Talousmatematiikan perusteet

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet Mallintamisesta, esimerkkinä varastomallit Professori Ilkka Virtanen

2 Sisällysluettelo Varastomallit esimerkkinä mallintamisesta 1.Peruskäsitteet.Perusmalli (EOQ -malli, yhden muuttujan optimointitehtävä).1. Mallin muodostus.. Mallin ratkaisu.3. Ratkaisun analysointi ja tulkinta Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen

3 Sisällysluettelo, jatkuu 3.Perusmalli tapauksessa, kun puute sallitaan (kahden muuttujan optimointiteht.) 4.Perusmalli tapauksessa, kun täydennysnopeus on äärellinen (tuotantomalli) 5.EOQ -malli ja määräalennukset (epäjatkuva tavoitefunktio) 6.Perusmalli kahden hyödykkeen ja rajoitetun varastotilan tapauksessa (Lagrangen kerroin -menetelmä) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 3

4 Sisällysluettelo, jatkuu 7.Ratkaisun optiminjälkeinen herkkyysanalyysi 7.1. Herkkyysanalyysin yleinen kysymyksenasettelu 7.. EOQ -mallin herkkyysanalyysi Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 4

5 Varastomallien peruskäsitteitä! Kysyntä. Tuotteen kysyntä voi olla deterministinen so. etukäteen tunnettu tasainen tai monotonisesti muuttuva (staattinen) dynaaminen (esim. kausivaihtelu) stokastinen eli satunnaisuutta sisältävä!varaston täydentämisnopeus voi olla ääretön (kertasuoritus esim. ulkopuolisena toimituksena) äärellinen (täydennys esim. tuotannosta) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 5

6 Varastomallien peruskäsitteitä!tilausväli on kahden peräkkäisen tilaushetken väli. Perusteena varaston taso (hälytysraja) tarkkailu (jatkuva tai jaksollinen) kiinteä väli!toimitusaika,viive tilauksen ja täydennyserän toimituksen välillä!suunnittelukausi, aika jolle laskelmat tehdään Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 6

7 Varastomallien peruskäsitteitä! Varastoitavien lajikkeiden määrä; merkitystä, jos lajikkeilla keskinäistä riippuvuutta tai tilarajoituksia! Varastokapasiteetti; merkitystä, jos varastotila rajoite!täydennyserän koko, tilattava tuotanto- tai toimituserä!ostohinta, mikäli on määräalennuksia Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 7

8 Varastomallien peruskäsitteitä! Myyntihinta, mikäli on tukku- tai muita alennuksia! Varaston ylläpitokustannus sisältää pääoma-, varastointi- ja käsittelykustannukset, pilaantumisen ja hävikin, verot ja vakuutukset ym.! Tilauskustannukset, tilauksen teosta tai tuotannon aloittamisesta aiheutuva kiinteä kertakustannus Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 8

9 Varastomallien peruskäsitteitä! Puutekustannus syntyy, kun kysyntää ei pystytä tyydyttämään menetetty myynti tai ylimääräiset hankintakustannukset maineen menetys seisokki- tai ylityökustannukset Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 9

10 Mallinnettava päätösongelma Tehtäviä päätöksiä ovat mm. kuinka usein tilataan (tilausväli)? kuinka paljon tilataan kerralla (eräkoko)? milloin tilataan (tilaushetki)? Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 10

11 Perusmallin olettamukset! Perusmallina ns. Economic Order Quantity (EOQ) -malli v (F.W. Harris), tunnettu myös neliöjuurikaavana.! Mallin olettamukset (vrt. peruskäsitteet): Pelkistykset ja rajaukset täydennykset kertasuorituksena (täydennysnop. ) toimitusaika vakio (voidaan olettaa 0, vrt. ennakointi) pitkä suunnittelukausi (toistuvat tilaukset) yksi varastoitava tuote Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 11

12 Perusmallin olettamukset ei tilarajoituksia osto- ja myyntihinnat vakioita (ei paljous- ym. alennuksia) puutetta ei sallita! Mallin parametrit kysyntä D on tunnettu ja vakio, [D] kpl/v varaston ylläpitokustannus h on vakio, [h] mk/kpl*v tilauskustannus K on vakio ja tilausmäärästä riippumaton, [K] mk/erä Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 1

13 Perusmallin olettamukset! Mallin (päätös)muuttujat tilauserän koko on vakio, [] kpl tilausväli t, määräytyy kysynnän ja eräkoon perusteella (ts. vaihtoehtoinen riippumaton päätösmuuttuja :lle), [t] v!mallin tavoitefunktio etsittävä sellainen tilauserän koko (tilausväli t), jolla suunnittelukauden (tai aikayksikössä syntyvät) varastoinnin kokonaiskustannukset (tilauskust. + varaston ylläpitokust.) minimoituvat Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 13

14 EOQ - malli, graafinen esitys Olettamukset johtavat malliin, jossa varaston taso kehittyy ajan funktiona seuraavasti: Varaston taso tasainen vakiokysyntä täydennysnopeus 0 t Aika Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 14

15 Miksi seuraavat vaihtoehdot eivät tule kysymykseen? Vaihtoehto 1: M M Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 15

16 Miksi seuraavat vaihtoehdot eivät tule kysymykseen? Vaihtoehto : m+ m Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 16

17 EOQ - mallin formulointi Määritetään kustannukset per aikayks. (mk/v): Tilauskustannukset - tilauksia per aikayksikkö: D/ [D/] (kpl/ v)/ (kpl/erä) erää/v tilauskustannukset aikayksikössä C 1 () K (D/) [K (D/ )] (mk/ erä)(erää/ v) mk/v Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 17

18 EOQ - mallin formulointi Tilauskustannusten riippuvuus eräkoosta graafisesti: C 1 () Mikä funktiotyyppi on kysymyksessä? C 1 () K D/ Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 18

19 EOQ - mallin formulointi Varaston ylläpitokustannukset keskimääräinen varasto / kustannukset aikayksikössä yksikkökustannukset keskimääräinen varastotaso C () C () h / / t Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 19

20 Kokonaiskustanusfunktio TC() C 1 () + C () K D (1/) + (h/) Kust. TC( 0 ) TC 0 TC( 0 ) C () C 1 () Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 0

21 EOQ - mallin ratkaisu Kokonaiskustannukset: TC() K D (1/) + (h/) Välttämätön ehto minimille: d[tc()]/d -K D (1/ ) + h/ 0 Tästä ratkaisemalla optimaalinen eräkoko: EOQ: 0 KD h (Ehdot optimille, mitkähän ne olivatkaan?) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 1

22 EOQ - mallin ratkaisun tarkastelua Optimieräkoko: 0 KD h Optimaalinen tilausväli: t 0 0 D KD h 1 D K hd Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen

23 EOQ - mallin ratkaisun tarkastelua Optimikustannukset ( minimikustannukset): TC 0 1 h TC( 0 ) C1( 0 ) + C ( 0 ) KD + 0 h h KD KD + KD h KDh + KDh KDh KDh Huom.: C 1 ( 0 ) C ( 0 ) (vrt. myös aiempi kuva!) 0 Lopputulos: TC0 KDh Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 3

24 Optimieräkoko ja -kustannukset Optimieräkoko: Optimikustannukset: 0 KD h TC0 KDh TC TC KD h h h KD KD KD 0 h 0 KDh 0 0 KDh Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 4 ; KD 1 0

25 Esimerkki 1. Tarkastellaan varastonpitoa, jossa kysyntä D kpl/v tilauskustannukset K 000 mk/erä varaston ylläpitokustannukset h 6 mk/kpl v Saadaan seuraavat varastojärjestelmään liittyvät tunnusluvut: ( kpl) KD h 000 mk kpl / v 6 mk / kpl v 3464 kpl TC h 6 ( mk / kpl v) 3464 kpl 0784 mk / v Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 5

26 Esimerkki 1. Tilauksia (ja varaston täydennyksiä): D kpl / v N 0 5. / v 3464 kpl Tilausväli: 0 t D 0 1 (5. / v) v N 0 69 päivää Varastonpidon kustannukset myytyä tuoteyksikköä kohti: TC mk / v UC mk / D mk/ kpl kpl Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 6

27 EOQ-malli puutekustannuksin Olettamukset kuten perusmallissa paitsi että puute sallitaan. s puutekustannus, [s] mk/kpl v M varaston maksimitaso, jolloin -M maksimipuute Varastotaso M t 1 t Aika t t -M 1 + t M- t /D, t 1 M/D, t (-M)/D Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 7

28 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 8 EOQ-malli puutekustannuksin Varaston keskikoko : Keskimääräinen puute: Kokonaiskustannukset aikayksikössä: tilaus varasto puute M D D M M t t M t t t t M / / M D D M M t t M t t M t t ) ( / ) / ( ) ( s M h M KD M TC ) ( ), ( + +

29 EOQ-malli puutekustannuksin Päätösmuuttujia tarvitaan tässä uudessa, puutteen sallivassa mallissa kaksi. Edellä näiksi muuttujiksi on valittu tilausmäärä ja taso, jolle varasto täydennyksen jälkeen nousee (M ). Nämä yhdessä määräävät mm. maksimipuutteen -M ja tilausvälin t (sekä tämän osat t 1 ja t ). Muitakin valintoja päätösmuuttujiksi olisi voitu tehdä (esimerkiksi minkälaisia?). Puutteen ja puutekustannusten tuominen malliin muuttavat mallia tarvittavan matematiikan osalta ratkaisevasti. Yhden muuttujan (päätös)funktiosta on siirrytty usean muuttujan funktioon. Esimerkiksi minimikustannukset antavan ääriarvokohdan löytämiseksi on turvauduttava päätösmuuttujien suhteen laskettuihin osittaisderivaattoihin Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 9

30 Puutemallin ratkaisu Ehto optimiratkaisulle (ääriarvokohdassa osittaisderivaatat 0): { TC KD + s (s + h)m 0 TC M (h + s)m s Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 30

31 Puutemallin ratkaisu Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan (totea itse laskemalla): 1 KD (h + s) hs KD h h + s s 0 h + s s, missä 0 on perusmallin optimieräkoko. Tilauserän koko siis kasvaa perusmalliin verrattuna. M 1 KDs h (h + s) KD h s h + s 0 s h + s. Maksimivarasto taas pienenee perusmalliin verrattuna ( 0 on paitsi eräkoko myös maksimivarasto EOQ:ssa) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 31

32 Puutemallin ratkaisu Puutemallin tarkastelu, kun s : lim 1 s KD h lim s h + s s KD h 0, lim M 1 s KD h lim s s h + s KD h 0. Malli antaa siis erikoistapauksena EOQ-mallin, kun asetetaan s. Yleisestikin: mikäli mallin yleistys on tapahtunut oikein, pelkistetty malli saadaan yleisen erikoistapauksena Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 3

33 Esimerkki.! Tarkastellaan varastonpitoa, jossa kysyntä tilauskustannukset D kpl/v K 000 mk/erä varaston ylläpitokustannukset h 6 mk/kpl v puutekustannukset s 5 mk/kpl v! Saadaan mm. seuraavat varastojärjestelmään liittyvät tunnusluvut: 1 0 h + s s kpl 3857 kpl Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 33

34 Esimerkki. M 1 0 s h + s kpl 3110 kpl TC mk /v Esimerkissä puutekustannukset ovat suuremmat kuin varaston ylläpitokustannukset (5 mk/kpl v vs. 6 mk/kpl v). Kuitenkin varastonpidon kokonaiskustannukset alenevat (18665 mk/v vs mk/v). Miksiköhän näin? Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 34

35 Tuotantomalli (EOQ-malli & äärellinen täydennysnopeus) Muut olettamukset kuten EOQ-mallissa paitsi lisänä äärellinen täydennysnopeus r, [r] kpl/v. Varasto täyttyy aikana (a,b) vauhdilla r - D, (r > D) Aikana (b,c) varasto tyhjenee vauhdilla D a b c Tuotanto kestää ajan b - a /r Tilausväli on /D, joten tyhjenemisvaiheen pituus on c -b /D -/r (r -D)/Dr Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 35

36 Tuotantomallin johtaminen x x D ( r D) rd /r (r - D)/rD / /D / Varaston maksimikoko on (/r) (r - D) (r - D)/r ja varaston keskikoko siten (r - D)/r. Varaston vuotuinen ylläpitokustannus on näin h(r -D)/r Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 36

37 Tuotantomallin ratkaisu Varastonpidon kokonaiskustannukset tuotantomallissa ovat siten: TC() KD h(r D) +. r Kustannukset saavuttavat minimiarvonsa (totea laskemalla!), kun KDr r 0 > h( r D) r D 0 M r (r D) KD(r D) hr 0 r D r < Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 37

38 Tuotantomallin ratkaisu Analyysiä: 1) Eräkoko kasvaa (ts. > 0 ), sillä :n neliöjuurilauseke > 1 ) Varaston tilatarve (varastotason maksimiarvo) pienenee, sillä neliöjuurilauseke M :ssa < 1 3) Minimikustannuksiksi saadaan (totea itse laskemalla, so. sijoittamalla :n lauseke TC():n lausekkeeseen): KDh( r D) r D TC TC( ) TC0 < TC r r 4) EOQ-malli on tuotantomallin erikoistapaus (tuotantovauhti r ): 0 lim 0 lim r r r r D Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 38

39 Esimerkki 3 Olkoon Kysyntä kpl/v Tuotantonopeus kpl/v Tilauskustannukset 000 mk/erä Varaston ylläpitokustannukset 6 mk/kpl v M (r D) 450 kpl r TC mk /v kpl 4900 kpl ( kpl) (M kpl) (TC mk/v) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 39

40 EOQ-malli paljousalennuksin Olettamukset kuten perusmallissa, mutta ostohinta varastoon on eräkoosta riippuva, ts. p p(). Oletetaan porrasfunktio: p p() p 1 p p 3 1 TC () KD + h + p () D (tilaus- + varastointi- + hankintakust.) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 40

41 EOQ-malli paljousalennuksin 0 KD h (sama minimikohta kaikilla käyrillä!) TC, kun pp 1 TC, kun pp TC, kun pp 3 TC ilman hankintakust Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 41

42 Alennusrajojen 1 ja sekä minimikohdan 0 keskinäisestä sijainnista riippuen saadaan kokonaiskustannusten minimille erilaisia ratkaisuja: 0 on optimi ja 0 > ; optimaalinen varastointipolitiikka ja alennukset hyödynnetty täysimääräisesti (p p 3 ) 0 on optimi ja > 0 > 1 ; optimaalinen varastointipolitiikka ja alennukset hyödynnetty osittain (p p ) 0 on optimi ja 0 < 1 ; optimaalinen varastointipolitiikka ja alennuksia ei voida hyödyntää (alennukset eivät riittävät suhteessa varastointikustannusten nousuun; p p 1 ) 1 on optimi ja 0 < 1 ; alennus p 1 -> p kompensoi kohonneet varastointikustannukset (mutta alennus p -> p 3 ei enää kompensoi) on optimi ja > 0 ; alennusten täysimääräinen hyödyntäminen kompensoi kohonneet varastointikustannukset Esitä kuhunkin tapaukseen liittyvä tilanne graafisesti! Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 4

43 Optimaalisen eräkoon määrittämiseksi saadaan näin algoritmi (yleisesti n:lle eri hinnalle p 1,..., p n ): 1. Määritetään 0 (KD/h) 1/. Lasketaan TC 0 TC( 0 ) (KD/h) 1/ + p( 0 ) D TC i TC( i ) KD/ i + h i / + p i+1 D (i 1,,...,n-1) 3. Optimaalinen on se, jolla TC kohdassa on pienin. Algoritmiseen (so. numeeriseen) ratkaisuun joudutaan analyyttisen ratkaisun sijasta, koska minimoitava funktio on epäjatkuva Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 43

44 Kaksi tuotetta, rajoitettu varastotila (Lagrangen kertoja -menetelmä) EOQ-mallin olettamukset muuten, paitsi!varastoitavia tuotteita oletetaan olevan kaksi!varastotila voi osoittautua optimipolitiikkaa rajoittavaksi tekijäksi D 1, D kysynnät, toisistaan riippumattomat K 1, K tilauskustannukset h 1, h ylläpitokustannukset b 1, b tilantarve tuoteyksikköä kohti B käytettävissä oleva varastotila 1, eräkoot (päätösmuuttujat) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 44

45 Lagrangen kertoja -menetelmä Malli kokonaiskustannuksille: TC( 1, ) K 1 D 1 / 1 + K D / + ½ h ½ h lisäehdolla b b B (tilarajoitus) Periaatteet ratkaisulle: 1 o Etsitään TC( 1, ):n tavallinen (vapaa) kahden muuttujan funktion ääriarvokohta. Jos ratkaisu toteuttaa tilarajoitusehdon, on optimiratkaisu löytynyt (varastotila riittää kaikissa olosuhteissa, koska se riittää suurimmalle mahdolliselle varastollekin). Ellei tilarajoitusehto toteudu, joudutaan etsimään ns. sidottu ääriarvo Lagrangen kertoja -menetelmällä (kohta o ) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 45

46 Lagrangen kertoja -menetelmä o Muodostetaan ns. Lagrangen funktio, jonka tavallinen ääriarvokohta antaa alkuperäiselle kokonaiskustannusfunktiolle etsityn sidotun ääriarvokohdan. Lisäksi saadaan tärkeätä informaatiota rajoitusehdon tiukkuudesta. Vapaan ääriarvon määritys (kohta 1 o ): TC 1 TC K K D D h 1 h Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 46

47 Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 47 Lagrangen kertoja -menetelmä Yhtälöistä saadaan ratkaisemalla helposti ääriarvokohtaehdokas: h D K h D K Lagrangen funktion muodostaminen alkuperäisen tavoitefunktion, tilarajoituksen ja Lagrangen kertojan λ avulla (kohta o ): L( 1,, λ) TC( 1, ) + λ(b b B)

48 Lagrangen kertoja -menetelmä L:llä on sama ääriarvokohta muuttujien 1 ja suhteen kuin TC:lläkin edellyttäen, että λ:n kerrottavana oleva sulkulauseke 0, ts. että tilarajoitusehto toteutuu! Ääriarvokohdalle saadaan ehdot: L K 1 D h 1 + λb L K D + 1 h + λb 0 L λ b b B Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 48

49 Lagrangen kertoja -menetelmä Yhtälöryhmästä voidaan ratkaista (laskutoimitukset yleensä verraten monimutkaisia) lausekkeet 1 :lle ( opt 1 ) ja :lle ( opt ) sekä λ:lle. Yhtälöryhmän viimeinen yhtälö takaa, että ratkaisu toteuttaa tilarajoituksen. Ratkaisuna saadaan myös arvo λ:lle, Lagrangen kertojalle. Kertoimella λ on tärkeä taloudellinen tulkinta. Se ilmoittaa tilarajoitteen varjohinnan, ts. kuinka paljon (marginaalisesti optimissa) kustannukset lisääntyvät sen johdosta, että tila on pullonkaulatekijä. Jos varastotilaa olisi käytettävissä yksi tilayksikkö enemmän, varastoinnin kokonaiskustannukset alenisivat λ:n verran Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 49

50 Lagrangen kertoja -menetelmä Varjohinnoilla on erittäin keskeinen merkitys mm. lineaarisen optimointitehtävän (LP-mallin) ratkaisemisessa, sekä ratkaisuteknisesti että ratkaisun taloudellisen tulkinnan kannalta. LP-mallin herkkyysanalyysi mm. perustuu pääosin ratkaisuun liittyviin varjohintoihin. Seuraavassa tarkastellaan mallien yleistä herkkyysanalyysia varastomallia esimerkkinä käyttäen Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 50

51 Herkkyysanalyysi, yleistä Luonteeltaan mallin optiminjälkeistä tarkastelua, jonka sekä looginen että ajallinen paikka on mallityöskentelyn loppuvaiheessa Lähtökohtana valmiiksi formuloitu ja ratkaistu malli Tavoitteena tuottaa lisäinformaatiota mallin ja ratkaisun luonteesta tarkastelemalla mallin käyttäytymistä ja ominaisuuksia optimiratkaisun läheisyydessä Tunnetuinta herkkyysanalyysi on lineaarisen optimointitehtävän (LP-mallin) yhteydessä. Herkkyysanalyysi on itse asiassa osa LP-mallin ratkaisua (duaalimuuttujien varjohintatulkinnat) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 51

52 Herkkyysanalyysi, yleistä 1 Mikä on optimituloksen herkkyys optimiratkaisun suhteen: paljonko tavoitefunktion arvo huononee suhteessa optimitulokseen, jos optimiratkaisun sijasta otetaan käyttöön jokin muu ratkaisu? hinta optimiratkaisusta poikkeamiselle Mikä on optimin p%:n läheisyysalue: mitkä ratkaisut johtavat enintään p% huonompaan tulokseen kuin optimiratkaisu? riittävän hyvien ratkaisujen kartoitus 3 Miten optimiratkaisu ja -tulos muuttuvat mallin lähtöolettamusten (vakioiden ja parametrien) muuttuessa? yksittäisen parametrin muutos (yhteys joustoihin) lähtötietojen epätarkkuuden vaikutus (virheanalyysi) lähtötietojen muuttamisen vaikutus(vaihtoehtolaskelmat) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 5

53 Esimerkkejä herkkyysanalyysistä EOQ -mallin yhteydessä 1 Paljonko varastoinnin kokonaiskustannukset kohoavat, jos tilauserän kooksi 0 :n sijasta valitaankin α 0? Missä rajoissa tilauserän koko voi vaihdella ilman että kokonaiskustannukset kohoavat enemmän kuin p%? 3 a) Paljonko eräkoko ja kokonaiskustannukset muuttuvat, jos kysyntä D (tai tilauskustannukset K tai ylläpitokustannukset h) muuttuvat (ceteris paribus) p%? b) Mitkä ovat eräkoon ja kokonaiskustannusten optimiarvojen virhearviot, kun parametrien D, K ja h arvoja ei tunneta tarkasti vaan tietyllä suhteellisella tarkkuudella (epätarkkuus esim. max 10%)? c) Paljonko kannattaa investoida uuteen varastojärjestelmään, kun sen yksikkökustannus h on 100f % (esim. 0%) pienempi kuin nykyisen, pitoaika on N (esim. 0 v) ja laskentakorkokanta i ( 10%) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 53

54 EOQ-mallin herkkyysanalyysi Malli ja sen ratkaisu: TC( ) KD KD 0 h TC0 TC( + 0 ) 1 h KDh h 0 1. Tuloksen (kokonaiskustannusten TC) herkkyys ratkaisun (eräkoon ) suhteen optimissa? Annettu: 0 -> α 0 ts. / 0 α Ratkaistava: TC -> TC 0 βtc 0 ; β TC /TC 0? Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 54

55 EOQ-mallin herkkyysanalyysi β TC TC 0 KD h KD + 1 h + 1 h 0 KD h h KD KD h ( ) 1 (α + 1 α ) Saadaan siis yhteys ratkaisun ( 0 ) suhteelliselle muutokselle α ja tuloksen (TC 0 ) suhteelliselle muutokselle β: 0 β 1 (α + 1 α ) ts. TC 1 (α + 1 α )TC Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 55

56 Esimerkki 4 Paljonko kokonaiskustannukset lisääntyvät, jos eräkoko a) kasvaa 50%, b) pienenee 50%? a) (α 1.5) TC 0.5 ( /1.5) TC TC 0 (8%:n kust. nousu) b) (α 0.5) TC 0.5 ( /0.5) TC TC 0 (5%:n kust. nousu!)! Malli on siis paljon herkempi poikkeamille optimiratkaisusta alas- kuin ylöspäin. Johtuu tavoitefunktion laakeudesta optimiratkaisun oikealla puolella. (Piirrä kuvio ja tarkastele asiaa siinä!)! Herkkyysanalyysi pätee vain optimin välittömässä läheisyydessä.! Tulokset ovat yleispäteviä EOQ-mallille, ne eivät riipu lainkaan parametrien K, D ja h arvoista (herkkyys jousto funktion ominaisuus) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 56

57 EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa. Optimiratkaisun p-prosentin läheisyysalue: Miten 1 ja on valittava, jotta olisi voimassa: aina kun [ 1, ], niin TC() (1 + p/100) TC 0, missä p on annettu? Kustannukset (1+p/100) TC 0 TC Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 57

58 EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa TC Kohdasta 1: 1 (α + 1/α ) TC 0 Vaatimus: TC (1 + p TC ) P Saadaan rajaluku P:lle: 1 (α + 1/α ) P α α Pα α P ± P 1 1 (P P 1) 0 (P + P 1) 0 0 P ± P Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 58

59 Esimerkki 5 p 10% P (1.10 ( ) 0 1) Eräkoko saa kasvaa optimista korkeintaan 56% ja pienentyä korkeintaan 36%, jotta kokonaiskustannusten nousu olisi korkeintaan 10% Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 59

60 EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa 3a. Jos kysyntä D muuttuu p%, paljonko muuttuu optimaalinen eräkoko, paljonko muuttuvat (kasvavat) optimaaliset kustannukset? D: suhteellinen muutos on annettu: D/D Suuretko ovat 0 / 0 ja TC 0 /TC 0? Pienille (infinitesimaalisille) muutoksille pätee: D/D dd/d Saadaan: 0 / 0 0 D d 0 D.. D/D D dd 0 0 Viimeksi mainittu lauseke (merk. E D ( 0 ) ) on 0 :n jousto D:n suhteen eli eräkoon kysyntäjousto Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 60

61 EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa EOQ-mallille saadaan näin eräkoon kysyntäjoustoksi: 0 KD h ; d 0 dd 1 E D ( 0 ) d 0 dd D 0 h KD h K KD h K h D KD h 1 KD h 1 vakio! KD h Tulos: 0 :n suhteellinen muutos on puolet D:n suhteellisesta muutoksesta (likiarvo, pitää paikkansa sitä paremmin, mitä pienempi D on). Jos esim. D kasvaa (vähenee) 10%, niin 0 kasvaa (vähenee) 5%. Samoin on (totea itse laskemalla): E D (TC 0 ) 1/; E K ( 0 ) E K (TC 0 ) 1/ ; E h ( 0 ) - 1/ (!), E h (TC 0 ) 1/ Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 61

62 EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa 3b. Parametrien arvojen muuttamisen kannattavuus? Investoinnilla I saadaan aikaan varastojärjestelmä, jonka ylläpitokustannus on 100f % pienempi kuin olemassa olevan järjestelmän (muut ominaisuudet ennallaan). Kuinka suuri saa I korkeintaan olla, jotta investointi olisi kannattava? Investoinnin pitoaika on N ja laskentakorkokanta i. TC 0 KDh dtc 0 TC 0 d lntc 0 1 Säästö vuodessa: dk K + dd D + dh h 1 (0 + 0 f ) 1 TC 0 dtc 0 1 f TC 0 1 f KDh TC 0 1 f KDh f Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 6

63 EOQ-mallin herkkyysanalyysi, jatkoa Säästö investoinnin pitoaikana (nykyarvomenetelmä): NPV( TC 0 ) a (N,i) 1 f KDh, missä on jaksollisten maksujen diskonttaustekijä. a (N,i) Saadaan kannattavuusehto investoinnille: I 1 f a (N,i) KDh Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 63

64 Esimerkki 6 Olkoot EOQ-mallin parametrit: D kpl/v K 000 mk h 6 mk/kpl v ja investointiin liittyvät parametrit: f 0.0 (h: 6 mk/kpl v 4.80 mk/kpl v) N 0 v i 0.10 a (N,i) Varastoinvestointi saa maksaa enintään: I 0.5 f a (N,i) (KDh) mk (investoinnin takaisinmaksuajan on oltava alle 9 vuotta) Professori Ilkka Virtanen: Talousmatematiikan perusteet, mallintaminen 64