Muuttuva puoluekenttä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Muuttuva puoluekenttä"

Transkriptio

1 Helsingin matematiikkalukio Muuttuva puoluekenttä Matemaattinen mallinnus Tekijä: Niko Ilomäki Ohjaaja: Miika Nikula 28. marraskuuta 2011

2 Tiivistelmä Fysiikan tilastolliset mallit ja niiden Monte Carlo -simulaatiot ovat olleet keskeinen fysiikan tutkimushaara viime vuosikymmeninä. Tutkimuksen määrästä huolimatta niitä on sovellettu varsin vähän fysiikan ulkopuolisiin tutkimusasetteluihin. Pottsin malli on fysiikassa keskeinen hilamalli, jota on sovellettu menestyksekkäästi monien fysikaalisten ilmiöiden tutkimiseen. Tutkielmassa analysoidaan miten Pottsin malli asteiltaan potenssijakautuneisiin verkkoihin sovellettuna toimii yhteiskuntatieteellisen tutkimuksen välineenä. Tutkimuskysymyksenä on uuden puolueen kannatuksen muutokset sen alkutaipaleella. Tämän tutkimiseen käytetään edellä mainittua Pottsin mallia verkoille. Saadut tulokset implikoivat ulkoisen kentän suurta vaikutusta mallin käyttäytymiseen. Jatkotutkimusta tarvitaankin ennen kaikkea mallin ulkoisen kentän suhteesta empiirisesti havaittuihin muuttujiin.

3 Sisältö 1 Johdanto Huomautus Historiaa Teoriaa Isingin ja Pottsin mallit Universaaliusperiaate Toteutus Tutkimuskysymys Algoritmit SW-algoritmi Parametrit Konjektuuri Simulaatiot Tulokset Johtopäätökset Viitteet Liitteet Kuvat 1.1 Pieni potenssilain mukainen verkko (mikroskooppinen skaala) Suurempi potenssilain mukainen verkko (makroskooppinen skaala) 3

4 1 Johdanto 1 1 Johdanto Yhteiskunta- ja taloustieteellinen mallinnus on kasvanut nopeasti viimeisen vuosikymmenen aikana ennen kaikkea laskentatehon lisääntymisen myötä. Puhtaan matemaattisten mallien ja varta vasten yhteiskunta- ja taloustieteitä varten kehitettyjen mallien ohella on nousua viime vuosina tehnyt fysikaalisten mallien soveltaminen näille aloille. Tässä tutkielmassa selvitän mahdollisuuksia kuvata uuden puolueen alkuaikojen kannatuskehitystä fysiikan menetelmin. Fysiikan tilastollisiin menetelmiin ja simulaatioihin nojaavat haarat ovat statistinen ja laskennallinen fysiikka. Ensiksi mainitussa keskeisessä asemassa ovat ns. hilamallit (Sethna, 2006, 163). Hilamalleissa joukkoon olioita liitetään dynamiikka siten, että ne vuorovaikuttavat naapureidensa kanssa; esimerkiksi kolmiulotteisessa kuutiohilassa vuorovaikutus kohdistuu niihin kuutioihin, joilla on yhteinen tahko tarkasteltavan kuution kanssa. Viime aikoina joitakin hilamalleja, kuten Isingin ja Pottsin malleja, on alettu soveltamaan myös erilaisiin verkkoihin; fysiikan kannalta mielenkiintoisia ovat täysin kytketyt verkot, kun taas sosioekonomisen tutkimuksen kannalta tärkeimpiä ovat verkot, joiden solmujen asteet (ihmisten kontaktien määrät) ovat jakautuneet potenssilain mukaisesti eli asteen N yleisyys populaatiossa (N-kontaktisten osuus populaatiosta) on kääntäen verrannollinen asteen N johonkin potenssiin. Eräs potenssilain toteuttava jakauma on paretojakauma. Tässä tutkielmassa tarkastellaan paretojakautuneisiin verkkoihin sovellettua Pottsin mallia erityisesti uuden puolueen kasvumahdollisuuksien näkökulmasta. Järjestelmän tasapaino uuden puolueen lisäämisen jälkeen on myös tutkimuksen kohteena. Tutkimuksessa havaittiin uuden puolueen kannatuksen tasapainotilan riippuvan varsin suuresti ulkoiseen kenttään rinnastetusta kerroinparametrista. Tämä parametri yhdistää ulkoiset vaikutteet, kuten suhdannevaihtelut, medianäkyvyyden ja kansainväliset suhteet. 1.1 Huomautus Englannin kielessä yhteiskunta- ja taloustieteisiin sovelletulle fysiikalle on termit 'sociophysics' ja 'econophysics', mutta kumpikaan näistä ei ole laajalti käytetty, eivätkä niiden suomenkieliset vastineet 'sosiofysiikka' ja 'ekonofysiikka' ole myöskään vakiintuneet. Tästä syystä tämä tutkielma, joka on lähinnä sosiofysiikkaa, on asetettu matemaattisen mallinnuksen alalle.

5 1 Johdanto 2 Fig. 1.1: Pieni potenssilain mukainen verkko (mikroskooppinen skaala)

6 1 Johdanto 3 Fig. 1.2: Suurempi potenssilain mukainen verkko (makroskooppinen skaala)

7 2 Historiaa 4 2 Historiaa Statistisessa fysiikassa ferromagnetismin mallintamisen de facto -standardi on Isingin malli, joka on nimetty mallin yksiulotteisessa tapauksessa väitöskirjassaan 1924 ratkaisseen Ernst Isingin mukaan (Dorogovtsev, 2010, 99). Isingin malli on tutkituin statistisen fysiikan malli ja samalla yksinkertaisin mahdollinen malli, jossa vierekkäisten olioiden välillä on aito vuorovaikutus(kemppainen, 2011, 24). Isingin mallia on tutkittu fysiikassa paitsi yksi-, kaksi- ja kolmiulotteisissa tapauksissa, myös mm. täysin kytketyillä verkoilla (Dorogovtsev, 2010, 99). Viime aikoina Isingin mallia on alettu tutkia myös potenssilain toteuttavilla verkoilla esimerkiksi termodynaamisen rajan näkökulmasta (Dommers et al., 2010). Isingin mallin käyttöä mielipiteiden leviämisen mallintamisessa on pohdittu (Dommers, 2010), ja myös tutkittu esimerkiksi senaattorien lahjonnan tapauksessa (Liu et al., 2010). Jo 1971 myöhempi nobelisti Thomas Schelling ehdotti nykyisin hänen mukaansa nimettyä mallia sosiaalisen segregaation mallintamiseen; tämä malli voidaan toteuttaa käyttäen pohjana Isingin mallia (Naldi et al., 2010, 205). 3 Teoriaa 3.1 Isingin ja Pottsin mallit Isingin mallissa on jokin määrä magneettisuutta kuvaavia olioita, spinejä jotka voivat saada arvokseen 1 (Dorogovtsev, 2010, 99). Systeemiä kuvaa Hamiltonin funktio H, jonka arvo riippuu vierekkäisten spinien saman- tai erisuuntaisuuksista; spinit vuorovaikuttavat keskenään, minkä lisäksi niihin kohdistuu mahdollisesti ulkoinen suuntaava kenttä: H = P i;j J ij s i s j H P i s i, missä J on funktio, joka saa arvon 1, kun i ja j ovat samansuuntaiset ja arvon 0, kun ne ovat erisuuntaiset, H on ulkoisen kentän voimakkuus ja s on spinin arvo Dorogovtsev (2010, 99). Vuorovaikutus tapahtuu yhteyksiä pitkin; yhteyksiä voivat olla esimerkiksi rinnakkaisuus N-ulotteisessa hilassa tai särmärelaatio verkossa. Isingin mallin aikakehitystä voidaan simuloida erilaisin Monte Carlo -tyyppisin eli satunnaisuuteen perustuvin algoritmein, joista nopeimpia ovat klusterialgoritmit. Pottsin malli on Isingin mallin yleistys useammalle kuin kahdelle tilalle (Binder ja Landau, 2000, 109).

8 4 Toteutus Universaaliusperiaate Dynaamisissa järjestelmissä makroskooppinen rakenne toteuttaa usein universaaliutena tunnetun periaatteen (Tao, 2011). Yksi universaaliuden ilmenemistavoista on itsejärjestäytynyt kriittisyys (SOC), jota karakterisoivat potenssilain mukaiset todennäköisyydet ja ilmiön ilmeneminen kaikissa kokoluokissa tiettyyn rajaan saakka (Wikipedia-yhteisö, 2011). Esimerkiksi Facebook-kontaktien määrän on todettu olevan potenssijakautunutta (Brue et al., 2009). Tarkemmin erilaisten sosiaalisten verkostojen SOC-ominaisuudesta kirjoittaa (Albert ja Barabasi, 1999). Tässä tutkielmassa ihmisten ystäväpiirien kokoja pidetään itsejärjestäytyneesti kriittisinä. Ystäväpiirien koon ylärajana pidetään noin 150 ihmistä, minkä pohjana ovat antropologi Robin Dunbarin tutkimukset (Dunbar, 1998). 4 Toteutus 4.1 Tutkimuskysymys Tutkimuksessa sovelletaan Pottsin mallia verkkoihin, joiden asteet ovat paretojakautuneita ja toteuttavat näin ollen potenssilain. Pottsin mallin tiloja ovat puolueet, spinejä ihmiset ja verkko kuvaa pientä yhteisöä, esim. kaupunginosaa. Tutkimuskysymyksenä on, miten järjestelmä (puoluekenttä) käyttäytyy kun siihen lisätään uusi tila (puolue) johon kohdistuu ulkoisen kenttä. Ulkoista kenttää vastaavat yhdessä ulkoiset tekijät kuten suhdannevaihtelut, medianäkyvyys ja kansainväliset suhteet. Puolueiden välisiä relaatioita kuvaa etäisyys polittisessa kompassissa (Liite A), joka on konstruoitu Helsingin Sanomien vaalikonedatasta (Mäkinen, 2011). 4.2 Algoritmit Ohjelmoin Pottsin mallia simuloivan ohjelman C++-kielellä käyttäen GSL- (GNUprojekti, 2011) ja Boost-kirjastoja (Dawes et al., 2011). Potenssilain mukaisesti järjestäytyneiden verkkojen luomiseen käytin Power-Law Out-Degree -algoritmia (PLOD), jonka toiminnasta kerrotaan lähteessä (Palmer ja Stean, 2000, ) ja Pottsin mallille klusterityyppistä Swendsen-Wang-algoritmia (SW) (Binder ja Landau, 2000, 135), joka muistuttaa suuresti yleisemmin käytettyä, mutta sellaisenaan vain Isingin mallille toimivaa Woln algoritmia (Krauth, 2006, 257). Verkkojen piirtämiseen käytin R-kieltä ja siihen saatavia extremevalues- (van der Loo,

9 4 Toteutus ), graph- (Falcon et al., 2011) ja Rgraphviz-kirjastoja (Hansen et al., 2011). 4.3 SW-algoritmi Swendsen-Wang-algoritmi on esimerkki klusterialgoritmista. Klusterialgoritmit pyrkivät mahdollisimman nopeasti tasapainotilaa kohti reitistä välittämättä. SWalgoritmi valitsee satunnaisesti spinejä (henkilöitä) ja rakentaa heidän ympärilleen klustereita (piirejä) siten, että todennäköisyys tulla lisätyksi piiriin on samansuuntaiselle spinille (samalle puoluekannalle) 1 e, missä on lämpötilan (ei suoraa sosiaalista vastinetta) Boltzmannin vakiolla jaettu käänteisluku, ja muuten 0. Kun klusteri on rakennettu, rakennetaan uusi klusteri niin, että iteraation lopuksi jokainen kuuluu tasan yhteen klusteriin. Tämän jälkeen jokaiselle klusterille arvotaan erikseen uusi puoluekanta käyttäen annettua todennäköisyysjakaumaa, minkä jälkeen vuorossa on seuraava iteraatio. 4.4 Parametrit Populaation kooksi kiinnitettiin 1050 ihmistä, jolla ajojen kestot pysyivät kohtuullisina. PLOD-algoritmin generoimien yhteyksien (särmien) määräksi valittiin 6300, paretojakauman parametreista oli 1 ja x m oli 3. Näille valinnoille perusteena olivat Dunbarin tutkimukset, joissa hän ehdotti merkityksellisten ihmissuhteiden ylärajan lisäksi myös muita rajoja, kuten lähin piiri 5 ihmistä, läheinen piiri 12 ja säännölliset kontaktit 35 (Dunbar, 1998). 150 ihmisen ylärajaa ajatellen paretojakauman pitkän hännän kompensoi PLOD-algoritmiin asetettu raja, käytännössä ihmisten ystävien määrä vaihteli simulaatioissa alarajaksi asetetusta kolmesta 87 ihmiseen. Pottsin mallin betaparametriksi eli lämpötilan Boltzmannin vakiolla jaetuksi käänteisluvuksi valittiin 0; 1. Tämän taustalla oli ajatus siitä, että klusteriin liitettävän henkilön pitäisi harvoin olla klusterin alkuhenkilön tuttavapiirin ulkopuolella. Valitsemalla tämä todennäköisyys yhdeksi prosentiksi saadaan yhtälö 1 e 2 = 0; 01 mistä ehdolla 0 ratkaistuna = log(0; 9) = 0; ::: 4.5 Konjektuuri Puolueen vaihtamisen todennäköisyyden arvioimiseksi päätettiin parametriksi ottaa puolueiden välinen etäisyys ns. poliittisessa kompassissa. Vertailukohdan saamiseksi otettiin lähtökohdaksi Suomen nykyisten eduskuntapuolueiden mallinnus.

10 5 Tulokset 7 Poliittisen kompassin sijaintien määrittämiseen käytettiin Helsingin Sanomien vaalikonedataa (Mäkinen, 2011) siten, että uuden puolueen asemaan laitettiin Perussuomalaiset. Todennäköisyyksien riippuvuus etäisyydestä konjekturoitiin eksponentiaaliseksi: p / e d, missä on tuntematon parametri ja d on etäisyys väliltä [0; 1]. Parametriksi valittiin koeajojen perusteella 32 sillä tasapainotilan läheisyydessä puolueuskollisuuden pitäisi olla samaa luokkaa kuin Taloustutkimuksen kyselytutkimuksessa (Rahkonen, 2011) valitulla aikaskaalalla, jossa yksi iteraatio vastaa yhtä viikkoa (ja näin ollen 200 iteraatiota noin yhtä vaalikautta). 4.6 Simulaatiot Ajoin kaksi 1000 iteraation ajoa lähtien tilasta, jossa oli seitsemän puoluetta siten, että kunkin kannatus oli 1. Tämän jälkeen otin näiden ajojen viimeiset iteraatiot 7 uusiksi alkutiloiksi ja lisäsin uuden puolueen. Kustakin uudesta alkutilasta tein kymmenen 200 iteraation mittausta kahdella muuttujalla. Ensimmäinen muuttuja sai arvot: Uudella puolueella ei aluksi kannattajia Uudella puolueella aluksi yksi suuri yhtenäinen kannattajablokki (rakennettu henkilön, jolla on eniten ystäviä, ystäväpiiristä mukaanlukien henkilö itse) Toinen muuttuja, joka vastaa ulkoista kenttää, toteutettiin muuttamalla etäisyysfunktiota d(lähtöpuolue, muuttopuolue). Funktiota kerrottiin luvuilla 1; 0,9375; 0.875; 0,75 ja 0,5, silloin kun muuttopuolue oli lisätty uusi puolue (mutta ei, kun se oli lähtöpuolue). Tämä symmetriarikko johti mielenkiintoisiin tuloksiin, joista seuraavaksi. 5 Tulokset Tehdyt 20 mittausta eivät riitä tilastollisesti päteviin yleistyksiin. Havaittiin kuitenkin seuraavaa: Ilman ulkoista kenttää uuden puolueen kannatus vakiintui molemmilla alustuksilla noin 8-10 prosenttiin, mikäli puolue sai alkublokin. Kun puolue ei saanut alkublokkia, kannatus jatkoi kasvuaan läpi 200 iteraation saavuttamatta rajojaan, pysyen kuitenkin selvästi alle 10 prosentissa. Jo heikko ulkoinen kenttä (etäisyyden kerroin 0,9375) aiheutti alkublokilla 2-3 prosenttiyksikköä korkeamman tasapainokannatuksen. Voimakkaammilla ulkoisil-

11 6 Johtopäätökset 8 la kentillä kannatus jatkoi pysähtymättä kasvuaan tutkitun jakson molemmilla alustuksilla ja alkublokin olemassaolosta riippumatta. Voimakkaimmalla kentällä (etäisyyden kerroin 0,5) uuden puolueen kannatus kasvoi 50 prosenttiin ja yli. Raakadatasta laskettuja tunnuslukuja on liitteessä B. 6 Johtopäätökset Pottsin malli vaikuttaisi soveltuvan perustelluin parametrein puoluekentän muutosten kuvaamiseen. Ulkoisen kentän vaikutus mallin käyttäytymiseen on huomattava, joten mikäli tulevaisuudessa ulkoinen kenttä saadaan kytkettyä empiirisesti havaittuihin muuttujiin, avaa se runsaasti mahdollisuuksia poliittiseen analyysiin. Tällöin voisi tutkia esimerkiksi rajaa, jossa useiden (>3) puolueiden järjestelmä romahtaa diktatuuriseen yksipuoluejärjestelmään. Mielenkiintoinen jatkotutkimuksen kohde voisi myöskin olla puolueiden järjestäytyminen ilman ulkoista kenttää mielivaltaisilla puolueiden määrillä ja siirtymätodennäköisyyksillä.

12 6 Johtopäätökset 9 Viitteet Albert, Reka ja Barabasi, Albert-Laszlo, 1999, Emergence of Scaling in Random Networks, Science, osa 15. lokakuuta 1999, , arxiv:cond-mat/ v1 [cond-mat.dis-nn], saatavilla: Binder, Kurt ja Landau, David P., 2000, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press, Cambridge Brue, Bryce, Puttaswamy, Krishna P. N., Sala, Alessandra, Wilson, Christo ja Zhao, Ben Y., 2009, User Interactions in Social Networks and their Implications, ACM EuroSys 2009, saatavilla: alessandra/papers/interaction-eurosys09.pdf Dawes, Beman, Klarer, Robert et al., 2011, Boost C++ Libraries, Dommers, Sander, 2010, Ising models on power-law random graphs, seminaariesitys (YEP VII 2010), saatavilla: sdommers/les/dommersyepvii.pdf Dommers, Sander, Giardinà, Cristian ja van der Hofstad, Remco, 2010, Ising models on power-law random graphs, arxiv: v2 [math.pr], saatavilla: Dorogovtsev, Sergey N., 2010, Lectures on Complex Networks, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 20, Oxford University Press, Oxford Dunbar, Robin I. M., 1998, The Social Brain Hypothesis, Evolutionary Anthropology, osa 5/1998, , saatavilla: Falcon, Seth et al., 2011, graph (Bioconductor), GNU-projekti, 2011, GNU Scientic Library, Hansen, Kasper et al., 2011, Rgraphviz (Bioconductor),

13 6 Johtopäätökset 10 Kemppainen, Antti, 2011, Konformi-invarianssia tilastollisessa fysiikassa, Arkhimedes, osa 1/2011, 1630 Krauth, Werner, 2006, Statistical Mechanics: Algorithms and Computations, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 13, Oxford University Press, Oxford Liu, Shihuan, Shakkottai, Srinivas ja Ying, Lei, 2010, Inuence Maximixation in Social Networks: An Ising-model-based Approach, Allerton Conference 2010, saatavilla: sshakkot/index_les/isingallerton.pdf ja inl.ece.iastate.edu/publications/liuyinsha_10.pdf Mäkinen, Esa, 2011, Avodataa: Valittujen kansanedustajien arvomaailma, saatavilla: (luettu ) Naldi, Giovanni, Pareschi, Lorenzo ja Toscani, Giuseppe (toim.), 2010, Mathematical Modeling of Collective Behavior in Socio-Economic and Life Sciences, Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology, Birkhäuser, Boston Palmer, C. R. ja Stean, J. G., 2000, Generating network topologies that obey power laws, Global Telecommunication Conference, GLOBECOM '00., IEEE, New York City, , saatavilla: stean/items/globecom.ps Rahkonen, Juho, 2011, Perussuomalaisten ruumiinavaus, Yhteiskuntapolitiikka, osa 76, 4/2011, , saatavilla: Sethna, James P., 2006, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity, Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics, osa 14, Oxford University Press, Oxford Tao, Terence, 2011, Universality, luento (Trinity Mathematical Society), saatavilla: terrytao.les.wordpress.com/2011/01/universality.pdf van der Loo, Mark P. J., 2010, extremevalues, Wikipedia-yhteisö, 2011, Universality (dynamical systems), (luettu )

14 Liitteet Liite A Vihr Vas Sdp Rkp Kok Kesk Kd Ps Vihr 0,000 0,254 0,309 0,267 0,409 0,425 0,366 0,570 Vas 0,254 0,000 0,164 0,435 0,533 0,504 0,368 0,538 Sdp 0,309 0,164 0,000 0,376 0,432 0,382 0,227 0,377 Rkp 0,267 0,435 0,376 0,000 0,151 0,200 0,251 0,418 Kok 0,409 0,533 0,432 0,151 0,000 0,090 0,233 0,329 Kesk 0,425 0,504 0,382 0,200 0,090 0,000 0,163 0,240 Kd 0,366 0,368 0,227 0,251 0,233 0,163 0,000 0,204 Ps 0,570 0,538 0,377 0,418 0,329 0,240 0,204 0,000 Liite B Alustus Blokki d-% Min Min(iter-#) Max Max(iter-#) A Q 1 ei ,72 38,71 17,12 2 ei ,35 33,40 13,96 1 ei 93, ,64 49,54 21,50 2 ei 93, ,36 49,59 20,05 1 ei 87, ,58 71,25 30,11 2 ei 87, ,38 67,55 28,21 1 ei , ,71 128,73 52,12 2 ei ,69 130,68 52,45 1 ei ,56 390,26 131,17 2 ei ,43 385,70 126,32 1 on (88) , ,27 97,36 4,09 2 on (74) , 5-11, ,66 84,98 7,35 1 on (88) 93, , , , 194, ,78 115,55 13,36 2 on (74) 93, ,06 97,99 13,47 1 on (88) 87, ,01 125,18 17,08 2 on (74) 87, ,75 117,73 21,50 1 on (88) ,65 188,09 44,94 2 on (74) ,10 172,91 44,45 1 on (88) ,39 447,27 121,75 2 on (74) ,38 431,30 119,63 Alustus: käytetyn alkutilan tunnus Blokki: alkublokin olemassaolo ja mahdollisen alkublokin koko d-%: etäisyysfunktion kerroin Min: pienin havaittu kannattajien määrä Min(iter-#): iteraatio(t), jo(i)lla pienin kannattajien määrä havaittiin

15 6 Johtopäätökset 12 Max: suurin havaittu kannattajien määrä Max(iter-#): iteraatio(t), jo(i)lla suurin kannattajien määrä havaittiin A: (aritmeettinen) keskiarvo, A = P n k=1 x k n Q: kvadraattinen keskiarvo eli Root Mean Square (RMS), Q = RMS = : keskihajonta, = r Pn k=1 (x k A)2 n r Pn k=1 x2 k Huom! Koska algoritmi pyrkii ainoastaan mahdollisimman nopeasti tasapainotilan läheisyyteen, eikä välitä välissä tapahtuvista muutoksista, olennaisimmat tunnusluvut ovat keskihajonta ja keskiarvot suhteessa maksimiin, sillä ne kertovat parhaiten siitä, kuinka lähellä tasapainotilaa ajon lopussa ollaan. n

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 17.2. 12.3.2009. Marraskuun 2008 alusta lähtien kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 17.2. 12.3.2009. Marraskuun 2008 alusta lähtien kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, 17.2..12.3.2009 Toteutus YLE Uutiset Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on tehnyt Taloustutkimus Oy YLE Uutisten

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 3. 27.1.2011. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 3. 27.1.2011. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, tammikuu 2011 (3. 27.1.2011) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 23.3-15.4.2015 Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 23.3-15.4.2015 Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, huhtikuu 2015 (23.3.-15.4.2015) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 2. 26.11.2009. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 2. 26.11.2009. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, MARRAS 2009 (2. 26.11.2009) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on tehnyt Taloustutkimus Oy YLE Uutisten

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

PERSU EI MYY P****TTÄÄN POLITIIKAN PELIKENTTÄ MIELIPIDETUTKIMUSTEN VALOSSA

PERSU EI MYY P****TTÄÄN POLITIIKAN PELIKENTTÄ MIELIPIDETUTKIMUSTEN VALOSSA PERSU EI MYY P****TTÄÄN POLITIIKAN PELIKENTTÄ MIELIPIDETUTKIMUSTEN VALOSSA Suomen Markkinointitutkimusseura 18.11.2014 Juho Rahkonen POLIITTINEN YLEISTILANNE MARRASKUUSSA 2014 Vielä muutama vuosi sitten

Lisätiedot

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento 13.4.2010 Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan

Lisätiedot

FSD2275. Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007. Koodikirja

FSD2275. Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007. Koodikirja FSD2275 Äänestäminen ja puolueiden valintaperusteet eduskuntavaaleissa 2007 Koodikirja YHTEISKUNTATIETEELLINEN TIETOARKISTO c Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto, 2007 Tämän koodikirjan viittaustiedot:

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely)

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Jari Hast xx.12.2013 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Hari Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Fysp240/1 Ising-malli (lyhyt raportti)

Fysp240/1 Ising-malli (lyhyt raportti) Tiia Monto Työ tehty: 19.1. tiia.monto@jyu. 7515 Fysp/1 Ising-malli (lyhyt apotti) Assistentti: Avostellaan (joko hyväksytty tai hylätty) Työ jätetty: Abstact I simulated paamagnet, feomagnet and antifeomagnet

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 NSGA-II Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA) Ehkä tunnetuin EMO-menetelmä

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä

Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä Juuso Meriläinen 27.11.2015 Juuso Meriläinen Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä 1 / 11 Johdanto

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 2.-25.9.2014. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa.

YLE Uutiset. Haastattelut tehtiin 2.-25.9.2014. Kannatusarvio kuvaa tilannetta eduskuntavaalien puoluekannatuksessa. PUOLUEIDEN KANNATUSARVIOT, syyskuu 2014 (2.-25.9.2014) Toteutus Tämän haastattelututkimukseen perustuvan laskennallisen arvion puolueiden eduskuntavaalikannatuksesta on laatinut Taloustutkimus Oy YLE Uutisten

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen data

Sosiaalisten verkostojen data Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista

Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista "Perhaps a thing is simple if you can describe it fully in several different ways without immediately knowing that you are describing the same thing."

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

1.1 Magneettinen vuorovaikutus

1.1 Magneettinen vuorovaikutus 1.1 Magneettinen vuorovaikutus Magneettien välillä on niiden asennosta riippuen veto-, hylkimis- ja vääntövaikutuksia. Magneettinen vuorovaikutus on etävuorovaikutus Magneeti pohjoiseen kääntyvää päätä

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 11.2.2015 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 0. Käytännön asioita 1 Ajat, paikat Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Case työpaja: Botnia. TM21 Sidosryhmät ja moraalinen vastuu 10. 11. 2009 Pia Lotila

Case työpaja: Botnia. TM21 Sidosryhmät ja moraalinen vastuu 10. 11. 2009 Pia Lotila Case työpaja: Botnia TM21 Sidosryhmät ja moraalinen vastuu 10. 11. 2009 Pia Lotila Case opetuksen tavoitteet Perustuu keskusteluun: omien näkemysten esittäminen ja toisten kuunteleminen Tiedon soveltaminen

Lisätiedot

Aineistokoko ja voima-analyysi

Aineistokoko ja voima-analyysi TUTKIMUSOPAS Aineistokoko ja voima-analyysi Johdanto Aineisto- eli otoskoon arviointi ja tutkimuksen voima-analyysi ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisimpiä asioita. Otoskoon arvioinnilla

Lisätiedot

Kansantalouspeli & Beer Game

Kansantalouspeli & Beer Game MS-C2132 Systeemianalyysilaboratorio I Laboratoriotyö 1 Kansantalouspeli & Beer Game Systeemiajattelu ja pelaaminen dynaamisten systeemien ymmärtämisessä Kansantalouspeli Laboratoriotyö 1 Tavoitteena ohjata

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KAKSIULOTTEISEN EMPIIRISEN JAKAUMAN TARKASTELU Jatkuvat muuttujat: hajontakuvio Koehenkilöiden pituus 75- ja 80-vuotiaana ID Pituus 75 Pituus 80 1 156

Lisätiedot

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys

Lisätiedot

Esimerkki 1: Kahviautomaatti.

Esimerkki 1: Kahviautomaatti. Esimerkki 1: Kahviautomaatti. ÄÄRELLISET AUTOAATIT JA SÄÄNNÖLLISET KIELET 2.1 Tilakaaviot ja tilataulut Tarkastellaan aluksi tietojenkäsittelyjärjestelmiä, joilla on vain äärellisen monta mahdollista tilaa.

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ Henna Tahvanainen 1, Jyrki Pölkki 2, Henri Penttinen 1, Vesa Välimäki 1 1 Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Aalto-yliopiston sähkötekniikan

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä. POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

Paavo Kyyrönen & Janne Raassina

Paavo Kyyrönen & Janne Raassina Paavo Kyyrönen & Janne Raassina 1. Johdanto 2. Historia 3. David Deutsch 4. Kvanttilaskenta ja superpositio 5. Ongelmat 6. Tutkimus 7. Esimerkkejä käyttökohteista 8. Mistä näitä saa? 9. Potentiaali 10.

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

Ääri-ilmiöt ihmisten kokemuksissa. Sakari Nurmela Risto Sinkko. MPKK ÄÄRIKÄYTTÄYTYMINEN - miten kohdataan, miten johdetaan?

Ääri-ilmiöt ihmisten kokemuksissa. Sakari Nurmela Risto Sinkko. MPKK ÄÄRIKÄYTTÄYTYMINEN - miten kohdataan, miten johdetaan? RIGHT M Ääri-ilmiöt ihmisten kokemuksissa Sakari Nurmela Risto Sinkko TNS 013 RIGHT M Tutkimuksen toteuttaminen Tutkimusaineisto kerättiin Gallup Forumissa Kyseessä on TNS Gallup Oy:n vastaajapaneeli Panelistit

Lisätiedot

Äänistä laskettu % Vihreä liitto. Äänestysalue Äänet Pros Äänestysalue Äänet Pros

Äänistä laskettu % Vihreä liitto. Äänestysalue Äänet Pros Äänestysalue Äänet Pros Edusk.v. RYHMITTÄIN ÄÄNET Sivu 1 VIHR Vihreä liitto 001 1. Äänestysalue 126 6.8 002 2. Äänestysalue 114 6.3 003 3. Äänestysalue 103 5.5 Ennakkoäänet 126 4.5 Vaalipäivän äänet 217 7.9 Äänet yhteensä 343

Lisätiedot

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (

Lisätiedot

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Hans Laihia Mika Tuukkanen 1 LASKENNALLISET JA TILASTOLLISET MENETELMÄT Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Sarkola Eino JÄRVITESTI Johdanto Järvien kuntoa tutkitaan monenlaisilla eri menetelmillä.

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia, 3 op 9 luentoa, 3 laskuharjoitukset ja vierailu mittausasemalle Tentti Oppikirjana Rinne & Haapanala:

Lisätiedot

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet Jäsenyysverkostot, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen anal Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 3.4.2009 Antti Syvänen TaY / antti.syvanen@uta.fi 1 Sisältö ja tavoitteet Esitellään jäsenyysverkostojen,

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

Heikko signaali on ensimmäinen ilmaus muutoksesta tai se voi olla juuri se sysäys, joka muuttaa tapahtumien kulkua ratkaisevasti erilaiseen suuntaan.

Heikko signaali on ensimmäinen ilmaus muutoksesta tai se voi olla juuri se sysäys, joka muuttaa tapahtumien kulkua ratkaisevasti erilaiseen suuntaan. 1 Heikko signaali on ensimmäinen ilmaus muutoksesta tai se voi olla juuri se sysäys, joka muuttaa tapahtumien kulkua ratkaisevasti erilaiseen suuntaan. Sen yhteyttä tulevaan tilanteeseen ei välttämättä

Lisätiedot

ÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI 1 JOHDANTO. Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2

ÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI 1 JOHDANTO. Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2 ÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2 1 Jyväskylän yliopisto PL 35 (Agora), 40014 Jyväskylän yliopisto tuomas.a.airaksinen@jyu.fi

Lisätiedot

Erkki Laitinen, Oulun yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos. Mallien tyyppejä

Erkki Laitinen, Oulun yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos. Mallien tyyppejä Erkki Laitinen, Oulun yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos Mallien tyyppejä Mallin suunnittelusta Reaalimaailman systeemi Matemaattinen systeemi Tarkkailu Malli, laskenta, päätelmät populaation kehittyminen

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin. Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto

Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin. Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto Suomalainen Tiedeakatemia Nuorten Akatemiaklubi 18.10.2010 Sisältö Mitä tietojenkäsittelytieteessä

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

Matematiikka tai tilastotiede sivuaineena

Matematiikka tai tilastotiede sivuaineena Matematiikka tai tilastotiede sivuaineena Matematiikan sivuainekokonaisuudet Matematiikasta voi suorittaa 25, 60 ja 120 opintopisteen opintokokonaisuudet. Matematiikan 25 op:n opintokokonaisuus Pakolliset

Lisätiedot

Internet ja muut informaatioverkostot

Internet ja muut informaatioverkostot Internet ja muut informaatioverkostot Pekka Orponen Teknillinen korkeakoulu Tietojenkäsittelyteorian laboratorio Tieteen päivät 2005 1 Tieteen päivät 2005 Pekka Orponen 2 Sisällys Verkostoja Verkostomalleja

Lisätiedot

VAATIMUKSIA YKSINKERTAISILLE VIKAILMAISIMILLE HSV:N KJ-VERKOSSA

VAATIMUKSIA YKSINKERTAISILLE VIKAILMAISIMILLE HSV:N KJ-VERKOSSA VAATIMUKSIA YKSINKERTAISILLE VIKAILMAISIMILLE HSV:N KJ-VERKOSSA Versio 30.4.2012 Tavoitteena on kehittää Helen Sähköverkko Oy:n keskijännitteiseen kaapeliverkkoon vikailmaisin, joka voitaisiin asentaa

Lisätiedot

Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia

Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian seminaari 0..008 1 Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia Loepp & Wootters, Protecting Information, luvut.4-.5 T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian

Lisätiedot

Yhteydelle voi antaa nimen kumpaankin suuntaan Sille ei tarvise antaa lainkaan nimeä Yhteysnimen asemasta tai lisäksi voidaan käyttää roolinimiä

Yhteydelle voi antaa nimen kumpaankin suuntaan Sille ei tarvise antaa lainkaan nimeä Yhteysnimen asemasta tai lisäksi voidaan käyttää roolinimiä DO NOT PRINT THIS DOCUMENT DO NOT PRINT THIS DOCUMENT Olioiden väliset yhteydet Yhteyden nimi Nimen lukusuunta pankkitili 0..10 Omistaja-> 1..3 asiakas

Lisätiedot

DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi

DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi Historiaa Bayesin kaavan hyödyntäminen BN-ohjelmistoja ollut ennenkin Tanskalaisten Hugin

Lisätiedot

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return

Lisätiedot

DEMOKRATIAINDIKAATTORIT 2015

DEMOKRATIAINDIKAATTORIT 2015 DEMOKRATIAINDIKAATTORIT 2015 Oikeusministeriö 3.12.2015, Helsinki Sami Borg Elina Kestilä-Kekkonen Jussi Westinen Demokratiaindikaattorit 2015 Kolmas oikeusministeriön demokratiaindikaattoriraportti (2006,

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Mikä on probabilistinen malli? Kutsumme probabilistisiksi malleiksi kaikkia

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen Opetusmateriaali Tämän opetusmateriaalin tarkoituksena on opettaa kiihtyvyyttä mallintamisen avulla. Toisena tarkoituksena on hyödyntää pikkuautoa ja lego-ukkoa fysiikkaan liittyvän ahdistuksen vähentämiseksi.

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Garmin GPSmap 60CSx -laite

Garmin GPSmap 60CSx -laite Garmin GPSmap 60CSx -laite GPS koulutus 20.6.2007 PAIKKATIETOPAJA -hanke Näppäimet ja laitteen osat Power - virta päälle/pois, taustavalon säätö Keinunäppäin valitse vaihtoehtoja / kenttiä, syötä tietoja,

Lisätiedot

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

ti 27.8. 9-12 Tfy-0.3131 Termodynamiikka tentinvalvonta PHYS K215 Tfy-99.2261 Fysiologia Tfy-99.4275 Signal Processing in Biomedical Engineering

ti 27.8. 9-12 Tfy-0.3131 Termodynamiikka tentinvalvonta PHYS K215 Tfy-99.2261 Fysiologia Tfy-99.4275 Signal Processing in Biomedical Engineering Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu versio 1 Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma tbh 30.5.2013 F- ja LL-LAITOSTEN SYVENTÄVIEN KURSSIEN TENTTIJÄRJESTYS 2013-2014 TENTIT JÄRJESTETÄÄN

Lisätiedot

Simulointi. Varianssinhallintaa Esimerkki

Simulointi. Varianssinhallintaa Esimerkki Simulointi Varianssinhallintaa Esimerkki M C Esimerkki Tarkastellaan lasersäteen sirontaa partikkelikerroksesta Jukka Räbinän pro gradu 2005 Tavoitteena simuloida sirontakuvion tunnuslukuja Monte Carlo

Lisätiedot

Yleistä. Esimerkki. Yhden palvelimen jono. palvelin. saapuvat asiakkaat. poistuvat asiakkaat. odotushuone, jonotuspaikat

Yleistä. Esimerkki. Yhden palvelimen jono. palvelin. saapuvat asiakkaat. poistuvat asiakkaat. odotushuone, jonotuspaikat J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jonojärjestelmät 1 JONOJÄRJESTELMÄT Yleistä Jonojärjestelmät muodostavat keskeisen mallinnuksen välineen mm. tietoliikenne- ja tietokonejärjestelmien suorituskyvyn analysoinnissa.

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

Matematiikan kirjoittamisesta

Matematiikan kirjoittamisesta Matematiikan kirjoittamisesta Asiasisältö Tärkeintä kaikessa on, että kaiken minkä kirjoitat, niin myös itse ymmärrät. Toisin sanoen asiasisällön on vastattava lukijan pohjatietoja. Tekstin täytyy olla

Lisätiedot