Muuttuva puoluekenttä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Muuttuva puoluekenttä"

Transkriptio

1 Helsingin matematiikkalukio Muuttuva puoluekenttä Matemaattinen mallinnus Tekijä: Niko Ilomäki Ohjaaja: Miika Nikula 28. marraskuuta 2011

2 Tiivistelmä Fysiikan tilastolliset mallit ja niiden Monte Carlo -simulaatiot ovat olleet keskeinen fysiikan tutkimushaara viime vuosikymmeninä. Tutkimuksen määrästä huolimatta niitä on sovellettu varsin vähän fysiikan ulkopuolisiin tutkimusasetteluihin. Pottsin malli on fysiikassa keskeinen hilamalli, jota on sovellettu menestyksekkäästi monien fysikaalisten ilmiöiden tutkimiseen. Tutkielmassa analysoidaan miten Pottsin malli asteiltaan potenssijakautuneisiin verkkoihin sovellettuna toimii yhteiskuntatieteellisen tutkimuksen välineenä. Tutkimuskysymyksenä on uuden puolueen kannatuksen muutokset sen alkutaipaleella. Tämän tutkimiseen käytetään edellä mainittua Pottsin mallia verkoille. Saadut tulokset implikoivat ulkoisen kentän suurta vaikutusta mallin käyttäytymiseen. Jatkotutkimusta tarvitaankin ennen kaikkea mallin ulkoisen kentän suhteesta empiirisesti havaittuihin muuttujiin.

3 Sisältö 1 Johdanto Huomautus Historiaa Teoriaa Isingin ja Pottsin mallit Universaaliusperiaate Toteutus Tutkimuskysymys Algoritmit SW-algoritmi Parametrit Konjektuuri Simulaatiot Tulokset Johtopäätökset Viitteet Liitteet Kuvat 1.1 Pieni potenssilain mukainen verkko (mikroskooppinen skaala) Suurempi potenssilain mukainen verkko (makroskooppinen skaala) 3

4 1 Johdanto 1 1 Johdanto Yhteiskunta- ja taloustieteellinen mallinnus on kasvanut nopeasti viimeisen vuosikymmenen aikana ennen kaikkea laskentatehon lisääntymisen myötä. Puhtaan matemaattisten mallien ja varta vasten yhteiskunta- ja taloustieteitä varten kehitettyjen mallien ohella on nousua viime vuosina tehnyt fysikaalisten mallien soveltaminen näille aloille. Tässä tutkielmassa selvitän mahdollisuuksia kuvata uuden puolueen alkuaikojen kannatuskehitystä fysiikan menetelmin. Fysiikan tilastollisiin menetelmiin ja simulaatioihin nojaavat haarat ovat statistinen ja laskennallinen fysiikka. Ensiksi mainitussa keskeisessä asemassa ovat ns. hilamallit (Sethna, 2006, 163). Hilamalleissa joukkoon olioita liitetään dynamiikka siten, että ne vuorovaikuttavat naapureidensa kanssa; esimerkiksi kolmiulotteisessa kuutiohilassa vuorovaikutus kohdistuu niihin kuutioihin, joilla on yhteinen tahko tarkasteltavan kuution kanssa. Viime aikoina joitakin hilamalleja, kuten Isingin ja Pottsin malleja, on alettu soveltamaan myös erilaisiin verkkoihin; fysiikan kannalta mielenkiintoisia ovat täysin kytketyt verkot, kun taas sosioekonomisen tutkimuksen kannalta tärkeimpiä ovat verkot, joiden solmujen asteet (ihmisten kontaktien määrät) ovat jakautuneet potenssilain mukaisesti eli asteen N yleisyys populaatiossa (N-kontaktisten osuus populaatiosta) on kääntäen verrannollinen asteen N johonkin potenssiin. Eräs potenssilain toteuttava jakauma on paretojakauma. Tässä tutkielmassa tarkastellaan paretojakautuneisiin verkkoihin sovellettua Pottsin mallia erityisesti uuden puolueen kasvumahdollisuuksien näkökulmasta. Järjestelmän tasapaino uuden puolueen lisäämisen jälkeen on myös tutkimuksen kohteena. Tutkimuksessa havaittiin uuden puolueen kannatuksen tasapainotilan riippuvan varsin suuresti ulkoiseen kenttään rinnastetusta kerroinparametrista. Tämä parametri yhdistää ulkoiset vaikutteet, kuten suhdannevaihtelut, medianäkyvyyden ja kansainväliset suhteet. 1.1 Huomautus Englannin kielessä yhteiskunta- ja taloustieteisiin sovelletulle fysiikalle on termit 'sociophysics' ja 'econophysics', mutta kumpikaan näistä ei ole laajalti käytetty, eivätkä niiden suomenkieliset vastineet 'sosiofysiikka' ja 'ekonofysiikka' ole myöskään vakiintuneet. Tästä syystä tämä tutkielma, joka on lähinnä sosiofysiikkaa, on asetettu matemaattisen mallinnuksen alalle.

5 1 Johdanto 2 Fig. 1.1: Pieni potenssilain mukainen verkko (mikroskooppinen skaala)

6 1 Johdanto 3 Fig. 1.2: Suurempi potenssilain mukainen verkko (makroskooppinen skaala)

7 2 Historiaa 4 2 Historiaa Statistisessa fysiikassa ferromagnetismin mallintamisen de facto -standardi on Isingin malli, joka on nimetty mallin yksiulotteisessa tapauksessa väitöskirjassaan 1924 ratkaisseen Ernst Isingin mukaan (Dorogovtsev, 2010, 99). Isingin malli on tutkituin statistisen fysiikan malli ja samalla yksinkertaisin mahdollinen malli, jossa vierekkäisten olioiden välillä on aito vuorovaikutus(kemppainen, 2011, 24). Isingin mallia on tutkittu fysiikassa paitsi yksi-, kaksi- ja kolmiulotteisissa tapauksissa, myös mm. täysin kytketyillä verkoilla (Dorogovtsev, 2010, 99). Viime aikoina Isingin mallia on alettu tutkia myös potenssilain toteuttavilla verkoilla esimerkiksi termodynaamisen rajan näkökulmasta (Dommers et al., 2010). Isingin mallin käyttöä mielipiteiden leviämisen mallintamisessa on pohdittu (Dommers, 2010), ja myös tutkittu esimerkiksi senaattorien lahjonnan tapauksessa (Liu et al., 2010). Jo 1971 myöhempi nobelisti Thomas Schelling ehdotti nykyisin hänen mukaansa nimettyä mallia sosiaalisen segregaation mallintamiseen; tämä malli voidaan toteuttaa käyttäen pohjana Isingin mallia (Naldi et al., 2010, 205). 3 Teoriaa 3.1 Isingin ja Pottsin mallit Isingin mallissa on jokin määrä magneettisuutta kuvaavia olioita, spinejä jotka voivat saada arvokseen 1 (Dorogovtsev, 2010, 99). Systeemiä kuvaa Hamiltonin funktio H, jonka arvo riippuu vierekkäisten spinien saman- tai erisuuntaisuuksista; spinit vuorovaikuttavat keskenään, minkä lisäksi niihin kohdistuu mahdollisesti ulkoinen suuntaava kenttä: H = P i;j J ij s i s j H P i s i, missä J on funktio, joka saa arvon 1, kun i ja j ovat samansuuntaiset ja arvon 0, kun ne ovat erisuuntaiset, H on ulkoisen kentän voimakkuus ja s on spinin arvo Dorogovtsev (2010, 99). Vuorovaikutus tapahtuu yhteyksiä pitkin; yhteyksiä voivat olla esimerkiksi rinnakkaisuus N-ulotteisessa hilassa tai särmärelaatio verkossa. Isingin mallin aikakehitystä voidaan simuloida erilaisin Monte Carlo -tyyppisin eli satunnaisuuteen perustuvin algoritmein, joista nopeimpia ovat klusterialgoritmit. Pottsin malli on Isingin mallin yleistys useammalle kuin kahdelle tilalle (Binder ja Landau, 2000, 109).

8 4 Toteutus Universaaliusperiaate Dynaamisissa järjestelmissä makroskooppinen rakenne toteuttaa usein universaaliutena tunnetun periaatteen (Tao, 2011). Yksi universaaliuden ilmenemistavoista on itsejärjestäytynyt kriittisyys (SOC), jota karakterisoivat potenssilain mukaiset todennäköisyydet ja ilmiön ilmeneminen kaikissa kokoluokissa tiettyyn rajaan saakka (Wikipedia-yhteisö, 2011). Esimerkiksi Facebook-kontaktien määrän on todettu olevan potenssijakautunutta (Brue et al., 2009). Tarkemmin erilaisten sosiaalisten verkostojen SOC-ominaisuudesta kirjoittaa (Albert ja Barabasi, 1999). Tässä tutkielmassa ihmisten ystäväpiirien kokoja pidetään itsejärjestäytyneesti kriittisinä. Ystäväpiirien koon ylärajana pidetään noin 150 ihmistä, minkä pohjana ovat antropologi Robin Dunbarin tutkimukset (Dunbar, 1998). 4 Toteutus 4.1 Tutkimuskysymys Tutkimuksessa sovelletaan Pottsin mallia verkkoihin, joiden asteet ovat paretojakautuneita ja toteuttavat näin ollen potenssilain. Pottsin mallin tiloja ovat puolueet, spinejä ihmiset ja verkko kuvaa pientä yhteisöä, esim. kaupunginosaa. Tutkimuskysymyksenä on, miten järjestelmä (puoluekenttä) käyttäytyy kun siihen lisätään uusi tila (puolue) johon kohdistuu ulkoisen kenttä. Ulkoista kenttää vastaavat yhdessä ulkoiset tekijät kuten suhdannevaihtelut, medianäkyvyys ja kansainväliset suhteet. Puolueiden välisiä relaatioita kuvaa etäisyys polittisessa kompassissa (Liite A), joka on konstruoitu Helsingin Sanomien vaalikonedatasta (Mäkinen, 2011). 4.2 Algoritmit Ohjelmoin Pottsin mallia simuloivan ohjelman C++-kielellä käyttäen GSL- (GNUprojekti, 2011) ja Boost-kirjastoja (Dawes et al., 2011). Potenssilain mukaisesti järjestäytyneiden verkkojen luomiseen käytin Power-Law Out-Degree -algoritmia (PLOD), jonka toiminnasta kerrotaan lähteessä (Palmer ja Stean, 2000, ) ja Pottsin mallille klusterityyppistä Swendsen-Wang-algoritmia (SW) (Binder ja Landau, 2000, 135), joka muistuttaa suuresti yleisemmin käytettyä, mutta sellaisenaan vain Isingin mallille toimivaa Woln algoritmia (Krauth, 2006, 257). Verkkojen piirtämiseen käytin R-kieltä ja siihen saatavia extremevalues- (van der Loo,

9 4 Toteutus ), graph- (Falcon et al., 2011) ja Rgraphviz-kirjastoja (Hansen et al., 2011). 4.3 SW-algoritmi Swendsen-Wang-algoritmi on esimerkki klusterialgoritmista. Klusterialgoritmit pyrkivät mahdollisimman nopeasti tasapainotilaa kohti reitistä välittämättä. SWalgoritmi valitsee satunnaisesti spinejä (henkilöitä) ja rakentaa heidän ympärilleen klustereita (piirejä) siten, että todennäköisyys tulla lisätyksi piiriin on samansuuntaiselle spinille (samalle puoluekannalle) 1 e, missä on lämpötilan (ei suoraa sosiaalista vastinetta) Boltzmannin vakiolla jaettu käänteisluku, ja muuten 0. Kun klusteri on rakennettu, rakennetaan uusi klusteri niin, että iteraation lopuksi jokainen kuuluu tasan yhteen klusteriin. Tämän jälkeen jokaiselle klusterille arvotaan erikseen uusi puoluekanta käyttäen annettua todennäköisyysjakaumaa, minkä jälkeen vuorossa on seuraava iteraatio. 4.4 Parametrit Populaation kooksi kiinnitettiin 1050 ihmistä, jolla ajojen kestot pysyivät kohtuullisina. PLOD-algoritmin generoimien yhteyksien (särmien) määräksi valittiin 6300, paretojakauman parametreista oli 1 ja x m oli 3. Näille valinnoille perusteena olivat Dunbarin tutkimukset, joissa hän ehdotti merkityksellisten ihmissuhteiden ylärajan lisäksi myös muita rajoja, kuten lähin piiri 5 ihmistä, läheinen piiri 12 ja säännölliset kontaktit 35 (Dunbar, 1998). 150 ihmisen ylärajaa ajatellen paretojakauman pitkän hännän kompensoi PLOD-algoritmiin asetettu raja, käytännössä ihmisten ystävien määrä vaihteli simulaatioissa alarajaksi asetetusta kolmesta 87 ihmiseen. Pottsin mallin betaparametriksi eli lämpötilan Boltzmannin vakiolla jaetuksi käänteisluvuksi valittiin 0; 1. Tämän taustalla oli ajatus siitä, että klusteriin liitettävän henkilön pitäisi harvoin olla klusterin alkuhenkilön tuttavapiirin ulkopuolella. Valitsemalla tämä todennäköisyys yhdeksi prosentiksi saadaan yhtälö 1 e 2 = 0; 01 mistä ehdolla 0 ratkaistuna = log(0; 9) = 0; ::: 4.5 Konjektuuri Puolueen vaihtamisen todennäköisyyden arvioimiseksi päätettiin parametriksi ottaa puolueiden välinen etäisyys ns. poliittisessa kompassissa. Vertailukohdan saamiseksi otettiin lähtökohdaksi Suomen nykyisten eduskuntapuolueiden mallinnus.

10 5 Tulokset 7 Poliittisen kompassin sijaintien määrittämiseen käytettiin Helsingin Sanomien vaalikonedataa (Mäkinen, 2011) siten, että uuden puolueen asemaan laitettiin Perussuomalaiset. Todennäköisyyksien riippuvuus etäisyydestä konjekturoitiin eksponentiaaliseksi: p / e d, missä on tuntematon parametri ja d on etäisyys väliltä [0; 1]. Parametriksi valittiin koeajojen perusteella 32 sillä tasapainotilan läheisyydessä puolueuskollisuuden pitäisi olla samaa luokkaa kuin Taloustutkimuksen kyselytutkimuksessa (Rahkonen, 2011) valitulla aikaskaalalla, jossa yksi iteraatio vastaa yhtä viikkoa (ja näin ollen 200 iteraatiota noin yhtä vaalikautta). 4.6 Simulaatiot Ajoin kaksi 1000 iteraation ajoa lähtien tilasta, jossa oli seitsemän puoluetta siten, että kunkin kannatus oli 1. Tämän jälkeen otin näiden ajojen viimeiset iteraatiot 7 uusiksi alkutiloiksi ja lisäsin uuden puolueen. Kustakin uudesta alkutilasta tein kymmenen 200 iteraation mittausta kahdella muuttujalla. Ensimmäinen muuttuja sai arvot: Uudella puolueella ei aluksi kannattajia Uudella puolueella aluksi yksi suuri yhtenäinen kannattajablokki (rakennettu henkilön, jolla on eniten ystäviä, ystäväpiiristä mukaanlukien henkilö itse) Toinen muuttuja, joka vastaa ulkoista kenttää, toteutettiin muuttamalla etäisyysfunktiota d(lähtöpuolue, muuttopuolue). Funktiota kerrottiin luvuilla 1; 0,9375; 0.875; 0,75 ja 0,5, silloin kun muuttopuolue oli lisätty uusi puolue (mutta ei, kun se oli lähtöpuolue). Tämä symmetriarikko johti mielenkiintoisiin tuloksiin, joista seuraavaksi. 5 Tulokset Tehdyt 20 mittausta eivät riitä tilastollisesti päteviin yleistyksiin. Havaittiin kuitenkin seuraavaa: Ilman ulkoista kenttää uuden puolueen kannatus vakiintui molemmilla alustuksilla noin 8-10 prosenttiin, mikäli puolue sai alkublokin. Kun puolue ei saanut alkublokkia, kannatus jatkoi kasvuaan läpi 200 iteraation saavuttamatta rajojaan, pysyen kuitenkin selvästi alle 10 prosentissa. Jo heikko ulkoinen kenttä (etäisyyden kerroin 0,9375) aiheutti alkublokilla 2-3 prosenttiyksikköä korkeamman tasapainokannatuksen. Voimakkaammilla ulkoisil-

11 6 Johtopäätökset 8 la kentillä kannatus jatkoi pysähtymättä kasvuaan tutkitun jakson molemmilla alustuksilla ja alkublokin olemassaolosta riippumatta. Voimakkaimmalla kentällä (etäisyyden kerroin 0,5) uuden puolueen kannatus kasvoi 50 prosenttiin ja yli. Raakadatasta laskettuja tunnuslukuja on liitteessä B. 6 Johtopäätökset Pottsin malli vaikuttaisi soveltuvan perustelluin parametrein puoluekentän muutosten kuvaamiseen. Ulkoisen kentän vaikutus mallin käyttäytymiseen on huomattava, joten mikäli tulevaisuudessa ulkoinen kenttä saadaan kytkettyä empiirisesti havaittuihin muuttujiin, avaa se runsaasti mahdollisuuksia poliittiseen analyysiin. Tällöin voisi tutkia esimerkiksi rajaa, jossa useiden (>3) puolueiden järjestelmä romahtaa diktatuuriseen yksipuoluejärjestelmään. Mielenkiintoinen jatkotutkimuksen kohde voisi myöskin olla puolueiden järjestäytyminen ilman ulkoista kenttää mielivaltaisilla puolueiden määrillä ja siirtymätodennäköisyyksillä.

12 6 Johtopäätökset 9 Viitteet Albert, Reka ja Barabasi, Albert-Laszlo, 1999, Emergence of Scaling in Random Networks, Science, osa 15. lokakuuta 1999, , arxiv:cond-mat/ v1 [cond-mat.dis-nn], saatavilla: Binder, Kurt ja Landau, David P., 2000, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press, Cambridge Brue, Bryce, Puttaswamy, Krishna P. N., Sala, Alessandra, Wilson, Christo ja Zhao, Ben Y., 2009, User Interactions in Social Networks and their Implications, ACM EuroSys 2009, saatavilla: alessandra/papers/interaction-eurosys09.pdf Dawes, Beman, Klarer, Robert et al., 2011, Boost C++ Libraries, Dommers, Sander, 2010, Ising models on power-law random graphs, seminaariesitys (YEP VII 2010), saatavilla: sdommers/les/dommersyepvii.pdf Dommers, Sander, Giardinà, Cristian ja van der Hofstad, Remco, 2010, Ising models on power-law random graphs, arxiv: v2 [math.pr], saatavilla: Dorogovtsev, Sergey N., 2010, Lectures on Complex Networks, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 20, Oxford University Press, Oxford Dunbar, Robin I. M., 1998, The Social Brain Hypothesis, Evolutionary Anthropology, osa 5/1998, , saatavilla: Falcon, Seth et al., 2011, graph (Bioconductor), GNU-projekti, 2011, GNU Scientic Library, Hansen, Kasper et al., 2011, Rgraphviz (Bioconductor),

13 6 Johtopäätökset 10 Kemppainen, Antti, 2011, Konformi-invarianssia tilastollisessa fysiikassa, Arkhimedes, osa 1/2011, 1630 Krauth, Werner, 2006, Statistical Mechanics: Algorithms and Computations, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 13, Oxford University Press, Oxford Liu, Shihuan, Shakkottai, Srinivas ja Ying, Lei, 2010, Inuence Maximixation in Social Networks: An Ising-model-based Approach, Allerton Conference 2010, saatavilla: sshakkot/index_les/isingallerton.pdf ja inl.ece.iastate.edu/publications/liuyinsha_10.pdf Mäkinen, Esa, 2011, Avodataa: Valittujen kansanedustajien arvomaailma, saatavilla: (luettu ) Naldi, Giovanni, Pareschi, Lorenzo ja Toscani, Giuseppe (toim.), 2010, Mathematical Modeling of Collective Behavior in Socio-Economic and Life Sciences, Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology, Birkhäuser, Boston Palmer, C. R. ja Stean, J. G., 2000, Generating network topologies that obey power laws, Global Telecommunication Conference, GLOBECOM '00., IEEE, New York City, , saatavilla: stean/items/globecom.ps Rahkonen, Juho, 2011, Perussuomalaisten ruumiinavaus, Yhteiskuntapolitiikka, osa 76, 4/2011, , saatavilla: Sethna, James P., 2006, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 14, Oxford University Press, Oxford Tao, Terence, 2011, Universality, luento (Trinity Mathematical Society), saatavilla: terrytao.les.wordpress.com/2011/01/universality.pdf van der Loo, Mark P. J., 2010, extremevalues, Wikipedia-yhteisö, 2011, Universality (dynamical systems), (luettu )

14 Liitteet Liite A Vihr Vas Sdp Rkp Kok Kesk Kd Ps Vihr 0,000 0,254 0,309 0,267 0,409 0,425 0,366 0,570 Vas 0,254 0,000 0,164 0,435 0,533 0,504 0,368 0,538 Sdp 0,309 0,164 0,000 0,376 0,432 0,382 0,227 0,377 Rkp 0,267 0,435 0,376 0,000 0,151 0,200 0,251 0,418 Kok 0,409 0,533 0,432 0,151 0,000 0,090 0,233 0,329 Kesk 0,425 0,504 0,382 0,200 0,090 0,000 0,163 0,240 Kd 0,366 0,368 0,227 0,251 0,233 0,163 0,000 0,204 Ps 0,570 0,538 0,377 0,418 0,329 0,240 0,204 0,000 Liite B Alustus Blokki d-% Min Min(iter-#) Max Max(iter-#) A Q 1 ei ,72 38,71 17,12 2 ei ,35 33,40 13,96 1 ei 93, ,64 49,54 21,50 2 ei 93, ,36 49,59 20,05 1 ei 87, ,58 71,25 30,11 2 ei 87, ,38 67,55 28,21 1 ei , ,71 128,73 52,12 2 ei ,69 130,68 52,45 1 ei ,56 390,26 131,17 2 ei ,43 385,70 126,32 1 on (88) , ,27 97,36 4,09 2 on (74) , 5-11, ,66 84,98 7,35 1 on (88) 93, , , , 194, ,78 115,55 13,36 2 on (74) 93, ,06 97,99 13,47 1 on (88) 87, ,01 125,18 17,08 2 on (74) 87, ,75 117,73 21,50 1 on (88) ,65 188,09 44,94 2 on (74) ,10 172,91 44,45 1 on (88) ,39 447,27 121,75 2 on (74) ,38 431,30 119,63 Alustus: käytetyn alkutilan tunnus Blokki: alkublokin olemassaolo ja mahdollisen alkublokin koko d-%: etäisyysfunktion kerroin Min: pienin havaittu kannattajien määrä Min(iter-#): iteraatio(t), jo(i)lla pienin kannattajien määrä havaittiin

15 6 Johtopäätökset 12 Max: suurin havaittu kannattajien määrä Max(iter-#): iteraatio(t), jo(i)lla suurin kannattajien määrä havaittiin A: (aritmeettinen) keskiarvo, A = P n k=1 x k n Q: kvadraattinen keskiarvo eli Root Mean Square (RMS), Q = RMS = : keskihajonta, = r Pn k=1 (x k A)2 n r Pn k=1 x2 k Huom! Koska algoritmi pyrkii ainoastaan mahdollisimman nopeasti tasapainotilan läheisyyteen, eikä välitä välissä tapahtuvista muutoksista, olennaisimmat tunnusluvut ovat keskihajonta ja keskiarvot suhteessa maksimiin, sillä ne kertovat parhaiten siitä, kuinka lähellä tasapainotilaa ajon lopussa ollaan. n

LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä

LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

6. Yhteenvetoa kurssista

6. Yhteenvetoa kurssista Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 17.2. 12.3.2009. Marraskuun 2008 alusta lähtien kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 17.2. 12.3.2009. Marraskuun 2008 alusta lähtien kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, 17.2..12.3.2009 Toteutus YLE Uutiset Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on tehnyt Taloustutkimus Oy YLE Uutisten

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 3. 27.1.2011. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 3. 27.1.2011. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, tammikuu 2011 (3. 27.1.2011) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 23.3-15.4.2015 Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 23.3-15.4.2015 Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, huhtikuu 2015 (23.3.-15.4.2015) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 2. 26.11.2009. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 2. 26.11.2009. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, MARRAS 2009 (2. 26.11.2009) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on tehnyt Taloustutkimus Oy YLE Uutisten

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus

Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus Tony Nysten 11.4.2011 Ohjaaja: DI Simo Heliövaara Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Väkijoukon toiminta evakuointitilanteessa Uhkaavan tilanteen huomanneen

Lisätiedot

Social Network Analysis Centrality And Prestige

Social Network Analysis Centrality And Prestige Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Social Network Analysis Centrality And Prestige Sosiaalisten verkostojen analyysi Keskeisyys ja arvostus 6.2.2009 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, syys-lokakuu 2011 (14.9. 6.10.2011) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, huhtikuu 2016 (4.4.-3.5.2016) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, toukokuu 2013 (29.4.-28.5.2013) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE

Lisätiedot

PERSU EI MYY P****TTÄÄN POLITIIKAN PELIKENTTÄ MIELIPIDETUTKIMUSTEN VALOSSA

PERSU EI MYY P****TTÄÄN POLITIIKAN PELIKENTTÄ MIELIPIDETUTKIMUSTEN VALOSSA PERSU EI MYY P****TTÄÄN POLITIIKAN PELIKENTTÄ MIELIPIDETUTKIMUSTEN VALOSSA Suomen Markkinointitutkimusseura 18.11.2014 Juho Rahkonen POLIITTINEN YLEISTILANNE MARRASKUUSSA 2014 Vielä muutama vuosi sitten

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Satunnaislukujen generointi

Satunnaislukujen generointi Satunnaislukujen generointi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Satunnaislukujen generointi 1/27 Kevät 2003 Lähteet Knuth, D., The Art of Computer Programming,

Lisätiedot

Johnson, A Theoretician's Guide to the Experimental Analysis of Algorithms.

Johnson, A Theoretician's Guide to the Experimental Analysis of Algorithms. Kokeellinen algoritmiikka (3 ov) syventäviä opintoja edeltävät opinnot: ainakin Tietorakenteet hyödyllisiä opintoja: ASA, Algoritmiohjelmointi suoritus harjoitustyöllä (ei tenttiä) Kirjallisuutta: Johnson,

Lisätiedot

BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto. Metodifestivaali

BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto. Metodifestivaali BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto Metodifestivaali 28.5.2009 1 1 Mitä ihmettä on bootstrap? Webster: 1. a loop of leather or cloth sewn at the top rear, or sometimes on each side of a boot

Lisätiedot

YLE Uutiset. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, Maalis-huhtikuu 2017 ( ) Toteutus. Tutkimus- ja otantamenetelmä. Tutkimuksen ajankohta

YLE Uutiset. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, Maalis-huhtikuu 2017 ( ) Toteutus. Tutkimus- ja otantamenetelmä. Tutkimuksen ajankohta PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, Maalis-huhtikuu 2017 (29.3.-4.4.2017) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden kuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen

Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Janne Laitonen 8.10.2008 Maynard Smith: s. 54-60 Johdanto Käytös voi usein olla opittua perityn sijasta Tyypillistä käytöksen muuttuminen ja riippuvuus aikaisemmista

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

YLE Uutiset PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT. Huhtikuu 2017 ( )

YLE Uutiset PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT. Huhtikuu 2017 ( ) YLE Uutiset PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT Huhtikuu 2017 (10.4.-9.5.2017) 1 11.5.2017 Tutkimuksen toteutus: Tilaaja Toteuttaja YLE Uutiset Taloustutkimus Oy Tiedonkeruun ajankohta 10.4.-9.5.2017 Kohde Tiedonkeruumenetelmä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento 13.4.2010 Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan

Lisätiedot

GA & robot path planning. Janne Haapsaari AUTO Geneettiset algoritmit

GA & robot path planning. Janne Haapsaari AUTO Geneettiset algoritmit GA & robot path planning Janne Haapsaari AUTO3070 - Geneettiset algoritmit GA robotiikassa Sovelluksia liikkeen optimoinnissa: * eri vapausasteisten robottien liikeratojen optimointi * autonomisten robottien

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä

Lisätiedot

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Panu Luosto 23. marraskuuta 2007 3 4 putki 1 2 α α+1 α+2 α+3 0 K 1 kehä K 2 K 3 K 4 Lähdeartikkeli Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph

Lisätiedot

Experiment Finnish (Finland) Hyppivät helmet - Faasimuutosten ja epätasapainotilojen mekaaninen malli (10 pistettä)

Experiment Finnish (Finland) Hyppivät helmet - Faasimuutosten ja epätasapainotilojen mekaaninen malli (10 pistettä) Q2-1 Hyppivät helmet - Faasimuutosten ja epätasapainotilojen mekaaninen malli (10 pistettä) Lue yleisohjeet erillisestä kuoresta ennen tämän tehtävän aloittamista. Johdanto Faasimuutokset ovat tuttuja

Lisätiedot

Positiivisen psykologian vuorovaikutusmalli

Positiivisen psykologian vuorovaikutusmalli Positiivisen psykologian vuorovaikutusmalli (Valmiin työn esittely) 9.5.2011 Ohjaaja ja valvoja: Raimo P. Hämäläinen Sisältö Positiivinen psykologia Vuorovaikutusmalli positiivisuuden leviämisestä ryhmissä

Lisätiedot

FSD2275. Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007. Koodikirja

FSD2275. Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007. Koodikirja FSD2275 Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007 Koodikirja YHTEISKUNTATIETEELLINEN TIETOARKISTO c Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto, 2007 Tämän koodikirjan viittaustiedot:

Lisätiedot

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z. FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,

Lisätiedot

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Master's Programme in Life Science Technologies (LifeTech) Prof. Juho Rousu Director of the Life Science Technologies programme 3.1.

Master's Programme in Life Science Technologies (LifeTech) Prof. Juho Rousu Director of the Life Science Technologies programme 3.1. Master's Programme in Life Science Technologies (LifeTech) Prof. Juho Rousu Director of the Life Science Technologies programme 3.1.2017 Life Science Technologies Where Life Sciences meet with Technology

Lisätiedot

2. Arvon ja hyödyn mittaaminen

2. Arvon ja hyödyn mittaaminen 2. Arvon ja hyödyn mittaaminen 1 2 Arvon ja hyödyn mittaaminen 2.1 Miksi tarvitsemme arvofunktiota? Arvofunktio on preferenssien (mieltymysten) matemaattinen kuvaus. Arvofunktio kuvaa päätöskriteeriä vastaavan

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Kon Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala

Kon Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala Kon 16.4011 Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala Simulointi käytännössä 1/3 Simulaatiomalleja helppo analysoida Ymmärretään ongelmaa paremmin - Opitaan ymmärtämään koneen toimintaa ja siihen vaikuttavia

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea. Arvostus Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 8..0 in idea on määrittää verkoston solmuille arvostusta kuvaavat tunnusluvut. Voidaan ajatella

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 1: lämpötila, Boltzmannin jakauma Ke 22.2.2017 1 Richard Feynmanin miete If,

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Kuntavaalikysely Jyty

Kuntavaalikysely Jyty Kuntavaalikysely 2017 Jyty 28.3.2017 Tutkimuksen taustaa Aula Research Oy toteutti kyselytutkimuksen kevään 2017 kuntavaaleissa ehdokkaaksi asettuvien parissa Tässä esityksessä yhteenveto yhdestä tutkimuksen

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

FYSIIKKA. Tapio Rantala Fysiikka Tampereen teknillinen yliopisto Mensa

FYSIIKKA. Tapio Rantala Fysiikka Tampereen teknillinen yliopisto  Mensa FILOSOFIAA? ARKIPÄIVÄÄ? FYSIIKKA TEKNIIKKAA? TIEDETTÄ? 1 Tapio Rantala Fysiikka Tampereen teknillinen yliopisto http://www.tut.fi/~trantala SISÄLTÖ FILOSOFIAA VAI ARKIPÄIVÄÄ TEKNIIKKAA VAI TIEDETTÄ INNOVAATIO

Lisätiedot

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI 2008-2009 Muutokset on hyväksytty teknillisen tiedekunnan tiedekuntaneuvostossa 13.2.2008 ja 19.3.2008. POISTUVAT OPINTOJAKSOT:

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä

Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä Juuso Meriläinen 27.11.2015 Juuso Meriläinen Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä 1 / 11 Johdanto

Lisätiedot

Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari

Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki 30.11.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma Päätöksen muodostaminen hajautetussa järjestelmässä Prosessien välinen viestintä

Lisätiedot

ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä

ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä Esa Ollila Aalto University, Department of Signal Processing and Acoustics, Finland esa.ollila@aalto.fi http://signal.hut.fi/~esollila/ Kevät 2017 E. Ollila

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n)) Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Evoluutiopohjainen monitavoiteoptimointi MCDM ja EMO Monitavoiteoptimointi kuuluu

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen data

Sosiaalisten verkostojen data Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä

Lisätiedot

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä

Lisätiedot

Tietoja Manner-Suomen kuntien valtuuston ja hallituksen puheenjohtajista

Tietoja Manner-Suomen kuntien valtuuston ja hallituksen puheenjohtajista Tietoja Manner-Suomen kuntien valtuuston ja hallituksen puheenjohtajista 1.6.2017 alkaneella valtuustokaudella sekä vertailutietoa edellisiltä valtuustokausilta Sirkka-Liisa Piipponen & Marianne Pekola-Sjöblom

Lisätiedot