Palamisen laadun mittaus
|
|
- Juho Lattu
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 AS.3 Automaatio ja systeemitekniikan projektityö Palamisen laadun mittaus Petri Malkamäki Automaatio ja systeemitekniikan koulutusohjelma Alkamispäivä: Loppumispäivä: 9..8 Ohjaaja: Kai Zenger työn laajuus: 4op
2 Sisältö Palamisen laadun mittaus.... Prosessi...3. Kattilatyypit...3. Kattilan ilma ja vesikierto Palaminen...5. Työn tavoitteet ja kulku Menetelmät Taajuusanalyysi Monimuuttujaregressio Tulokset Taajuusanalyysi Regressioanalyysi Yhteenveto... 3
3 . Prosessi. Kattilatyypit Voimalaitoskäytössä olevat kiinteätä materiaalia polttavat kattilat voidaan jakaa leijukattiloihin ja arinakattiloihin. Tällä hetkellä arinatyyppisiä kattiloita käytetään lähinnä jätteenpolttolaitoksissa. Arinakattilassa poltettava kiintoaine heitetään liikkuvan arinan päälle kuvan mukaisesti. Palamaton materiaali putoaa arinan reunalta tuhkakuiluun. Kuva Arinakattila Kuva Kiertoleijukattila Leijukattiloita on kahta eri päätyyppiä; kiertoleijukattila ja kuplaleijukattila. Kiertoleijukattilassa petimateriaali, joka useimmiten on hiekka, kiertää kattilassa alhaalta puahllettavan ilman mukana kuvan nuolien mukaisesti. Kuplaleijukattilassa ilma saa petihiekan kuplimaan, mutta hiekka pysyy kattilan pohjalla. Leijukattilalla on useita etuja verrattuna arinakattiloihin. Kattila on polttoainejoustava, sillä saavutetaan korkea hyötysuhde ja pienet päästöt. Kiertoleijukattilalla on pääpiirteittäin samat edut, kuin kuplaleijukattilalla, mutta niiden lämpöteho on noin kaksinkertainen kuplaleijukattiloihin verrattuna. Kuvassa 3 on kuplaleijukattilan periaatteellinen kuva. 3
4 Kuva 3 Kuplaleijukattila. Kattilan ilma ja vesikierto Ilma, joka leijuttaa petihiekkaa, on nimeltään primääri ilma. Se puhahalletaan kattilaan alapuolelta ja sen päätarkoitus on pitää peti aina fluidisoituneessa tilassa. Primääri ilmalla on tietty minimivirtausmäärä, joka puhalletaan petiin ajotilanteesta riippumatta. Primääri ilman mukana on mahdollista puhaltaa kattilaan sen savukaasuja. Tätä kutsutaan kiertokaasuksi. Kiertokaasun tehtävä on hillitä petin lämpötilan nousua. Kattilaan syötetään lisäksi sekundääri ja tertiääri ilmaa kattilan kyljistä. Sekundääri ilman suuttimet sijaitsevat alempana ja tertiääriilmasuuttimet ovat ylempänä. Sekundääri ja tertiääri ilmojen virtausmäärät säädetään erikseen sekä vasemmalle, että oikealle puolelle kattilaa. Kattilan savukaasut imetään pois kattilasta savukaasupuhaltimella. Savukaasupuhaltimen tehtävä on pitää kattilan painetta hieman alle ilmanpaineen, jotteivät savukaasut pääse vuotamaan tehdastilaan. Tulipesän yläosassa sijaitsevat höyryn tulistimet. Savukaasu luovuttaa lämpöään niihin ensimmäisenä. Kun savukaasu on jäähtynyt tulistimilla hieman, käytetään siihen jäänyt lämpö syöttöveden esilämmitykseen. Kanavaan tultuaan savukaasu kulkee joko sähköisen, tai pussisuodattimen läpi. Tällä tavalla savukaasuista poistetaan pienhiukkasia. Kattilan vesikierto on kuvan 4 mukainen. Syöttövesiputket ovat sinisiä, höyrystymisputket sinipunaisia ja höyryputket punaisia. Vesi tulee syöttövesipumpulta esilämmittimien eli ekonomaisereiden kautta lieriöön. Lieriöstä vesi valuu alas ja nousee kattilan seinällä sijaitsevia 4
5 putkia pitkin, joissa tapahtuu höyrystyminen. Höyrystymisenergia on pääosin palamisen tuottamaa säteilylämpöä. Tämän jälkeen höyry palaa lieriöön, mistä se kulkeutuu tulistimiin. Tulistimissa lämpö siirtyy suurimmaksi osaksi konvektiivisesti savukaasuvirtauksesta. Tulistaminen voidaan toteuttaa useassa vaiheessa. Tulistimien välissä tai niiden jälkeen säädetään höyryn lämpötilaa ruiskuttamalla syöttövettä höyryn sekaan. Tulistamisen jälkeen höyryä voidaan käyttää sähkön ja/tai kaukolämmön tuottamiseen. Kuva 4 Kattilan vesikierto.3 Palaminen Kuplaleijukattilassa palaminen voi tapahtua joko petin sisässä tai sen yläpuolella. Kun tulipesän olosuhteet ovat hyvässä kunnossa, palaminen tapahtuu petin yläpuolella. Kiinteän materiaalin palaminen voidaan jakaa vaiheisiin. Ensimmäiseksi partikkeli kuivuu, sitten tapahtuu kaasuuntuminen, jossa kiinteästä aineesta lähtevät helposti haihtuvat palavat kaasut. Tämän jälkeen partikkeli syttyy ja palaa, kunnes jäljellä on vain tuhkaa. Epätäydellinen palaminen ilmenee savukaasujen CO päästöjen nousuna. Usein tämä johtuu liian vähästä palamisilmasta. NOx päästöt taas nousevat lämpötilan noustessa liian korkeaksi. Tällöin ilman typpi reagoi hapen kanssa ja muodostaa typen oksideja. Savukaasun happipitoisuuden nousu voi johtua joko liiallisesta palamisilmasta tai polttoaineen syötön katkeamisesta. 5
6 . Työn tavoitteet ja kulku Projektityö tehdään Metso Power OY:n kanssa yhteistyössä. Työssä käytetty prosessidata saatiin Metsolta. Palamisen havainnointi on kiinnostavaa, koska paremmalla palamisen hallinnalla päästään pienempiin päästöihin. Palamisen paremmalla havainnoinnilla voidaan pystyä havaitsemaan kattilassa ilmeneviä vikoja kuten esimerkiksi ilmasuuttimen tukkeutuminen. Työn tavoitteena on pystyä mittaamaan tulipesässä tapahtuvaa palamista. Tässä käytetään hyväksi tulipesän olosuhteita kuvaavia mittauksia, kuten tulipesän paine ja lämpötila. Erityisesti tulipesän painemittaus on mielenkiintoinen palamisen kannalta, mutta sen käyttö indikaattorina on hankalaa, koska se on säädetty suure. Lisäksi työssä käytetään muita saatavilla olevia mittauksia kuten tulipesään virtaavien ilmojen virtausmittaukset. Tällä hetkellä ainoat palamista kuvaavat mittaukset ovat päästömittaukset, jotka mitataan piipusta. Koska päästöjä mitataan vasta piipussa, saadaan tietoa palamisesta viiveellä. Työ päätettiin toteuttaa Matlab ohjelmistolla. Työn tekemiseen käytetään taajuusanalyysia ja monimuuttujaregressiota. Taajuusanalyysillä pystytään havaitsemaan asioita säädetyistäkin suureista, koska menetelmä ei tutki absoluuttisia muutoksia. Työn alkuvaiheessa käytössä oli minuuttikeskiarvostettua dataa eräästä suomalaisesta kattilasta. Päästömittaukset olivat minuutin keskiarvoja. Kattilalle oli datankeruun aikana tehty erilaisia kokeita. Ensimmäiseksi datasta täytyi valita muuttujat joita käytetään työssä. Suuri osa mittauksista oli kattilan höyrypuolelta. Näillä mittauksilla ei ole juurikaan käyttöä tätä projektityötä ajatellen. Tästä datasta valittiin mittausta, joihin kuului tulipesän painemittaus, ilmamäärien mittaukset, petilämpötilat sekä päästömittaukset. Datan tutkiminen aloitettiin taajuusanalyysillä. Tarkoitus oli selvittää onko muuttujien taajuusspektreissä eroja, kun NOx päästöjen vaihdellessa. Minuuttidatasta löytyi useita eri kohtia, missä NOx päästöjen taso vaihteli voimakkaasti. Tuloksista selvisi nopeasti, että minuutin näytteenottoväli on aivan liian pitkä palamisen havainnointiin. Regressioanalyysin menetelmiä on useita erilaisia. Tässä työssä päätin soveltaa kahta eri menetelmää. PCA (Principal Component Analysis) regressio olettaa, että input datan varianssi sisältää hyödyllistä tietoa. Toinen menetelmä, mitä päätin soveltaa, on PLS (Partial Least Squares) regressio. Tämä menetelmä keskittyy inputin ja outputin väliseen korrelaatioon. Molemmat menetelmät tuottivat jonkinlaisen järkevän tuloksen minuuttidatalle, mutta oli selvää, että paremman datan hankkiminen on välttämätöntä. Toisen prosessidatapaketin näytteenottoväli on sekunti ja data on kerätty vuonna 6 eräältä Keski Euroopassa sijaitsevalta kattilalta. Tämäkin data oli kerätty muuhun tarkoitukseen, mutta se soveltui työhön varsin hyvin. Data on hyvin kattavaa ja siitä löytyi kaikki työn vaatimat 6
7 mittaukset. Valitettavasti tästä prosessidatasta ei löytynyt kovin montaa kohtaa, jossa NOx olisi joko kasvanut tai pudonnut nopeasti, mikä hankaloitti taajuusanalyysin kattavuutta. Tämän jälkeen sovellettiin edellä mainittuja monimuuttujaregression menetelmiä tähän dataan ja tulokset olivat varsin positiivisia. Näiden tulosten parantamiseksi tehtiin funktio, mikä laskee uuden regressiomallin tasaisin väliajoin. 3. Menetelmät 3. Taajuusanalyysi Työssä käyttämäni menetelmä perustuu Fourier muunnokseen, jossa signaali muutetaan taajuustasoon. Fourier muunnos siirtää funktion aika avaruudesta taajuusavaruuteen. Se perustuu oletukseen, että jokainen signaali voidaan esittää siniaaltojen integraalina ja diskreetissä tapauksessa summana. Jatkuvan funktion määritellään Fourier'n muunnos missä on kulmataajuus. Kun funktio on muunnettu, se voidaan aina muuntaa alkuperäiseksi signaaliksi käänteismuunnoksella, joka määritelmän mukaiselle funktiolle on,. Diskreetissä tapauksessa signaali ajatellaan sarjana ja kuten aiemmin todettu integraali korvataan summalausekkeella. missä on :n pituinen reaali tai kompleksiarvoinen sarja. Vastaava käänteismuunnos on. Matlabissa käyttämäni funktio on nimeltään fft. Se perustuu C kielelle tehtyyn FFTW kirjastoon, joka käyttää Cooley Tukey algoritmia diskreetin Fourier muunnoksen aikaansaamiseksi. Signaalin Fourier muunnoksesta otetaan absoluuttiarvo, joka poistaa muunnoksen imaginääriosat. Tällöin muunnoksen voi piirtää ja siitä näkee selvästi mitä taajuuksia signaali siirtää. Tuloksia piirtäessä pitää ottaa kuitenkin huomioon, että suurin taajuus, mitä voidaan kuvata, on puolet näytteenottotaajuudesta. 7
8 3. Monimuuttujaregressio Regressiomallissa kahden muuttujan välinen lineaarinen yhteys kuvataan kertoimella: = + Perustapauksessa kerroin sovitetaan muuttujien välille pienimmän neliösumman keinolla. Yhden muuttujan tapauksessa pitää minimoida seuraava lauseke ( ) =, jossa ja ovat skalaarimuuttujia, on mallin vakio ja on mallin kulmakerroin. Tapauksessa, jossa käsitellään montaa muuttujaa, kerroin on matriisi. Yleensä data esikäsitellään ennen varsinaisen regression tekemistä. Tärkein esikäsittelyn vaihe on muuttujien valinta. Väärällä muuttujien valinnalla on mahdollista pilata regressioanalyysin tulos ennen mallin laskemista. Tätä tehdessä on tärkeää, että analysoijalla on riittävästi tietoa mallinnettavasta prosessista. Yleensä sekä input, että output muutetaan nollakeskiarvoiseksi, jolloin malliin jää vain yksi tuntematon parametri. Lisäksi monen muuttujan tapauksessa datan skaalaaminen on välttämätöntä, koska muutoin absoluuttiselta arvoltaan isompia muutoksia painotettaisiin liikaa. Monen muuttujan tapauksessa tarkoituksena on löytää matriisi, jotta = pitää. Tässä tapauksessa data on nollakeskiarvostettu, joten toista muuttujaa ei tarvita. Jos etsitään pienimmän neliösumman menetelmällä, menetelmää kutsutaan MLR:ksi (Multivriate Linear Regression). Tässä tapauksessa voidaan kirjoitta =( ). Tämä ratkaisu minimoi pienimmän neliösumman kriteeri. Malli ei ota lainkaan huomioon minkäänlaista kohinaa mittauksissa, joten käytännön sovelluksissa MLR saattaa toimia huonosti tai ei ollenkaan. PCA (Principal Component Analysis) perustuu olettamukselle, että datan varianssi sisältää prosessin kannalta oleellista tietoa. Menetelmä etsii data avaruudesta suuntia, joissa datan variaatio on suurinta. Menetelmä käyttää näitä suuntia perusakseleina sisäiselle datamallille. Koska häiriöiden oletetaan olevan täysin satunnaisia, jatkuvat korrelaatiot muuttujien välillä kertovat jotain systeemin oikeasta rakenteesta. Analyysin tuloksena saadaan inputien ominaisvektorit. Ongelmaksi muodostuu vektorien määrän määrittäminen, koska kaikki eivät sisällä yhtä paljon hyödyllistä tietoa. Lopullinen malli lasketaan MLR algoritmilla =( ), 8
9 jossa on PCA algoritmilla saatu :n latentti ominaisvektorikanta. PLS (Partial Least Squares) regressio ratkaisee erään PCA menetelmän ongelman. PCA keskittyy vain input dataan, jolloin jotain voi jäädä huomiotta PCA mallissa. Tässäkin menetelmässä luodaan systeemin ominaisvektori, mutta siinä keskitytään inputin ja outputin väliseen korrelaatioon. Kuten PCA regressiossa tässäkin lopullinen malli lasketaan MLR algoritmilla =( ), jossa on PLS algoritmilla saatu :n ja :n latentti ominaisvektorikanta. 4. Tulokset 4. Taajuusanalyysi Toteutin taajuusanalyysin siten, että etsin päästömittauksista kohtia, joissa päästöt kasvoivat tai laskivat nopeasti. Hypoteesi on, että tulipesän mittauksien taajuusspektrit ovat erilaisia eri päästötasoilla. Lisäksi on mahdollista, että erilaiset viat tai ongelmat palamisessa pystytään tunnistamaan spektristä. Tätä kautta kattilan kunnossapito helpottuu. Tämän työn puitteissa ei vikojen huomiointi ole mahdollista, koska kattilasta ei ole saatavilla tarpeeksi tietoa. Erityisesti tulipesän painemittaus on taajuusanalyysin kannalta mielenkiintoinen, koska se reagoi palamisen muutoksiin nopeasti. Painemittauksen lisäksi analyysissä käytettiin petilämpötilan mittauksia ja tulipesän lämpötilamittauksia. Minuuttidatasta löytyi useita taajuusanalyysin kannalta sopivaa tilannetta. Kuvassa 5 on tarkoituksiini sopiva kohta, jossa NOx päästön tason nousee nopeasti. Kuvassa 6 näkyy paineen kuvaaja ajalta jolloin NOx pitoisuus on alhainen. Kuvassa 7 on paineen kuvaaja kun NOx pitoisuus on noussut. Kuvissa 8 ja 9 on kuvia 6 ja 7 vastaavat paineiden taajuusspektrit. Molemmista näkee, että suurin osa taajuuksista on lähellä nollataajuutta, eikä muita taajuuksia juurikaan nouse esiin. Analyysin tulos on vastaava myös muissa vastaavissa NOx pitoisuuden nousuissa tai laskuissa. Kuvissa ja näkyy yhden petilämpötilamittarin spektri samoilta ajoilta kuin painespektrit. Näistä huomaa selkeästi saman asia kuin painemittauksesta. Suurin osa signaalista on lähellä nollataajuutta. Tämän perusteella voi sanoa, että /6 Hz näytteenottotaajuus ei riitä palamisen havainnointiin taajuusanalyysin avulla. Kuvien absoluuttitasot on muutettu. Minuuttidatassa ei ollut tulipesän lämpötilanmittausta. 9
10 Kattilan NOx päästöt ajan funktiona NOx(mg/Nm 3 ) min Kuva 5 Prosessidatasta löydetty kohta, jossa NOx pitoisuus nousee nopeasti Kattilan paine ajan funktiona ennen NOx pitosuuden nousua.5.5 p(mbar) min Kuva 6 Tulipesän paine kun NOx pitoisuus on alhainen
11 .5 Kattilan paine ajan funktiona NOx pitosuuden nousun jälkeen.5 p(mbar) min Kuva 7 Paineen kuvaaja NOx pitoisuuden noustua.6 p(t):n yksipuolinen amplitudispektri ennen NOx pitoisuuden nousua.4. p(f) Taajuus (Hz) x 3 Kuva 8 paineen taajuusspektri ennen NOx nousua, jossa suurin osa taajuuksista on lähellä nollataajuutta
12 .4 p(t):n yksipuolinen amplitudispektri NOx pitosuuden nousun jälkeen..8 p(f) Taajuus (Hz) x 3 Kuva 9 paineen taajuusspektri NOx nousun jälkeen on hyvin samankaltainen Kuvan 8 spektrin kanssa 8 t(t):n yksipuolinen amplitudispektri ennen NOx pitoisuuden nousua t(f) Taajuus (Hz) x 3 Kuva Petilämpötilan taajuusspektrissä suurin osa taajuuksista on lähellä nollataajuutta
13 8 t(t):n yksipuolinen amplitudispektri NOx pitosuuden nousun jälkeen t(f) Taajuus (Hz) x 3 Kuva Petilämpötilan taajuusspektri näyttää lähes samalta kuin ennen NOx pitoisuuden nousua Sekuntidatasta löytyi vain muutama kohta, jossa NOx päästöt nousivat tai laskivat nopeasti. Kuvassa näkyy NOx pitoisuuden nopea nousu. Kuvassa 3 oleva paineen kuvaaja on otettu kun NOx pitoisuus on alhaalla ja kuvassa 4 näkyvä kuvaaja on otettu kun NOx pitoisuus on ylhäällä. Kuvassa 5 oleva spektri näyttää samalta kuin minuuttidatasta otetut paineen spektrit. NOx nousun jälkeen otettu spektri (kuva 6) näyttää selvästi erilaiselta kuin kuvan 5 spektri. Nollataajuutta ei käytännössä ole lainkaan, vaan huippu on hieman korkeammalla taajuudella. Lisäksi, Hz taajuutta näyttäisi löytyvän vielä suhteellisen runsaasti. Tällä tavalla on mahdollista huomata painemittauksen spektrin avulla NOx pitoisuuden nousua, mutta tällä ei kuitenkaan pystytä ennustamaan. Kuvan 6 spektri on otettu ajanhetkeltä jolloin NOx pitoisuus on jo noussut ja näkynyt mittauksissa. Spektri on otettu sekunnin ajalta ja sekuntia aikaisemmin otetussa spektrissä ei näkynyt vielä muutoksia. Spektrin avulla voisi kuitenkin olla mahdollista tunnistaa kattilassa olevia palamistilanteita, jonka avulla palamisen hallintaa pystyttäisiin parantamaan. Samoilta aikaväleiltä otetut tulipesän lämpötilan spektrit (kuvat 7 ja 8) näyttävät keskenään aivan samoilta, joten tulipesän lämpötilamittauksesta ei ole apua tässä yhteydessä. Tämä voi johtua esimerkiksi siitä, että kyseessä voi olla pt anturi, joka reagoi suhteellisen hitaasti lämpötilan muutoksiin. 3
14 3 NOx pitoisuus ajan funktiona NOx pitoisuus t(s) Kuva NOx pitoisuus vaihtelee voimakkaasti..55 Tulipesän paine ajan funktiona ennen NOx nousua.6.65 p t(s) Kuva 3 Tulipesän paineessa näkyy suhteellisen voimakasta heilahtelua 4
15 .5 Tulipesän paine ajan funktiona NOx nousun jälkeen..5 p t(s) Kuva 4 Paineen heilahtelu on samankaltaista kuin kuvassa 3 4 p(t):n yksipuolinen amplitudispektri ennen NOx nousua p(f) Taajuus (Hz) Kuva 5 Kuvan 3 painedataa vastaava taajuusspektri 5
16 .35 p(t):n yksipuolinen amplitudispektri NOx nousun jälkeen.3.5. p(f) Taajuus (Hz) Kuva 6 Painedata sisältää selvästi useampia taajuuksia. 8 t(t):n yksipuolinen amplitudispektri ennen NOx nousua 6 4 t(f) Taajuus (Hz) Kuva 7 tulipesän lämpötilan spektrin taajuudet ennen NOx nousua ovat keskittyneet taajuuden tuntumaan 6
17 8 t(t):n yksipuolinen amplitudispektri NOx nousun jälkeen 6 4 t(f) Taajuus (Hz) Kuva 8 Tulipesän lämpötilan spektrissä NOx nousun jälkeen taajuudet ovat keskittyneet taajuuden tuntumaan Kuvassa 9 näkyvä NOx pitoisuuden voimakas heilahtelu näkyy paineen taajuusspektrissä samaan tapaan kuin NOx pitoisuuden nousu. Kuvissa ja on tulipesän paineen spektrit ennen NOx heilahtelua ja sen aikana. Koska kuvan spektrissä näkyvä dominoiva taajuus on varsin, alhainen on syytä olettaa, että kyseessä ei ole palamisesta aiheutuva muutos. On varsin todennäköistä, että se johtuu paineeseen tulleesta muusta häiriöstä, koska samaan aikaan myös ilmavirtaukset heiluivat voimakkaasti. Kuvassa on esimerkkinä kuvan 9 NOx kuvaajan kanssa samalta ajanjaksolta otettu sekundääri ilman virtaus. 7
18 8 NOx pitoisuus ajan funktiona 6 4 NOx pitoisuus t(s) Kuva 9 NOx pitoisuus heilahtelee voimakkaasti 3.5 p(t):n yksipuolinen amplitudispektri ennen NOx heilahtelua 3.5 p(f) Taajuus (Hz) Kuva Spektri näyttää normaalilta. taajuus dominoi 8
19 p(t):n yksipuolinen amplitudispektri NOx heilahdellessa p(f) Taajuus (Hz) Kuva, Hz taajuus on dominoiva. Selkeä ero normaaliin tilanteeseen.7 Sekundääri ilman virtaus ajan funktiona ilmavirtaus t(s) Kuva Sekundääri ilmassa näkyy samankaltaista heiluntaa kuin NOx:issa 9
20 4. Regressioanalyysi Regressioanalyysissä lähtökohtana on, että pystytään luomaan malli tulipesän mittausten ja päästömittausten välille. Jos mallin luonti onnistuu, niin se pystyy ennakoimaan päästöjä ja tätä kautta antamaan tietoja palamisesta. Ongelmana on se, että malli on staattinen. Koska on todennäköistä, että tulipesän olosuhteet muuttuvat jatkuvasti, malli ei pysy muutoksissa mukana. Tämän korjaamiseksi tein funktion, joka päivittää regression tuottamaa mallia ennalta määrätyin aikavälein. Minuuttidataa käytettäessä regressiomallin inputeja ovat tulipesän paine, leijuilmamäärä, etu ja takapuolelta syötettävät sekundääri ilmat, etu ja takapuolelta syötettävät tertiääri ilmat sekä yksi petilämpötilamittaus. Ensimmäiseksi data jaetaan kahtia. Ensimmäistä puolikasta käytetään mallin luomiseen ja loppu data käytetään mallin hyvyyden tarkasteluun. Mallia luodessa toolboxin funktio piirtää kuvaajan (Kuva 3) josta valitaan releventtien muuttujien määrä eli mallin aste. PCA regression tapauksessa korkein mahdollinen mallin aste on input muuttujien määrä ja PLS:n tapauksessa sen jossa on vähemmän muuttujia. Koska käytössä on 7 input ja 4 outputmuuttujaa, PCA:n suurin asteluku on 7 ja PLS:n 4. Kuvista 4 ja 5 näkyy, että staattinen 5. asteen PCA regressio epäonnistuu täysin O ja CO päästöjen mallintamisessa. Kuitenkin käytettäessä päivittyvää mallia, joka päivittyy minuutin välein ja muodostaa mallin 5 edellisestä mittauksesta pystyy selvästi seuraamaan sekä CO, että O mittauksia kuten kuvissa 6ja 7 huomataan. Tästä voimme päätellä, että CO ja O päästöjen tuottaminen on voimakkaasti dynaaminen tapahtuma, mikä selittää staattisen mallin täydellisen epäonnistumisen.
21 Change the number of latent vectors using mouse (or press <return> if OK) % of maximun Latent vector index Kuva 3 Ominaisarvopiirroksessa ei ole missään kohtaa selkeää pudotusta, joka paljastaisi selkeästi relevanttien muuttujien määrän. Prosenttiluku kertoo, paljonko saavutettavissa olevasta maksimivariaatiosta saavutetaan tällä muuttujamäärällä. PCA O.mittauksen estimaatti verrattuna mittauksiin Measured PCA.5 O pitoisuus min Kuva 4 Estimaatti ei pysty mallintamaan O pitoisuutta savukaasuissa
22 PCA CO estimaatti verrattuna mittauksiin Measured PCA 3.5 CO pitoisuus min Kuva 5 Estimaatti ei pysty mallintamaan CO pitoisuutta savukaasuissa PCA malli halutusta muuttujasta Measured PCA Kuva 6 Jatkuvasti päivittyvä malli pystyy jollain tasolla mallintamaan O pitoisuutta savukaasussa
23 PCA malli halutusta muuttujasta 5 4 Measured PCA Kuva 7 Päivittyvä malli pystyy mallintamaan CO pitoisuutta savukaasuissa Projektityötä varten tehty hyvyysfunktio laskee jokaisen mittauspisteen ja mallin tuottaman estimaatin erotuksen neliöiden keskiarvon. Lisäksi jos erotus on samanmerkkinen peräkkäisillä pisteillä, funktio rankaisee kasvattamalla virhettä. Täydellisen mallin hyvyysluku on. Hyvyysluku ei ole ainakaan suoraan vertailukelpoinen eri prosessidatojen välillä varsinkin jos näytteenottotaajuus on eri. Hyvyysluvut esitetään taulukossa. Taulukossa ei ole staattisen mallin arvoja CO eikä O pitoisuuksille, koska staattinen malli ei onnistu niiden estimoinnissa lainkaan. NOx päästö on muista mallin outputeista poikkeava siinä mielessä, että jo staattinen malli onnistui estimoimaan sitä kohtuullisella tarkkuudella, kuten kuvasta 8 näkyy. Kuvassa 8 on käytetty 7. asteen mallia. Eron huomaa kun siirrytään viidennen asteen malliin, jota käytetään kuvassa 9. Kuvan 9 mallin hyvyysluku on hieman pienempi kuin kuvan 8. Päivittyvä malli tuo selvän parannuksen estimaatin hyvyyslukuun kuten nähdään taulukossa. Kuvat 3 ja 3 havainnollistavat staattisen ja päivittyvän estimaatin eroja. 3
24 PCA NOx estimaatti verrattuna mittauksiin 4 Measured PCA 3 NOx pitoisuus min Kuva 8 Kuvan estimaatissa on käytetty 7. asteen mallia PCA NOx estimaatti verrattuna mittauksiin 4 Measured PCA 3 NOx pitoisuus min Kuva 9 Kuvassa oleva viidennen asteen mallin tuottama estimaatti on hieman tarkempi, mutta eroja on vaikea huomata 4
25 PCA NOx estimaatti verrattuna mittauksiin 3.5 Measured PCA NOx pitoisuus min Kuva 3 Staattinen malli ylittää mittausarvon selkeästi.5 PCA malli halutusta muuttujasta Measured PCA Kuva 3 Päivittyvä malli onnistuu seuraamaan NOx mittausta selvästi paremmin 5
26 PCA CO O NOx 7. asteen staattinen malli x x, asteen staattinen malli x x, asteen päivittyvä malli,864,8686,768 PLS 4. asteen staattinen malli x x, asteen päivittyvä malli 3,4655,7768,787 Taulukko Mallien hyvyyslukuja Staattinen PLS regressiomalli tuotti yhtä huonon tuloksen CO ja O mittauksien estimoinnissa kuin PCA regressio. Kuvista katsottaessa NOx malli näyttää yhtä hyvältä sekä PCA, että PLS regressioilla. Hyvyysluvut ovat myös hyvin lähellä toisiaan, kuten taulukosta näkyy. PCA on aavistuksen parempi NOx estimoinnissa ja PLS on parempi O estimoinnissa. CO estimoinnissa on selkeä ero PCA mallin eduksi. Tämä voisi indikoida sitä, että CO ei korreloi suoraan minkään inputin kanssa, mutta niiden variansseista löytyy tietoa kyseisestä muuttujasta. Silmämääräisen analyysin perusteella voidaan sanoa mallin pitävän hyvin paikkaansa jos hyvyysluku on alle,5. Sekuntidatan regressioanalyysissä käytetään pitkälti samoja input muuttujia kuin minuuttidatalla: Tulipesän paine vasen, tulipesän paine oikea, sekundääri ilman paine, leijuilmamäärä, sekundääri ilman virtaus vasemmalta ja oikealta, tertiääri ilman virtaus vasemmalta ja oikealta, 3 tulipesän lämpötilamittausta sekä 6 petilämpötilan mittausta. Mittauksia on yhteensä 7. Output muuttujat ovat kolme happimittausta, CO mittaus ja NOx mittaus. PCA mallin suurin asteluku on siis 7 ja PLS mallin 5. Suuren inputmäärän vuoksi kokeilin myös karsia input määrää kahdeksaan. Poistin inputeista 3 petilämpötilan mittausta tulipesän lämpötilamittausta, sekundääri ilman painemittauksen, toisen sekundääri ja tertiääri ilman virtausmittauksesta ja toisen tulipesän painemittauksen. Minuuttidatasta poiketen staattinen PCA regressiomalli pystyi mallintamaan jollain tarkkuudella O ja CO mittauksia kuten kuvista 3 ja 33 näkyy. Tosin CO mittauksen seuraaminen on varsin heikkoa. Vastaavat tulokset saatiin myös PLS regressiolla. Kuvissa käytetään 5. asteen mallia. Staattinen malli pystyy seuraamaan NOx päästömittausta kohtuullisen hyvin(kuva 34), kuten jo minuuttidata osoitti. Kuvissa 35, 36 ja 37 näkyvät päivittyvät PCA mallit toimivat varsin hyvin. Näiden hyvyysluku pienenee selvästi verrattuna staattisiin malleihin, kuten taulukosta näkyy. Päivittyvän mallin tuottamassa estimaatissa on usein varsin voimakasta heilahtelua. Tätä voi korjata ottamalla malli pidemmältä aikaväliltä, mutta tällöin malli ei seuraa nopeita muutoksia niin hyvin. 6
27 5 4 PCA O.mittauksen estimaatti verrattuna mittauksiin Measured PCA 3 O pitoisuus s Kuva 3Staattinen PCA regressio pystyy mallintamaan happimittausta jollain tarkkuudella 4 8 PCA CO estimaatti verrattuna mittauksiin Measured PCA CO pitoisuus s Kuva 33 Staattinen malli pysy huonosti CO mittauksen perässä 7
28 8 6 PCA NOx estimaatti verrattuna mittauksiin Measured PCA 4 NOx pitoisuus s Kuva 34 Staattinen PCA estimaatti pysyy suhteellisen hyvin NOx mittauksen perässä PCA malli halutusta muuttujasta Measured PCA s x 4 Kuva 35 Päivittyvä PCA estimoi O mittausta hyvin 8
29 PCA malli halutusta muuttujasta 4 Measured PCA s x 4 Kuva 36 Päivittyvä PCA malli pystyy seuraamaan CO mittausta, mutta siinä esiintyy ei toivottua värähtelyä. PCA malli halutusta muuttujasta 4 Measured PCA s x 4 Kuva 37 Päivittyvä PCA malli seuraa NOx pitoisuutta hyvin 9
30 PCA O CO Nox 7 input muuttujaa:. asteen staattinen malli,9 5,7,6 7 input muuttujaa: 5. asteen staattinen malli,34 5,8,93 7 input muuttujaa: 7. asteen staattinen malli,48 5,68,945 7 input muuttujaa: päivittyvä 5. asteen malli,334,939,43 8 input muuttujaa: staattinen malli,4 4,665, 8 input muuttujaa: päivittyvä malli,39,389,394 Taulukko PCA mallien tuottamia hyvyyslukuja. Muuttujien vähentämisellä onnistuttiin parantamaan CO ja NOx estimaatteja. Mallin asteluvulla ei ollut suurta merkitystä tuloksiin Pienentämällä input muuttujien määrää onnistuttiin parantamaan sekä CO, että NOx estimointia. O estimaatin tulos on kuitenkin parempi suuremmalla muuttujien määrällä. Tätä saattaa selittää jollain tavalla se, että O mittaus sijaitsee heti kattilan jälkeen, mutta CO ja NOx mittaukset ovat vasta piipussa. Piipussa olevien mittausten kannalta ei ole merkitystä tuleeko ilma kattilaan vasemmalta vai oikealta reunalta, koska savukaasu on ehtinyt sekoittua. PLS regression tuottamat kuvaajat ovat pitkälti samanlaisia kuin PCA regression avulla saadut, eikä niissä löydy silmämääräisesti eroja. Taulukossa 3 olevat hyvyyslukutulokset osoittavat kohtuullisen selkeästi, että PCA regression avulla saadut tulokset ovat jonkin verran parempia muutamaa poikkeusta lukuun ottamatta. Tämä tulos on samansuuntainen minuuttidatan avulla saadun tuloksen kanssa. Molemmilla menetelmillä saadaan hyviä tuloksia varsinkin NOx pitoisuutta ennustettaessa. Eri näytteenottotaajuuden takia hyvyyslukutuloksia ei voida vertailla minuuttidatan kanssa. PLS O CO Nox 7 input muuttujaa: 5. asteen staattinen malli, 4,464,349 7 input muuttujaa: 3. asteen staattinen malli,6 4,46,3 7 input muuttujaa: päivittyvä 3. asteen malli,649,76,585 8 input muuttujaa: staattinen malli,9 4,54,9 8 input muuttujaa: päivittyvä malli,696,8,67 Taulukko 3 Eri PLS mallien tuottamia hyvyyslukuja 5. Yhteenveto Työssä käytössä olleiden prosessidatapakettien perusteella voi sanoa, että tulipesän palamista on mahdollista havainnoida käyttämällä tulipesän omia mittauksia. Kumpikin käytetty menetelmä vaatii paljon jatkokehitystä, jotta niitä voisi soveltaa käytäntöön. Taajuusanalyysin tuloksia voidaan pitää epävarmoina, koska minuuttidatasta ei löytynyt taajuusspektrien avulla mitään ja sekuntidatassa ei ollut tarpeeksi sopivia päästöjen muutostilanteita. Todennäköisesti vasta näytteenottotaajuutta nostamalla päästään palamiseen liittyviin nopeisiin ilmiöihin kiinni. Kaikki tässä työssä taajuusanalyysillä havaitut taajuudet olivat suhteellisen alhaisia. Regressioanalyysin tulokset ovat varsin lupaavia ja erityisesti NOx päästöjä pystytään ennustamaan päivittyvällä regressiomallilla varsin tarkasti. Tässä työssä ongelmana oli 3
31 mittausten dynamiikan hitauden tuntemattomuus ja päästömittauksiin liittyvä tuntematon viive. Jos nämä kaikki tekijät pystytään ottamaan huomioon mallia tehdessä, niin tulokset paranevat selkeästi. Minuuttidatassa mittareiden dynamiikalla on pienempi merkitys, joten sitä käytettäessä saatiin aikaan tarkemmat mallit. Toinen keino tulosten parantamiseen on käyttää vain oleellisia muuttujia malleihin. Muuttujien karsimisen huono puoli on se, että palamisen muutoksen syy saattaa olla jossain muuttujassa, jota ei käytetä mallissa. Siksi saattaa olla järkevää jättää malliin myös osittain redundantteja muuttujia. 3
Sisältö. Työn lähtökohta ja tavoitteet Lyhyt kertaus prosessista Käytetyt menetelmät Työn kulku Tulokset Ongelmat ja jatkokehitys
Loppuraportti Sisältö Työn lähtökohta ja tavoitteet Lyhyt kertaus prosessista Käytetyt menetelmät Työn kulku Tulokset Ongelmat ja jatkokehitys Työn lähtökohta ja tavoitteet Voimalaitoskattiloiden tulipesässä
LisätiedotLaskuharjoitus 9, tehtävä 6
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen
LisätiedotSpektri- ja signaalianalysaattorit
Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden
LisätiedotJätteen rinnakkaispolton vuosiraportti
Jätteen rinnakkaispolton vuosiraportti 2016 1 Johdanto Tämä raportti on jätteenpolttoasetuksen 151/2013 26 :n mukainen vuosittain laadittava selvitys Pankakoski Mill Oy:n kartonkitehtaan yhteydessä toimivan
LisätiedotMitä on huomioitava kaasupäästöjen virtausmittauksissa
Mitä on huomioitava kaasupäästöjen virtausmittauksissa Luotettavuutta päästökauppaan liittyviin mittauksiin 21.8.2006 Paula Juuti 2 Kaupattavien päästöjen määrittäminen Toistaiseksi CO2-päästömäärät perustuvat
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotMIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka. Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU
MIKKELIN AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikka ja liikenne / Sähkövoimatekniikka T8415SJ Energiatekniikka Hannu Sarvelainen HÖYRYKATTILAN SUUNNITTELU HARJOITUSTYÖOHJE SISÄLLYS SYMBOLILUETTELO 3 1 JOHDANTO 4 2 TYÖOHJE
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotSAVUKAASUJEN VALVONTAKESKUS 1/6 HYDROSET ER - O2
SAVUKAASUJEN VALVONTAKESKUS /6 ER-O2- valvontakeskus on tarkoitettu höyry- ja vesikattiloiden savukaasujen valvontaan ja säätöön. Keskus tunnustelee savukaasuja Lambda-anturin ja Pt - anturin välityksellä.
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotVäliraportti: Vesipistekohtainen veden kulutuksen seuranta, syksy Mikko Kyllönen Matti Marttinen Vili Tuomisaari
Väliraportti: Vesipistekohtainen veden kulutuksen seuranta, syksy 2015 Mikko Kyllönen Matti Marttinen Vili Tuomisaari Projektin eteneminen Projekti on edennyt syksyn aikana melko vaikeasti. Aikataulujen
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
Lisätiedotf (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotVärähtelymittaus Tämän harjoituksen jälkeen:
Värähtelymittaus Tämän harjoituksen jälkeen: ymmärrät mittausvahvistimen käytön ja differentiaalimittauksen periaatteen, olet kehittänyt osaamista värähtelyn mittaamisesta, siihen liittyvistä ilmiöstä
LisätiedotS09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta
AS 0.3200 Automaatio ja systeemitekniikan projektityöt S09 04 Kohteiden tunnistaminen 3D datasta Loppuraportti 22.5.2009 Akseli Korhonen 1. Projektin esittely Projektin tavoitteena oli algoritmin kehittäminen
LisätiedotKojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1
Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Risto Taipale 20.9.2013 1 Tehtävä 1 Erään lämpömittarin vertailu kalibrointistandardiin antoi keskimääräiseksi eroksi standardista 0,98 C ja eron keskihajonnaksi
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
LisätiedotMatlab-tietokoneharjoitus
Matlab-tietokoneharjoitus Tämän harjoituksen tavoitteena on: Opettaa yksinkertaisia piirikaavio- ja yksikkömuunnoslaskuja. Opettaa Matlabin perustyökaluja mittausten analysoimiseen. Havainnollistaa näytteenottotaajuuden,
LisätiedotVirhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.
Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita
LisätiedotProjektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén
Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sonifikaatio Menetelmä Sovelluksia Mahdollisuuksia Ongelmia Sonifikaatiosovellus: NIR-spektroskopia kariesmittauksissa
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotMenetelmä Markowitzin mallin parametrien estimointiin (valmiin työn esittely)
Menetelmä Markowitzin mallin parametrien estimointiin (valmiin työn esittely) Lauri Nyman 17.9.2015 Ohjaaja: Eeva Vilkkumaa Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla
LisätiedotKurkistus soodakattilan liekkeihin
Kurkistus soodakattilan liekkeihin Esa K. Vakkilainen Lappeenrannan Teknillinen Yliopisto 1 17.8.2014 Sisältö Soodakattila mikä se on Oulusta Kymiin Mustalipeä on uusiutuva polttoaine Lipeän palaminen
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotKÄYTTÖOHJE LÄMPÖTILA-ANEMOMETRI DT-619
KÄYTTÖOHJE LÄMPÖTILA-ANEMOMETRI DT-619 2007 S&A MATINTUPA 1. ILMAVIRTAUKSEN MITTAUS Suora, 1:n pisteen mittaus a) Kytke mittalaitteeseen virta. b) Paina UNITS - näppäintä ja valitse haluttu mittayksikkö
LisätiedotTEKNIIKKA. Dieselmoottorit jaetaan kahteen ryhmään: - Apukammiomoottoreihin - Suoraruiskutusmoottoreihin
TALOUDELLISUUS Dieselmoottori on vastaavaa ottomoottoria taloudellisempi vaihtoehto, koska tarvittava teho säädetään polttoaineen syöttömäärän avulla. Ottomoottorissa kuristetaan imuilman määrää kaasuläpän
LisätiedotY Yhtälöparista ratkaistiin vuorotellen siirtofunktiot laittamalla muut tulot nollaan. = K K K M. s 2 3s 2 KK P
Säädön kotitehtävä vk3 t. 1 a) { Y =G K P E H E=R K N N G M Y Yhtälöparista ratkaistiin vuorotellen siirtofunktiot laittamalla muut tulot nollaan. G R s = Y R = GK P s 1 = KK 1 GK P K N G P M s 2 3s 2
LisätiedotIIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
LisätiedotHöyrykattilat Kattilatyypit, vesihöyrypiirin ratkaisut, Tuomo Pimiä
Höyrykattilat 2015 Kattilatyypit, vesihöyrypiirin ratkaisut, Tuomo Pimiä Kymenlaakson Höyrykattila Höyrykattilassa on tarkoituksena muuttaa vesi vesihöyryksi Kattilatyyppejä on useita Höyrykattilan rakenne
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotGREDDY PROFEC B SPEC II säätäminen
GREDDY PROFEC B SPEC II säätäminen Päätin tehdä tällaisen ohjeen, koska jotkut ovat sitä kyselleet suomeksi. Tämä on vapaa käännös eräästä ohjeesta, joka on suunnattu Evoille (joka on koettu toimivaksi
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotPinnoitteen vaikutus jäähdytystehoon
Pinnoitteen vaikutus jäähdytystehoon Jesse Viitanen Esko Lätti 11I100A 16.4.2013 2 SISÄLLYS 1TEHTÄVÄN MÄÄRITTELY... 3 2TEORIA... 3 2.1Jäähdytysteho... 3 2.2Pinnoite... 4 2.3Jäähdytin... 5 3MITTAUSMENETELMÄT...
LisätiedotTilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotPID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla
PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla Kriittisen värähtelyn menetelmä Tehtiin kuvan 1 mukainen tasavirtamoottorin piiri PID-säätimellä. Virittämistä varten PID-säätimen ja asetettiin
LisätiedotTietotekniikan valintakoe
Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tietotekniikan valintakoe 2..22 Vastaa kahteen seuraavista kolmesta tehtävästä. Kukin tehtävä arvostellaan kokonaislukuasteikolla - 25. Jos vastaat useampaan
LisätiedotData Envelopment Analysis (DEA) - menetelmät + CCR-DEA-menetelmä
Data Envelopment Analysis (DEA) - menetelmät + CCR-DEA-menetelmä Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Esityksen rakenne I osa Tehokkuudesta yleisesti DEA-mallin perusajatus CCR-painotus II osa
LisätiedotVinkkejä opettajille ja odotetut tulokset SIVU 1
Vinkkejä opettajille ja odotetut tulokset SIVU 1 Konteksti palautetaan oppilaiden mieliin käymällä Osan 1 johdanto uudelleen läpi. Kysymysten 1 ja 2 tarkoituksena on arvioida ovatko oppilaat ymmärtäneet
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotKohina. Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N)
Kohina Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N) N on suoraan verrannollinen integraatioaikaan t ja havaittuun taajuusväliin
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte
LisätiedotOhjelmistoradio tehtävät 4. P1: Ekvalisointi ja demodulaatio. OFDM-symbolien generoiminen
Ohjelmistoradio tehtävät 4 P: Ekvalisointi ja demodulaatio Tässä tehtävässä dekoodata OFDM data joka on sijotetty synknonontisignaalin lälkeen. Synkronointisignaali on sama kuin edellisessä laskutehtävässä.
Lisätiedot1 Vrms 2 Skewness 3 Kurtosis 4 Amax 5 Amin. 11 A4xbf 12 A7xbf 13 A14xbf 14 A1xrotf 15 A2xrotf. 16 A3xrotf 17 A4xrotf 18 A1to4xrotf 19 Vrms10to100
JAVO mittaukset 4..006 -Primaari-ilmapuhallin I - keruutaajuus.56 x khz, kiihtyvyysmittaus - aikasarjan talletus, T 1s, 15 min välein, 500 kertaa 8 6 4 5 7 1 'PA fan 1, motor current' 'PA fan, motor current'
LisätiedotAlipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi
Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö-
LisätiedotOhjeita opetukseen ja odotettavissa olevat tulokset
Ohjeita opetukseen ja odotettavissa olevat tulokset Ensimmäinen sivu on työskentelyyn orientoiva johdatteluvaihe, jossa annetaan jotain tietoja ongelmista, joita happamat sateet aiheuttavat. Lisäksi esitetään
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotS-114.2720 Havaitseminen ja toiminta
S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta Heikki Hyyti 60451P Harjoitustyö 2 visuaalinen prosessointi Treismanin FIT Kuva 1. Kuvassa on Treismanin kokeen ensimmäinen osio, jossa piti etsiä vihreätä T kirjainta.
LisätiedotVOIMALAITOSTEKNIIKKA MAMK YAMK Tuomo Pimiä
VOIMALAITOSTEKNIIKKA 2016 MAMK YAMK Tuomo Pimiä Voimalaitoksen säätötehtävät Voimalaitoksen säätötehtävät voidaan jakaa kolmeen toiminnalliseen : Stabilointitaso: paikalliset toimilaiteet ja säätimet Koordinointitaso:
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotGeoGebra-harjoituksia malu-opettajille
GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotEi välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
Lisätiedot3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotKIINTEÄN POLTTOAINEIDEN KATTILOIDEN PÄÄSTÖMITTAUKSIA
MITTAUSRAPORTTI 3.4.214 KIINTEÄN POLTTOAINEIDEN KATTILOIDEN PÄÄSTÖMITTAUKSIA Jarmo Lundgren LVI ja energiatekniikan insinööri Metalli ja LVI Lundgren Oy Metalli ja LVI lundgren Oy Autokatu 7 Jarmo Lundgren
LisätiedotTAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Energia- ja Prosessitekniikan laitos MUURATUN TULISIJAN ILMANJAON OPTIMOINTI Heikki Hyytiäinen, Tulisydän Oy Reijo Karvinen, TTY Kai Savolainen, TTY Pertti Taskinen, TTY
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
Lisätiedot= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus)
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 7: MEKAANINEN VÄRÄHTELIJÄ Teoriaa Vaimeneva värähdysliike y ŷ ŷ ŷ t T Kuva. Vaimeneva värähdysliike ajan funktiona.
LisätiedotTiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotTaajuusmittauskilpailu Hertsien herruus 2008. Mittausraportti
Taajuusmittauskilpailu Hertsien herruus 2008 1. MITTAUSJÄRJESTELMÄ Mittausraportti Petri Kotilainen OH3MCK Mittausjärjestelmän lohkokaavio on kuvattu alla. Vastaanottoon käytettiin magneettisilmukkaantennia
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
Lisätiedot1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:
Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 30.1.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotMittaustekniikka (3 op)
530143 (3 op) Yleistä Luennoitsija: Ilkka Lassila Ilkka.lassila@helsinki.fi, huone C319 Assistentti: Ville Kananen Ville.kananen@helsinki.fi Luennot: ti 9-10, pe 12-14 sali E207 30.10.-14.12.2006 (21 tuntia)
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedot3. kierros. 2. Lähipäivä
3. kierros. Lähipäivä Viikon aihe (viikko /) Takaisinkytketyt vahvistimet Takaisinkytkentä, suljettu säätöluuppi Nyquistin kriteeri, stabiilisuus Taajuusanalyysi, Boden ja Nyquistin diagrammit Systeemin
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotNäytesivut. Kaukolämmityksen automaatio. 5.1 Kaukolämmityskiinteistön lämmönjako
5 Kaukolämmityksen automaatio 5.1 Kaukolämmityskiinteistön lämmönjako Kaukolämmityksen toiminta perustuu keskitettyyn lämpimän veden tuottamiseen kaukolämpölaitoksella. Sieltä lämmin vesi pumpataan kaukolämpöputkistoa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotKLAPI-ILTA PUUVILLASSA 27.9.2011
KLAPI-ILTA PUUVILLASSA 27.9.2011 MANU HOLLMÉN ESITYKSEN SISÄLTÖ Aluksi vähän polttopuusta Klapikattilatyypit yläpalo alapalo Käänteispalo Yhdistelmä Vedonrajoitin Oikea ilmansäätö, hyötysuhde 2 PUUN KOOSTUMUS
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotSignaalimallit: sisältö
Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen
Lisätiedot