suositeltavaa. Differentiaaliyhtälöt on pakollinen kurssi opettajille ja sovelletun matematiikan opiskelijoille, ja hyödyllinen myös matematiikassa ja tilastotieteessä. Kurssi kannattaa lukea jo ensimmäisenä keväänä ainakin, jos aikoo suorittaa sivuaineopintoja fysiikassa (differentiaaliyhtälöitä tarvitaan lähes kaikissa fysiikan aineopintokursseissa). 3.3 Toisen vuoden opinnot Ensimmäisen kevään kohdalla luetellut kurssit ovat edelleen hyviä vaihtoehtoja luettavaksi, jos niitä ei vielä ole suorittanut. Seuraavassa kommentoidaan jälleen lyhyesti eri kursseja: Algoritminen matematiikka on tietoteknisen matematiikan peruskurssi, joka kannattaa ehdottomasti suorittaa, jos aikoo matematiikan pääaineessa suuntautua diskreettiin matematiikkaan. Kurssilla opetellaan algoritmista ongelmanratkaisua, josta on usein hyötyä muillakin matematiikan aloilla, sillä monet modernin matematiikan ongelmat ovat luonteeltaan algoritmisia. Funktioteoria on keskeinen kurssi erityisesti matematiikan pääaineessa, mutta hyödyllinen myös muilla linjoilla. Vaikka kurssin asiat saattavat kurs- 7

10 sin aikana tuntua käyttökelvottoman abstrakteilta, ne osoittautuvat syventäviä opintoja suoritettaessa hyvinkin käyttökelpoisiksi. Kurssin suorittamista jossakin vaiheessa opintoja voi suositella myös opettajille, sillä kurssi antaa erittäin hyvän kuvan siitä, miten hyödyllistä abstraktimpi matematiikka lopulta on. Myös kysymykseen Mitä hyötyä näistä kompleksiluvuista oikein on? on kurssin jälkeen helpompi vastata. Tekemällä harjoitustyön voi kurssin laajentaa opettajalinjan syventäväksi opinnoksi (5 op) Geometria kasvattaa lähinnä matemaattista yleissivistystä, myöhemmissä opinnoissa sitä ei juuri tarvita. Opettajaksi aikoville kurssi on pakollinen. Kombinatoriikka (ja sen jatkokurssit) on hyödyllinen ennen kaikkea tietoteknisessä matematiikassa eivätkä kurssit opit mene hukkaan muillakaan aloilla. Myös opettajalle voi kombinatoriikan kurssia suositella. Logiikka on mukava kurssi, joka kehittää loogista ajattelua ja on avuksi erityisesti tietoteknisessä matematiikassa. Tietotekniikan opinnoissakin logiikan tuntemuksesta on hyötyä ja myös opettajille kurssia voi suositella. Lukuteoria kannattaa lukea erityisesti matematiikan linjalla. Myös monet tulevat opettajat käyvät kurssin, sillä kurssi on kiva johdatus puhtaan matematiikan ajatusmaailmaan kuitenkin vielä melko konkreettisella tasolla. Kurssin esitietona mainitaan Algebran peruskurssi II, mutta tältä kurssilta tarvitaan lähinnä vain renkaan käsite ja kurssin suorittaminen jo peruskurssi I:n pohjaltakin on täysin mahdollista. Matematiikan historia on pakollinen kurssi puhtaan matematiikan opiskelijoille ja opettajille, mutta suositeltava myös sovelletun matematiikan opiskelijoille. Sen voi halutessaan lukea jo toisena vuotena, mutta kurssista saa kuitenkin enemmän irti, kun muut aineopinnot on jo suoritettu ja siksi kurssi kannattaakin suorittaa vasta aikaisintaan kolmantena vuotena. Kurssi suoritetaan kirjatenttinä, lisätietoja suorittamisesta saa Vesa Halavalta. Tieteellinen laskenta I & II Kurssien tavoitteena on harjoittaa matemaattisten ongelmien numeerista ratkaisua tietokoneella, erityisesti yritysmaailmassa yleisesti käytettyä MatLab-ohjelmaa hyödyntäen. Kurssin osallistujien oletetaan hallitsevan ohjelmoinnin perusperiaatteet. Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelman opiskelijat voivat sisällyttää kurssin joko matematiikan tai tietojenkäsittelytieteen opintoihin lukuunottamatta opettajia, joilla kurssi katsotaan aina tietojenkäsittelytieteen opinnoksi. 8

11 Numeerinen analyysi on pakollinen sovelletun matematiikan opiskelijoille. Kurssin tarjoama tuntemus numeerisen laskennan (tietokoneiden ja laskinten) toimintaperiaatteista on kuitenkin suureksi hyödyksi myös niin matematiikoille kuin opettajillekin. Kurssi onkin nykyisin suunnattu erityisesti opettajien tarpeisiin. Kurssin voi harjoitustyön tekemällä laajentaa opettajien syventäväksi opinnoksi (5 op). Optimointi I&II ovat lähinnä sovelletun matematiikan opintoja tukevia kursseja, mutta erityisesti ykköskurssin asioiden hallinta on hyödyksi myös opettajalle. Kursseilla käytettävä matematiikka on huomattavasti vähemmän abstraktia kuin muilla opintojen alkuvaiheen kursseilla. Optimointi I on pakollinen sovelletussa matematiikassa. Lisäksi kurssit ovat esitietona suurelle joukolle optimointiin liittyviä syventäviä kursseja. Todennäköisyyslaskennan peruskurssi on opetuksessa erityisasemassa. Sen voi ottaa joko matematiikan tai tilastotieteen opintokokonaisuuteen. Koko tilastotiede rakentuu todennäköisyyslaskennalle, ja tilastotieteen opinnot aloitetaankin lukemalla Todennäköisyyslaskennan peruskurssi jo ensimmäisenä syksynä. Muiden pääaineiden opiskelijat lukevat peruskurssin yleensä vasta toisena syksynä. Tilastotieteilijöiden lisäksi kurssi on pakollinen myös opettajille ja soveltajille, ja muillekin erittäin suositeltava, sillä todennäköisyyslaskennan perustietoja tarvitaan myös lukuteoriassa, koodausteoriassa ja kryptografiassa. Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi on matemaattisesti huomattavasti peruskurssia vaativampi ja se luetaankin vasta toisena syksynä myös tilastotieteellä. Tilastotieteilijöille jatkokurssikin on pakollinen. Myös opettajille ja soveltajille todennäköisyyslaskenta on keskeinen ala, joten heille jatkokurssi on erittäin suositeltava. Usean muuttujan funktiot (UMF) I kannattaa lukea opintosuunnasta riippumatta. Kurssin sisältö on niin keskeistä matemaattista yleissivistystä, että siihen tulee törmäämään opintojen aikana useasti niin matematiikassa kuin tilastotieteessäkin. Vaikkei kurssi opettajille olekaan pakollinen, jää opettajan matemaattinen osaaminen kovasti vaillinaiseksi ilman tätä kurssia. Sovelletussa matematiikassa ja tilastotieteessä kurssi on pakollinen. Fysiikan sivuaineopintojen suorittamista kurssin tiedot helpottavat huomattavasti. UMF II on suureksi hyödyksi niin tilastotieteen, matematiikan kuin sovel- 9

12 letun matematiikankin opinnoissa sekä myös fysiikan opinnoissa. 3.4 Syventävät opinnot Syventävien kurssien tarjonta vaihtelee vuosittain. Tärkeimmät syventävät kurssit pyritään tarjoamaan vähintään kerran kahdessa tai kolmessa vuodessa. Mitä erikoistuneempi kurssi on sisällöltään, sitä harvemmin se luennoidaan. Aloittamalla syventävien opintojen suorittamisen jo kolmannen tai jopa toisen opiskeluvuoden aikana pystyy siis valitsemaan syventävät kurssinsa huomattavasti laajemmasta valikoimasta. Tällöin on kuitenkin huomattava opintotuen asettamat rajoitukset: Opintotukea myönnetään aluksi vain LuK-tutkinnon suorittamista varten ja osan tukikuukausista saa käyttöön vasta FM-tutkintoa varten, kunhan LuK-tutkinto on valmistunut. Syventävät opinnot kuuluvat aina FM-tutkintoon, joten mikäli aloittaa niiden suorittamisen jo ennen kandiksi valmistumista, on pidettävä huolta, ettei LuK-tutkinnon valmistuminen viivästy liiaksi. Tilaisuuden salliessa syventävien opintojen aloittaminen jo LuK-vaiheessa kuitenkin kannattaa. Jo toisena vuonna suoritettavaksi sopivia kursseja ovat esimerkiksi Matemaattinen mallintaminen, Topologian perusteet, Mitta- ja integrointiteoria sekä Funktioteorian ja Kombinatoriikan jatkokurssit. Myös Åbo Akademin matematiikan laitoksen opetustarjonta kannattaa huomioida syventäviä kursseja valittaessa. Monet niin Akademin kuin yliopistonkin kursseista luennoidaan englanniksi. Kielitaidon kartuttamiseksi kannattaa valita myös joitakin tällaisia kursseja, sillä viimeistään kirjallisia töitä tehtäessä on edessä englanninkieliseen matemaattiseen kirjallisuuteen tutustuminen. Muutamat syventävät opinnot (erityisesti Matematiikan demonstraatiokurssi ja Matemaattiset ohjelmistot opetuksessa ) on suunnattu opettajille ja muut opiskelijat voivat ottaa ne mukaan opintokokonaisuuteen vain ylimääräisenä opintona. Kurssit Numeerinen analyysi ja Funktioteoria taas voidaan lisätyötä tekemällä laajentaa opettajan syventäviksi 5 op kursseiksi. Sen sijaan muut opiskelijat lukevat nämä kurssit tavallisina 4 pisteen aineopintokursseina. Tavallisista syventävistä kursseista voi opettajille suositella ainakin kurssia Matemaattinen mallintaminen, sillä kurssilla käsiteltävä matematiikka on konkreettista ja kurssi antaa hyvän kuvan erilaisista matematiikan sovellusmahdollisuuksista. 10

13 4 Tilastotieteen kurssivalinnoista Tilastotiede on pieni oppiaine, joten kurssivalikoimakin on pienempi ja kurssivalinnat melkolailla suoraviivaisia. 4.1 Ensimmäinen vuosi Opinnot aloitetaan suorittamalla Todennäköisyyslaskennan peruskurssi ja opettelemalla itsenäisesti R-tilasto-ohjelman käyttö verkkokurssin avulla. Tämän jälkeen luetaan varsinaisia tilastotieteen kursseja yksi periodia kohti (Tilastollisen päättelyn peruskurssi, Aineiston hankinta ja tutkimusmenetelmät ja Tilastollisten mallien peruskurssi). Lisäksi tehdään kevään aikana harjoitustyö. Näistä kursseista muodostuu tilastotieteen perusopintokokonaisuus. Toisena vuonna jatketaan tilastotieteen aineopintojen parissa. Nämä ovat jo selvästi teoreettisempia kursseja, ja niiden suorittaminen vaatii matemaattista perusosaamista. Toisen vuoden aikana luetaan ainakin Todennäköisyyslaskennan jatkokurssi, Lineaariset mallit sekä Tilastollinen päättely I &II. Lisäksi luetaan vapaavalintaisia opintoja kurssitarjonnan mukaan. Mikäli todennäköisyyslaskennan peruskurssi otetaan mukaan matematiikan opintokokonaisuuteen, korvataan se vapaavalintaisilla tilastotieteen aineopinnoilla. Jos taas todennäköisyyslaskennan peruskurssi otetaan osaksi tilastotieteen opintoja, se korvataan matematiikan aineopinnoissa tarvittaessa vapaavalintaisella matematiikan aineopintokurssilla. 5 Kirjalliset työt 5.1 Aineista, kandidaatin tutkielmasta ja gradusta yleisesti Matematiikan ja tilastotieteen kirjallisten töiden tarkoituksena on harjoittaa opiskelijaa: itsenäiseen matemaattiseen työskentelyyn matemaattisen kirjallisuuden käyttöön matemaattisen tekstin tuottamiseen hyvän suomen kielen käyttöön matemaattisessa tekstissä. Tilastotieteen kirjallisissa töissä perehdytään lisäksi tilastollisten aineistojen itsenäiseen analysointiin tilastollisten ohjelmistojen itsenäiseen hyödyntämiseen 11

14 tilastolliseen konsultointiin ja vuorovaikutukseen sovellusalojen toimijoiden kanssa tilastollisen termistön oikeaan käyttöön. Kirjalliset työt ja niiden ohjeelliset suoritusajat ovat Matematiikan aine 2 op toisen vuoden keväällä (ei tilastotieteilijöillä) LuK-tutkielma 6 tai 8 op kolmannen opiskeluvuoden aikana Pro gradu -tutkielma 20 tai 30 op neljännen tai viidennen opiskeluvuoden aikana. Kirjallisten töitten aloittamista ei kannata tarpeettomasti lykätä, jotteivat kaikki työt jää opintojen loppuvaiheeseen jarruttamaan valmistumista. Kirjallisten töitten tekeminen sopii luonnollisesti hyvin myös kesäopintopisteiden hankkimiseen. 5.2 Kirjallisten töiden tekeminen Kirjallisten töiden tekemistä pohjustetaan toisen vuoden keväällä käytävällä kurssilla Matemaattinen kirjoittaminen. Aineiden aiheet (tilastotieteellä LuK-tutkielmien) ja ohjaajat jaetaan tällä kurssilla. Osa ohjaajista asettaa työskentelylle tarkat aikataulut, mutta joka tapauksessa aineen tekeminen on parasta aloittaa heti kurssin päätyttyä. Tilastotieteen LuK-tutkielmalle otollinen aloitusaika on kuitenkin aikaisintaan toisen vuoden jälkeisenä kesänä olennaisimpien aineopintokurssien suorituksen jälkeen. Matematiikan aineen tai tilastotieteen LuK-tutkielman kirjoittamisen yhteydessä osallistutaan myös Kielikeskuksen tarjoamaan Kirjallisen työn laatimiseen liittyvään opetukseen (1 op), mistä kerrotaan lisätietoa matemaattisen kirjoittamisen kurssin yhteydessä. Matemaattisen kirjoittamisen kurssin lisäksi aineen (tai tutkielman) voi saada tehtäväkseen lähettämällä sähköpostia Matematiikan ainetta haettaessa Tuomas Nurmelle. Matematiikan tai sovelletun matematiikan LuK-tutkielmaa haettaessa Eija Jurvaselle. Tilastotieteen LuK-tutkielmaa haettaessa Henri Pesoselle. Gradua haettaessa Matti Vuoriselle (opettajat), Tero Harjulle (matematiikka), Mervi Eerolalle (tilastotiede) tai Marko Mäkelälle (sovellettu matematiikka). 12

15 Nämä henkilöt määräävät työllesi ohjaajan. Jos haluat kirjoittaa työsi jostakin tietystä alasta, kannattaa sinun mainita toiveesi jo työtä hakiessasi, jotta ohjaajaksi saadaan henkilö, joka tätä alaa tuntee. Saatuasi ohjaajan yhteystiedot jatka suunnilleen seuraavaa algoritmia seuraten: 1. Ota yhteys ohjaajaasi ja keskustele aiheesta hänen kanssaan. Ohjaaja etsii sinulle materiaalin, jota voit alkaa työstämään. Hän pyrkii materiaalia etsiessään ottamaan toiveesi huomioon mahdollisuuksien mukaan. Ohjaaja antaa sinulle myös ohjeita itse kirjoitustyöhön. 2. Tutustu aiheeseen pitäen yhteyttä ohjaajaan aina tarvittaessa. 3. Jos lähdemateriaali on laajempi kuin tuleva työsi, laadi jonkinlainen sisällysluettelo ja käy näyttämässä tätä ohjaajalle. Tutkielmia tehdessä ongelma on kuitenkin yleensä päinvastainen, eli opiskelijan on itse hankittava lisämateriaalia työhönsä. Tilastotieteessä tämä luonnollisesti pitää sisällään suunnitelman havaintoaineiston analysoinnista. 4. Käy kirjoitustyön aikana näyttämässä raakaversioita ohjaajalle. 5. Kun työ on mielestäsi valmis ensimmäistä varsinaista tarkastuskertaa varten, oikolue se itse vielä ainakin kerran. 6. Palauta työ ohjaajalle tarkastettavaksi. 7. Korjaa työ ohjaajan ohjeiden mukaisesti. Korjauskertoja tarvitaan yleensä useita. 8. Nauti tienatuista opintopisteistä. Matemaattisen tekstin kirjoittamiseen parhaiten soveltuva tietokoneohjelma on L A TEX, josta on eri käyttöjärjestelmiin tarkoitettuja versioita. Windows-koneita varten on olemassa ilmainen MikTEX-ohjelma, joka on asennettu mikroluokan koneisiin. Ohjeita L A TEX-ohjelman asennukseen löytyy laitoksen www-sivuilta. Sen käyttöä opetetaan matemaattisen kirjoittamisen kurssilla. Matemaattista tekstiä on toki mahdollista kirjoittaa myös Microsoftin Wordilla. Tällöin kirjoittajan on kuitenkin parasta varautua ennalta arvaamattomiin vaikeisiinkin ongelmiin. 5.3 Vielä gradun teosta Gradun teko ei matematiikassa tai tilastotieteessä, toisin kuin monissa muissa aineissa, yleensä ole mikään elämää suurempi kynnyskysymys. Toki gradu silti 13

16 monella opiskelijalla viivästyy, mutta tällöin ei yleensä syynä ole tehtävän vaikeus vaan se, että koko projekti on unohtunut pöytälaatikkoon pölyyntymään. Kun opiskelija on päättänyt, mistä aihepiiristä hän haluaa gradunsa tehdä, määrätään gradulle ohjaaja, joka sitten antaa gradun tekoon materiaalia. Opiskelija tutustuu tähän materiaaliin, ja mahdollisesti etsii itse lisämateriaalia kirjastosta tai www:n avulla. Netistä materiaalia etsittäessä ei kannata turvautua pelkkään Googleen, vaan yleensä on tarpeen hyödyntää myös erilaisia tieteellisiä tietokantoja (ohjaaja kyllä opastaa tässä). Tämän jälkeen opiskelija alkaa työstää materiaaliaan graduksi yhteistyössä ohjaajan kanssa. Graduntekijän kannattaa sopia ohjaajansa kanssa säännöllisistä tapaamisista, vaikkei ohjaaja näitä ehdottaisikaan. Näin varmistetaan työn säännöllinen eteneminen, ja myös se, ettei opiskelija juutu painiskelemaan minkään ongelman kanssa liian pitkäksi ajaksi. Opiskelijan on muutenkin oltava ohjauksessa se aktiivinen osapuoli, ja kysyttävä apua vaikeissa asioissa. Ohjaaja ei voi aina tietää, missä sitä apua tarkalleen tarvittaisiin. Tyhmiäkin kysymyksiä saa ohjaajalle esittää, mutta luonnollisesti vasta sitten, kun niitä on jo itsekin yrittänyt ratkaista. Erityisesti opettajien on syytä aloittaa gradun teko hyvissä ajoin. Auskultointivuosi on yleensä liian kiireinen gradun tekoa ajatellen. Monet opettajaksi opiskelevat myös ottavat jo ennen valmistumista hoidettavakseen pitkiä sijaisuuksia ja ajattelevat tekevänsä gradun työn ohessa tai kesälomien aikana. Tähän harvalla kuitenkaan lopulta riittää voimia ja ongelmia tulee niin opintoaikojen rajauksen kuin taloudellisten menetyksienkin takia (pätevän ja epäpätevän opettajan palkoissa on huomattava ero). Gradun aihetta pohtivan opiskelijan kannattaa tutustua laitoksen www-sivujen tutkimusosioon, josta löytyvät esittelyt niistä matematiikan ja tilastotieteen aloista, joita Turussa tutkitaan. Lisäksi nettisivuilta löytyvät myös Turussa kirjoitettujen matematiikan ja tilastotieteen gradujen otsikot. Opettajien on mahdollista kirjoittaa myös didaktisesti (opetuksellisesti) suuntautuneita graduja. Tällöin gradun aihe saattaa olla esimerkiksi lukiokurssin suunnitteleminen jostakin matematiikan alasta. Gradu on mahdollista kirjoittaa myös yhteistyössä jonkin yrityksen kanssa. Tällöin opiskelijan on kuitenkin itse luotava yhteydet kyseiseen yritykseen (eri mahdollisuuksista voi toki kysellä professoreilta ja opettajatuutorilta). Yritysgradulla on useimmiten kaksi ohjaajaa, yksi yrityksestä ja yksi yliopistolta. Työnjako näiden ohjaajien välillä vaihtelee tapauskohtaisesti. Esimerkkeinä erilaisista yhteistyöyrityksistä voidaan mainita esimerkiksi vakuutusyhtiöt, Nokia, TYKS:n eri yksiköt (lääketieteelliseen mallintamiseen liittyviä aiheita) ja Me- 14

17 renkulun tutkimuskeskus (optimointia). 6 Valmistumisrutiinit Ennen kuin voit valmistua, on seuraavien asioiden tapahduttava: Sen pakollisen ruotsin kurssin on todella oltava suoritettuna! Ennen tutkielman hyväksymistä sinun on kirjoitettava kypsyysnäyte, jossa osoitat kirjoittaneesi tutkielmasi itse ja kykeneväsi kirjoittamaan sujuvaa suomen kieltä. LuK-tutkielman kypsyysnäyte matkustaa yliopiston Kielikeskukseen suomen kielen kieliasun tarkistusta varten, mutta gradun kypsyysnäytteen tarkistaa ainoastaan työn ohjaaja. Gradun hyväksyminen taas on sikäli monimutkaisempaa, että sen lukee ohjaajan lisäksi myös toinen tarkastaja, joka saattaa myös ehdottaa muutoksia työhön. Ohjaaja ja toinen tarkastaja kirjoittavat gradustasi lausunnon, jonka pohjalta laitoksen johtaja hyväksyy gradusi. Tarvitset opintorekisteriisi kokonaisuusmerkinnät kaikista oppiaineista, joita olet opiskellut vähintään 20 op. Jokaisella oppiaineella on vastuuhenkilö, joka näitä merkintöjä antaa. Voit pyytää merkinnän heti, kun kaikki kokonaisuuteen kuuluvat opinnot on suoritettu. Matematiikan LuK-opinnoista merkinnät antaa Markku Koppinen, matematiikan FM-opinnoista Juhani Karhumäki ja sovelletun matematiikan FM-opinnoista Marko Mäkelä. Tilastotieteen merkinnät antaa Eila Seppänen Todistusanomus täytetään Webropol-lomakkeelle. Ohjeita on tiedekunnan intranet-sivuilla. Täytettyäsi todistusanomuksen opintopäällikkö tarkastaa, että olet todella suorittanut kaikki vaadittavat opinnot ja lähettää anomuksesi dekaanille. Dekaani allekirjoittaa todistuksesi. Todistus lähetetään sinulle kotiin, tai haet todistuksesi tiedekunnan kansliasta. Huomaa, että kokonaisuusmerkintöjen antajat, opintopäällikkö ja erityisesti dekaani saattavat hyvinkin olla työmatkalla, lomalla tai muuten vain poissa pitkiäkin aikoja, joten todistuksen saaminen ei välttämättä onnistu aivan silmänrä- 15

18 päyksessä, vaan saattaa vaatia pitkääkin odottelua. Toimi siis ajoissa, jos sinun on saatava todistuksesi tiettyyn aikaan mennessä. Huomaa myös, että voit suorittaa opintosi minkä tahansa sellaisen opintooppaan mukaan, joka on ilmestynyt aloitusvuotenasi tai sen jälkeen. Vuonna 2005 tapahtui kuitenkin suuri tutkinnonuudistus, jota vanhempien opintovaatimusten mukaan ei enää voi valmistua. Uusin tutkinnonuudistus tapahtui syksyllä 2014, jota vanhempien opintovaatimusten mukaan voi valmistua enää kesään 2018 asti. 7 Sivuaineista 7.1 Tutkintovaatimuksista Sivuaineita on luettava vähintään joko yksi 60 op:n opintokokonaisuus tai kaksi 25 op:n opintokokonaisuutta. Opintokokonaisuuksiin kuuluvat opinnot on lueteltu opinto-oppaassa kunkin aineen kohdalla, toisissa aineissa hyvinkin tiukasti, toisissa joustavammin. Mikäli opiskelija haluaa suorittaa kokonaisuuteensa eri kursseja kuin opinto-oppaassa, kannattaa siitä neuvotella etukäteen kokonaisuusmerkintöjen antajan kanssa. Seuraavassa luvussa esitellään yleisimpiä ainevalintoja. Mikäli opiskelijan sivuainevalinnat poikkeavat huomattavasti näistä, kannattaa hänen käydä etukäteen keskustelemassa valinnoistaan tiedekunnan opintopäällikön kanssa. 7.2 Ainevalinnat Matematiikan ja tilastotieteen opiskelija voi valita sivuaineensa hyvin vapaasti, mutta työllistymisen kannalta hyödyllisiä ovat ainakin: Matematiikka (kun pääaine on tilastotiede) Tilastotiede (kun pääaine on matematiikka) Tietojenkäsittelytiede Fysiikka Kemia Taloustiede (Kauppakorkeakoulussa) Talouden kvantitatiivisten menetelmien ja rahoitusteorian opinnot (Kauppakorkeakoulussa) Useimpien sivuaineiden opetus alkaa syksyllä jonkinlaisella peruskurssilla. Uusien sivuaineiden aloittaminen kevätlukukaudella on siis yleensä vaikeaa. 16

19 Tietojenkäsittely on pakollinen sivuaine (opettajien on suoritettava kurssit Opiskelun ja työelämän tietotekniikka 2 op"ja Tietojenkäsittelytieteen perusteet I 3 op, matemaatikoiden taas on suoritettava vähintään 25 op:n perusopintokokonaisuus, tilastotieteilijöillä pakollisia opintoja taas on 10 op). Erityisesti matemaatikoille TKT on myös ehdottomasti tärkein sivuaine, ja varsinkin sovelletussa matematiikassa hyvän ohjelmointitaidon hankkiminen on tarpeen. Tietojenkäsittelyn opintoja ei kannata pelätä, vaikkei olisi aiemmin tietokonetta nähnytkään. Yliopiston tietojenkäsittelyn opetus ei nimittäin ole mitään näin Windows toimii -juttuja, vaan enemmän teoreettisia opintoja, joissa aiemmalla käyttökokemuksella ei juuri ole merkitystä. Ohjelmien toiminnan sijaan perehdytään enemmänkin itse koneen toimintaan ja ohjelmointiin. Kaikki opinnot lähtevät tietojenkäsittelyssäkin perusteista, joten kursseille uskaltaa osallistua kuka tahansa. Matematiikan opiskelijat voivat suorittaa TKT:n opintonsa joko TKT:n omien vaatimusten mukaan tai seuraten erityisesti matemaatikoille räätälöityä sivuainekokonaisuutta (opinto-oppaassa matematiikan kohdalla). Myös tilastotiede on tärkeä sivuaine kaikilla matematiikan aloilla, erityisesti jos opiskelija on kiinnostunut sovelletusta matematiikasta ja haluaa ehkä tulevaisuudessa toimia yritysmaailmassa tai lääketieteellisessä tutkimuksessa. Yritysja vakuutusmaailmasta kiinnostuneiden opiskelijoiden kannattaa sisällyttää opintoihinsa myös taloustieteen, rahoitusteorian ja taloustieteen kvantitatiivisten menetelmien opintoja. Jos pääaineena on tilastotiede, on matematiikka luonnollisesti tärkein sivuaine, mutta myös tietyt tietojenkäsittelytieteen opinnot ovat pakollisia (Opiskelun ja työelämän tietotekniikka, Tietojenkäsittelytieteen perusteet I sekä Algorirmien ja ohjelmoinnin peruskurssi). Lisäksi tilastotieteilijöiden kannattaa suorittaa jonkin sovellusalan opintoja oman kiinnostuksen mukaan. Opiskelijan, joka aikoo valmistua opettajaksi, kannattaa valita sivuaineekseen fysiikka tai kemia, sillä opettajan virkaa haettaessa ovat opetettavat aineet yleensä matematiikan ja näiden kahden yhdistelmiä. Ollakseen pätevä toimimaan aineenopettajana jossakin aineessa, on opiskelijan sisällytettävä tutkintoonsa 60 opintopisteen kokonaisuus tästä aineesta. Opettajien viroissa yksilöidään yleensä opetettavat aineet. Voidakseen hakea virkaa, jossa opetettavina aineina ovat esimerkiksi matematiikka ja fysiikka, pitää opettajan olla pätevä opettamaan molempia (ja lukiossa lisäksi yhdestä opetettavasta aineesta on oltava suoritettuna 120 op). Tietojenkäsittelytiede ei enää nykyään ole virallinen kouluissa opetettava aine, mutta käytännössä matematiikan opettajat joutuvat usein opettamaan myös tietotekniikkaa ja siksi myös se on hyödyllinen sivuaine. Yhä edelleen suu- 17

20 ri osa opettajanviroista on jopa kolmen aineen (matematiikka, fysiikka ja kemia) virkoja, mikä on varsin ongelmallista, sillä ollakseen pätevä hakemaan tällaista virkaa on opettajan pitänyt suorittaa ylimääräisiä opintoja. Opiskelijan, joka tavoittelee pätevyyttä kolmessa opetettavassa aineessa, kannattaa huomata, että kolmannen opetettavan aineen kokonaisuuden voi täydentää myös valmistumisen jälkeen. Opettajaksi aikovan on suoritettava myös Opettajan pedagogiset opinnot, 60 op. Opinnot on suunniteltu suoritettavaksi yhden lukuvuoden aikana, mutta opintoihin kuuluvia kirjatenttejä on mahdollista suorittaa myös etukäteen. 7.3 Kieliopinnot Pakolliset kieliopinnot kannattaa suorittaa jo opintojen alkuvaiheessa, kun lukion opit ovat vielä muistissa. Kursseja on mahdollista suorittaa myös vapauttavilla kokeilla. Mikäli opiskelijalla on pitkästä englannista L tai E, saa hän suoraan vapautuksen englannin kurssista (toimita todistus näytille Kielikeskukseen). Pakolliset kieliopinnot (ja niiden ohjeelliset suoritusajat) ovat: Virkamiesruotsi 4 op (toisen vuoden syksy). Koostuu kahdesta osasta (suullinen ja kirjallinen viestintä) jotka kuitenkin toteutetaan yhteen integroituna. Englannin kielen tekstin ymmärtäminen 2 op (ensimmäisen vuoden kevät). Suomen kielen kirjallinen viestintä 2 op (kurssille valitaan opiskelijat opintopistemäärän perusteella, eikä sen suorittaminen tämän vuoksi ole yleensä mahdollista ennen kuin toisen vuoden syksynä). Matemaattinen kirjoittaminen 1 op (toisen vuoden kevät). Kirjallisen työn laatimiseen liittyvä opetus 1 op (matematiikan aineen tai tilastotieteen LuK-tutkielman loppuvaiheessa). Mikäli opiskelija epäilee ruotsin taitojensa riittävyyttä, kannattaa jo ensimmäisen opiskeluvuoden aikana ennen virkamiesruotsin kurssia osallistua opintojaksolle Ruotsin valmentava kurssi 1. vuoden opiskelijoille. 8 Tärkeitä pikkujuttuja Jokaisen matematiikan ja tilastotieteen opiskelijan kannattaa ilmoittaa itsensä tutkinto-ohjelman viestintään tarkoitetulle sähköpostilistalle lähettämällä sähköpostia osoitteeseen tuomas.nurmi@utu.fi. Listalaisille voi lähet- 18