Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet"

Transkriptio

1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Stefan Emet Matematiikan ja tilastotieteen lts Turun yliopisto 24

2 Sisältö Johdanto. Todennäköisyys Peruskäsitteitä Kolmogorovin aksioomat Otanta ja kombinatoriikka Järjestetty otanta Järjestämätön otanta Ehdollinen todennäköisyys Riippumattomuus Satunnaismuuttujat 7 2. Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvia jakaumia Summat ja keskeinen raja-arvolause Tilastotiedettä 4 3. Odotusarvon ja varianssin estimointi Hypoteesitestauksesta Testauksen virheistä

3 Luku Johdanto. Todennäköisyys Todennäköisyys on tärkeä käsite tilastotieteessä ja luonnontieteissä. Usein halutaan esimerkiksi tietää, kuinka suuret ovat voitonmahdollisuudet, mitkä ovat eri puolueiden kannatusluvut, kuinka varma jokin mitattu tulos on jne. Todennäköisyyslaskennan avulla mallinnetaan ja arvioidaan kuinka suurella todennäköisyydellä jokin tietty tapaus tapahtuu. Määritelmä.. Kokeen eri tulokset ovat alkeistapauksia ω ja kaikkien alkeistapausten joukko on otosavaruus Ω. Esimerkki.. a) Mikäli yhtä noppaa heitetään kerran, otosavaruus on Ω = { ykkönen, kakkonen, kolmonen, nelonen, viitonen, kuutonen}. Tapaus A = silmäluku on suurempi kuin kaksi on A = { kolmonen, nelonen, viitonen, kuutonen}. Tapaus A siis tapahtuu jos saadaan vähintään kolmonen. b) Mikäli noppaa heitetään kaksi kertaa, otosavaruus on Ω = {(, ), (, 2),..., (6, 6)}. Alkeistapauksia on yhteensä 36 kappaletta. Tapaus A = silmälukujen summa on 8 on havainnollistettu alla olevan taulukon avulla, johon on kirjattu kahden heiton summa. Taulukko.: Kahden nopanheiton summa Taulukosta nähdään, että on 5 tapausta, jossa summa on 8. Todennäköisyys, että summa on 8, on klassisen määritelmän mukaan 5 =.389. Vastaavasti saadaan todennäköisyys, 36 että summa on pienempi kuin 8 on 2 =

4 Johdanto 2 Todennäköisyyslaskennassa tapauksen A todennäköisyyttä merkitään P (A) ja se voidaan määritellä eri tavoin riippuen tilanteesta. Matemaattisesti ajatellen se määritellään funktiona, joka antaa otosavaruuden alkioille arvon väliltä nollasta yhteen. Varman tapauksen todennäköisyys on ja mahdottoman tapauksen todennäköisyys on. Edellisessä esimerkissä voidaan olettaa, että nopalla on säännölliset sivut, jolloin kaikilla (kuudella) silmäluvuilla on sama todennäköisyys. Tämä on ns. klassinen määritelmä, jossa oletetaan, että kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisiä. Määritelmä.2 (Klassinen todennäköisyys). Oletetaan, että otosavaruudessa Ω on alkeistapauksia Ω kappaletta. Olettaen kaikkien alkeistapausten olevan yhtä todennäköisiä yksittäisen alkeistapauksen w i todennäköisyys on P (w i ) = Ω. Mikäli tapaus A sisältää A kappaletta alkeistapauksia, tapauksen A todennäköisyys on P (A) = A Ω. Esimerkki.2. Oletetaan, että hyvin sekoitetusta korttipakasta nostetaan yksi kortti. Merkitään tapaukset = kortin maa on pata ja K = kortti on kuningas. Tällöin P ( ) = 3 4 ja P (K) = Klassisessa määritelmässä oletetaan, että otosavaruus on numeroituva eli kaikille alkioille voidaan asettaa luku. Mikäli otosavaruus on esimerkiksi reaalilukujen väli tai alue tasossa, voidaan todennäköisyyttä laskea geometrian avulla. Esimerkki.3. Bussi kulkee 5 minuutin välein. Oletetaan, että Tauno saapuu bussipysäkille satunnaisena hetkenä. Millä todennäköisyydellä hän joutuu odottamaan korkeintaan 4 minuuttia? Merkitään Taunon saapumisaikaa X:llä, jolloin X [, 5]. Voidaan olettaa, että kaikki saapumisajat välillä [,5] ovat yhtä todennäköisiä, jolloin haettu todennäköisyys saadaan laskemalla suotuisan välin pituuden suhde koko janan pituuteen: P ( Taunon odotusaika korkeintaan 4 min. ) = P ( Tauno saapuu pysäkille viimeistään 4 min. ennen bussia ) = P (X [, 5]) = 4 5 =.267 Vastaavalla tavalla saadaan esimerkiksi todennäköisyys, että odotusaika on vähintään 6 minuuttia: P ( Taunon odotusaika vähintään 6 min. ) = P ( Tauno saapuu pysäkille vähintään 6 min. ennen bussia ) = P (X [, 9]) = 9 5 =.6

5 Johdanto 3 Esimerkki.4. Poika ja tyttö saapuvat kohtaamispaikalle toisistaan riippumatta satunnaisena hetkenä aikavälillä Poika odottaa tyttöä korkeintaan 2 min, ja tyttö odottaa poikaa korkeintaan 5 min. Kumpikin odottaa korkeintaan klo 9. saakka. Millä todennäköisyydellä poika ja tyttö tapaavat toisensa? Merkitään pojan ja tytön saapumisajat p:llä ja t:llä ja määritellään, että minuuteissa p [, 6] ja t [, 6]. Tapaaminen tapahtuu, jos poika saapuu paikalle enintään 2 minuuttia ennen tyttöä tai viimeistään 5 minuuttia tytön jälkeen: { t p + 2, p t + 5. Ehto tapaamiselle voidaan kirjoittaa t 2 p t+5 tai ekvivalenttisti p 5 t p+2. Alla olevaan kuvaan on merkitty suotuisa alue, jossa tapaaminen tapahtuu t p 5 t p+2 3 p 5 t p+2 p 5 t p p Kuva.: Tytön ja pojan mahdolliset saapumisajat. Todennäköisyys, että tyttö ja poika tapaavat saadaan pinta-alojen suhteiden avulla: P ( Tyttö ja poika tapaavat ) = P (t 2 p t + 5) = suotuisan alueen pinta-ala koko alueen pinta-ala = =.3576 Toinen tapa määritellä todennäköisyyttä on tarkastella kokeiden avulla, kuinka monta koetta onnistuu. Määritelmä.3 (Frekvenssitulkinta). Oletetaan, että koetta toistetaan n kertaa ja tapaus w i sattuu f i kertaa. Tällöin saadaan likiarvo tapauksen w i :n todennäköisyydelle P (w i ) f i n. Tällä tavalla saadaan kokeiden avulla empiirisesti havaintoja eri alkeistapausten suhteellisista frekvensseistä. Tämä on suurten lukujen lain seuraus.

6 Johdanto 4 Esimerkki.5. Lanttia heitettiin kertaa ja saatiin alla olevan taulukon mukaiset tulokset. Taulukosta nähdään, että klaavan suhteellinen frekvenssi vaihtelee.5 ympäri. Jatkamalla lantin heittämistä kyseinen vaihteluväli pienenee. Taulukko.2. Lantin heitto ja klaavojen lukumäärää. Heittojen lkm Klaavojen lkm Klaavan suhteellinen frekvenssi Kolmas tapa määritellä todennäköisyyttä on ns. subjektiivinen, jolloin henkilö tekee oman arvionsa todennäköisyydestä. Esimerkki.6. Oleta, että Matti sanoo menevänsä huomenna lenkille 5 prosentin todennäköisyydellä. Tätä voidaan pitää subjektiivisena arviona. Mikäli tiedetään, että Matti käy keskimäärin neljä kertaa viikossa lenkillä, saadaan likimääräinen arvo 4 7 todennäköisyydelle, että hän käy satunnaisena päivänä lenkillä..2 Peruskäsitteitä Todennäköisyyslaskennassa sovelletaan joukko-opin merkintöjä ja operaatioita. Joukkojen A ja B leikkaus merkitään A B. Tulkinta on, että A B tapahtuu, kun molemmat tapaukset A ja B tapahtuvat. Vastaavasti, unionin avulla merkitään A B, joka tapahtuu, kun ainakin toinen tapauksista A ja/tai B sattuu. Kahden joukon erotus merkitään A\ B tai A B ja se koostuu alkioista, jotka kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B. Tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota ja se merkitään symbolilla. Kaikki alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A kuuluvat sen komplementtiin A c. Näiden unioni muodostavat koko otosavaruuden, eli A A c = Ω ja A A c =. Joukon komplementti voidaan myös kirjoittaa otosavaruuden ja joukon erotuksena: A c = Ω A. Venn-diagrammin avulla voidaan helposti esitellä yllä mainittuja käsitteitä. Ω Ω A B A A B B (a) unioni A B (b) leikkaus A B Kuva.2: Venn-diagrammeja unionista ja leikkauksesta.

7 Johdanto 5 Esimerkki.7. Olkoon A Ω, eli A on otosavaruuden osajoukko. Tällöin pätee, että A A c = Ω, A Ω = A ja A Ω = Ω. Vastaavasti tyhjälle joukolle pätee A =, A = A ja = =. Selvästi tapaus A ja sen komplementti A c eivät voi tapahtua samaan aikaan, eli joko A tapahtuu tai sen komplementti tapahtuu. Tapaus A ja sen komplementti ovat ns. toisensa poissulkevia. Määritelmä.4. Tapaukset A ja B ovat toisensa poissulkevat, jos A B =. Yleisesti määritellään, että tapaukset A i, i =,..., n, ovat toisensa poissulkevat jos A i A j = kaikille i j. Esimerkki.8. Oletetaan, että hyvin sekoitetusta korttipakasta nostetaan yksi kortti. Merkitään tapaukset = kortin maa on hertta, K = kortti on kuningas ja A = kortti on ässä. Tällöin tapaukset K ja A ovat toisensa poissulkevat, mutta K ja A. Esimerkki.9. Eräässä kylässä on nuorta, joista 2 pelaa pesäpalloa, 6 harrastaa painia ja 4 hiihtää. Nuorista 8 pesäpalloilee ja painii, 5 pesäpalloilee ja hiihtää sekä 4 painii ja hiihtää. Kaikkia lajeja harrastaa 2 nuorta. Merkitse alla olevaan Venn-diagrammiin annetut osuudet. Päättele diagrammista, millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu henkilö a) ei harrasta mitään; b) pesäpalloilee, mutta ei paini eikä hiihdä? Pesäpallo Paini Hiihto Kuva.3: Kylän nuorten harrastukset.

8 Johdanto 6 Lause. Unionille ja leikkaukselle pätevät seuraavat distributiivilait: ( n ) A (B C) = (A B) (A C), A B i = n (A B i ). ( n ) A (B C) = (A B) (A C), A B i = n (A B i ). Lause 2. Komplementille pätee de Morganin kaavat: ( n ) c (A B) c = A c B c, A i = n A c i. ( n ) c (A B) c = A c B c, A i = n A c i. Esimerkki.. Tarkastellaan toisensa poissulkevat tapaukset A, B ja C, jolle P (A) =, P (B) = ja P (C) =. Tapaus, että ainakin yksi tapahtuu voidaan lausua A B C Edellisen lauseen avulla saadaan tapaus, ettei yksikään A, B tai C:stä tapahdu: (A c B c C c ) = (A B C) c.3 Kolmogorovin aksioomat Kolmogorovin aksioomat pidetään todennäköisyyslaskennan kivijalkana, johon kaikki peruslaskenta pohjautuu. Aksioomat esiteltiin Kolmogorovin teoksessa Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung vuonna 933. Aksiooma. P (A) jokaiselle tapaukselle A. Aksiooma 2. P (Ω) =. Aksiooma 3. Jos tapaukset A, A 2,... ovat toisena poisulkevat, niin P ( A i ) = P (A i ). Esimerkki.. Oletetaan, että heitetään yhtä noppaa kerran. Olkoon A i = nopanheiton tulos on i, i =,..., 6. Tapaukset A i ovat toisensa poissulkevat ja voidaan soveltaa Kolmogorovin kolmatta aksioomaa seuraavasti: P ( nopanheiton tulos on parillinen luku ) = P (A 2 A 4 A 6 ) = P (A 2 ) + P (A 4 ) + P (A 6 ) = = 2. Kolmogorovin aksioomien avulla voidaan todistaa muun muassa seuraavia laskusääntöjä. Lause 3. a) P ( ) =, b) P (A) = P (A C ), c) P (A), d) P (A B) =, jos A B =, e) Jos A B niin P (A) P (B), f) P (A B) = P (A) P (A B).

9 Johdanto 7 Esimerkki.2. Tarkastellaan tapaukset A ja B, jolle P (A) =.4, P (A B) =.3 ja P (A B) =.6. Lasketaan P (A B c ): P (A B c ) = P (A B) = P (A) P (A B) =.4.3 =. Tapauksen B todennäköisyys voidaan esimerkiksi laskea seuraavasti: P (B) = P (A B) P (A B) =.6. =.5 Lause 4. Oletetaan, että tapaukset A i ovat toisensa poissulkevat. Tällöin ( n ) a) P A i = n P (A i ). b) Mikäli n A i = Ω, n P (A i ) =. Mikäli tapaukset eivät ole toisensa poissulkevat unionin todenäköisyyttä voidaan laskea seuraavan lauseen avulla. Lause 5. a) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), b) P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (B C) P (A C) + P (A B C). Esimerkki.3. Edellisessä esimerkissä, voidaan soveltaa lausetta: josta saadaan B:n todennäköisyys P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (B) = P (A B) P (A) + P (A B) = =.5 Esimerkki.4. Kalle ja Tanja ovat laskettelemassa. Todennäköisyys, että Tanja kaatuu on ja Kalle kaatuu 5 prosentin todennäköisyydellä. Molemmat menevät nurin 25 3 prosentin todennäköisyydellä. Lasketaan todennäköisyys, että molemmat pysyvät pystyssä. Määritellään tapaukset T = Tanja kaatuu ja K = Kalle kaatuu, jolloin oletuksen mukaan P (T ) =, P (K) = ja P (T K) =. Tapaus että molemmat pysyvät pystyssä on komplementti siihen että jompikumpi kaatuu. Haettu todennäköisyys saadaan seuraavasti: P (T c K c ) = P ((T K) c ) = P (T K) = (P (T ) + P (K) P (T K)) = ( + ) = 5. 2

10 Johdanto 8.4 Otanta ja kombinatoriikka Tilastotieteen avulla halutaan yleensä saada lisää ymmärrystä eri ilmiöistä. Usein tehdään koesarjoja ja/tai otantaa analysoiden saatua dataa. Otannan voi suorittaa monella eri tavalla ja kombinatoriikan avulla saadaan matemaattisesti selville eri kombinaatioiden lukumääriä, joita tarvitaan klassisen todennäköisyyden määritelmässä. Tarkastellaan tilannetta, jossa valitaan satunnaisesti k alkiota joukosta, jossa on esimerkiksi n alkiota, eli k n. Mikäli valittu alkio aina palautetaan joukkoon, otanta tehdään ns. palauttaen. Mikäli valitut alkiot ei palauteta alkuperäseen joukkoon, sanotaan että otanta tehdään palauttamatta. Otanta on järjestetty, jos alkioiden järjestyksellä on merkitystä, muutoin otanta on järjestämätön. Otannan valinnassa on siis ensin kaksi vaihtoehtoa valitaanko alkiot palauttaen/palauttamatta jonka jälkeen kumpaakin otosta voidaan tarkastella järjestettynä/järjestämättömänä. Kaikkiaan on siis neljä perustapaa suorittaa otannan. Tuloperiaate on yksi kombinatoriikan perustuloksista. Lause 6. Jos A i :ssä on n i vaihtoehtoa, i =,..., k, niin jono (A, A 2,..., A k ) voidaan valita n n 2 n k eri tavalla. Esimerkki.5. a) Korttipakassa on neljä maata ja 3 eriarvoista korttia/maa. Erilaisia kortteja pakassa on siis 4 3 = 52. b) Tanssiaisiin osallistuu 7 naista ja 9 miestä. Mikäli miehet tanssivat vain naisten kanssa ja naiset vain miesten kanssa erilaisia tanssipareja on edellisen lauseen mukaan 7 9 = 63 kappaletta. c) Ravintolan menussa on 3 erilaista keittoa, 5 alkuruokaa, 8 pääruokaa ja 4 jälkiruokaa. Erilaisia aterioita on = 48 kappaletta (mikäli ateriaan saa valita yhtä ruokalajia per ateria)..4. Järjestetty otanta Lause 7. Oletetaan, että valitaan k alkiota joukosta jossa on n alkiota. a) Mikäli alkiot valitaan palauttamatta voidaan muodostaa järjestetty joukko n (n ) (n k + ) eri tavalla. b) Mikäli alkiot valitaan palauttaen, on n k eri tapaa muodostaa järjestetty joukko. Esimerkki.6. a) Lottoarvonnan 7 palloa voivat mennä tulosputkeen = eri tavalla. Huom. lottotuloksia on paljon vähemmän, koska ei ole väliä, missä järjestyksessä ne menevät tulosputkeen. b) Korttipakkaa voidaan sekoittaa 52! eri tavalla. c) Jokerissa valitaan järjestyksesä 7 numeroa,..., 9 palauttaen. Erilaisia jokerin tuloksia on Järjestämätön otanta Lause 8. Mikäli valitaan palauttamatta ( ) k alkiota joukosta, jossa on n alkiota voidaan n järjestämätön otanta suorittaa = k n! eri tavalla. (n k)! k! Edellisessä lauseessa määritellään binomikerrointa, jota lausutaan n yli k:n ja tulkitaan että kuinka monella tavalla voidaan valita k kappaletta n:stä.

11 Johdanto 9 Esimerkki.7. a) Erilaisia lottotuloksia on lauseen 8 mukaan: ( ) 39 = 39! ! = = ! 7! 32! 7! Todennäköisyys, että saadaan 7 oikein lotossa, on siis / b) Lasketaan todennäköisyys, ( ) ( että ) saadaan 5 oikein lotossa. Suotuisia tapauksia on tulosäännön mukaan, koska valitaan viisi numeroa seitsemästä oikeista nume roista ja kaksi vääristä numeroista. Haettu todennäköisyys on siis: ( ) ( ) ! ! ( ) 2! 5! 2! 3! 2 2 = = = = Lause 9. Mikäli valitaan palauttaen ( k alkiota ) joukosta, jossa on n alkiota voidaan järjestämätön otanta suorittaa eri tavalla. n + k k Esimerkki.8. Oletetaan, että pöydällä on neljä korttia, yksi jokaista maata (hertta, pata, ruutu, risti). Nostetaan kahta korttia palauttaen. Erilaisia vaihtoehtoja on ( ) ( ) = = 5 4 3! = ! 2 = kappaletta. Vaihtoehdot tai ns. kombinaatiot ovat:,,,,,,,, ja. Todennäköisyys, että saadaan pari on siis 4 = 2 5. Alla olevassa taulukossa on yhteenveto eri vaihtoehtojen lukumääristä kun otannassa valitaan k alkiota n:stä joko palauttamatta tai palauttaen. Mikäli valittujen alkioiden järjestyksellä on merkitystä kyseessä on permutaatio ja mikäli järjestyksellä ei ole väliä, kyseessä on kombinaatio. Jonossa järjestyksellä on usein väliä, ja erilaisia jonoja tai permutaatioita on n!, jos jonossa on n alkiota (esim. korttipakkaa voidaan asettaa 52! eri tavalla). Taulukko.3: Valintojen lukumäärä otannassa. Palauttamatta Palauttaen n! Järjestetty n ( k (n k)! ) ( ) n n + k Järjestämätön k k

12 Johdanto.5 Ehdollinen todennäköisyys Seuraavaksi tarkastellaan tilannetta, jossa tiedetään etukäteen onko jokin tapaus sattunut ja tutkitaan, onko kyseisellä tiedolla vaikutusta toisen tapauksen todennäköisyyteen. Esimerkki.9. Oletetaan, että uurnassa on 2 mustaa palloa ja 3 punaista. Nostetaan palauttamatta kaksi palloa uurnasta. Määritellään tapaukset B = ensimmäinen pallo on musta ja A = toinen pallo on punainen. Mikäli tiedetään, että ensimmäinen pallo oli musta, uurnassa on jäljellä yksi musta pallo ja kolme punaista. Tästä voidaan päätellä, että todennäköisyys on 3/4 että toinen nostettu pallo on punainen. Esimerkissä yllä pystytään hyödyntämään tieto ensimmäisestä nostetusta pallosta, jolloin otosavaruus suppenee ja voidaan päätellä jäljellä olevista palloista, että mikä on toisen nostetun pallon värin todennäköisyys. Tätä kutsutaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi ja määritellään seuraavaksi. Määritelmä.5. Oletetaan, että P (B) >. Tapauksen A:n ehdollinen todennäköisyys ehdolla B on P (A B) P (A B) = (.) P (B) Esimerkki.2. Edellisessä esimerkissä leikkauksen A B ja tapauksen B todennäköisyydet ovat P (A B) = P (. pallo musta ja 2. pallo punainen ) = 2 3 ja P (B) = Ehdollinen todennäköisyys, että toinen pallo on punainen ehdolla että ensimmäinen pallo on musta on tällöin: P (A B) = P (A B) P (B) = = = 3 4. Esimerkki.2. Kolikkoa heitetään kolmesti. Olkoon tapaukset A = ensimmäisellä heitolla saadaan kruunu, ja B = saadaan tarkalleen kaksi kruunua. Lasketaan ehdolliset todennäköisyydet P (A B) ja P (B A). Otosavaruudessa on seuraavat alkiot Ω = {(kr, kr, kr), (kr, kr, kl), (kr, kl, kr), (kl, kr, kr), (kr, kl, kl), (kl, kl, kr), (kl, kr, kl), (kl, kl, kl)}, eli Ω = 2 3 = 8. Suotuisat tapaukset ovat: A = {(kr, kr, kr), (kr, kl, kr), (kr, kr, kl), (kr, kl, kl)} ja B = {(kr, kr, kl), (kr, kl, kr), (kl, kr, kr)}. Ehdolliset todennäköisyydet voidaan nyt laskea kahdella tavalla. Tapa. Supistettu otosavaruus: P (A B) = P ( ensimmäinen heitto on kruunu kun tiedetään että saadaan tarkallen kaksi kruunua ) = 2, koska on kaksi suotuisaa tapausta 3 B:ssä. P (B A) = P ( saadaan tarkalleen kaksi kruunua kun tiedetään että ensimmäinen on kruunu ) = 2 = (on kaksi tällaista tapausta A:ssa). 4 2 Tapa 2. Määritelmä.5: P (A B) = P (A B) P (B) = Vastaavasti saadaan P (B A) = P (A B) P (A) = A B Ω A Ω A B Ω B Ω = A B B = 2 3. = A B A = 2 4 = 2. Jälkimmäisessä tavassa käytetään ehdollisen todennäköisyyden määritelmää.5 ja tarkastellaan koko otosavaruutta Ω. Ensimmäisessä tavassa haetaan todennäköisyyttä supistetussa otosavaruudessa, jossa on hyödynnetty annettu ehto.

13 Johdanto Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä saadaan seuraavaa lause: Lause. a) P (A B) = P (A B) P (B), jos P (B) >, b) P (A B) = P (B A) P (A), jos P (A) >. Lauseen voi myös yleistää usemmalle tapaukselle: Lause. Tapausten A, A 2,..., A n leikkaukselle pätee n P ( A i ) = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 ) P (A n A A 2... A n ) mikäli kaikki ehdolliset todennäköisyydet ovat olemassa. Esimerkki.22. Oletetaan, että avainnipussa on n avainta, joista yksi sopii lukkoon. Kokeillaan avaimia vuorotellen kunnes sopiva löytyy. Olkoon tapaus, A i = i:s avain on väärä, i =,..., n. Lasketaan todennäköisyys, että vasta k:s avain on oikea. P ( vasta k:s avain on oikea ) = P (A A 2... A k A c k ) = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 ) P (A k A... A k 2 )P (A c k A... A k ) = n n = n n 2 n (k ) n n (k 2) n (k ) jossa k = 2, 3,..., n. Mikäli kokeiltu avain palautetaan nippuun, eikä siis muisteta mitä avaimia on kokeiltu, saadaan jokaisella kokeilukerralla sama todennäköisyys n, että n avain sopii. Tällöin todennäköisyys, että vasta k:s avain on oikea on: P ( vasta k:s avain on oikea ) = P (A A 2... A k A c k ) = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 ) P (A k A... A k 2 )P (A c k A... A k ) = n n = ( n n n n ) n k n n n, k = 2, 3,... Määritelmä.6. Tapaukset A, A 2,..., A n muodostavat otosavaruuden partition jos n A i :t ovat toisensa poissulkevat, A i = Ω ja P (A i ) >, i =,..., n. Edellisten määritelmien avulla voidaan johtaa kokonaistodennäköisyyslausetta. Lause 2 (Kokonaistodennäköisyys). Oletetaan, että A, A 2,..., A n muodostavat otosavaruuden partition. Tällöin Todistus: P (B) = n P (B A i )P (A i ) (.2) P (B) = P (B Ω) = P (B (A A 2... A n )) = P ((B A )... (B A n )) = P (B A ) + P (B A 2 ) P (B A n ) = P (B A )P (A ) P (B A n )P (A n ).

14 Johdanto 2 Esimerkki.23. Autokauppias hankkii tyhjään varastoonsa 6 autoa ruotsista, 5 autoa saksasta ja 4 autoa suomesta. Kauppias huomaa, että ruotsista hankituissa autoissa kahdessa on korjattavaa, saksasta hankituissa kolmessa on korjattavaa ja suomesta hankituissa kahdessa on korjattavaa. Asiakas sapuu kauppaan ja valitsee satunnaisesti yhden auton (ennenkuin kauppias on ehtinyt korjata niitä). Millä todennäköisyydellä valitussa autossa ei ole mitään korjattavaa? Merkitään K = autossa on korjattavaa, S = auto on ruotsista, D = auto on saksasta ja F = auto on suomesta. Tällöin P (S) = 6/5, P (D) = 5/5 ja P (F ) = 4/5, ja annetut ehdolliset todennäköisyydet P (K S) = 2/6 = /3, P (K D) = 3/5 sekä P (K F ) = 2/4 = /2. Kokonaistodennäköisyyslauseen avulla saadaan: P (K) = P (K S)P (S) + P (K D)P (D) + P (K F )P (F ) = = = Haettu todennäköisyys saadaan komplementin avulla: P (K c ) = P (K) = 7/5 = 8/5 =.53. Alla olevassa kuvassa on puukuvion avulla havainnollistettu kaikki vaihtoehdot. Kuvion avulla voidaan kätevästi laskea esimerkiksi kokonaistodennäköisyydet tapaukselle K summaamalla yhteen kaikki polut, jotka johtavat K-solmuihin. 3 K 6 5 S 2 3 K c Auto D F 3 5 K K c K K c Kuva.4: Puukuvio autoesimerkistä. Käänteiset ehdolliset todennäköisyydet saadaan Bayesin lauseen avulla. Lause 3 (Bayes). Mikäli A, A 2,..., A n muodostavat otosavaruuden partition ja P (B) >, niin A i :n ehdollinen todennäköisyys ehdolla B on: P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B) = P (B A k)p (A k ) n P (B A i )P (A i ) (.3) jossa k =,..., n.

15 Johdanto 3 Esimerkki.24. Edellisessä autoesimerkissä voidaan soveltaa Bayesin lausetta ja laskea todennäköisyydet, että auto on kukin maasta, kun tiedetään, että siinä oli korjattavaa. Ehdollinen todennäköisyys, että auto on ruotsista kun tiedetään että siinä oli korjattavaa on: P (S K) = P (S K) P (K) = P (K S)P (S) P (K S)P (S)+P (K D)P (D)+P (K F )P (F ) P (K S)P (S) = = = 2 7. Vastaavalla tavalla saadaan P (D K) ja P (F K): P (D K) = P (F K) = P (K D)P (D) = P (K) 7 5 P (K F )P (F ) = P (K) 7 5 = 3 7, = 2 7. Tarkistuksena voidaan todeta, että todennäköisyyksien summa on : P (S K) + P (D K) + P (F K) = =. Esimerkki.25. Henkilöllä on tietty virus todennäköisyydellä p. Eräs testi näyttää virheellisen (negatiivisen) tuloksen todennäköisyydellä α, mikäli henkilöllä on virus. Terveelle henkilölle testi näyttää virheellisen (positiivisen) tuloksen todennäköisyydellä β. Merkitään tapaukset V = henkilöllä on virus ja P os = testi on positiivinen. Komplementit voidaan merkitä T = henkilö on terve ja N eg = testi on negatiivinen. Tapausten todennäköisyydet ovat P (V ) = p ja P (T ) = p. Ehdollinen todennäköisyys, että testi näyttää negatiivista, vaikka henkilöllä on virus on P (N eg V ) = α. Ehdollinen todennäköisyys, että testi antaa positiivisen tuloksen, vaikka henkilö on terve on P (P os T ) = β. Alla olevaan taulukkoon on listattu ehdolliset todennäköisyydet joista ilmenee testin eri virhemahdollisuudet. Taulukko.4: Testin virhemahdollisuudet. Testitulos Henkilö Pos Neg Virus α α Terve β β Tilastollisessa testauksessa tapausta, että testi antaa väärän tuloksen henkilön kantaessa virusta, kutsutaan I-tyypin erheeksi, tai α-erheeksi. Tapausta, että testi antaa väärän tuloksen henkilön ollessa terve, kutsutaan II-tyypin erheeksi, tai β-erheeksi. Testin merkitsevyystaso on α, ja testin voimakkuus on β. Testauksessa halutaan, että molemmat virheet ovat mahdollisimman pieniä. Tärkeänä pidetään usein, että β pysyy mahdollisimman pienenä, koska käytännössä saattaa tulla vääriä päätöksiä ja/tai ikäviä seuraamuksia mikäli testi näyttää positiivista terveelle henkilölle. Esimerkiksi leikataan tervettä potilasta, tuomitaan syytön jne.

16 Johdanto 4 Mikäli valitaan satunnaisesti testattava henkilö, eri mahdollisuudet ovat siis alla olevan kuvan mukaiset. α P os Henkilö p V T α Neg p P os β β Neg Kuva.5: Puukuvio virusesimerkistä. Kokonaistodennäköisyyslauseen avulla voidaan laskea todennäköisyydet, että testi näyttää positiivista/negatiivista: P (P os) = P (P os V )P (V ) + P (P os T )P (T ) = ( α) p + β ( p), P (Neg) = P (P os) = ( α) p β ( p) = α p + ( β) ( p). Bayesin lauseen avulla voidaan laskea todennäköisyys, että henkilöllä todella on virus kun testi näyttää positiivista: P (V P os) = P (P os V )P (V ) P (P os) = ( α) p ( α) p+β ( p) Vastaavasti voidaan laskea todennäköisyys, että ihmisellä on virus, vaikka testi näyttää negatiivista: P (V Neg) = P (Neg V )P (V ) P (Neg) = α p α p+( β) ( p) Sijoittamalla arvot α =.5, β =. ja p =. yllä oleviin kaavoihin saadaan laskettua todennäköisyydet, että satunnaisesti valitun henkilön testi näyttää positiivista: P (P os) = (.5). +. (.) =.9. Mikäli testi näyttää positiivista henkilöllä on virus todennäköisyydellä: P (V P os) = P (P os V ) P (V ) P (P os) = ( α) p P (P os) = =.5 Vastaavasti voidaan laskea todennäköisyys, että henkilöllä on virus vaikka testi näyttää negatiivista: P (V Neg) = P (Neg V ) P (V ) P (Neg) = α p P (P os) = =.5

17 Johdanto 5.6 Riippumattomuus Edellisessä jaksossa tarkasteltiin ehdollisia todennäköisyyksiä P (A B). Mikäli ehdolla B ei ole mitään vaikutusta A:n ehdolliseen todennäköisyyteen ja P (A B) = P (A), sanotaan, että tapaukset ovat riippumattomia. Yleisesti käytetään seuraavaa määritelmää. Määritelmä.7. Tapaukset A ja B ovat riippumattomia jos P (A B) = P (A) P (B). Tapausten riippumattomuutta voidaan merkitä A B. Esimerkki.26. Nostetaan yhtä korttia hyvin sekoitetusta pakasta. Olkoon tapaukset A = kortti on ässäkortti, B = kortti on kuvakortti ja = kortti on herttakortti. Lasketaan ensin ehdolliset todennäköisyydet P (A ) = 4 ja P (B ) =. Verrataan 3 3 näitä A:n ja B:n todennäköisyyksiin: P (A) = 4 = 6 ja P (B) = = 4. Huomataan, että P (A ) = P (A) ja P (B ) = P (B) joten A ja, ja B ja ovat pareittain riippumattomat. Määritelmän.7 avulla voidaan myös verifioida, että P (A ) = ja 52 P (A) P ( ) =, jolloin A ja ovat riippumattomia koska P (A ) = P (A) P ( ). 3 4 Vastaavasti nähdään, että P (B ) = P (B) P ( ). Huomataan, että tapaukset A ja B ovat toisensa poissulkevat, koska A B = (ässä ei ole kuvakortti). Toisin sanoen, tapaukset A ja B riippuvat toisistaan. Laskemalla saadaan P (A B) = P ( ) = ja P (A) P (B) = 4 jolloin P (A B) P (A) P (B). 3 3 Tapausten riippumattomuus ja tapausten toisensa poissulkevuus ovat eri asioita. Mikäli tapaukset ovat toisensa poissulkevat, ne ovat myös selvästi toisistaan riippuvaisia (jos toinen sattuu, niin toinen ei voi sattua). Tapausten riippumattomuudesta ei välttämättä voida päätellä, ovatko tapaukset toisensa poissulkevat. Esimerkki.27. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Olkoon tapaukset A =. noppa on nelonen, B = silmälukujen summa on 7 ja C = silmälukujen summa on 6. Todennäköisyydet ovat P (A) =, P (B) = 6 5 ja P (C) =. Laskemalla nähdään, että P (A B) = = P (A) P (B), joten tapaukset A ja B ovat riippumattomat mutta eivät toisensa poissulkevat. Tapaukset A ja C eivät ole riippumattomia koska P (A C) = P (A) P (C) Riippumattomuus on tärkeä ominaisuus jota hyödynnetään todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Esimerkiksi koesarjoissa joissa toistetaan samaa koetta monta kertaa kokeiden tulokset ovat usein riippumattomia. Yleisesti pätee seuraava lause. Lause 4. Jos tapaukset A, A 2,..., A n ovat riippumattomat, niin P (A A 2... A n ) = P (A ) P (A 2 ) P (A n ) (.4) Esimerkki.28. a) Heitetään lanttia kertaa. Eri heittojen tulokset ovat riippumattomat ja voidaan helposti osoittaa, että on yhtä todennäköistä saada kymmenen klaavaa putkeen kuin, että joka toinen heitto on klaava. Olkoon tapaus K i = i:s heitto on klaava, i =, 2,...,. Tällöin P (K K 2... K ) = P (K ) P (K 2 ) P (K ) ) = = ( P (K K2 c... K) c = P (K ) P (K2) c P (K) c Määr..4: A ja B toisensa poissulkevat jos A B = = = ( )

18 Johdanto 6 b) Heitetään noppaa 6 kertaa. Todennäköisyys, että saadaan kaikki silmäluvut järjestyksessä,..., 6 on: P ( 6 i:nnen heiton silmäluku on i ) = 6 P ( i:nnen heiton silmäluku on i ) = 6 = = ( ). Esimerkki.29. FC Box:in palloilijat (Jonathan, Aaron ja Zlatan) potkaisevat ottelun rangaistuspotkukilpailussa kukin kerran. Oletetaan, että osumiset ovat riippumattomia. Pelaajien maalintekotodennäköisyydet ovat.6,.5 ja.7. Olkoon tapaukset, J = Jonathan tekee maalin, A = Aaron tekee maalin ja Z = Zlatan tekee maalin. Merkitään maalien lukumäärää M i :llä, siten, että tapaus M i = FC Box saa i maalia, i =,, 2, 3. Riippumattomuuden ja tapausten toisensa poissulkevuuden perusteella saadaan eri maalimäärien todennäköisyydet: P (M ) = P (J c A c Z c ) = P (J c ) P (A c ) P (Z c ) = =.6, P (M ) = P ((J A c Z c ) (J c A Z c ) (J c A c Z)) = P (J A c Z c ) + P (J c A Z c ) + P (J c A c Z) = P (J) P (A c ) P (Z c ) + P (J c ) P (A) P (Z c ) + P (J c ) P (A c ) P (Z) = =.29, P (M 2 ) = P ((J A Z c ) (J A c Z) (J c A Z)) = P (J A Z c ) + P (J A c Z) + P (J c A Z) = P (J) P (A) P (Z c ) + P (J) P (A c ) P (Z) + P (J c ) P (A) P (Z) = =.44, P (M 3 ) = P (J A Z) = P (J) P (A) P (Z) = =.2. Huomataan, että 3 i= pelaajan onnistumistodennäköisyys: P (M i ) =. Mikäli syntyy vain yksi maali, voidaan laskea kunkin P (J M ) = P (J M ) P (M = P (J Ac Z c ) ) P (M = ).29 =.3, P (A M ) = P (A M ) P (M = P (J c A Z c ) ) P (M = ).29 =.2, P (Z M ) = P (Z M ) P (M ) = P (J c A c Z) P (M ) = =.48. Olkoon tapaus V = FC Box voittaa ja oletetaan, että tilastojen valossa P (V M ) =, P (V M ) =.2, P (V M 2 ) =.3 ja P (V M 3 ) =.5. Todennäköisyys, että joukkue voittaa on siis 3 P (V ) = P (V M i ) P (M i ) = =.3 i= Mikäli voitto tulee, voidaan nyt laskea eri maalimäärien todennäköisyydet:, i =, P (M i V ) = P (V M i)p (M i ).97, i =, = P (V ).447, i = 2,.356, i = 3.

19 Luku 2 Satunnaismuuttujat Määritelmä 2.. Satunnaismuuttuja X on funktio X : Ω R, joka liittää jokaiseen otosavaruuden Ω alkioon reaaliluvun. Esimerkki 2.. Oleta, että Marko on järvellä onkimassa tunnin. Tunnin aikana saatujen kalojen lukumäärä voidaan merkitä X:llä, joka on myös kokonaisluku X =,, Saatujen kalojen lukumäärää X on ns. diskreetti satunnaismuuttuja. Saatujen kalojen yhteispaino merkitään Y :llä ja voidaan ajatella, että se on reaaliluku väliltä [, 5]. Saaliin paino Y on ns. jatkuva satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja voi olla diskreetti tai jatkuva. Usein diskreeteillä satunnaismuuttujilla mallinnetaan lukumääriä, kun taas jatkuvat satunnaismuuttujat tyypillisesti kertovat ajasta, painosta tai muista mitoista. Tarkastellaan seuraavaksi satunnaismuuttujiin liittyviä määritelmiä. 2. Diskreetit satunnaismuuttujat Määritelmä 2.2. Satunnaismuuttuja on diskreetti jos se voi saada vain ääreellisen tai numeroituvasti äärettömän määrän arvoja. Määritelmä 2.3. Oleta, että diskreetti satunnaismuuttuja X voi saada arvoja joukosta K. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio on p(k) = P (X = k), k K. Määritelmä 2.4. Satunnaismuuttujan X jakaumafunktio tai ns. kertymäfunktio on F (x) = P (X x), x R. Esimerkki 2.2. Heitetään noppaa kerran ja määritellään X = nopan silmäluku, eli X {, 2, 3, 4, 5, 6}. Todennäköisyysfunktio on p(k) = P (X = k) =, k =, 2,..., 6. 6 Jakaumafunktio F (x) on siis kumulatiivinen: F (x) =, x <, /6, x < 2, 2/6, 2 x < 3, 3/6, 3 x < 4, 4/6, 4 x < 5, 5/6, 5 x < 6,, 6 x. 5/6 4/6 3/6 2/6 /

20 Satunnaismuuttujat 8 Olettaen, että diskreetin satunnaismuuttujan X arvojoukko on K, todennäköisyysfunktiolla, p(k) = P (X = k), on seuraavat ominaisuudet: p(k), kun k K ja k K p(k) =. Diskreetin satunnaismuuttujan X jakaumafunktio saadaan summaamalla: F (x) = k x p(k) ja tälle pätee: lim F (x) =, lim F (x) = ja F (x) on ei-vähenevä. x x Määritelmä 2.5. Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo on jos summa suppenee itseisesti, eli E(X) = k K k p(k), k K k p(k) <. Esimerkki 2.3. Noppaesimerkissä 2.2 silmälukujen odotusarvo on E(X) = 6 i P (X = i) = 6 i 6 = 6 ( ) = 2 6 = 7 2. Esimerkki 2.4. Arpajaisiin myydään arpaa. Voittoja jaetaan siten, että on kpl Euron voittoa, 6 kpl 25 Euron voittoa, 3 kpl 5 Euron voittoa ja yksi Euron voitto. Olkoon X = satunnaisesti valitun arvan voitto, eli X {,, 25, 5, }. Satunnaismuuttujan X odotusarvo on määritelmän mukaan: E(X) = P (X = ) + P (X = ) + 25P (X = 25) + 5P (X = 5) + P (X = ) = = = 5. Satunnaisen arvan voiton odotusarvo on 5 Euroa, joka on myös arpojen minimihinta (jolla katetaan voittokulut). Diskreetin satunnaismuuttujan muunnos on myös satunnaismuuttuja, jolle voidaan laskea todennäköisyys-, jakaumafunktio ja odotusarvo. Lause 5. Olkoon muunnos Y = g(x), jossa g on mitallinen funktio ja X on diskreetti satunnaismuuttuja. Tällöin pätee a) E(Y ) = E(g(X)) = k K g(k) p(k), jos k K b) E(a + b X) = a + b E(X), a R, b R. g(k) p(k) <,

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä. TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on

Lisätiedot

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada OTATKO RISKIN? peli 1. Heitä noppaa 20 kertaa. Tavoitteena on saada vähintään 10 kertaa silmäluku 4, 5 tai 6. Jos onnistut, saat 300 pistettä. Jos et onnistu, menetät 2. Heitä noppaa 10 kertaa. Tavoitteena

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Määritelmiä. Nopanheitossa taas ω 1 = saadaan 1, ω 2 = saadaan 2,..., ω 6 = saadaan

Määritelmiä. Nopanheitossa taas ω 1 = saadaan 1, ω 2 = saadaan 2,..., ω 6 = saadaan Todennäköisyys Todennäköisyys on epävarman matematiikkaa. Matemaattinen todennäköisyys mallintaa satunnaisia ilmiöitä, kuten esimerkiksi nopantai lantinheitto. Todennäköisyyttä voi lähestyä mm. tilastollisesti

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&idx=4&ui Lang=fi&lang=fi&lvv=2014

Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&idx=4&ui Lang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP2 Tilastollisen päättelyn perusteet 1 1. luento 28.10.2014 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&idx=4&ui Lang=fi&lang=fi&lvv=2014 2 Osaamistavoitteet

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

Tilastollisen päättelyn perusteet, MTTTP5. Luentorunko, lukuvuosi

Tilastollisen päättelyn perusteet, MTTTP5. Luentorunko, lukuvuosi Tilastollisen päättelyn perusteet, MTTTP5 Luentorunko, lukuvuosi 2016-2017 Raija Leppälä 31. elokuuta 2016 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Todennäköisyyslaskentaa 4 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 4 2.2 Klassinen

Lisätiedot

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Tämä kurssi käsittelee sekä todennäköisyyslaskentaa että tilastotiedettä. Uhkapelurien ongelmat inspiroivat todennäköisyyslaskennan uranuurtajien ajattelua,

Lisätiedot

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45. Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Tässä luvussa käsitellään satunnaismuuttujien ominaisuuksia ja täydennetään todennäköisyyslaskennan tietoja. Erityisesti satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Batch means -menetelmä

Batch means -menetelmä S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Tulosten keruu ja analyysi 1(9) Batch means -menetelmä Batch means -menetelmää käytetään hyvin yleisesti Simulointi suoritetaan tässä yhtenä pitkänä ajona olkoon simuloinnin

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot