Karamatan epäyhtälö. Majoroinnista. Markku Halmetoja Mäntän lukio

Transkriptio

1 Solmu 3/03 Karamatan epäyhtälö Markku Halmeto Mäntän lukio Kirjoituksessa [] perehdyttiin funktion konveksisuuteen tätä teemaa tketaan nyt tutustumalla Karamatan epäyhtälöön sen sovelluksiin Lukin mukavuutta atellen kertaamme aluksi konveksien funktioiden ominaisuuksia Välillä I määritelty funktio f on konveksi, jos kaikilla x, y I λ ]0, [ f ( λx + ( λ)y ) λf(x) + ( λ)f(y) () Funktio f on aidosti konveksi, jos epäyhtälössä () yhtäsuuruus toteutuu ainoastaan silloin kun x y Konveksin funktion kuvaa on alaspäin kupera Voidaan todistaa, että funktio f on konveksi, jos vain jos (u, f(u)) (x, f(x)) (v, f(v)) kaikilla u, x, v I, u < x < v, kuvioon piirrettyjen sekanttien kulmakertoimet toteuttavat kaksoisepäyhtälön f(x) f(u) x u f(v) f(u) v u f(v) f(x) () v x Jovan Karamata (90 967), serbialainen matemaatikko Johan Jensen (859 95), tanskalainen matemaatikko Jos vain jos yhtäsuuruudet eivät ole voimassa tässä epäyhtälöketjussa, niin f on aidosti konveksi Toisen derivaatan positiivisuus on välttämätön riittävä ehto kahdesti derivoituvan funktion aidolle konveksisuudelle Karamatan epäyhtälö on kirjoituksessa [] nähdyn Jensenin epäyhtälön tavoin yleisepäyhtälö, jonka avulla voidaan todistaa monia muita epäyhtälöitä Jensenin Karamatan epäyhtälöitä soveltaen lukiolainenkin voi periaatteessa johtaa uusia epäyhtälöitä tai löytää uusia todistuksia tunnetuille epäyhtälöille: on vain löydettävä konveksi funktio, jota kukaan ei ole ennen tullut atelleeksi näiden epäyhtälöiden yhteydessä Karamatan epäyhtälön todistamiseksi tarvitsemme majoroinniksi kutsuttua R n :n vektorien välistä relaatiota Vektoreista ei tarvitse tietää muuta kuin se, mitä ne ovat Jos kuitenkin R n tuntuu vieraalta, niin luki voi silmäillä kirjoitusta [] Perehdymme aluksi majorointiin, minkä jälkeen todistamme Karamatan epäyhtälön lopuksi sovellamme sitä muutamissa esimerkkitapauksissa Majoroinnista Olkoon x (x, x,, x n ) R n x [ı] tämän vektorin ı:nneksi suurin koordinaatti Siis x [] x [] x [] x [n]

2 Solmu 3/03 Sanomme, että vektori x majoroi vektoria y, jos x [] y [], x [] + x [] y [] + y [], x [] + + x [] y [] + + y [], x [] + + x [n] y [] + + y [n] Jos x majoroi y:n, niin merkitsemme x y tai y x Selvästi x x, x y y x x y, x y y z x z kaikilla x, y, z R n Jos x y x y, niin x majoroi aidosti y:n Esim Jos x (0, 3, 0), y (, 0, ) z (,, ), niin x y z, sillä 3, , Esim Jos n on positiivinen kokonaisluku, niin (, 0,, 0) (,, 0, 0,, 0) ( 3, 3, 3, 0,, 0) ( n, n,, n ) Esim 3 Jos x on vektorin x (x,, x n ) R n koordinaattien aritmeettinen keskiarvo, niin x (x, x,, x n ) ( x, x,, x) x Karamatan epäyhtälö Seuraavassa lauseessa muotoillaan todistetaan Karamatan epäyhtälö Todistus seuraa lähteessä [3, s 33-34] annettua Lause (Karamatan epäyhtälö) Olkoot a (a ı ) n b (b ı ) n, missä a ı, b ı ]α, β[ kaikilla ı,,, n Olkoon f : ]α, β[ R konveksi funktio Jos a b, niin f(a ı ) f(b ı ) (3) Jos f on aidosti konveksi, niin yhtäsuuruus voimassa, jos vain jos a b Todistus Epäyhtälö on selvästi voimassa, jos a b Jos jollakin ı:n arvolla a ı b ı, voidaan termit f(a ı ) f(b ı ) jättää huomioimatta Voimme siis olettaa, että a ı b ı kaikilla ı:n arvoilla Edelleen, koska epäyhtälö (3) on riippumaton vektorien a b koordinaattien järjestyksestä, voimme rajoituksetta olettaa, että a a n b b n Koska f on konveksi, on erotusosamääristä f(a ı ) f(b ı ) a ı b ı c ı muodostuva jono (c ı ) n kaksoisepäyhtälön () perusteella vähenevä Aktiivinen luki selvittänee tämän väitteen yksityiskohtaisesti Merkitään A k a ı B k kaikilla k {,,, n}, sovitaan, että A 0 B 0 0 Koska a b, on A n B n A ı B ı kaikilla ı {,, n} Saamme f(a ı ) f(b ı ) b ı (f(a ı ) f(b ı )) c ı (a ı b ı ) c ı (A ı A ı B ı + B ı ) c ı (A ı B ı ) c ı (A ı B ı ) c ı (A ı B ı ) c ı+ (A ı B ı ) ı0 c ı (A ı B ı ) c ı+ (A ı B ı ) (c ı c ı+ )(A ı B ı ) 0, (4) mistä (3) seuraa Koska a ı b ı kaikilla ı {,, n}, on A ı > B ı vähintään yhdellä ı:n arvolla, jos f on aidosti konveksi, niin jono (c ı ) n on aidosti vähenevä Summassa (4) on tällöin vähintään yksi positiivinen termi, joten tämä summa on positiivinen, koska kaikki termit ovat ei-negatiivisia Yhtäsuuruusehto seuraa tästä Huomautus Jos konveksi funktio f on kasvava, niin lauseen ehto a b voidaan lieventää muotoon a ı b ı kaikilla k,,, n,

3 Solmu 3/03 3 sillä erotusosamäärät c ı, erityisesti c n, ovat ei-negatiivisia (ks todistuksen yhtälöketju) Yhtäsuuruusehto säilyy samana Sovelluksia Aloitamme sovellukset näyttämällä, miten Karamatan epäyhtälön avulla voi laatia tehtäviä Näimme edellä (esim ), että jos n Z +, niin (, 0, 0,, 0) ( n, n, n,, n ), tiedämme, että jos a >, niin eksponenttifunktio f(x) a x on aidosti konveksi Karamatan epäyhtälön premissit ovat siis voimassa Saamme a + a a 0 a n + a n + + a n, mikä sievenee muotoon a n ( a n ) (5) Yhtäsuuruus on voimassa, jos vain jos n Sijoittamalla a:n paikalle luvut, e + n, saadaan sopivasti sievennellen tehtävä: Osoita, että jos n Z n, niin ( a) + n) n >, b) e n > e n, c) n + n > n ( + n ) n Väitteet a) c) todistuvat lukiomatematiikalla, sillä ne seuraavat triviaalisti binomiteoreemasta Väite b) seuraa helposti e-kantaisen eksponenttifunktion sarkehitelmästä, joka tosin ei kuulu lukion oppimäärään mutta lienee tuttu monelle matematiikkaa harrastavalle lukiolaiselle Kadelburg [4] kirjoittaa matematiikkaolympialaisten epäyhtälötehtävistä, että niiden laatit luultavasti käyttävät mm Karamatan epäyhtälöä tehtäviä konstruoidessaan keksivät elementaariset, puhtaasti koulumatematiikkaan perustuvat ratkaisut myöhemmin On selvää, että tehtävää ei voi käyttää kilpailussa, ellei alkeismatematiikkaan perustuvaa ratkaisua ole näköpiirissä Alkeellisen ratkaisun löytäminen edellyttää usein huomattavaa nokkeluutta rajoitettu ratkaisuaika lisää vielä suorituksen vaativuutta Luultavasti ainakin joidenkin matematiikkaolympialaisiin osallistuvien maiden kansallisissa valmennustiimeissä opitaan myös Karamatan epäyhtälö tavanomaisempien menetelmien lisäksi, sillä sitä voi luonnollisesti käyttää myös ratkaisemiseen Seuraavana esimerkkinä on Jugoslavian olympiajoukkueen karsintatehtävä [3, s 4-4] vuodelta 969 Esim 4 Todista: Jos reaaliluvuille a ı b ı on niin a a a n > 0, b a, b b a a, b b b n a a a n, b + b + + b n a + a + + a n Lukujen logaritmit toteuttavat ehdon ln a ı ln b ı kaikilla k,,, n, joten väite seuraa välittömästi siitä, että funktio f(x) e x on konveksi kasvava Esim 5 [3, s 35] Todista: Jos a, b, c > 0, niin a + b + b + c + c + a a + b + c a + b + b + c + c + a a + b + c Molemmissa epäyhtälöissä vallitsee yhtäsuuruus, jos vain jos a b c Epäyhtälöt ovat symmetrisiä muuttujien suhteen, joten voimme rajoituksetta olettaa, että a b c Tällöin (a + b, b + c, c + a) (a, b, c) Väitökset seuraavat Karamatan epäyhtälöstä soveltamalla sitä aidosti konvekseihin funktioihin f(x) x, x > 0, g(x) x Aktiivinen luki voi miettiä, miten nämä epäyhtälöt yleistyvät mielivaltaiselle määrälle positiivisia luku Esim 6 Karamatan epäyhtälön avulla saadaan yksinkertainen todistus aritmeettisen geometrisen keskiarvon väliselle epäyhtälölle eli AG-epäyhtälölle Olkoon x, x,, x n > 0 A niiden aritmeettinen keskiarvo Tällöin (A, A,, A) (x, x,, x n ) Funktio g(t) ln t, t > 0, on aidosti konveksi, sillä g (t) t > 0 Karamatan epäyhtälöä soveltaen saadaan ln A ln A ln A ln x ln x ln x n, mikä sievenee muotoon n ln A ln (x x x n ),

4 4 Solmu 3/03 edelleen ln A n ln (x x x n ) ln n x x x n ln G, mistä väite seuraa Yhtäsuuruusehto seuraa funktion g aidosta konveksisuudesta Esim 7 [3, s 4] Todistettava: Jos a, b, c > 0, niin (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc (6) Epäyhtälö on symmetrinen muuttujien suhteen, joten voimme rajoituksetta olettaa, että a b c > 0 Tällöin epäyhtälön (6) vasemman puolen tekijöiden suuruusjärjestys on a + b c a + c b b + c a, ainoastaan pienin näistä luvuista voi olla eipositiivinen Jos b + c a 0, niin (6) on voimassa koska abc > 0 Voimme siis olettaa, että b + c a > 0 Selvästi a + b c a (a + b c) + (a + c b) a + b (a + b c) + (a + c b) + (b + c a) a + b + c eli (a + b c, a + c b, b + c a) (a, b, c) Funktio g(x) ln x on aidosti konveksi, joten Karamatan epäyhtälöä soveltaen saadaan ln (a + b c) ln (b + c a) ln (c + b a) ln a ln b ln c, mistä väite seuraa (Epäyhtälö (6) on voimassa myös ehdolla a, b, c 0, sillä jos esimerkiksi c 0, niin sen vasen puoli pelkistyy muotoon (a+b)(a b) oikea puoli on 0) Epäyhtälöllä (6) on mielenkiintoinen sovellus kolmioihin Kolmion sisään piirretty ympyrä sivutkoon kolmion sivu a, b, c pisteissä, jotka kavat ne kuvion x x osoittamalla tavalla osiin z z a x + y, b y + z c z + x Näistä yhtälöistä seuraa x (a + c b) (> 0), y (a + b c) (> 0), z (b + c a) (> 0) y y Kertomalla keskenään AG-epäyhtälöt xy x + y, yz y + z, zx z + x saadaan 8xyz (x + y)(y + z)(z + x), mikä on sama kuin esimerkissä 7 yleisemmillä edellytyksillä todistamamme epäyhtälö (6) Heronin kaavan mukaan kolmion pinta-alan neliö p(p a)(p b)(p c), missä p (a + b + c), koska (6) on voimassa, on (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a) 6 abc(a + b + c) (7) 6 Saatu arvio on tarkempi kuin näissä yhteyksissä yleensä esitetty p4 7 sillä AG-epäyhtälön perusteella joten (a + b + c)4, (8) 43 abc 7 (a + b + c)3, 6 abc(a+b+c) 6 7 (a+b+c)4 43 (a+b+c)4 Arvio (8) perustuu pelkästään kolmion piirin pituuteen, kun taas arviossa (7) tarvitaan piirin lisäksi tieto kolmion sivujen pituuksien tulosta Molemmissa arvioissa yhtäsuuruus on voimassa, jos vain jos kolmio on tasasivuinen Karamatan epäyhtälön avulla voidaan relaatiota (a + b c, a + c b, b + c a) (a, b, c) hyödyntäen todistaa äärettömän monta kolmion sivujen välistä epäyhtälöä Jos näet f on aidosti konveksi funktio, niin f(a+b c)+f(a+c b)+f(b+c a) f(a)+f(b)+f(c) Yhtäsuuruus on voimassa, jos vain jos a b c Esimerkiksi, jos n ( ) on kokonaisluku, niin positiivisille luvuille määritelty funktio f(x) x n einegatiivisille luvuille määritelty funktio g(x) n x ovat aidosti konvekse, joten (a+b c) n +(a+c b) n +(b+c a) n a n +b n +c n n a + b c+ n a + c b+ n b + c a n a+ n b+ n c

5 Solmu 3/03 5 Lähteessä [4, s 0] mainitaan, että vuonna 996 Aasian Tyynenmeren alueen olympialaisissa oli tehtävänä todistaa tämä g-funktiosta saatava epäyhtälö tapauksessa n, mikä siis Karamatan epäyhtälön avulla todistuu vaivatta Elementaarinen todistus on työläämpi Esim 8 [3, s 44] Vuoden 000 matematiikkaolympialaisissa oli tehtävänä todistaa epäyhtälö ( x + )( y + )( z + ), (9) y z x kun x, y, z > 0 xyz Annetuista ehdoista seuraa, että on olemassa positiiviset luvut a, b, c siten, että x a b, y b c, z c a Sijoittamalla nämä epäyhtälöön (9) saadaan yhtäpitävästi ( a b + c )( b b c + a )( c c a a) + b, mikä positiivisella luvulla abc kertoen pelkistyy esimerkissä 7 olevaksi epäyhtälöksi Myös seuraava Jensenin epäyhtälön erikoistapaus todistuu helposti Esim 9 Olkoon f välillä I määritelty konveksi funktio x,, x n I Olkoon edelleen x lukujen x ı aritmeettinen keskiarvo Koska ( x, x,, x) (x, x,, x n ), seuraa Karamatan epäyhtälöstä f( x) + f( x) + + f( x) f(x ) + f(x ) + + f(x n ), mikä voidaan kirjoittaa muotoon ( x + + x ) n f( x) f n n f(x ) + + n f(x n) Viimeisenä esimerkkinä todistamme Petrovićin 3 epäyhtälön Kadelburg [3, s 36 37] todistaa se suoraan konveksisuuden määritelmän avulla, mutta Karamatan epäyhtälöä käyttäen saadaan lyhyempi todistus pieni täydennyskin Lause (Petrovićin epäyhtälö) Jos x, x,, x n 0 f : [0, [ R on konveksi funktio, niin f(x ) + + f(x n ) f(x + + x n ) + (n )f(0) Yhtäsuuruus on voimassa, jos vain jos f on enintään astetta oleva polynomifunktio Todistus Koska luvut x ı ovat ei-negatiivisia, on voimassa (x + x + + x n, 0, 0,, 0 ) (x }{{}, x,, x n ) kpl Karamatan epäyhtälöstä seuraa f(x + +x n )+f(0) + + f(0) f(x )+ +f(x n ), }{{} kpl mikä sievenee todistettavaksi epäyhtälöksi Yhtäsuuruusehto on ilmeinen Karamatan epäyhtälön tai esimerkissä 9 olevan epäyhtälön avulla saadaan summalle f(x ) + f(x ) + + f(x n ) myös alara Jos x on lukujen x,, x n aritmeettinen keskiarvo, niin ( x, x,, x) (x, x,, x n ), joten f( x) + f( x) + + f( x) f(x ) + f(x ) + + f(x n ) Jos siis x,, x n 0 f : [0, [ R on konveksi, niin nf( x) f(x ı ) f(x + + x n ) + (n )f(0) Tapauksessa f(x) x saadaan epäyhtälöt n n + < n + n < n Tämä arvio on kuitenkin hyödytön, sillä triviaalissa arviossa n < n < n n rat ovat paremmat Kiitän emeritusprofessori Jorma Merikoskea kirjoitustani täsmentäneistä kommenteista Viitteet [] M Halmeto, Epäyhtälöistä, osa, Solmu /00 epayhtaloista_osapdf [] M Halmeto, Epäyhtälöistä, osa, Solmu 3/00 epayhtaloista_osapdf [3] Z Kadelburg, D Ðusić, M Lukić, I Matić, Inequalities of Karamata, Schur and Muirhead and some applications, Teaching Math 8 (005), 3 45 [4] Z Kadelburg, Some classical inequalities and their applications to olympiad problems, Teaching Math 4 (0), Mihailo Petrović ( ), serbialainen matemaatikko