Muuttuva puoluekenttä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Muuttuva puoluekenttä"

Transkriptio

1 Helsingin matematiikkalukio Muuttuva puoluekenttä Matemaattinen mallinnus Tekijä: Niko Ilomäki Ohjaaja: Miika Nikula 28. marraskuuta 2011

2 Tiivistelmä Fysiikan tilastolliset mallit ja niiden Monte Carlo -simulaatiot ovat olleet keskeinen fysiikan tutkimushaara viime vuosikymmeninä. Tutkimuksen määrästä huolimatta niitä on sovellettu varsin vähän fysiikan ulkopuolisiin tutkimusasetteluihin. Pottsin malli on fysiikassa keskeinen hilamalli, jota on sovellettu menestyksekkäästi monien fysikaalisten ilmiöiden tutkimiseen. Tutkielmassa analysoidaan miten Pottsin malli asteiltaan potenssijakautuneisiin verkkoihin sovellettuna toimii yhteiskuntatieteellisen tutkimuksen välineenä. Tutkimuskysymyksenä on uuden puolueen kannatuksen muutokset sen alkutaipaleella. Tämän tutkimiseen käytetään edellä mainittua Pottsin mallia verkoille. Saadut tulokset implikoivat ulkoisen kentän suurta vaikutusta mallin käyttäytymiseen. Jatkotutkimusta tarvitaankin ennen kaikkea mallin ulkoisen kentän suhteesta empiirisesti havaittuihin muuttujiin.

3 Sisältö 1 Johdanto Huomautus Historiaa Teoriaa Isingin ja Pottsin mallit Universaaliusperiaate Toteutus Tutkimuskysymys Algoritmit SW-algoritmi Parametrit Konjektuuri Simulaatiot Tulokset Johtopäätökset Viitteet Liitteet Kuvat 1.1 Pieni potenssilain mukainen verkko (mikroskooppinen skaala) Suurempi potenssilain mukainen verkko (makroskooppinen skaala) 3

4 1 Johdanto 1 1 Johdanto Yhteiskunta- ja taloustieteellinen mallinnus on kasvanut nopeasti viimeisen vuosikymmenen aikana ennen kaikkea laskentatehon lisääntymisen myötä. Puhtaan matemaattisten mallien ja varta vasten yhteiskunta- ja taloustieteitä varten kehitettyjen mallien ohella on nousua viime vuosina tehnyt fysikaalisten mallien soveltaminen näille aloille. Tässä tutkielmassa selvitän mahdollisuuksia kuvata uuden puolueen alkuaikojen kannatuskehitystä fysiikan menetelmin. Fysiikan tilastollisiin menetelmiin ja simulaatioihin nojaavat haarat ovat statistinen ja laskennallinen fysiikka. Ensiksi mainitussa keskeisessä asemassa ovat ns. hilamallit (Sethna, 2006, 163). Hilamalleissa joukkoon olioita liitetään dynamiikka siten, että ne vuorovaikuttavat naapureidensa kanssa; esimerkiksi kolmiulotteisessa kuutiohilassa vuorovaikutus kohdistuu niihin kuutioihin, joilla on yhteinen tahko tarkasteltavan kuution kanssa. Viime aikoina joitakin hilamalleja, kuten Isingin ja Pottsin malleja, on alettu soveltamaan myös erilaisiin verkkoihin; fysiikan kannalta mielenkiintoisia ovat täysin kytketyt verkot, kun taas sosioekonomisen tutkimuksen kannalta tärkeimpiä ovat verkot, joiden solmujen asteet (ihmisten kontaktien määrät) ovat jakautuneet potenssilain mukaisesti eli asteen N yleisyys populaatiossa (N-kontaktisten osuus populaatiosta) on kääntäen verrannollinen asteen N johonkin potenssiin. Eräs potenssilain toteuttava jakauma on paretojakauma. Tässä tutkielmassa tarkastellaan paretojakautuneisiin verkkoihin sovellettua Pottsin mallia erityisesti uuden puolueen kasvumahdollisuuksien näkökulmasta. Järjestelmän tasapaino uuden puolueen lisäämisen jälkeen on myös tutkimuksen kohteena. Tutkimuksessa havaittiin uuden puolueen kannatuksen tasapainotilan riippuvan varsin suuresti ulkoiseen kenttään rinnastetusta kerroinparametrista. Tämä parametri yhdistää ulkoiset vaikutteet, kuten suhdannevaihtelut, medianäkyvyyden ja kansainväliset suhteet. 1.1 Huomautus Englannin kielessä yhteiskunta- ja taloustieteisiin sovelletulle fysiikalle on termit 'sociophysics' ja 'econophysics', mutta kumpikaan näistä ei ole laajalti käytetty, eivätkä niiden suomenkieliset vastineet 'sosiofysiikka' ja 'ekonofysiikka' ole myöskään vakiintuneet. Tästä syystä tämä tutkielma, joka on lähinnä sosiofysiikkaa, on asetettu matemaattisen mallinnuksen alalle.

5 1 Johdanto 2 Fig. 1.1: Pieni potenssilain mukainen verkko (mikroskooppinen skaala)

6 1 Johdanto 3 Fig. 1.2: Suurempi potenssilain mukainen verkko (makroskooppinen skaala)

7 2 Historiaa 4 2 Historiaa Statistisessa fysiikassa ferromagnetismin mallintamisen de facto -standardi on Isingin malli, joka on nimetty mallin yksiulotteisessa tapauksessa väitöskirjassaan 1924 ratkaisseen Ernst Isingin mukaan (Dorogovtsev, 2010, 99). Isingin malli on tutkituin statistisen fysiikan malli ja samalla yksinkertaisin mahdollinen malli, jossa vierekkäisten olioiden välillä on aito vuorovaikutus(kemppainen, 2011, 24). Isingin mallia on tutkittu fysiikassa paitsi yksi-, kaksi- ja kolmiulotteisissa tapauksissa, myös mm. täysin kytketyillä verkoilla (Dorogovtsev, 2010, 99). Viime aikoina Isingin mallia on alettu tutkia myös potenssilain toteuttavilla verkoilla esimerkiksi termodynaamisen rajan näkökulmasta (Dommers et al., 2010). Isingin mallin käyttöä mielipiteiden leviämisen mallintamisessa on pohdittu (Dommers, 2010), ja myös tutkittu esimerkiksi senaattorien lahjonnan tapauksessa (Liu et al., 2010). Jo 1971 myöhempi nobelisti Thomas Schelling ehdotti nykyisin hänen mukaansa nimettyä mallia sosiaalisen segregaation mallintamiseen; tämä malli voidaan toteuttaa käyttäen pohjana Isingin mallia (Naldi et al., 2010, 205). 3 Teoriaa 3.1 Isingin ja Pottsin mallit Isingin mallissa on jokin määrä magneettisuutta kuvaavia olioita, spinejä jotka voivat saada arvokseen 1 (Dorogovtsev, 2010, 99). Systeemiä kuvaa Hamiltonin funktio H, jonka arvo riippuu vierekkäisten spinien saman- tai erisuuntaisuuksista; spinit vuorovaikuttavat keskenään, minkä lisäksi niihin kohdistuu mahdollisesti ulkoinen suuntaava kenttä: H = P i;j J ij s i s j H P i s i, missä J on funktio, joka saa arvon 1, kun i ja j ovat samansuuntaiset ja arvon 0, kun ne ovat erisuuntaiset, H on ulkoisen kentän voimakkuus ja s on spinin arvo Dorogovtsev (2010, 99). Vuorovaikutus tapahtuu yhteyksiä pitkin; yhteyksiä voivat olla esimerkiksi rinnakkaisuus N-ulotteisessa hilassa tai särmärelaatio verkossa. Isingin mallin aikakehitystä voidaan simuloida erilaisin Monte Carlo -tyyppisin eli satunnaisuuteen perustuvin algoritmein, joista nopeimpia ovat klusterialgoritmit. Pottsin malli on Isingin mallin yleistys useammalle kuin kahdelle tilalle (Binder ja Landau, 2000, 109).

8 4 Toteutus Universaaliusperiaate Dynaamisissa järjestelmissä makroskooppinen rakenne toteuttaa usein universaaliutena tunnetun periaatteen (Tao, 2011). Yksi universaaliuden ilmenemistavoista on itsejärjestäytynyt kriittisyys (SOC), jota karakterisoivat potenssilain mukaiset todennäköisyydet ja ilmiön ilmeneminen kaikissa kokoluokissa tiettyyn rajaan saakka (Wikipedia-yhteisö, 2011). Esimerkiksi Facebook-kontaktien määrän on todettu olevan potenssijakautunutta (Brue et al., 2009). Tarkemmin erilaisten sosiaalisten verkostojen SOC-ominaisuudesta kirjoittaa (Albert ja Barabasi, 1999). Tässä tutkielmassa ihmisten ystäväpiirien kokoja pidetään itsejärjestäytyneesti kriittisinä. Ystäväpiirien koon ylärajana pidetään noin 150 ihmistä, minkä pohjana ovat antropologi Robin Dunbarin tutkimukset (Dunbar, 1998). 4 Toteutus 4.1 Tutkimuskysymys Tutkimuksessa sovelletaan Pottsin mallia verkkoihin, joiden asteet ovat paretojakautuneita ja toteuttavat näin ollen potenssilain. Pottsin mallin tiloja ovat puolueet, spinejä ihmiset ja verkko kuvaa pientä yhteisöä, esim. kaupunginosaa. Tutkimuskysymyksenä on, miten järjestelmä (puoluekenttä) käyttäytyy kun siihen lisätään uusi tila (puolue) johon kohdistuu ulkoisen kenttä. Ulkoista kenttää vastaavat yhdessä ulkoiset tekijät kuten suhdannevaihtelut, medianäkyvyys ja kansainväliset suhteet. Puolueiden välisiä relaatioita kuvaa etäisyys polittisessa kompassissa (Liite A), joka on konstruoitu Helsingin Sanomien vaalikonedatasta (Mäkinen, 2011). 4.2 Algoritmit Ohjelmoin Pottsin mallia simuloivan ohjelman C++-kielellä käyttäen GSL- (GNUprojekti, 2011) ja Boost-kirjastoja (Dawes et al., 2011). Potenssilain mukaisesti järjestäytyneiden verkkojen luomiseen käytin Power-Law Out-Degree -algoritmia (PLOD), jonka toiminnasta kerrotaan lähteessä (Palmer ja Stean, 2000, ) ja Pottsin mallille klusterityyppistä Swendsen-Wang-algoritmia (SW) (Binder ja Landau, 2000, 135), joka muistuttaa suuresti yleisemmin käytettyä, mutta sellaisenaan vain Isingin mallille toimivaa Woln algoritmia (Krauth, 2006, 257). Verkkojen piirtämiseen käytin R-kieltä ja siihen saatavia extremevalues- (van der Loo,

9 4 Toteutus ), graph- (Falcon et al., 2011) ja Rgraphviz-kirjastoja (Hansen et al., 2011). 4.3 SW-algoritmi Swendsen-Wang-algoritmi on esimerkki klusterialgoritmista. Klusterialgoritmit pyrkivät mahdollisimman nopeasti tasapainotilaa kohti reitistä välittämättä. SWalgoritmi valitsee satunnaisesti spinejä (henkilöitä) ja rakentaa heidän ympärilleen klustereita (piirejä) siten, että todennäköisyys tulla lisätyksi piiriin on samansuuntaiselle spinille (samalle puoluekannalle) 1 e, missä on lämpötilan (ei suoraa sosiaalista vastinetta) Boltzmannin vakiolla jaettu käänteisluku, ja muuten 0. Kun klusteri on rakennettu, rakennetaan uusi klusteri niin, että iteraation lopuksi jokainen kuuluu tasan yhteen klusteriin. Tämän jälkeen jokaiselle klusterille arvotaan erikseen uusi puoluekanta käyttäen annettua todennäköisyysjakaumaa, minkä jälkeen vuorossa on seuraava iteraatio. 4.4 Parametrit Populaation kooksi kiinnitettiin 1050 ihmistä, jolla ajojen kestot pysyivät kohtuullisina. PLOD-algoritmin generoimien yhteyksien (särmien) määräksi valittiin 6300, paretojakauman parametreista oli 1 ja x m oli 3. Näille valinnoille perusteena olivat Dunbarin tutkimukset, joissa hän ehdotti merkityksellisten ihmissuhteiden ylärajan lisäksi myös muita rajoja, kuten lähin piiri 5 ihmistä, läheinen piiri 12 ja säännölliset kontaktit 35 (Dunbar, 1998). 150 ihmisen ylärajaa ajatellen paretojakauman pitkän hännän kompensoi PLOD-algoritmiin asetettu raja, käytännössä ihmisten ystävien määrä vaihteli simulaatioissa alarajaksi asetetusta kolmesta 87 ihmiseen. Pottsin mallin betaparametriksi eli lämpötilan Boltzmannin vakiolla jaetuksi käänteisluvuksi valittiin 0; 1. Tämän taustalla oli ajatus siitä, että klusteriin liitettävän henkilön pitäisi harvoin olla klusterin alkuhenkilön tuttavapiirin ulkopuolella. Valitsemalla tämä todennäköisyys yhdeksi prosentiksi saadaan yhtälö 1 e 2 = 0; 01 mistä ehdolla 0 ratkaistuna = log(0; 9) = 0; ::: 4.5 Konjektuuri Puolueen vaihtamisen todennäköisyyden arvioimiseksi päätettiin parametriksi ottaa puolueiden välinen etäisyys ns. poliittisessa kompassissa. Vertailukohdan saamiseksi otettiin lähtökohdaksi Suomen nykyisten eduskuntapuolueiden mallinnus.

10 5 Tulokset 7 Poliittisen kompassin sijaintien määrittämiseen käytettiin Helsingin Sanomien vaalikonedataa (Mäkinen, 2011) siten, että uuden puolueen asemaan laitettiin Perussuomalaiset. Todennäköisyyksien riippuvuus etäisyydestä konjekturoitiin eksponentiaaliseksi: p / e d, missä on tuntematon parametri ja d on etäisyys väliltä [0; 1]. Parametriksi valittiin koeajojen perusteella 32 sillä tasapainotilan läheisyydessä puolueuskollisuuden pitäisi olla samaa luokkaa kuin Taloustutkimuksen kyselytutkimuksessa (Rahkonen, 2011) valitulla aikaskaalalla, jossa yksi iteraatio vastaa yhtä viikkoa (ja näin ollen 200 iteraatiota noin yhtä vaalikautta). 4.6 Simulaatiot Ajoin kaksi 1000 iteraation ajoa lähtien tilasta, jossa oli seitsemän puoluetta siten, että kunkin kannatus oli 1. Tämän jälkeen otin näiden ajojen viimeiset iteraatiot 7 uusiksi alkutiloiksi ja lisäsin uuden puolueen. Kustakin uudesta alkutilasta tein kymmenen 200 iteraation mittausta kahdella muuttujalla. Ensimmäinen muuttuja sai arvot: Uudella puolueella ei aluksi kannattajia Uudella puolueella aluksi yksi suuri yhtenäinen kannattajablokki (rakennettu henkilön, jolla on eniten ystäviä, ystäväpiiristä mukaanlukien henkilö itse) Toinen muuttuja, joka vastaa ulkoista kenttää, toteutettiin muuttamalla etäisyysfunktiota d(lähtöpuolue, muuttopuolue). Funktiota kerrottiin luvuilla 1; 0,9375; 0.875; 0,75 ja 0,5, silloin kun muuttopuolue oli lisätty uusi puolue (mutta ei, kun se oli lähtöpuolue). Tämä symmetriarikko johti mielenkiintoisiin tuloksiin, joista seuraavaksi. 5 Tulokset Tehdyt 20 mittausta eivät riitä tilastollisesti päteviin yleistyksiin. Havaittiin kuitenkin seuraavaa: Ilman ulkoista kenttää uuden puolueen kannatus vakiintui molemmilla alustuksilla noin 8-10 prosenttiin, mikäli puolue sai alkublokin. Kun puolue ei saanut alkublokkia, kannatus jatkoi kasvuaan läpi 200 iteraation saavuttamatta rajojaan, pysyen kuitenkin selvästi alle 10 prosentissa. Jo heikko ulkoinen kenttä (etäisyyden kerroin 0,9375) aiheutti alkublokilla 2-3 prosenttiyksikköä korkeamman tasapainokannatuksen. Voimakkaammilla ulkoisil-

11 6 Johtopäätökset 8 la kentillä kannatus jatkoi pysähtymättä kasvuaan tutkitun jakson molemmilla alustuksilla ja alkublokin olemassaolosta riippumatta. Voimakkaimmalla kentällä (etäisyyden kerroin 0,5) uuden puolueen kannatus kasvoi 50 prosenttiin ja yli. Raakadatasta laskettuja tunnuslukuja on liitteessä B. 6 Johtopäätökset Pottsin malli vaikuttaisi soveltuvan perustelluin parametrein puoluekentän muutosten kuvaamiseen. Ulkoisen kentän vaikutus mallin käyttäytymiseen on huomattava, joten mikäli tulevaisuudessa ulkoinen kenttä saadaan kytkettyä empiirisesti havaittuihin muuttujiin, avaa se runsaasti mahdollisuuksia poliittiseen analyysiin. Tällöin voisi tutkia esimerkiksi rajaa, jossa useiden (>3) puolueiden järjestelmä romahtaa diktatuuriseen yksipuoluejärjestelmään. Mielenkiintoinen jatkotutkimuksen kohde voisi myöskin olla puolueiden järjestäytyminen ilman ulkoista kenttää mielivaltaisilla puolueiden määrillä ja siirtymätodennäköisyyksillä.

12 6 Johtopäätökset 9 Viitteet Albert, Reka ja Barabasi, Albert-Laszlo, 1999, Emergence of Scaling in Random Networks, Science, osa 15. lokakuuta 1999, , arxiv:cond-mat/ v1 [cond-mat.dis-nn], saatavilla: Binder, Kurt ja Landau, David P., 2000, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press, Cambridge Brue, Bryce, Puttaswamy, Krishna P. N., Sala, Alessandra, Wilson, Christo ja Zhao, Ben Y., 2009, User Interactions in Social Networks and their Implications, ACM EuroSys 2009, saatavilla: alessandra/papers/interaction-eurosys09.pdf Dawes, Beman, Klarer, Robert et al., 2011, Boost C++ Libraries, Dommers, Sander, 2010, Ising models on power-law random graphs, seminaariesitys (YEP VII 2010), saatavilla: sdommers/les/dommersyepvii.pdf Dommers, Sander, Giardinà, Cristian ja van der Hofstad, Remco, 2010, Ising models on power-law random graphs, arxiv: v2 [math.pr], saatavilla: Dorogovtsev, Sergey N., 2010, Lectures on Complex Networks, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 20, Oxford University Press, Oxford Dunbar, Robin I. M., 1998, The Social Brain Hypothesis, Evolutionary Anthropology, osa 5/1998, , saatavilla: Falcon, Seth et al., 2011, graph (Bioconductor), GNU-projekti, 2011, GNU Scientic Library, Hansen, Kasper et al., 2011, Rgraphviz (Bioconductor),

13 6 Johtopäätökset 10 Kemppainen, Antti, 2011, Konformi-invarianssia tilastollisessa fysiikassa, Arkhimedes, osa 1/2011, 1630 Krauth, Werner, 2006, Statistical Mechanics: Algorithms and Computations, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 13, Oxford University Press, Oxford Liu, Shihuan, Shakkottai, Srinivas ja Ying, Lei, 2010, Inuence Maximixation in Social Networks: An Ising-model-based Approach, Allerton Conference 2010, saatavilla: sshakkot/index_les/isingallerton.pdf ja inl.ece.iastate.edu/publications/liuyinsha_10.pdf Mäkinen, Esa, 2011, Avodataa: Valittujen kansanedustajien arvomaailma, saatavilla: (luettu ) Naldi, Giovanni, Pareschi, Lorenzo ja Toscani, Giuseppe (toim.), 2010, Mathematical Modeling of Collective Behavior in Socio-Economic and Life Sciences, Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology, Birkhäuser, Boston Palmer, C. R. ja Stean, J. G., 2000, Generating network topologies that obey power laws, Global Telecommunication Conference, GLOBECOM '00., IEEE, New York City, , saatavilla: stean/items/globecom.ps Rahkonen, Juho, 2011, Perussuomalaisten ruumiinavaus, Yhteiskuntapolitiikka, osa 76, 4/2011, , saatavilla: Sethna, James P., 2006, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 14, Oxford University Press, Oxford Tao, Terence, 2011, Universality, luento (Trinity Mathematical Society), saatavilla: terrytao.les.wordpress.com/2011/01/universality.pdf van der Loo, Mark P. J., 2010, extremevalues, Wikipedia-yhteisö, 2011, Universality (dynamical systems), (luettu )

14 Liitteet Liite A Vihr Vas Sdp Rkp Kok Kesk Kd Ps Vihr 0,000 0,254 0,309 0,267 0,409 0,425 0,366 0,570 Vas 0,254 0,000 0,164 0,435 0,533 0,504 0,368 0,538 Sdp 0,309 0,164 0,000 0,376 0,432 0,382 0,227 0,377 Rkp 0,267 0,435 0,376 0,000 0,151 0,200 0,251 0,418 Kok 0,409 0,533 0,432 0,151 0,000 0,090 0,233 0,329 Kesk 0,425 0,504 0,382 0,200 0,090 0,000 0,163 0,240 Kd 0,366 0,368 0,227 0,251 0,233 0,163 0,000 0,204 Ps 0,570 0,538 0,377 0,418 0,329 0,240 0,204 0,000 Liite B Alustus Blokki d-% Min Min(iter-#) Max Max(iter-#) A Q 1 ei ,72 38,71 17,12 2 ei ,35 33,40 13,96 1 ei 93, ,64 49,54 21,50 2 ei 93, ,36 49,59 20,05 1 ei 87, ,58 71,25 30,11 2 ei 87, ,38 67,55 28,21 1 ei , ,71 128,73 52,12 2 ei ,69 130,68 52,45 1 ei ,56 390,26 131,17 2 ei ,43 385,70 126,32 1 on (88) , ,27 97,36 4,09 2 on (74) , 5-11, ,66 84,98 7,35 1 on (88) 93, , , , 194, ,78 115,55 13,36 2 on (74) 93, ,06 97,99 13,47 1 on (88) 87, ,01 125,18 17,08 2 on (74) 87, ,75 117,73 21,50 1 on (88) ,65 188,09 44,94 2 on (74) ,10 172,91 44,45 1 on (88) ,39 447,27 121,75 2 on (74) ,38 431,30 119,63 Alustus: käytetyn alkutilan tunnus Blokki: alkublokin olemassaolo ja mahdollisen alkublokin koko d-%: etäisyysfunktion kerroin Min: pienin havaittu kannattajien määrä Min(iter-#): iteraatio(t), jo(i)lla pienin kannattajien määrä havaittiin

15 6 Johtopäätökset 12 Max: suurin havaittu kannattajien määrä Max(iter-#): iteraatio(t), jo(i)lla suurin kannattajien määrä havaittiin A: (aritmeettinen) keskiarvo, A = P n k=1 x k n Q: kvadraattinen keskiarvo eli Root Mean Square (RMS), Q = RMS = : keskihajonta, = r Pn k=1 (x k A)2 n r Pn k=1 x2 k Huom! Koska algoritmi pyrkii ainoastaan mahdollisimman nopeasti tasapainotilan läheisyyteen, eikä välitä välissä tapahtuvista muutoksista, olennaisimmat tunnusluvut ovat keskihajonta ja keskiarvot suhteessa maksimiin, sillä ne kertovat parhaiten siitä, kuinka lähellä tasapainotilaa ajon lopussa ollaan. n

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

6. Yhteenvetoa kurssista

6. Yhteenvetoa kurssista Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 17.2. 12.3.2009. Marraskuun 2008 alusta lähtien kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 17.2. 12.3.2009. Marraskuun 2008 alusta lähtien kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, 17.2..12.3.2009 Toteutus YLE Uutiset Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on tehnyt Taloustutkimus Oy YLE Uutisten

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 2. 26.11.2009. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 2. 26.11.2009. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, MARRAS 2009 (2. 26.11.2009) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on tehnyt Taloustutkimus Oy YLE Uutisten

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Social Network Analysis Centrality And Prestige

Social Network Analysis Centrality And Prestige Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Social Network Analysis Centrality And Prestige Sosiaalisten verkostojen analyysi Keskeisyys ja arvostus 6.2.2009 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena

Lisätiedot

Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus

Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus Tony Nysten 11.4.2011 Ohjaaja: DI Simo Heliövaara Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Väkijoukon toiminta evakuointitilanteessa Uhkaavan tilanteen huomanneen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, huhtikuu 2016 (4.4.-3.5.2016) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, syys-lokakuu 2011 (14.9. 6.10.2011) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, toukokuu 2013 (29.4.-28.5.2013) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE

Lisätiedot

BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto. Metodifestivaali

BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto. Metodifestivaali BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto Metodifestivaali 28.5.2009 1 1 Mitä ihmettä on bootstrap? Webster: 1. a loop of leather or cloth sewn at the top rear, or sometimes on each side of a boot

Lisätiedot

Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen

Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Janne Laitonen 8.10.2008 Maynard Smith: s. 54-60 Johdanto Käytös voi usein olla opittua perityn sijasta Tyypillistä käytöksen muuttuminen ja riippuvuus aikaisemmista

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

GA & robot path planning. Janne Haapsaari AUTO Geneettiset algoritmit

GA & robot path planning. Janne Haapsaari AUTO Geneettiset algoritmit GA & robot path planning Janne Haapsaari AUTO3070 - Geneettiset algoritmit GA robotiikassa Sovelluksia liikkeen optimoinnissa: * eri vapausasteisten robottien liikeratojen optimointi * autonomisten robottien

Lisätiedot

Satunnaislukujen generointi

Satunnaislukujen generointi Satunnaislukujen generointi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Satunnaislukujen generointi 1/27 Kevät 2003 Lähteet Knuth, D., The Art of Computer Programming,

Lisätiedot

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Panu Luosto 23. marraskuuta 2007 3 4 putki 1 2 α α+1 α+2 α+3 0 K 1 kehä K 2 K 3 K 4 Lähdeartikkeli Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

2. Arvon ja hyödyn mittaaminen

2. Arvon ja hyödyn mittaaminen 2. Arvon ja hyödyn mittaaminen 1 2 Arvon ja hyödyn mittaaminen 2.1 Miksi tarvitsemme arvofunktiota? Arvofunktio on preferenssien (mieltymysten) matemaattinen kuvaus. Arvofunktio kuvaa päätöskriteeriä vastaavan

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Sami Hokuni 12 Syyskuuta, 2012 1/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Turun Yliopisto. Gradu tehty 2012 kevään

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

FSD2275. Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007. Koodikirja

FSD2275. Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007. Koodikirja FSD2275 Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007 Koodikirja YHTEISKUNTATIETEELLINEN TIETOARKISTO c Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto, 2007 Tämän koodikirjan viittaustiedot:

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen data

Sosiaalisten verkostojen data Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä

Lisätiedot

Suomen rautatieverkoston robustisuus

Suomen rautatieverkoston robustisuus Suomen rautatieverkoston robustisuus Samu Kilpinen 28.09.2016 Ohjaaja: Eeva Vilkkumaa Valvoja: Ahti Salo Rautatieverkosto Rautatie on erinomainen tapa kuljettaa suuria ihmis- ja hyödykemääriä Käyttöä etenkin

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......

Lisätiedot

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Prosessialgebra

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Prosessialgebra T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Prosessialgebra 19. maaliskuuta 2002 T-79.179: Prosessialgebra 9-1 Petri-verkot vastaan prosessialgebra Petri-verkot esittävät rinnakkaisia

Lisätiedot

Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä

Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä Antti Penttinen Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Metodifestivaalit Jyväskylän yliopisto 21.5.2013 Suunnitelma

Lisätiedot

Esimerkkejä vaativuusluokista

Esimerkkejä vaativuusluokista Esimerkkejä vaativuusluokista Seuraaville kalvoille on poimittu joitain esimerkkejä havainnollistamaan algoritmien aikavaativuusluokkia. Esimerkit on valittu melko mielivaltaisesti laitoksella tehtävään

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Tiivistelmä artikkelista Constrained Random Walks on Random Graphs: Routing Algorithms for Large Scale Wireless Sensor Networks

Tiivistelmä artikkelista Constrained Random Walks on Random Graphs: Routing Algorithms for Large Scale Wireless Sensor Networks Tiivistelmä artikkelista Constrained Random Walks on Random Graphs: Routing Algorithms for Large Scale Wireless Sensor Networks Heikki Tikanmäki 20.02.2005 1 Johdanto Paperissa [1] tarkastellaan reititysongelmaa

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Evoluutiopohjainen monitavoiteoptimointi MCDM ja EMO Monitavoiteoptimointi kuuluu

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät

Lisätiedot

Experiment Finnish (Finland) Hyppivät helmet - Faasimuutosten ja epätasapainotilojen mekaaninen malli (10 pistettä)

Experiment Finnish (Finland) Hyppivät helmet - Faasimuutosten ja epätasapainotilojen mekaaninen malli (10 pistettä) Q2-1 Hyppivät helmet - Faasimuutosten ja epätasapainotilojen mekaaninen malli (10 pistettä) Lue yleisohjeet erillisestä kuoresta ennen tämän tehtävän aloittamista. Johdanto Faasimuutokset ovat tuttuja

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Aineistokoko ja voima-analyysi

Aineistokoko ja voima-analyysi TUTKIMUSOPAS Aineistokoko ja voima-analyysi Johdanto Aineisto- eli otoskoon arviointi ja tutkimuksen voima-analyysi ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisimpiä asioita. Otoskoon arvioinnilla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KAKSIULOTTEISEN EMPIIRISEN JAKAUMAN TARKASTELU Jatkuvat muuttujat: hajontakuvio Koehenkilöiden pituus 75- ja 80-vuotiaana ID Pituus 75 Pituus 80 1 156

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 1: lämpötila, Boltzmannin jakauma Ke 22.2.2017 1 Richard Feynmanin miete If,

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI 2008-2009 Muutokset on hyväksytty teknillisen tiedekunnan tiedekuntaneuvostossa 13.2.2008 ja 19.3.2008. POISTUVAT OPINTOJAKSOT:

Lisätiedot

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 8, ti , 8:30-10:00 Tilastolliset yhteydettömät kieliopit, Versio 1.

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 8, ti , 8:30-10:00 Tilastolliset yhteydettömät kieliopit, Versio 1. T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely astaukset 8, ti 16.3.2004, 8:30-10:00 Tilastolliset yhteydettömät kielioit, ersio 1.0 1. Jäsennysuun todennäköisyys lasketaan aloittelemalla se säännöstön

Lisätiedot

Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä

Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 20.3.2009 Jaakko Salonen TTY / Hypermedialaboratorio jaakko.salonen@tut.fi

Lisätiedot

Esimerkki 1: Kahviautomaatti.

Esimerkki 1: Kahviautomaatti. Esimerkki 1: Kahviautomaatti. ÄÄRELLISET AUTOAATIT JA SÄÄNNÖLLISET KIELET 2.1 Tilakaaviot ja tilataulut Tarkastellaan aluksi tietojenkäsittelyjärjestelmiä, joilla on vain äärellisen monta mahdollista tilaa.

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

Van der Polin yhtälö

Van der Polin yhtälö Van der Polin yhtälö RLC-virtapiirissä oleva vastus vaikuttaa varsin olennaisesti piirissä esiintyviin värähtelyilmiöihin. Kuitenkin aivan uuden elementin komponenttitekniikkaan toivat aikoinaan puolijohdediodeja

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

1 PROSENTTILASKENTAA 7

1 PROSENTTILASKENTAA 7 SISÄLTÖ 1 PROSENTTILASKENTAA 7 Peruskäsitteitä 8 Prosenttiarvo 9 Prosenttiluku 11 Perusarvo 13 Muutosten laskeminen 15 Lisäys ja vähennys 15 Alkuperäisten arvojen laskeminen 17 Muutosprosentti 19 Prosenttiyksikkö

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Skenaariot suurpetokantojen verotuksen suunnittelussa

Skenaariot suurpetokantojen verotuksen suunnittelussa Skenaariot suurpetokantojen verotuksen suunnittelussa Katja Holmala Riistapäivät 19.1.2016 Esityksen rakenne Tausta Mallit ilveksen populaatiokehityksestä Malli 1: populaatiomalli Malli 2: skenaario- eli

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ Henna Tahvanainen 1, Jyrki Pölkki 2, Henri Penttinen 1, Vesa Välimäki 1 1 Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Aalto-yliopiston sähkötekniikan

Lisätiedot

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät

Lisätiedot

Mittausepävarmuuden laskeminen

Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the epression

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

DEE Aurinkosähkön perusteet (Foundations of Solar Power) Sali SE211 Keskiviikkoisin ja perjantaisin klo

DEE Aurinkosähkön perusteet (Foundations of Solar Power) Sali SE211 Keskiviikkoisin ja perjantaisin klo 1 DEE-53010 Aurinkosähkön perusteet (Foundations of Solar Power) Sali SE211 Keskiviikkoisin ja perjantaisin klo 12.15 14.00 2 Luennot pidetään salissa SE211 keskiviikkoisin ja perjantaisin klo 12.15 14.00

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 9. luento Pertti Palo 22.11.2012 Käytännön asioita Eihän kukaan paikallaolijoista tee 3 op kurssia? 2. seminaarin ilmoittautuminen. 2. harjoitustyön

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia, 3 op 9 luentoa, 3 laskuharjoitukset ja vierailu mittausasemalle Tentti Oppikirjana Rinne & Haapanala:

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 10: Reaalikaasut Pe 1.4.2016 1 AIHEET 1. Malleja, joissa pyritään huomioimaan

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet Valintakokeessa on kaksi osaa: Osa 1 sisältää viisi esseetehtävää kansantaloustieteestä. Osasta 1 voi saada 0 30 pistettä. Osa sisältää kuusi matematiikan laskutehtävää. Osasta voi saada 0 30 pistettä.

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Kansantalouspeli & Beer Game

Kansantalouspeli & Beer Game MS-C2132 Systeemianalyysilaboratorio I Laboratoriotyö 1 Kansantalouspeli & Beer Game Systeemiajattelu ja pelaaminen dynaamisten systeemien ymmärtämisessä Kansantalouspeli Laboratoriotyö 1 Tavoitteena ohjata

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot