Fysiikka 5. Tehtävien ratkaisut. Pyöriminen ja gravitaatio. Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Fysiikka 5. Tehtävien ratkaisut. Pyöriminen ja gravitaatio. Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen"

Transkriptio

1 Tehtäien atkaisut Heikki Lehto Raimo Haukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen Fysiikka 5 Pyöiminen ja gaitaatio Kustannusosakeyhtiö Tammi Helsinki

2 . painos Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö Tammi, 00 ISBN: Painatus: Hansapint Diect Oy, Vantaa 00

3 Sisällys Johdantotehtäiä...4 Pyöimisliike...6 Ympyäliike Jäykän kappaleen mekaniikka Pyöimisliikkeen dynamiikka Gaitaatio Heittoliike...76 Ketaustehtäiä

4 Johdantotehtäiä. a) Esimekiksi kellon sekuntiiisai on pyöiä kappale. b) Vieiä kappale on esimekiksi auton engas (nomaalissa ajossa). c) Paikallaan olea kappale on esimekiksi asemalla seisoa etui. Se on paikallaan maanpinnan suhteen.. a) Mekintä 00 pm takoittaa pesukoneen ummun pyöimisnopeutta: 00 kieosta minuutissa. b) Pesukoneen linkousaiheessa pyykissä olea esi itoaa ja pyykin esipitoisuus pienenee. 3. Kun lanka katkeaa, pallo lähtee adan tangentin suuntaan. 4. a) Muttein ääntäminen on helpompaa, kun pitää kiinni jakoaaimen päästä. Tällöin mutteiin kohdistua ääntöaikutus suuenee. Jakoaainta käytettäessä ateen kohdistuan oiman on hyä olla kohtisuoassa aaimen atta astaan. b) Pihdeissä ja saksissa oleat pitkät aet aikuttaat asissa taittaan puistusoiman suuuuteen: pitkä asi pienentää taittaaa oimaa. 5. Keinulauta asettuu tasapainoon, kun ääntöaikutukset oat yhtä suuet. Kokemuksesta tiedetään, että painaamman henkilön tulee olla ain,0 m päässä keinulaudan keskikohdasta, jotta keinulauta asettuisi tasapainoon. m = 30 kg m = 60 kg m x 6. a) Taitoluistelija nopeuttaa pyöimistään etämällä kätensä ja jalkansa mahdollisimman lähelle pyöimisakselia. b) Vastaaia uheilulajeja oat mm. uimahyppy ja oimistelu. 7. Umpinainen pallo on helpompi saada pyöimään kuin samankokoinen ontto pallo (koska umpinaisen pallon hitausmomentti on pienempi kuin onton pallon). 4

5 8. a) Maapallo ei ole täysin pyöeä aan hiukan naoiltaan litistynyt. Tämä johtuu siitä, että Maa pyöii akselinsa ympäi, ja siitä, että Maalla on ain ohut kiinteä pinta, jonka alla on nestemäinen sisus. b) Maapallon pyöimissuunta on itään. 9. a) Tietoliikennesatelliitti pysyy Maasta katsottuna saman paikan yläpuolella, jos satelliitin kietoaika Maan ympäi on yksi uookausi, ja kietosuunta sama kuin Maan pyöimissuunta. b) Tällainen paikka oi sijaita ain päiäntasaajan yläpuolella. 0. Kun pallo on atansa kokeimmassa kohdassaan eli lakikokeudella, sen nopeus on hetkellisesti nolla. 5

6 Pyöimisliike -. Kietokulma on Kietokulma on adiaaneina 5π ad 0π ad 3 ad. -. Kulma asteina θ/ Kulma adiaaneina φ/ad Kieoksien lukumäää / 30 0,5 0,083 0,05 57,0 0,6 0,0 60 3,5, ,,0. ii 30 Kulma adiaaneina on π ad 0,536 ad 0,5 ad. 360 Kieosten lukumäää on 0,536 ad 0,083. π ad Kaaen pituus on s π π 0,0 m 0,05 m Ensimmäinen ii: 30; 0,5; 0,083; 0,05.. ii Kulman suuuus adiaaneina on,0 ad. Kulman suuuus asteina on 360, 0 ad 57. π Kieosten lukumäää on, 0 ad 0,6. π ad Kaaen pituus on s,0 0,0 m 0,0 m. Toinen ii: 57;,0; 0,6; 0,0. 3. ii Kaaen pituus s/m Yhden kieoksen kietokulma on 360. Koska kieosten lukumäää on 3,5, kietokulma asteina on 3, π Yksi aste on adiaaneina ad. Ilmoitetaan kietokulma adiaaneina: 360 π 6060, 99 ad ad. 360 Kaaen pituus s,990,0 m, m. Kolmas ii: 60; ; 3,5;,. 6

7 4. ii Koska kaaen pituus on,0 m, kietokulmaksi saadaan s,0 m ad ,0 m π Kieosten lukumäää on 0 ad 3,. π ad Neljäs ii: 00; 0; 3,;, Pyöimisnopeus 500 pm astaa pyöimisnopeutta 500 0/s 60s s. Akseli pyöii sekunnissa 0 kieosta. -4. a) Kuusen latan kulkema matka on π s 5 m 4 m. b) Kuusen keskikohdan kulkema matka on π s 7,5 m m. -5. a) Pyöimisnopeus (kieostaajuus) on n 0, /s 0,093 /s. 0,8 s b) Lautanen pyöii 0,09593 kieosta sekunnissa, joten,0 minuutissa eli 0 sekunnissa kieosten lukumäää on 00,09593,. Yksi kieos astaa kietokulmaa π ad, joten kietokulma,0 minuutissa on,π ad 70 ad. -6. Siien pyöimisnopeus on,s T,s. n 0 0, s 0 n 0,90 0,90, s s s ja kieosaika -7. a) Venttiili on kietänyt 50 ad 358, täyttä kieosta. π ad b) Venttiilin pyöimisnopeus on 358,0986 n, /s (,/s). 7,0s -8. a) Koska leyn A kuaaja on jykempi kuin B:n, leyn A kulmanopeus on suuempi. Leyn A kulmanopeus on 40,0ad0,0ad 40,0ad 3 ad/s. t t t 3,0s0,0s 3,0s 7

8 b) Kolmea täyttä kieosta astaaa kietokulma on 3 ad 8,8 ad. Näin ollen ley A saauttaa kietokulman 8,8 ad hetkellä t =,4 s ja B:n hetkellä t = 3,8 s. -9. Keskikulmanopeus on 8,6 ad,0 ad 6,6 ad,4 ad/s. t t t 3,5 s 0,80 s,7 s ad 0 ϕ 8 6 Δϕ 4 Δt s t -0. a) Pyöimisnopeus on n 0,4 /s. T 7,0 s b) Kulmanopeus on πn π π ad 0,90 ad/s. T 7,0 s -. a) Kieosajat oat T 0, s ja n min 60 s T 0, 0 s. n min 60 s Kieosaika pienenee 0,066667s 0,0 s 0,05 s. b) Kulmanopeudet oat πn π π ad 94,473 ad/s ja T 0, s πn π π ad 34,597 ad/s. T 0,0 s Kulmanopeus suuenee 34,597 ad/s 94, 473ad/s 00 ad/s. 8

9 -. a) Maa pyöähtää akselinsa ympäi kean uookaudessa. Pyöimisnopeus on n T 3 h 56 min 4,0 s 86 64, s 5 5, /s,6 0 /s. 5 5 b) Kulmanopeus on πn π,60580 ad/s 7,90 ad/s. 00 ad -3. Rummun kietokulma on t πnt π 55 s 6900 ad. 60 s -4. Kietokulman yhtälöstä φ = φ 0 + ωt ajaksi t saadaan 0 40 ad 5,0 ad t s. ad/s Valokua siulla 9: Esimekiksi alokuan oikeassa eunassa selkeänä näkyä pitkä kaai: kaaen asteluku on noin 60 astetta. Näin ollen kamean alotusaika on 60 4h 4h a) Rummun kietokulma 4,0 sekunnin kuluttua on 00 ad. b) Kun umpu on kietänyt 50 täyttä kieosta, kietokulma on 50 ad 34 ad. Tähän on kulunut kuaajan mukaan aikaa 5,4 s. c) ad 400 ϕ (Δ ϕ) (Δt) (Δ ϕ) (Δt) t s 9

10 Keskikulmanopeus älillä 0,0 s 3,0 s on ( ) 35 ad 0,0 ad 35 ad k ( t) 3,0 s 0,0 s 3,0 s 45 ad/s. Hetkellinen kulmanopeus saadaan kuaajalle kohtaan t = 5,0 s piietyn tangentin kulmaketoimena: (5,0s) ( ) 0 ad ( t),4s 88 ad/s. -6. a) Kappale oi pyöiä kahteen suuntaan, joten mittausohjelmalle pyöimisantuin pyöimissuunta oli negatiiinen. b) Pyöimisliike on likimain tasaisesti kiihtyää liikettä, koska (aika, kulmanopeus)- koodinaatistossa kuaaja on lähes suoa. c) 0 kulmanopeus (ad/s) ,5,0 aika (s) Keskikulmakiihtyyys saadaan (aika, kulmanopeus)-koodinaatiston käyälle soitetun suoan fysikaalisesta kulmaketoimesta: 90,0 ad/s 5,0 ad/s k t t t,36s,5s 0 ad/s. -7. Tasaisesti kiihtyää pyöimisliikettä esittäät kuaajat, 3 ja a) Aikaälillä 0,0 s 0,0 s ley on tasaisesti kiihtyässä liikkeessä, aikaälillä 0,0 s 30,0 s ley pyöii akiokulmanopeudella ja aikaälillä 30,0 s 35,0 s leyn pyöiminen hidastuu tasaisesti ja lopulta ley pysähtyy. b) Leyn kulmakiihtyyys on suuin aikaälillä 30,0 s 35,0 s. 0

11 c) Kulmakiihtyyydet: 0,0 ad/s 0,0 ad/s aikaälillä 0,0 s 0,0 s: 0,50 ad/s, t t t 0,0s0,0s aikaälillä 0,0 s 30,0 s: α = 0 ad/s, 0, 0 ad/s 0,0 ad/s aikaälillä 30,0 s 35,0 s:, 0 ad/s. t t t 35,0s 30,0s ad/s 0,5 0 α s t,0 d) Kietokulma saadaan älillä 0,0 s 30,0 s kuaajan ja t-akselin äliin jäään alueen fysikaalisena pinta-alana. Koodinaatiston yhtä uutua astaa kietokulma 5,0 s,0 ad/s = 0,0 ad. Kuaajan ja t-akselin äliin jäää pinta-ala uutuina on 0, = 0. Näin ollen kietokulma on 0 0,0 ad = 00 ad. -9. a) ad/s ω 0 8 (Δ ω) 6 (Δ ω) 4 (Δt) (Δ ω) 3 (Δt) (Δt) s t b) Keskikulmakiihtyyys aikaälillä,0 s 3,5 s on ( ) 0, ad/s 5, 0 ad/s k,ad/s. ( t) 3,5s,0s Keskikulmakiihtyyys aikaälillä 4,5 s 7,0 s on ( ), 0 ad/s 9,8 ad/s k 3,ad/s. ( t) 7, 0s 4,5s

12 c) Kulmakiihtyyys hetkellä 5,5 s on ( ),0 ad/s,8 ad/s ( t) 8,s4,0s 3 (5,5 s),6 ad/s 3 d) Kietokulma saadaan kuaajan ja aika-akselin äliin jäään alueen fysikaalisena pintaalana. Yhtä uutua astaa kietokulmaa,0 s,0 ad/s =,0 ad. Koska uutujen määä on 6, kietokulma on 6,0 ad 5 ad.. 3 ad -0. Voimistelijan keskikulmanopeus on πn π 6, 5ad/s.,9 s -. a) Akselin kieosaika on T 0,05 s. n s 400 ad b) Akselin kulmanopeus on πn π 5, 374ad/s 50 ad/s. 60 s 5,374 ad/s 0,0 ad/s c) Keskikulmakiihtyyys on k 63 ad/s. t t t 4,0 s 0,0 s -. a) Siien kulmanopeus on = n =,5 ad/s 5,70796 ad/s. Keskikulmakiihtyyys on 0,0 ad/s 5,70796 ad/s k,0830ad/s, ad/s. t 3s b) Kietokulma on ad t t 5, s (,0830 ad/s ) (3 s) 0,03 ad s 0. Kieosten lukumäää on 0,03ad 6. ad -3. a) Vauhtipyöän keskikulmakiihtyyys on 45 ad/s 0 ad/s k 3 ad/s. t t t 5,0 s b) Tasaisesti muuttuassa pyöimisliikkeessä kietokulma on 0t t 0 ad/s 5,0 s ( 3 ad/s ) (5,0 s) 387,5 ad. 387,5 ad Vauhtipyöä pyöii kokonaisia kieoksia 6 kpl. π π ad

13 -4. Keskiön maksimipyöimisnopeus on n = 70 pm ja maksimikulmanopeus 70 ad n 7,8036 ad/s. 60 s Kiihdytyksen aikana kulmakiihtyyys on 7,8036 ad/ s 0,0 ad/ s t 40s Kietokulma tämän kiihdytyksen aikana on 0, ad/ s. 0, ad/s (40 s) 356,047 ad. t Hajoituksen loppuaika on tasaista pyöimisliikettä, ja silloin kietokulma on t 7,8036 ad/s40 s 49,3304 ad. Kietokulma koko hajoituksen aikana on 356,047 ad + 49,3304 ad = 848,3776 ad, joka astaa 848,3776 ad 450 kieosta. π ad -5. a) Jojo on palannut takaisin käteen hetkillä 5,0 s ja 0,0 s. b) Aikaälillä 0,0 s,5 s jojo on menossa alaspäin. Pyöimisliike on kiihtyää pyöimisliikettä. Aikaälillä,5 s 5,0 s jojo on tulossa ylöspäin. Pyöimisliike on hidastuaa pyöimisliikettä. Aikaälillä 5,0 s 7,5 s jojo on menossa alaspäin kiihtyen ja pyöimissuunta on aihtunut. Aikaälillä 7,5 s 0,0 s jojo on tulossa ylöspäin hidastuen. 45ad/s c) Ensimmäisen,5 s aikana jojon kulmakiihtyyys on 8ad/s. t,5s Tänä aikana jojon kietokulma on t 8ad/s (,5s) 56,5ad. Koska kuaaja on symmetinen ajanhetken,5 s suhteen, aikaälillä 0,0 s 5,0 s kietokulma on 56,5 ad =,5 ad eli jojo pyöii,5ad 8 π ad kieosta. Testaa, osaatko siu 7. a b. c 3. b c 4. a b c 5. a 6. a 7. c 8. a c 9. b c 3

14 Ympyäliike -. a) Taan A atanopeus on suuempi kuin B:n atanopeus, koska taa A on kauempana ympyäliikkeen keskipisteestä. Tällöin sen esimekiksi yhden kieoksen aikana kulkema matka on pitempi kuin lähempänä akselia olean taan kulkema matka. b) Molemmilla on sama kulmanopeus. -. a) Sekuntiiisain pään atanopeus on suuin, koska se kietää täyden kieoksen nopeammin kuin minuutti- tai tuntiiisai. b) Sekuntiiisain ) kieosaika T = 60 s, ) pyöimisnopeus on n 0,07 /s T 60 s, 3) kulmanopeus on πn π π 0,0 ad/s. T 60 s 4) Sekuntiiisain pään atanopeus on πn π 0,5 m 0, m/s 0,06 m/s. 60 s ja yhden uookauden aikana kulkema matka st 0, m/s s 400 m. -3. a) Pisteen atanopeus on ,5,5400 m πn π 5 m/s. 60 s b) Ratanopeus on eannollinen etäisyyteen ympyäliikkeen keskipisteestä: pisteen atanopeus on pienempi lähempänä kiintoleyn keskustaa. -4. a) Pyöän B kehäpisteen nopeus on B πn π 96,00 m 6,0386 m/s 6,0 m/s. s b) Rattaiden kehäpisteiden atanopeudet oat yhtä suuet, koska ne on kiinnitetty toisiinsa. Näin ollen A = B = 6,0 m/s. 6,0386 m/s A A 0,030 m c) Rattaan A pyöimisnopeus on na 3 /s. π π π 4

15 -5. a) Ralliauton kiihtyyys saadaan yhtälöstä ak. t t Nopeuden muutos oidaan kijoittaa muotoon ( ). β Δ Koska nopeuksien suuuudet oat ja, nopeuden muutoksen suuuudeksi saadaan. (4 m/s) (35m/s) 54,6775m/s 54, 6775 m/s Keskikiihtyyyden suuuus on ak 6,6679m/s 6,7 m/s t 8, s 4m/s suunta on nopeuden muutoksen suunta: tan, josta kulma m/s b) Autoon aikuttaa keskimäääinen kokonaisoima on F = ma k = 300 kg 6,6679 m/s 8,7 kn. Kokonaisoima ja kiihtyyys oat samansuuntaiset. ja -6. a) Ympyäadalle autoon aikuttaan oiman suuuus on 8 m 00 kg m 3,6 s F,4 kn. m b) Auto pysyy ympyäadalla kitkan ansiosta. Auton liikeyhtälö on F man eli F ma n, koska kitka aiheuttaa nomaalikiihtyyyden. Valitaan suunta kohti m ympyäadan keskipistettä positiiiseksi. Skalaaiyhtälöstä mg saadaan kitkaketoimeksi 8 m 3,6 s 0,. g 9,8 m/s m Riittään suui kitkakeoin auton pitämiseksi ympyäadalla on 0,. Jos kitkakeoin on 0,0, auto pysyy ympyäadalla. -7. a) Langan jännitysoiman ansiosta pallo pysyy ympyäadalla. Voiman suuuus m 0,055kg (5m/s) katkeamishetkellä on F 6 N. 0,0m 5

16 b) Pallo lähtee adalta adan tangentin suuntaan suoaiiaisesti jatkauuden lain mukaan. -8. a) Elektonin nomaalikiihtyyys on a b) Yhteen kieokseen kulua aika on s t,8 Mm/s π π 5,8 pm, s. n (,8 Mm/s) 5,8 pm 9,00 0 m/s. Elektoni kietää yhdessä sekunnissa,0s 6, s 6, kieosta. -9. Tasaisessa ympyäliikkeessä olealla kappaleella on ain nomaalikiihtyyyttä. ( ) Agentin kiihtyyys on an (π n) 4π n eli yhtälöstä 4 n g 9,8 m/s = g agentin pyöimisnopeus on n 0,55 /s. 4π 4π 0 m -0. Kun astusoimat oat pienet, autoon kohdistuat oimat oat paino ja tienpinnan tukioima. Auton adan säteeksi oletetaan kohtisuoa etäisyys adan keskipisteeseen. Auton tiellä pitää kokonaisoima suuntautuu kaateen keskipistettä kohti ja on aakasuoa. Liikeyhtälö aakasuunnassa on F ma. Pystysuunnassa liikeyhtälö on 0, koska autolla ei ole kiihtyyyttä pystysuunnassa. F y x n Kun alitaan suunnat keskipistettä kohti ja ylös positiiisiksi, saadaan skalaaiyhtälöt mg Nsin m ja N cos α mg = 0. Tukioimalle saadaan yhtälö N cos. mg Kun yhtälö N cos sijoitetaan yhtälöön Nsin m, saadaan josta nopeudeksi saadaan mg sin m cos, g g cos sin tan 35m 9,8m/s tan 9,5 5m/s. 6

17 Toinen tapa: Mekitään yhtälöt allekkain: Nsin m Ncos mg. Kun yhtälöt jaetaan puolittain, saadaan josta saadaan nopeudeksi m N sin Ncos mg eli tan, g gtan 35 m 9,8 m/s tan 9,5 5 m/s. -. a) Koneeseen kohdistuat oimat oat langan jännitysoima T ja paino G, ilmanastus oidaan olettaa pieneksi. Langan jännitysoiman aakasuuntainen komponentti T x pitää koneen ympyäadalla ja antaa sille nomaalikiihtyyyden a n. T y T + α T x G a n + b) Lasketaan ensin langan suunta aakatasoon nähden: 0,70 m cos, josta saadaan kulma 38, ,90 m Koska kone kietää ympyäataa kokeuttaan muuttamatta, koneen liikeyhtälö pystysuunnassa on F 0 eli T G 0. Kun suunta ylös on positiiinen, saadaan y skalaaiyhtälö T G 0. Skalaaiyhtälöstä saadaan T y = G eli T sin α = mg, josta langan y jännitysoima on mg 0,00 kg 9,8 m/s T 3,5 N. sin sin 38,9444 Koneen liikeyhtälö aakasuunnassa on F ma. Valitaan suunta kohti ympyäadan keskipistettä positiiiseksi, jolloin saadaan skalaaiyhtälö T Ratkaistaan tästä yhtälöstä koneen nopeus: T cos 3,5 N 0,70 m cos 38,9444,9 m/s. m 0,00 kg n x m eli Tcos m. 7

18 Toinen tapa: Lentokoneeseen aikuttaat oimat oat suoakulmaisen kolmion siuina: T x α G T G Suoakulmaisesta kolmiosta saadaan tan T x, josta T x mg 0, 00 kg 9,8m/s,4785 N. tan tan 38,9444 Nopeus saadaan yhtälöstä T x m, josta nopeus on Tx,4785 N 0,70 m,9 m/s. m 0,00 kg 6'' 6,5400 m -. a) Renkaan säde on 0,330 m. Kuaajan peusteella hetkellä 5,0 min kulmanopeus on 5 ad/s ja tätä astaaa atanopeus on 5 /s 0,330 m 8,55 m/s 30 km/h. b) Määitetään (t,)-kuaajasta pinta-ala, joka astaa kietokulmaa. Yksi uutu astaa kietokulmaa 5 ad/s 60 s 300 ad. Koska uutuja on noin 3,8, saadaan kietokulmaksi 3,8 300 ad 740 ad. Hajoituksen aikana Eean polkema matka on s 740 0,330m,4 km. -3. a) Ensimmäisen sekunnin aikana auto liikkuu tasaisesti 30 cm aloituspisteestä astapäiään. Auton suunta muuttuu ja seuaaan,0 s:n aikana auto palaa taaksepäin 0 cm. Aikaälillä 3,0 s 4,0 s auto liikkuu jälleen astapäiään ja kuljettu matka on 30 cm. Ajanhetkellä 4,0 s auto pysähtyy. s 30cm 0cm 30cm b) Auton keskiauhti on k 6 cm/s. t 5,0 s c) Hetkellinen nopeus saadaan kuaajalle kohtaan t =,0 s piietyn tangentin fysikaalisena kulmaketoimena: s 0cm 30cm 0cm (,0 s) 0cm/s ja suunta myötäpäiään. t 3,0s,0s,0s 8

19 d) Auton liike ei oi muuttua yhtäkkisesti kuan esittämällä taalla. Suunnan muuttumiseen kuluu aina hieman aikaa. Tätä ei kuaajassa ole otettu huomioon. Todellisuudessa kuaajan käjet olisiat hieman pyöistyneet. -4. a) Jos auto ajaa maksiminopeudella, auton atanopeus max on akio: max s 30m 5,6673 m/s. t t 33,5 s a n F n N G Auton liikeyhtälö on F ma eli F ma. n Valitaan suunta kohti ympyäadan n max keskipistettä positiiiseksi. Auton nomaalikiihtyyys on an. Auto pysyy ympyäadalla enkaiden ja tien pinnan älisen lepokitkan takia. Koska auto etenee maksiminopeudella, enkaiden ja tien älinen kitka on täysin kehittynyt lepokitka: max F 0N 0 mg. Yhtälöstä 0mg man eli 0mg m saadaan enkaiden ja tien pinnan äliseksi lepokitkaketoimeksi max max (5,6673 m/s) 0 0,. g g 30 m 9,8 m/s b) Oletetaan, että auton ja kelkan tömäys on täysin kimmoton. auto kelkka = 0 u Auton ja kelkan liikemäää säilyy tömäyksessä eli mautoauto ( mauto mkelkka ) u. Kun auton liikkeen suunta on positiiinen, auton ja kelkan yhteinen nopeus u heti tömäyksen jälkeen on u m 7 m 080 kg 3,6 s 3,4935 m/s. auto auto mauto mkelkka 080 kg 380 kg 9

20 Oletetaan ilmanastus pieneksi. Enegiapeiaatteen mukaan auto ja kelkka pysähtyät, kun kitkan tekemä työ on yhtä suui kuin auton ja kelkan liike-enegia heti tömäyksen jälkeen eli E W W. kin Kun enegiapeiaatteen yhtälöön sijoitetaan liike-enegian ja töiden yhtälöt, saadaan ( ) auto kelkka m m u F sf s. Ratkaistaan edellisestä yhtälöstä auton ja kelkan liukuma matka s: ( mauto mkelkka ) u ( Nauto Nkelkka ) s ( mauto mkelkka ) u ( mautogmkelkkag ) s ( mauto mkelkka ) u ( mauto mkelkka ) gs. Auton ja kelkan liukuma matka on s ( m m ) u (080 kg 380 kg) (3,4935 m/s) auto kelkka g( mauto mkelkka ) 9,8 m/s (0, kg 0,0380 kg) 5, m. -5. a) Väite on oikein; tasaisessa ympyäliikkeessä nomaalikiihtyyyden suunta on kohti adan keskipistettä. b) Väite on oikein; nomaalikiihtyyyden aiheuttaa enkaiden ja tienpinnan älinen lepokitka. c) Väite on oikein; tietä kallistettaessa tiellä pysymiseen taittaa kitka pienenee. d) Väite on oikein; auton nopeutta kaateessa pienennettäessä tien ja auton enkaiden älinen kitka pienenee. -6. a) Kuljettajaan aikuttaa nomaalikiihtyyys on suuempi mutkassa A, koska ko. mutkan säde on pienempi kuin mutkan B. b) A B -7. a) Gaitaatiooima pitää Maan Auingon kietoadalla. b) Kitka kausellin istuimen ja Annan älillä estää Annan liukumisen. Joskus myös akenteiden, kuten kaiteiden tukioimat estäät liukumisen. 0

21 c) Sähköinen etooima pitää elektonin atomiydintä kietäällä adalla. d) F-auton pitää kaateessa tien pinnan kitka. e) Tazanin pitää adallaan liaanista Tazanin käteen aikuttaa kitka. f) Oenkahan pitää paikallaan kahan kiinnityksestä johtua tukioima. -8. a) Väite on oikein. Ympyäadalla nopeusektoin suunta on adan tangentin suunta. Radan säde ja nopeusektoi oat kohtisuoassa toisiaan astaan. b) Väite on ääin. Ympyäadalla liikkuan kappaleen nopeusektoin suunta muuttuu koko ajan. Silloin nopeus muuttuu ja kyseessä on kiihtyä liike. Kappaleen ataauhti oi olla akio, mutta silloinkin kyseessä on kiihtyä liike, koska nopeuden suunta muuttuu. Jos lisäksi ataauhti suuenee tai pienenee, kokonaiskiihtyyys on tangenttikiihtyyyden ja nomaalikiihtyyyden ektoisumma. c) Väite on ääin. Kiihtyyys ei ole akio, koska kiihtyyyden suunta muuttuu kappaleen liikkuessa ympyäadalla. (Kulmakiihtyyys pysyy akiona). d) Väite on oikein. Kun ympyäadalla liikkuan kappaleen nopeus on pieni ja säde suui, nomaalikiihtyyys oi olla hyin pieni. Jos kappaleen ataauhti pienenee hyin nopeasti, tangenttikiihtyyys oi olla paljon suuempi kuin nomaalikiihtyyys e) Väite on ääin. Kokonaisoima, joka aikuttaa kappaleeseen, aiheuttaa kappaleen kiihtyyyden. Kiihtyyyden suunta on sama kuin kokonaisoiman suunta. a t F t a a n F F n f) Väite on oikein. Jos atanopeus on hyin pieni ja säde suui, nomaalikiihtyyys on pieni. Tangenttikiihtyyys oi olla suui, jos ataauhti pienenee nopeasti. Siinä tilanteessa kappaleen nopeuden suunta oi olla kuan mukaisesti asemmalle ja kokonaiskiihtyyyden suunta likimain astakkaissuuntainen oikealle. Kokonaiskiihtyyys on likimain tangenttikiihtyyyden suuntainen. a n a t a

22 -9. Kun ley alkaa pyöiä, laatikot oat ympyäliikkeessä. Leyllä olean laatikon liikeyhtälö on F ma, jossa puupalan kiihtyyys on nomaalikiihtyyyden ja tangenttikiihtyyyden ektoisumma: a an at. Kun leyn pyöimisnopeutta lisätään ähitellen, laatikoiden atanopeus kasaa: =. Laatikot pysyät ympyäadalla kitkan takia. Ensimmäisenä itoaa tulitikkulaatikko, jonka etäisyys on suuin pyöimisakselista. Sen atanopeus on suuempi kuin muiden laatikoiden., m/s -0. a) Kelan kulmanopeus on 53,33333ad/s 53 ad/s. 0,045 m 53,33333 ad/s Yhtälöstä πn pyöimisnopeudeksi saadaan n 8,5 /s. π π b) Kelan kulmakiihtyyys on 53,33333 ad/s 53,33333 ad/s 38,0954 ad/s. t,4 s Kelan tangenttikiihtyyys on at 0,045 m 38,0954/s 0,86 m/s. -. a) Laikka lähtee leosta ja saauttaa lopuksi kieostaajuuden 40 /s: tällöin laikan kulmanopeus on πn π 40 ad/s 5,374 ad/s. Yhtälöstä kiihdytykseen kuluaksi ajaksi saadaan t 5,374 ad/s 0,0 ad/s t 7,80783s 7 s. 3,5 ad/s b) Koska kulmakiihtyyys on akio, kyseessä on tasaisesti kiihtyä pyöimisliike. Koska laikka lähtee leosta, kietymä on 3,5 ad/s (7,80783 s) t 903,63779ad. 903,63779ad Kokonaisten kieosten lukumäää on 400. π π ad c) Laikan kehällä olean pisteen atanopeus on 5,374 /s 0,0 m 5 m/s. -. a) Saihiukkasen kulmakiihtyyys on 33,3 π 0,0 πn 60 s s t t,9 s,047 ad/s, ad/s.

23 b) Kulmanopeus hetkellä t =,5 s on ad 0 t 0,0 ad/s,047,5 s, ja s s atanopeus, ,058 m 0,046 m/s 0,0 m/s. s c) Saihiukkasen tangenttikiihtyyys on at,047 0,058 m 0, m/s s ja nomaalikiihtyyys a (0,046 m/s) 0,058 m n 0,8868 m/s. Pölyhiukkasen kiihtyyys hetkellä,5 s on a at an (0,069743m/s ) (0,8868m/s ) 0,0m/s ja suunta: a 0, m/s t tan, an 0,8868 m/s josta suuntakulma on a) Pyöän kulmakiihtyyys on,0 6,0 4,0 t t t,0 s 0,0 s,0 s s s s,0 ad/s. k b) Kehällä olean pisteen nomaalikiihtyyys on a ( ) (, 0 ) 0,30 m, m/s n tangenttikiihtyyys ja s a, 0 0,30 m 0,60 m/s s. t Kiihtyyyden suuuus on a at an ( 0,60 m/s ) (, m/s ),3 m/s. at Kiihtyyyden suunta saadaan yhtälöstä tan an ympyäadan säteen suhteen on 7. 0,60 m/s, m/s, josta kulma 3

24 -4. Takastellaan autoon aikuttaia oimia mäennyppylän ylimmässä kohdassa. Auton liikeyhtälö on F ma eli N G ma. n Kun suunta alas on positiiiseksi, saadaan n m skalaaiyhtälö N mg. Radan ylimmässä kohdassa, kun auto juui ja juui on itoamassa tien pinnasta, tien pinnasta autoon kohdistua tukioima on N = 0. Yhtälöstä m mg auton nopeudeksi saadaan g 9,8 m/s 45 m m/s 76 km/h. -5. Laskijan liikeyhtälö on F man eli N G ma. n + a n G N Kun suunta ylös on positiiinen, skalaaiyhtälöstä suuuudeksi alimmassa kohdassa saadaan m N G inteen tukioiman 45 m 8 kg 3,6 s m m m N G mg 8 kg 9,8,4 kn. m s Rinteestä laskijan jalkoihin kohdistuan oiman suuuus on yhtä suui kuin inteen tukioiman suuuus eli,4 kn. -6. a) G a n G an b) Lentokoneen liikeyhtälö ympyäadalla on F man eli N G ma. n Kun suunta m ylös on positiiinen, skalaaiyhtälöstä N G istuimen tukioiman suuuudeksi silmukan alimmassa kohdassa saadaan 360 m 85 kg 3,6 s m m m N G mg 85 kg 9,8,7 kn. 000 m s Tukioima on yli -ketainen lentäjään kohdistuaan painoon eattuna. 4

25 -7. Sangossa oleaan eteen kohdistuat paino ja sangon pohjasta eteen kohdistua tukioima. Sangon liikeyhtälö on F ma eli N G ma. n Takastellaan tilannetta n ylimmässä kohdassa. Kun suunta alas on positiiinen, saadaan skalaaiyhtälö m N G. Kun sankoa adan ylimmässä kohdassa pyöitettäessä esi juui ja juui pysyy sangossa, m sangon pohjasta eteen kohdistua tukioima N = 0, jolloin yhtälö N G saadaan m muotoon mg. Oletetaan, että ympyäliikkeen säde on 0,90 m. Sangon nopeudeksi saadaan = g = 9,8 m/s 0,90 m,9736 m/s 3,0 m/ s. Yhteen pyöähdykseen kulua aika on T π π 0,90 m,903 s,9 s.,9736 m/s Tällöin sangon pyöimisnopeus on n 0,5. T,903 s s -8. Leikkiauton liikeyhtälö on F man eli N G ma. n Kun silmukan ylimmässä m kohdassa suunta alaspäin on positiiinen, saadaan skalaaiyhtälö N mg. Kun auto on silmukan ylimmässä kohdassa juui ja juui itoamassa alustastaan, adasta m autoon kohdistua tukioima N = 0. Tällöin yhtälö N mg saadaan muotoon m mg, josta auton miniminopeudeksi silmukan ylimmässä kohdassa saadaan g Koska leikkiauto on hekkäliikkeinen, siihen oidaan soeltaa mekaanisen. enegian säilymislakia. Aluksi auto on alhaalla ja autolla on ain liike-enegiaa. Koska autolla on nopeutta ylimmässä kohdassa, autolla on potentiaalienegian lisäksi myös liikeenegiaa. Mekaanisen enegian säilymislain mukaan on m 0 mg ml. Ratkaistaan yhtälöstä auton alkunopeus 0 : m0 mg m( g ) 4gg 5 g. 0 Leikkiauton alkunopeudeksi saadaan 0 5g 5 9,8m/s 0,5 m 3,5 m/s. 5

26 Kun auton alkunopeus on 0, adan ylimmässä kohdassa tukioima on suuempi kuin alkunopeuden ollessa 0. 0 a n G 0 a n N G -9. a) Koska alusta on kitkaton ja kolikko pieni (eli ilmanastus pieni), mekaaninen enegia säilyy. Kolikko nousee siis alkupeäiselle kokeudelle 5 cm. b) Aluksi kolikolla on potentiaalienegiaa asemansa peusteella. Kun se päästetään iti, potentiaalinenegia muuntuu liike-enegiaksi. Mekaanisen enegian säilymislain mukaan maljan pohjalla kolikon nopeus saadaan yhtälöstä mgh m eli mgr m. Kolikon nopeus on gr 9,8m/s 0,5m,47m/s. Kolikkoon maljan pohjalla kohdistuat oimat oat paino G ja maljan pinnan tukioima N. Koska kolikko on ympyäadalla, jonka säde on maljan säde R, kolikon liikeyhtälö on F ma n eli N G man. Kun suunta ylös on positiiinen, saadaan skalaaiyhtälö N G m. R Tukioima on m m N G mg R R 0,05 kg (,47 m/s) 0,05 kg 9,8 m/s 0,74 N. 0,5 m -30. a): Koska kappaleella on ain nomaalikiihtyyyttä, kappaleen atanopeus on akio ja kappale on tasaisessa ympyäliikkeessä. : Koska kappaleen tangenttikiihtyyys on nopeuden kanssa samansuuntainen, kappale on kiihtyässä ympyäliikkeessä. 3: Koska kappaleen tangenttikiihtyyys on kappaleen nopeuden kanssa astakkaissuuntainen, kappale on hidastuassa ympyäliikkeessä. b) a a a n a t a a n 3 a t 6

27 -3. a) Kelkan tangenttikiihtyyyden suuuus on m/s m/s m/s 3,6 3,6 3,6 at 0,93 m/s. t 5s 5 s Tangenttikiihtyyys pysyy akiona koko kiihdytyksen ajan, koska kiihdytys on tasaista. b) Kelkan nomaalikiihtyyyden suuuus kiihdytyksen alussa on a n 30 m/s 3,6 75m 0,93m/s. c) Kelkan nomaalikiihtyyyden suuuus kiihdytyksen lopussa on d) a n 80 m/s 3,6 75m 6,6 m/s. a a t a a t a n a n aluksi lopuksi -3. Liike on tasaisesti hidastuaa ja sen keskinopeus on,5m/s,5m/s 7,5m/s k. π π 34 m s Jautukseen kulunut aika on t 4,489 s. 7,5 m/s Pyöän tangenttikiihtyyys on,5m/s,5m/s 0,0m/s at t 4,489 s 4,489 s k k 0,705 m/s. Pyöän nomaalikiihtyyys sillä hetkellä, kun atanopeus on 7,5 m/s, on a n (7,5 m/s) 34 m,6544 m/s. Pyöän kiihtyyys on a an at ja kiihtyyyden suuuus a an a t (,6544 m/s ) ( 0,705m/s ),8 m/s. 7

28 Kiihtyyyden suuntakulma α saadaan tigonometian aulla: a 0,705m/s t tan, josta saadaan,9969. an,6544 m/s Nopeus- ja kiihtyyysektoin älinen kulma = 90 +, a n a a t -33. a) Koska auton nopeus on pohjoiseen ja kiihtyyys suoaan länteen, auton nopeus ja kiihtyyys oat kohtisuoassa toisiaan astaan. Tällöin autolla on ainoastaan nomaalikiihtyyyttä. a Nomaalikiihtyyyden yhtälöstä a n tien kaaeuussäteeksi saadaan 60 m/s 3, 6 90m. a 0,95 m/s n Auto ajaa kyseisellä hetkellä akioauhdilla aakasuoalla tiellä, joka kaatuu ( = 90 m) länteen. b) Koska auton kiihtyyys on kaakkoon, autolla on sekä tangentti- että nomaalikiihtyyyttä. Koska auton nopeus ja tangenttikiihtyyys oat astakkaissuuntaiset kuan osoittamalla taalla, auton nopeus pienenee. Auton nomaalikiihtyyyden suunta on itään, joten aakasuoa tie kaataa itään. 45 O a n a t a an an Kuion mukaan on cos 45 a, m/s, josta auton nomaalikiihtyyys on a n, m/s cos 45,485 m/s. Tien kaaeuussäde on 60 m/s 3,6 90 m. a,485 m/s n 8

29 c) Auton kiihtyyys on ylöspäin. Koska auton nopeus ja kiihtyyys oat kohtisuoassa toisiaan astaan kuan osoittamalla taalla, auto on notkon alimmassa kohdassa. Auton ataauhti on akio. Tällöin autolla on ain nomaalikiihtyyyttä. Tien 60 m/s 3,6 kaaeuussäde pystytasossa on 60 m. a,7 m/s n a -34. a) Kuulan liikeyhtälö on F man elit G man. Kun suunta ylös on positiiinen, m m saadaan skalaaiyhtälö T mg eli T mg, jossa T on langan jännitysoima. Koska liikeastusoimat oat ähäiset, mekaaninen enegia säilyy. Mekaanisen enegian säilymislain mukaan kuulan potentiaalienegia muuntuu liikeenegiaksi: mgh m. T 0 = 0 T mg h = cos mg Kokeudelle h saadaan kuion mukaan yhtälö h cos ( cos ). Kun h(cos ) sijoitetaan mekaanisen enegian säilymislakiin mgh m, yhtälöstä mg(cos ) m saadaan nopeuden neliöksi g(cos ). Kun g(cos ) sijoitetaan langan jännitysoiman T yhtälöön, saadaan g( cos ) T mgm mgm mg( cos ) mg (3 cos ) 0,3 kg 9,8 m/s (3 cos55 ) 5,8 N. 9

30 b) Tasapainoasemassa tangenttikiihtyyys on nolla, koska nopeuden kanssa samansuuntaisia oimia ei ole, joten kiihtyyys on nomaalikiihtyyyttä: a n g( cos ) g( cos ) 9,8m/s ( cos 55 ) 8, 4 m/s. Ääiasennossa nomaalikiihtyyys on nolla, joten kiihtyyys on tangenttikiihtyyyttä. Yhtälöstä F mat eli skalaaimuodossa mg sin mat tangenttikiihtyyydeksi saadaan at gsin 9,8m/s sin 558,0m/s : suunta on adan tangentin suunta. Testaa, osaatko siu 5. a b c. a b c 3. a b c 4. b c 5. a b c 6. a 7. a b c 8. b 9. a c 0. c 30

31 3 Jäykän kappaleen mekaniikka 3-. a) Koska oimien summa on nolla, kappale on paikallaan tai tasaisessa liikkeessä. Koska momenttien summa on nolla, kappale ei pyöi tai sen pyöiminen ei muutu. Tällainen kappale on esimekiksi seinällä olea taulu. b) Kappaleeseen kohdistuu nollasta poikkeaa kokonaisoima, joten kappale on kiihtyässä etenemisliikkeessä. Koska momenttien summa on nolla, kappale ei pyöi tai sen pyöimisnopeus ei muutu. Tällainen kappale on esimekiksi kalteaa tasoa pitkin kiihtyässä liikkeessä liukua kappale. c) Koska oimien summa on nolla, kappale on paikallaan tai tasaisessa liikkeessä. Momenttien summa on nollasta poikkeaa, joten oimilla on ääntöaikutus. Kappaleen pyöiminen muuttuu. Tällainen kappale on esimekiksi kauselli pyöimisliikkeen alkaessa. d) Kappaleeseen kohdistuu nollasta poikkeaa kokonaisoima, joten kappale on kiihtyässä etenemisliikkeessä. Momenttien summa on nollasta poikkeaa, joten oimilla on ääntöaikutus. Kappaleen pyöiminen muuttuu. Tällainen kappale on esimekiksi auton pyöä, kun auto lähtee kiihtyen liikkeelle. 3-. a) Kun momentin kietosuunta astapäiään on positiiinen, oiman F momentti akselin A suhteen on M A F 4,0 N 0,0 m 0,44 Nm. b) Kun kulma 90, oimien momenttien summa on M A = F F = 4,0 N 0,0 m 6,0 N 0,0 m,8 Nm. Jos kulma 50, oiman F atta astaan kohtisuoa komponentti on F F sin 506,0 N sin 504,5967 N. y Momenttien summa akselin A suhteen on MA F Fy 0,44 Nm 4,5967 N 0,0 m,5 Nm. (Samaan lopputulokseen päädytään myös siten, että lasketaan oimalle sitä astaan kohtisuoa ääntöasi sin 500,0 m sin 500,68530 m., kohtisuoa Momenttien summa on silloin M F F, kohtisuoa 0,44 Nm 6,0 N 0,68530 m,5 Nm.) A 3

32 3-3. Taittaa oima on pienin, kun oima on kohtisuoassa oiman atta astaan. Voiman momentti on M = F, joten pienimmän oiman suuuus on F M 30 Nm 540 N. 0, 4 m 3-4. G A = 5,5 m G =,0 m Momenttien summa tasapainotilanteessa on nolla. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, momenttien tasapainoehdoksi akselin A suhteen saadaan M G G A 0. Yhtälöstä saadaan kuomaksi G G 36kN,0m 5,5m 3,0909kN. Koska kuomaan kohdistuan painon suuuus on G mg, kuoman massa on m G 3,0909 kn 300 kg. g 9,8 m/s Kuomaa oitaisiin suuentaa asettamalla kuoma lähemmäksi tukkia, käyttämällä massaltaan suuempaa tukkia tai pidentämällä tukin akseliäliä ,80 m a = 0,50 m b = 0,30 cm A G N G,60 m 3

33 Sauaan aikuttaat oimat oat sauaan kohdistua paino G, pisteeseen A kohdistua tukioima N ja esineeseen kohdistua paino G. Asetetaan kietoakseli pisteeseen A, jolloin tukioima N ei aiheuta ääntöä, koska sen asi on nolla. Tasapainotilanteessa momenttien summa on nolla. Kietosuunta astapäiään on positiiinen, joten akselin A suhteen saadaan momenttiyhtälö M GaG bm gam gb A 0. Momenttiyhtälöstä saadaan massaksi m ma b 3,0 kg 0,50 m 5,0 kg. 0,30 m 3-6. x 3,5 m - x Liisa G Liisa G lankku A Pekka N G Pekka 3,5 m Takastellaan keinulaudan akselin A suhteen laskettuja momentteja. Tukioiman N aikutussuoa kulkee akselin A kautta, joten sillä ei ole momenttia akselin A suhteen. Tasapainotilanteessa momenttien summa on nolla. Kietosuunta astapäiään on positiiinen, joten akselin A suhteen saadaan momenttiyhtälö M M M M A Liisa lankku Pekka 0. Mekitään x:llä Liisan etäisyyttä akselista. Pekan etäisyys akselista on 3,5 m x. Lankun keskipisteen etäisyys akselista on x,75 m. Momenttiehto saa muodon G xg ( x,75m) G (3,5m x ) 0. Liisa lankku Pekka Ratkaistaan momenttiehdosta etäisyys x: mliisa gxmlankkug( x,75m) mpekka g(3,5m x) 0 xg( m m m ) g( m 3,5mm,75m). Etäisyys x on Liisa lankku Pekka Pekka lankku mpekka 3,5 m mlankku,75 m x mliisa mlankku mpekka 47 kg 3,5 m 4 kg,75 m,9 m. 35 kg 4 kg 47 kg Lankku on tuettaa Liisan puoleisesta päästä lukien,9 m:n päästä. 33

34 3-7. =,5 cm =,0 cm 3 = 30,0 cm A B G K F 3 F + F A (Piioksessa oimien pituudet eiät ole oikeissa suhteissa toisiinsa.) Lasketaan momenttien summa akselin A suhteen, jolloin oimalla F A ei ole ääntöaikutusta. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, käsiaen tasapainoehto on M A = F G K F 3 3 = 0. Lihaksen luun päähän kohdistama oima on F, joka on G K F 3 3 suuuudeltaan F, kun G K on käsiateen kohdistua paino, ja F 3 on kuulan kämmeneen kohdistama oima. Voima F 3 on kuulaan kohdistuan painon suuuinen eli F 3 = G kuula = m kuula g, joten oiman F suuuus on G K Gkuula3 mg k mkuula g3 F, kg 9,8 m/s,0 cm,9 kg 9,8 m/s 30,0 cm 740 N.,5 cm 3-8. a) Nelijalkaisen tuolin tukipinta on jalkojen äliin jäään alueen pinta-ala jalkojen alla olea alue mukaan lukien. b) Nelijalkainen tuoli pysyy paemmin tasapainossa kuin kolmijalkainen. Jos alusta on epätasainen, nelijalkainen tuoli keikkuu helposti tuolissa istuttaessa, mutta kolmijalkainen ei keiku. Kolmijalkainen tuoli asettuu tasapainoon epätasaisillakin lattiapinnoilla, koska sen kaikki jalat koskettaat aina maata iippumatta epätasaisuuksista. c) Jos systeemin painopisteeseen asetettu painooimaektoi ei kulje tukipinnan kautta, syöttötuoli kaatuu. Näin oi tapahtua, jos lapsi kukottelee ja yittää tulla pois tuolista tai jos lapsi tönäisee käsillä tai jaloilla pöytää. Tuolin yläosan tönäisyssä oi syntyä myös kietoliike, jos lattia ei luista. Koska syöttötuolit oat usein kapeita ja kokeita, kaatumisen aaa on olemassa. Nykyään monet tuolien almistajat asentaat tuolien jalkojen alle liukupinnat. Niiden takoitus on, että tuoli tönäistäessä liukuu, eikä kaadu. d) Jos pyöeäkantisella pöydällä on yksi jalka, sen on oltaa tukea ja alaosastaan leeneä, jotta tukipinta muodostuisi mahdollisimman suueksi. Nelijalkaisella pöydällä on usein suuempi tukipinta kuin esimekiksi kolmijalkaisella pöydällä; kolmijalkaisia pöytiä on hyin ähän käytössä. 34

35 e) Keskellä olean yhden katiomaisen jalan tukipinta on usein pienempi eattuna pöytään, jossa on neljä jalkaa. Pöytä oi kaatua, jos esimekiksi nojaa pöydän eunaan koko painollaan. Pöytä kaatuu, jos yhdistelmän painopisteestä piietty luotisuoa ei leikkaa tukipintaa. f) Rautainen joulukuusen jalka on painaa, ja sen hojuttamiseen taitaan suuempi oima kuin keyen muoisen joulukuusen jalan hojuttamiseen. Kun kuusi imee itseensä jalassa olean eden, muoinen jalka on yksinään keyt, jolloin pienikin siusuuntainen kuusen tönäisy oi kaataa kuusen. Rautainen kuusenjalka on jäykkä kappale. Muoinen jalka oi taipua siusuuntaisten oimien aikutuksesta. Tämäkin edesauttaa kuusen kaatumista. Rautainen kuusenjalka on myös yleensä kaikin taoin kestäämpi kuin muoinen a) Linnun painopiste on kohdassa 3. Kun ley on ipustettu ei kohdista ja leyyn piietään luotiiiat suoaan alas, luotiiiat leikkaaat kohdassa 3. Lintu pysyy tasapainossa, jos se tuetaan kohdasta 3. b) Tasapainotilanteessa momenttien summa on nolla. Yhtälöstä M Gasiasi Ghaja haja 0 saadaan Ghajahaja Gasi asi. Hajaosan ja asiosan momentit somen kosketuskohdan suhteen oat yhtä suuet. Hajaosan painopiste on lähempänä tukipistettä, joten hajaosan oiman asi on pienempi kuin asiosan. Siksi hajaosa on painaampi a) Painonnostokilpailussa painoja on helpompi nostaa, jos painot oat yhtä suuet ja tangon ei päissä. Painopiste on tangon geometisessä keskipisteessä. Painonnostaja pykii asettamaan kätensä yhtä kauas tangon painopisteestä (geometisestä keskipisteestä). b) Painonnostossa käytetään leeää otetta, jolloin tanko on mahdollisimman helppo pitää tasapainossa. Raskaat leyt tangon päissä aiheuttaat suuen momentin tankoon. Jos kädet olisiat lähekkäin, pienikin eo käsien ja tangon keskipisteen älisissä etäisyyksissä aiheuttaisi suuen eon asempaan ja oikeaan käteen kohdistuissa oimissa. Samoin pienikin tangon kietoliike tangon keskipisteen ympäi noston aikana olisi aikea pysäyttää, nostaja menettäisi helposti tasapainonsa siusuunnassa. 3-. a) Suunnikkaan painopiste on sen geometisessä keskipisteessä, eli läistäjien leikkauspisteessä. b) Ripusta kappale useista kohdista iippumaan ja käytä luotilankaa. Piiä leyyn suoat ylhäältä alas luotilankaa pitkin. Suoien leikkauskohdassa on leyn painopiste. 35

36 c) Suomen keskipiste sijaitsee Leskelän kylässä, Pulkkilan kunnassa, altatien 4 aella, noin 0 km Oulusta etelään. Liimaa maantiekatta tasapaksulle pahille. Leikkaa pahista Suomen muotoinen kappale ajoja pitkin. Riiputtamalla kappaletta ei kohdista oit piitää luotilangan aulla suoia, joiden leikkauspisteessä on Suomen painopiste. 3-. a) Mehun määä ei aikuta lasin tasapainoon, jos alusta on aakasuoa. Astia on sitä akaampi inolla pinnalla, mitä alempana sen painopiste on. Täyden astian painopiste on pystysuunnassa suunnilleen astian puolessa älissä. Kun nesteen pinta alenee, siityy painopiste myös alemmaksi ja samalla astian kaatuminen tulee aikeammaksi. Painopiste on alimmillaan silloin, kun nesteen pinta on samalla tasolla painopisteen kanssa. Mitä keytakenteisempi astia, sitä lähempänä pohjaa tämä tapahtuu. Kun nesteen määä ähenee tästä, painopiste alkaa jälleen nousta ylemmäksi ja palaa lähes astian puolen älin kohdalle, kun astia on tullut tyhjäksi. Toisaalta täyden astian hitaus on suuempi, joten sen uoksi se ei kaadu niin helposti. Esimekiksi ulkosalla siulta puhaltaa tuuli oi kaataa helposti tyhjän, keyen lasin, mutta mehua täynnä olea lasi pysyy yleensä pystyssä tuulessakin. b) Joidenkin kukkien, esimekiksi tulppaanien, asi kasaa nopeasti maljakossa. Samalla maljakon pohjalla olea esi ähenee sen noustessa ateen. Kukat oiat taipua kasaessaan kauas eunan yli, ja kukka-asetelman painopiste muuttuu. Maljakon, eden ja kukkien yhteinen painopiste oi siityä maljakon kapean pohjan tukipinnan ulkopuolelle, asinkin jos kukat taipuat samaan suuntaan. Näin maljakko oi kaatua itsestään a) Veneen eunan ulkopuolella oikkua pujehtija saa aikaan ääntömomentin, joka on astakkaissuuntainen tuulen aiheuttamalle kallistumiselle. Pujehtijan takoitus on saada puje sellaiseen asentoon, että eneen nopeus olisi mahdollisimman suui. Pujeeneen nopeus iippuu monista tekijöistä, esimekiksi tuulesta ja sen suunnasta, pujeista ja niiden asennosta tuulen suhteen sekä kölistä. Joissakin tilanteissa pujehtija oi oikkumisellaan estää eneen kaatumisen. b) ) Useimpien aakasuoilla tai loiilla inoilla pinnoilla oleien esineiden tasapaino on akaa. Esimekiksi uokapöydälle katettujen astioiden ja lattialla oleien huonekalujen tasapaino on akaa. Monenlaisten ipustettujen esineiden tasapaino on akaa. Esimekiksi aatepuihin tai naulakkoon ipustettujen aatteiden tasapaino on akaa. Katoissa iippuien lamppujen, seinillä koukuissa iippuien esineiden kuten pyyhkeiden, aainnippujen, taulujen ja työälineiden tasapaino on akaa. ) Kappale on hojuassa tasapainoasemassa yleensä ain lyhyen ajan, koska hyin pieni oima iittää siitämään kappaleen pois tasapainotilastaan. Esimekiksi, kun taitoluistelija seisoo yhden luistimen käjen aassa tai sikustaiteilija on ohuen pystyssä olean sauan aassa, kummankin tasapaino on hojua. Esimekiksi kuulakäkikynän tai teään lyijykynän asettaminen pystyyn käjelleen tasaiselle koalle alustalle tuskin onnistuu. Jos onnistuisi, kynien tasapaino olisi hojua. 3) Esimekiksi pyöeät paistot lähteät helposti ieimään tasaisella alustalla, jos niitä hiukankin tönäistään tai pintaa ähän kallistetaan. Tällaisen paiston tasapaino on epämäääinen. Muita astaaia kappaleita oat esimekiksi lieiöt, kuulat pallot ja autojen pyöät. Tällaisten kappaleiden painopiste tulee olla pyöimisakselilla tai keskipisteessä. Autojen pyöät tasapainotetaan aina enkaiden aihdon yhteydessä tai taittaessa. Indiffeentti tasapaino pyöissä estää pyöien täinän ajettaessa. 36

37 3-4. Lekan painopisteen x-koodinaatti on x mx mx 7,0 kg 4,0 cm 0,50 kg 44 cm 6,7 cm. 0 mm 7,0 kg 0,50 kg Painopiste sijaitsee symmetia-akselilla 6,7 cm:n etäisyydellä asemmasta päästä Kuulien painopisteen koodinaatit oat x mx mx mx 3,0kg 0,0m 8,0kg,0m 4,0kg,0m,m, mm m3 5,0 kg y my my my 3,0kg 0,0m 8,0kg,0m 4,0kg,0m, 3 m mm m3 5,0 kg Painopiste on kohdassa (, m;,3 m) Sijoitetaan oigo kappaleen asempaan alakulmaan. Kappaleen painopisteen x- koodinaatti on x 0 mx mx Vx Vx m m V V g g 7,87 3 cm cm,8 cm 5,5 cm,70 3 cm cm,8 cm 6,5 cm 3 3 cm cm g g 7,87 3 cm cm,8 cm,70 3 cm cm,8 cm 3 3 cm cm 8,3cm. Symmetian peusteella kappaleen painopisteen y-koodinaatti y 0 = 6,5 cm ja z- koodinaatti z 0 =,4 cm. Painopisteen paikka on (8,3 cm; 6,5 cm;,4 cm) a) Piietään kolmioon keskijanat eli mediaanit (ts. yhdistetään kolmion siun keskipiste aina astakkaiseen käkeen). Keskijanojen leikkauspiste on leyn painopiste. Painopisteen paikka on kuan mittakaaassa asemmasta alakulmasta mitattuna 0,3 m oikealle ja 0,0 m ylös. b) Asetetaan koodinaatiston oigo kuassa asemmalla alhaalla olean kuulan kohdalle. Painopisteen paikan x-koodinaatti on x 0 ja y-koodinaatti y 0 m0,00 m m0,00 m m0, 40 m 0,3 m 3m m0,00 m m0,00 m m0,30 m 0,0 m. 3m Painopiste on kohdassa (0,3 m, 0,0 m). 37

38 3-8. Mekitään pinta-alayksikköä astaaaa massaa m 0 :lla. Sijoitetaan oigo kappaleen asempaan alakulmaan. Alkupeäisen suoakulmion massa on m m 0 ja painopisteen koodinaatit x,5cm ja y,0 cm. Kuan mukaisen kappaleen painopisteen x- koodinaatti on x 0 mx m mx m m,5 cm ( π,0 m,0 cm) ( π,0 ) 0 0 m0 m0,7 cm. Symmetian peusteella y 0,0 cm. Leyn painopiste on kohdassa (,7 cm;,0 cm) a) Käytetään atomimassoja, aikka kyse on ioneista. Elektonin massa on niin pieni, että sitä ei taitse ottaa huomioon. Bomin suhteellinen atomimassa on m 79,90u ja kaliumin m 39,0u. Sijoitetaan bomi-ioni oigoon, jolloin x 0,00 Å ja x,8 Å. Painopisteen paikka on mx mx x m m 79,90 u 0,00 Å 39,0 u,8 Å 79,90 u 39,0 u 39,0 u,8 Å 79,90 u 39,0 u 0,93Å. Painopisteen paikka on 0,93 Å bomi-ionista kohti kaliumionia. b) y H O H x Sijoitetaan koodinaatisto siten, että happiatomin keskipiste sijaitsee oigossa. Tällöin atomien koodinaatit oat 38

39 massa/u x/å y/å Happi 6,00 0,000 0,000 Vety (),0 0,958 cos 75 0,958 sin 75 Vety (),0 0,958 Å 0,000 Vesimolekyylin painopisteen paikan x-koodinaatti on mx mx mx 3 3 x0 m m m 3 6,00 u 0,000 Å,0 u 0,958 Å cos 75,0 u 0,958 Å 8,0 u 0,040 Å. Painopisteen paikan y-koodinaatti on my my my 3 3 y0 mm m3 6,00 u 0,000 Å,0 u 0,958 Å sin 75,0 u 0,000 Å 8,0 u 0,05 Å. Vesimolekyylin painopiste on kohdassa (0,040 Å; 0,05 Å) Kappale kaatuu, jos kappaleeseen kohdistuan painon aikutussuoa kulkee tukipinnan ohi. l h G N h N l G 39

40 Rajatapausta astaaassa tilanteessa on l l h l l 3 mm tan : 0,50, josta saadaan 7. h h h 6 mm Rajakulma, jolla kappale alkaa kaatua on =,0 cm A 6,0 cm = 7,0 cm Kokin aaajaa takastellaan yksiatisena ipuna. Tasapainoehto on F = F, kun F kokin aaajaan kohdistama oima ja on F :n aikutussuoan etäisyys kokin päällä oleasta tukipisteestä. F on ääntään oiman suuuus ja on F :n aikutussuoan etäisyys tukipisteestä. Tasapainoehto F = F eantona antaa oimien suhteeksi F F, joten 7,0 cm F F F 7,0 F.,0 cm Kokin eunan aaajaan kohdistama oima F on yhtä suui ja astakkaissuuntainen kuin aaajan kokkiin kohdistama oima F. Kokin eunaan kohdistua oima on 7,0- ketainen ääntäään oimaan eattuna. Huomaa, että yksiatisen iun tasapainoehto F = F saadaan myös mekitsemällä momenttien summa akselin A suhteen nollaksi eli M = F F = 0, kun suunta astapäiään on soittu positiiiseksi. 3-. a) Kieä siiettäessä seiästä käytetään kaksiatisena ipuna. Viun tasapainoehto on F = F. Kieen kohdistuan oiman suuuus on F 80 N,9 m F 3300 N. 0,6 m b) Käyä takastellaan yksiatisena ipuna. Viun tasapainoehto on F = F = G, jossa käsistä käyn aisoihin kohdistuan kosketusoiman suuuus on F. Sen suuuus G 430 N 0,47 m tasapainoehdon peusteella on F 68,47 N. Yhteen käyn, m F 68,47 N aisaan kohdistuan oiman suuuus on puolet tästä eli 84 N, oiman suunta on ylös. Kumpaankin käteen kohdistua oima on yhtä suui eli 84 N, mutta astakkaissuuntainen (alas). 40

41 3-3. a) Koska kappaleen liike on tasaista, kappaleen liikeyhtälö on F 0 eli F F 0. Valitaan kappaleen A liikkeen suunta positiiiseksi. Skalaaiyhtälöstä F F 0 oiman F suuuudeksi saadaan F F N mg 0,0 84 kg 9,8 m/s 60 N. b) Kappaleen kiihtyyys on a = 0,80 m/s. Kappaleen liikeyhtälö on F ma eli F F ma. Valitaan kappaleen A liikkeen suunta positiiiseksi. Skalaaiyhtälöstä F F ma oiman F suuuudeksi saadaan F maf 84 kg 0,80 m/s 0, 0 84 kg 9,8 m/s 30 N a) F F Viun tasapainoehto on F = F, jossa F = 4F ja = 70 cm, joten F F 70 cm 70 cm 43 cm. F 4 F 4 Tukipisteen paikka on 43 cm:n päässä autakangen käjestä. b) F F Viun tasapainoehto on F = F, jossa F = 4F ja = 70 cm, joten tasapainoehto saadaan muotoon F (70 cm ) = 4F, jolloin F supistuu pois. Ratkaistaan yhtälöstä : 70 cm cm 70 cm 34 cm. 5 Kuoma on asetettaa 34 cm:n päähän autakangen käjestä. 4

42 3-5. Newtonin III lain mukaan asi kohdistaa pähkinään yhtä suuen, mutta astakkaissuuntaisen oiman kuin pähkinä ateen. Säkymisen ajatapauksessa on oimassa tasapainoehto F F. Säkijän kumpaakin atta on painettaa oimalla, jonka suuuus on F F 43 N 0,06 m 9,3 N. 0, m 3-6. a) Kiinteä äkipyöä (kuassa ylempi) muuttaa ainoastaan oiman suuntaa. Liikkua äkipyöä (kuassa alempi) muuttaa myös taittaan oiman suuuutta. Koska kuomaa kannattelee kaksi köyttä, taittaan oiman suuuus on G mg 5kg 9,8m/s F,65 N 0 N. b) Kun köyttä edetään alas 0,60 m, niin kuoma nousee ylös 0,30 m. c) Nostamisessa tehty työ on W Fs,65 N 0,60 m 74 J. d) Jos kuoma nostettaisiin suoaan ylös, tehty työ olisi W mgh 5 kg 9,8 m/s 0,30 m 74 J Tasapaksuun hiteen kohdistua paino aikuttaa hien painopisteeseen eli keskipisteeseen. Hien tasapainoehto pystysuunnassa on F 0 eli FF G 0. Kun suunta ylös on positiiinen, saadaan skalaaiyhtälö F F G 0. 4

43 ,0 m,0 m A,0 m F F G Vasemmanpuoleisen tukioiman F aikutuskohta on A. Valitaan kohta A momenttiakseliksi. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, akselin A suhteen momenttiyhtälö on M G F 0 Tukioiman F suuuus on F mg A 40 kg 9,8 m/s,0 m 457,8 N. 3,0 m Tukioiman F suuuus saadaan yhtälöstä F F G 0, joten F G F mg F 40 kg 9,8m/s 457,8 N 95, 4 N. Voimat oat 460 N ja 90 N F A A B F m = 0,39 m G = 0,8 m Jalka on tasapainossa, kun siihen kohdistuien oimien momenttien summa on nolla. Momenttiehto akselin A suhteen on M A = 0. Akseliin A kohdistualla oimalla F A ei ole momenttia. Kun suunta astapäiään on positiiinen, momenttiehto on M A = G + F = 0. F on liinan jalkaan kohdistama tukioima, ja sen suuuus on F G mg 5 kg 9,8 m/s 0,39 m 70,85 N. 0,8 m Liinan jalkaan kohdistama oima F on yhtä suui kuin köyden jännitysoima, joka edelleen on yhtä suui kuin punnukseen kohdistua painon suuuus G = mg. Punnuksen massa on G F 70,85 N m 7, kg. g g 9,8 m/s 43

44 3-9. P G N A =,5 m =, m G N Valitaan pyöän akseli A momenttiakseliksi. Käyyn kohdistuan painon G ja pyöiin kohdistuan tukioiman N aikutussuoan etäisyys akselista A on 0,0 m, joten näillä oimilla ei ole ääntöaikutusta akselin A suhteen. Tasapainotilanteessa oimien momenttien summa on nolla. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, akselin A suhteen momenttiehto on M A = 0 eli G N = 0, josta tukioiman N suuuus on N G mg m 65 kg 9,8, m s 80,566 N 80 N,5 m ja suunta on ylös. b) Peäkäy on tasapainossa, joten tasapainoehto pystysuunnassa on Newtonin II lain peusteella F 0 eli NN GG 0. Kun suunta ylös on positiiinen, saadaan skalaaiyhtälö N + N G G = 0, josta atkaistaan pyöiin kohdistuan tukioiman suuuus: N = G + G N = m g +m g N 570 kg 9,8 m/s 65 kg 9,8 m/s 80,566 N 5900 N ja suunta on ylös. c) Kun peäkäy kuomataan, peäkäyn aisa ei saa nousta itsestään ylös, jos aisaa ei tueta. Jos pesukone sijoitetaan kuatussa tilanteessa pyöien taakse, aisa nousee itsestään ylös. Jos tällainen aisa kiinnitetään auton etokoukkuun, aisasta koukkuun kohdistuan oiman suunta on ylös. Vetokoukkuun ylös suuntautua oima oi jossakin tilanteessa aiheuttaa peän keenemisen niin, että takapyöät menettäät siusuuntaisen pitonsa. Huomaa, että koukkuun kiinnitetty ääin kuomatun käyn aisa ei itoa koukusta, aan nostaa koukkua ja samalla auton peää. 44

45 3-30. x P A F F 8,4 kg 5,8 kg G Henkilön ja leyn systeemi on tasapainossa, kun systeemiin kohdistuien oimien momenttien summa on nolla. Lasketaan momentti leyn kantapäiden kohdalle asetetun akselin A suhteen. Tällöin oiman F leyyn kohdistama momentti on nolla. Momenttiehto akselin A suhteen on M A = 0. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, momenttiehto on M A = Fl Gx 0. Vaa at mittaaat niillä oleiin kappaleisiin kohdistuan painon suuuuden, ja aa an näytöllä on luettaissa kappaleen massa. Näin ollen oima F on suuuudeltaan F = m g. Momenttiehdon mukaan painopisteen P etäisyys jalkapohjista on Fl mg l m l x G mg m 8,4 kg,68 m 0,88 m. 54, kg 3-3. Kun palkki on ipustettu kuan mukaisesti, palkin painopiste on ipustuspisteen alapuolella. Palkki on siis tasapainossa pyöimisen suhteen. Kun nosto suoitetaan mahdollisimman tasaisesti, kiihtyyys on likimain nolla. Tällöin tasapainoehto pystysuunnassa on Newtonin II lain peusteella F ma 0. Symmetian nojalla on Fy F y, samoin skalaaeina F = F (= F), kun suunta ylös on positiiinen. Saadaan skalaaiyhtälö F F mg Fsin mg 0. Ratkaistaan kulma θ: y y mg 340 kg 9,8 m/s sin, josta kulma 4,547. F N F F l + F y θ Fx F x θ F y G L 45

46 Kuion mukaan on L cos, l josta aijein pituudeksi saadaan L 5,4 m l 5,98 m 6,0 m. cos cos 4,547 Vaijein pituuden täytyy olla ähintään 6,0 m. Tapa : F θ F G Tasapainotilanteessa palkin liikeyhtälö on F FF G 0. Koska F = F = N, oimaektoeista muodostuu tasakylkinen kolmio. Ratkaistaan kulma kosinilauseesta G F F FF cos : G F F F F ( mg) cos FF FF (6 000 N) (6 000 N) (340 kg 9,8 m/s ) N N 0,66497, josta = 48,5094 ja = 4,547. Vaijein lyhyin mahdollinen pituus atkaistaan yhtälöstä L cos, l josta aijein pituudeksi saadaan L 5,4 m l 5,98 m. cos cos 4,547 Vaijein pituuden täytyy olla ähintään 6,0 m. 46

47 3-3. F T x, max 45 T y, max T max G 45 N Vaakasuoan aijein jännitysoiman suuin ao on 0 N, joten tasapainossa oleaan pylääseen kohdistuan oiman T oikealle osoittaan komponentin T x suuin ao on myös 0 N. Koska inon aijein kalteuuskulma on 45, myös T :n alas osoittaan pystysuoan komponentin T y suuin ao on 0 N eli on T y,max = T x,max = 0 N. Oletetaan, että tanko aikuttaa alustaan maksimioimalla suuuudeltaan 550 N. Pystysuoassa suunnassa tankoon kohdistuien oimien summa on F 0. Suunta ylös on positiiinen, joten skalaaiyhtälö on N G T y = 0, jolloin T y = N G = 550 N kg 9,8 m/s 44, N. Koska inon aijein kalteuuskulma on 45, T y = T x = 44, N. Vaakasuoassa suunnassa tankoon kohdistuien oimien summa on F 0. Suunta oikealle on positiiinen, joten skalaaiyhtälö on T x F = 0, eli T x = F 44, N. Eli aijei ei kestä, jos tanko kuomittaa alustaa maksimioimalla. Lasketaan inon aijein jännitysoiman T max suuuus, kun aakasuoan aijein jännitysoima F on suuin mahdollinen 0 N. Vaakasuoassa suunnassa tankoon kohdistuien oimien summa on F x 0. Suunta oikealle on positiiinen, joten skalaaiyhtälö on T x,max F = 0, eli T x,max = F. Vinon aijein jännitysoima on T max = T x,max /cos45 = 0 N/cos45 = 96,98 N 300 N. Maan pinta kohdistaa tankoon tukioiman N. Pystysuoassa suunnassa tankoon kohdistuien oimien summa on F y 0. Suunta ylös on positiiinen, joten skalaaiyhtälö on N G T y,max = 0. Tukioiman suuuus on N = G + T y,max = mg + T y = kg 9,8 m/s + 0 N 30 N. Newtonin III lain mukaan tanko kohdistaa alustaan yhtä suuen ja astakkaissuuntaisen oiman kuin alusta tankoon. Koska 30 N < 550 N, inon aijein suuin mahdollinen jännitysoima on 300 N. y x 47

15 0, 035 m 53 cm/s. s. 0,065kg 0,065kg 9,81m/s 4,9 N. 0,34 m

15 0, 035 m 53 cm/s. s. 0,065kg 0,065kg 9,81m/s 4,9 N. 0,34 m Ketaustehtäät. c) Len kietokulma on t,5 ad/s (6 s) 9 ad.. a) Ratanopeus on 5, 35 m 53 cm/s. s 3. b) Tasapainoasemassa palloon kohdistuat paino G ja langan jännitsoima T. Pallon liikehtälö on F ma. n Kun

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut

Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörin ja arkkithtin yhtisalinta - dia-alinta 2010 Alla on lutltu kuusi suurtta skä annttu taulukoissa kahdksan lukuaroa ja kahdksan SI-yksikön symbolia. Yhdistä suurt oikan suuruusluokan

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

NESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA

NESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA NESTEIDEN ja KSUJEN MEKNIIKK Väliaineen astus Kaaleen liikkuessa nesteessä tai kaasussa, kaaleeseen törmääät molekyylit ja aine-erot erot aiheuttaat siihen liikkeen suunnalle astakkaisen astusoiman, jonka

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtäviä

RATKAISUT: Kertaustehtäviä hysica 6 OETTAJAN OAS 1. painos 1(16) : Luku 1 1. c) 1 0,51 A c) 0,6 A 1 0,55 A 0,6 A. b) V B 4,0 V c) U BC,0 V b) 4,0 V c),0 V 3. a) Kichhoffin. 1 + 3 1 3 4 0,06 A 0,06 A 0 V. b) Alin lamppu syttyy. Kokonaisvita

Lisätiedot

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

Physica 6 Opettajan OPAS (1/18)

Physica 6 Opettajan OPAS (1/18) Physica 6 Opettajan OPAS (1/18) 8. a) Jännitemittai kytketään innan lampun kanssa. b) Vitamittai kytketään sajaan lampun kanssa. c) I 1 = 0,51 A, I =? Koska lamput ovat samanlaisia, sähkövita jakautuu

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Miltä työn tekeminen tuntuu

Miltä työn tekeminen tuntuu Työ ja teho Miltä työn tekeminen tuntuu Millaisia töitä on? Mistä tiedät tekeväsi työtä? Miltä työ tuntuu? Mitä työn tekeminen vaatii? Ihmiseltä Koneelta Työ, W Yksikkö 1 J (joule) = 1 Nm Työnmäärä riippuu

Lisätiedot

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI 1 KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI MOTIVOINTI Tutustutaan kiertoheiluriin käytännössä. Mitataan hitausmomentin vaikutus värähtelyyn. Tutkitaan mitkä tekijät vaikuttavat järjestelmän hitausmomenttiin. Vahvistetaan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s.

- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s. 7. KSS: Sähkömagnetismi (FOTON 7: PÄÄKOHDAT). MAGNETSM Magneettiset vuoovaikutukset, Magneettikenttä B = magneettivuon tiheys (yksikkö: T = Vs/m ), MAO s. 67, Fm (magneettikenttää kuvaava vektoisuue; itseisavona

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

5. KURSSI: Pyöriminen ja gravitaatio (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN

5. KURSSI: Pyöriminen ja gravitaatio (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN 5 KURSSI: Pyöimie ja gaitaati (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN s s KULMASUUREET; kietkulma ϕ =, kietymä = kietkulma muuts ϕ = 360 = π ad (MAOL s 34 (34)) PYÖRIMISLIIKE φ s kulmapeus = ϕ ad ω, yksikkö:[

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on FYSA210 / K1 HITAUSMOMENTTI Työn tavoitteena on opetella määrittämään kappaleen hitausmomentti kappaletta pyörittämällä ja samalla havainnollistaa kitkan vaikutusta. Massapisteinä toimivat keskipisteestään

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Seuraa huolellisesti annettuja ohjeita. Tee taitokset tarkkaan,

Seuraa huolellisesti annettuja ohjeita. Tee taitokset tarkkaan, Origami on perinteinen japanilainen paperitaittelumuoto, joka kuuluu olennaisena osana japanilaiseen kulttuuriin. Länsimaissa origami on kuitenkin suhteellisen uusi asia. Se tuli yleiseen tietoisuuteen

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE SMG-4500 Tuulivoima Neljännen luennon aihepiirit Tuulivoimalan rakenne Tuuliturbiinin toiminta Turbiinin teho Nostovoima ja vastusvoima Suhteellinen tuuli Pintasuhde Turbiinin tehonsäätö 1 TUULIVOIMALAN

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

Opiskeluintoa ja menestystä tuleviin valintakokeisiin!

Opiskeluintoa ja menestystä tuleviin valintakokeisiin! RATKAISUT TESTIKYSYMYKSIIN Tästä löydät astaukset lääketieteen alintakoetyyppisiin testikysymyksiin. Jos osa kysymyksistä tuotti sinulle paljon päänaiaa, älä masennu, keään alintakokeeseen on ielä pitkä

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Sähkökentät ja niiden laskeminen I

Sähkökentät ja niiden laskeminen I ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan

Lisätiedot

PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI

PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI Kandidaatintyö Takastaja: lehtoi Risto Silvennoinen Palautuspäivä: 16.9.2008 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 010 Jukka Maalampi LUENTO 9 Paine nesteissä Nesteen omalla painolla on merkitystä Nestealkio korkeudella y pohjasta: dv Ady dm dv dw gdm gady paino Painon lisäksi alkioon

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Selkärangan ja lonkan liikkuvuusharjoituksia

Selkärangan ja lonkan liikkuvuusharjoituksia 1 Selkärangan ja lonkan liikkuvuusharjoituksia 1. Lantion rullaus Asetu selällesi ja vie polvet koukkuun. Jalkaterät ovat lantion leveydellä ja suoraan eteenpäin, kädet vartalon vierellä. Oikaise itsesi

Lisätiedot

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473 Torsioheiluri IIT3S Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G904 Petteri Viitanen G8473 Mittauspäivämäärä:..4 Selostuksen jättöpäivä: 4.3.4 Torsioheilurin mitatuilla neljän jakson

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka

Lisätiedot

Suuri telakka, asennusohjeet

Suuri telakka, asennusohjeet Suuri telakka, asennusohjeet Alutrack iso telakka 10 25+ m TELAKKAPAKETIN SISÄLTÖ 10 m 15 m 20 m 25 m 5 m kiskoja 4 6 8 10 Kiinnitysputkia 6 9 12 15 Kiinnityslevyjä 4 8 12 16 Liitoskappaleita 2 4 6 8 10x70

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

HANKI KESTÄVÄ KESKIVARTALO SELKÄSI TUEKSI!

HANKI KESTÄVÄ KESKIVARTALO SELKÄSI TUEKSI! Miesten jumppaopas HANKI KESTÄVÄ KESKIVARTALO SELKÄSI TUEKSI! TÄSMÄLIIKUNTAA KESKIVARTALOON 2-3 kertaa viikossa 15 min. päivässä HARJOITTELE KEHOLLESI HYVÄ PERUSTA rankasi pysyy hyvässä ryhdissä ja löydät

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Vino heittoliike ja pyörimisliike (fysiikka 5, pyöriminen ja gravitaatio) Iina Pulkkinen Iida Keränen Anna Saarela

Vino heittoliike ja pyörimisliike (fysiikka 5, pyöriminen ja gravitaatio) Iina Pulkkinen Iida Keränen Anna Saarela 19.11.2015 Vino heittoliike ja pyörimisliike (fysiikka 5, pyöriminen ja gravitaatio) Iina Pulkkinen Iida Keränen Anna Saarela Iina Pulkkinen, Iida Keränen, Anna Saarela HEITTOLIIKE Työn tarkoitus: Määrittää

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria

KALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1. Työn tavoitteet Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa.

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? 1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa

Lisätiedot

ASC-Alumiinitelineet

ASC-Alumiinitelineet ASC-Alumiinitelineet ASENNUS- JA KÄYTTÖOHJE ALUMIINITELINEILLE MALLIT: ASC JA EURO VAROITUS! Tämä ohje opastaa ASC-alumiinitelineiden oikeaan ja turvalliseen asennukseen. Käyttäjä on vastuussa ohjekirjan

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot