Palaset irroittaa toisistaan voidaan järjestää uudestaan siten, että ne muodostavat seuraavan laisen

Transkriptio

1 Seeia Torstai iboacci lukujoolla tarkoitetaa jooa, joka. ja. luku ovat ykkösiä, ja uut luvut saadaa laskealla kaksi edellistä lukua yhtee. Se o saaut iesä 00 luvulla eläee iboaccicsi kutsutu Leoardo Pisalaise ukaa. iboacci luvuista käytetää yleesä erkitää, jossa :s luku o. Jooo katsotaa joskus kuuluvaksi yös luku 0 0. iboacci jooo kuuluvista luvuista käytetää yhteisiitystä iboacci luvut. Lukujooja, jotka uodostetaa saoi kui iboacci joo, aitsi että kaksi esiäistä jäsetä voivat olla itä tahasa ositiivisia kokoaislukuja kutsutaa yleistetyiksi iboacci jooiksi. iboacci lukuihi liityy seuraavia ielekiitoisia oiaisuuksia ( ), Joka :s iboacci luku o jaollie :llä. 7. syt(, + ) 8. läheee kultaista leikkausta ku läheee ääretötä. + Oiaisuutee liittyy seuraava kuuluisa illuusio: Leikataa ruutuaerista shakkilauda kokoie, eli ruudu eliö, ja aloitellaa se seuraava kuva osoittaalla tavalla: Palaset irroittaa toisistaa voidaa järjestää uudestaa site, että e uodostavat seuraava laise kuvio: Kuvio sivut ovat 5 ja ruutua, jote se ita-alaksi saadaa 65 ruutua! Joa kua kuvio ala o siis laskettu vääri. Jälkiäie kuvio ei itse asiassa olekaa suorakaide. Se keskellä o hyvi kaea suuikkaa uotoie aukko, joka ita-ala o. Tää suuikkaa kärkiisteet ovat yötääivää A, C, D ja B. Virhee voi havaita jo siitäki, että kaaleide vioje sivuje kulakertoiet ovat erisuuruiset ( 8 ja 5 ). Virhee vaikea havaittavuus erustuu siihe, että 5, 8 ja ovat kole eräkkäistä iboacci lukua, joista keskiäise eliö oikkeaa oiaisuude ukaa yhdellä se kuallaki uolella sijaitsevie lukuje tulosta. Poikkeaa suuta riiuu siitä, oko keskiäise luvu järjestysluku arillie vai arito, ja siksi illuusio toteutuuki arhaite arillista astetta olevilla iboacci luvuilla. Illuusio tulee sitä vakuuttavaaksi, itä suureia lukuja käytetää. Esierkiksi ku valitaa luvut, ja 4, saadaa "ita-aloiksi" 44 ja 44. Suuikkaa leveydeksi tulee tällöi vai 0,4. Sao Tiesuu Kultaie leikkaus ja iboacci luvut esiityvät luoossa lähes kaikkialla. Joskus iide erkitys o selvä, kute esierkiksi kuvattaessa eläioulaatio kokoa, utta ku e löytyvät kasvi sieete lukuääristä tai iide osie kokosuhteista, yhteys äyttää lähiä sattualta. Kasveilla o kuiteki hyvät evolutiiviset erusteet oudattaa äitä lukuja. Erityisesti e ileevät saakaltaiste kasvi osie keskiäisessä sijoittuisessa eli fyllotaksiassa. Kasvie lisäksi saaa teoriaa voidaa soveltaa esierkiksi siukakuorte tälii tai uurahaiskävy suouihi. Esierkiksi aurigokuka tai äiväkakkara ykerössä sieeet äyttävät sijoittuva siraaleihi, joista toie kiertää yötääivää ja toie vastaäivää. Näide siraalie lukuäärät ovat lähes oikkeuksetta eräkkäisiä iboacci lukuja. Luvut vaihtelevat kukio koo ukaa: Keskikokoisissa aurigokuka ykeröissä o yleesä ähtävissä 4 toisee suutaa ja 55 toisee suutaa kaartuvaa siraalia. Suureissa ää luvut saattavat olla 55 ja 89, tai joa 89 ja 44. Pieeissä uolestaa ja 4 tai ja. Yleisesti, jos ykerössä äkyy siraalia yötääivää ja vastaäivää, sillä saotaa oleva (, ) fyllotaksia. Aurigokuka ykeröide o havaittu oudattava yksikertaista allia, joka ukaa jokaie kukka sijaitsee aia saassa kulassa () edellisee ähde. Tätä kulaa kutsue oikkeaakulaksi. Tällöi N:e kuka aikka voidaa ilaista aakoordiaatistosa seuraavasti: φ N, r c N, ()

2 Seeia Torstai issä φ o se ositiivise x-akseli kassa uodostaa kula ja r se etäisyys origosta. c o kukkie koosta riiuva vakio, joka äärää etäätyisoeude keskiisteestä. (Kuva ) Kaikki kukat sijaitsevat siraalilla, joka lauseke saadaa yhtälöstä (), ku N:lle aetaa kaikki ositiiviset Reaalilukuarvot. Tätä siraalia kutsue tuotatosiraaliksi. Yhtälö () esittää siraali valita o erusteltua. Tällöi kukat sijoittuvat yhtä tiheästi kaikilla etäisyyksillä keskustasta, koska ikä tahasa sätee sisää jäävie kukkie äärä o tällöi verraollie vastaava yyrä itaalaa, joka uolestaa o verraollie sätee eliöö. Tällaista siraalia kutsutaa syklotroisiraaliksi ). Tuotatosiraalille voidaa käyttää uitaki lausekkeita. Esierkiksi Arkiedee siraali, jossa r cn ataa area kuva kehittyvästä ykeröstä, jossa reuakukat ovat ideälle kehittyeitä kui kukat keskustassa. Lähes kaikissa kasveissa havaitaa oikkeaakula: () τ τ+ 7, , ) Niitys johtuu siitä, että syklotroissa kulkeva hiukkae oudattaa tätä siraalia silloi ku se oeus o ii iei, että suhteellisuusteoria voidaa jättää huoiotta. Syklotroi, ks. Seeia s issä τ 68,, eli kultaise leikkaukse suhde! Aurigokukassa äyt- täisi siis esiityvä sekä kultaie leikkaus että iboacci luvut ila itää selvää syytä. Saa iliö esiityy lehtie asettuisessa varre yäri. Lehdet äyttävät kiertävä varre yäri site, että äällekkäi osuvie lehtie väli olisi aia joki iboacci luvu iloittaa äärä lehtiä. (Itse asiassa lehdet eivät koskaa asetu täysi äällekkäi, sillä o irratioaalie.) O oia syitä siihe iksi evoluutio o suosiut äitä lukuja. Mykerössä o edullisita olla ahdollisia ota sieetä ita-alayksikköä kohti, ja lehtie tulisi sijaita ahdollisia kaukaa toisistaa, jotta e kaikki saisivat riittävästi valoa eivätkä varjostaisi toisiaa. Voidaa osoittaa, että iboacci lukuja ja kultaista leikkausta oudattaalla kasvit saavuttavat itsellee edullisia raketee. Erilaisia siraaleja Saattaa vaikuttaa oudolta, että ykerö koo kasvaessa siraalie äärä uuttuu hyäyksittäi, vaikka kasvu olisiki tasaista. Itse asiassa siraalit eivät laikaa syy ja katoa, vaa kaikki siraalisarjat ovat oleassa koko aja. Mykeröstä hahottuvat kuiteki arhaite e siraalit, joihi kuuluvat kukat koskettavat toisiaa. Tällaiste siraalie saotaa oleva yhteäisiä. Saaa siraalii kuuluvie eräkkäise kukkie järjestysueroide erotus o aia vakio. Siraalia, Kuva : Kaavakuva ykerö keskustasta. jolle tää erotus o saotaa -siraaliksi. Kukio kaikki -siraalit uodostavat -siraalisarja, jossa o riakkaista siraalia. Kaikkie tiety siraali kukkie järjestysluvut kuuluvat siis saaa jääösluokkaa (od ). Saa siraali kukkie väliatkaa vaikuttaa sätee r uutos toisesta toisee siirryttäessä. Koska r ilaistaa eliöjuurifuktiolla, tää o luoollisesti sitä ieei, itä kaueaa keskustasta kukat sijaitsevat. Etäisyytee vaikuttaa toisaalta yös kukkie välie kula. Tietyssä kulassa toisiisa ähde sijaitsevat kukat ovat sitä kaueaa toisistaa, itä kaueaa yyrä keskustasta e sijaitsevat. Näi voidaa todeta, että joki siraalisarja o äkyvissä vai tietyllä etäisyysvälillä keskustasta. Itse asiassa etäisyys keskustasta o aioa siraalie äkyvyytee vaikuttava tekijä. Esierkiksi kukkie koolla tai äärällä ei ole erkitystä. Kukio kasvaessa reua-alueelle sytyvä uude siraalisarja siraalie äärä o aia kahde edellise si- Kuva : Eri siraalisarjoihi kuuluvia siraaleja, joista jotkut ovat yhteäisiä, jotkut eivät. Kuva : Siraaleja Cadula Officialeskse ykerössä. Yleää kuvaa o erkitty kaikki - ja aleaa - siraalisarjoje siraalit. Ditriy Weise Scott Hotto Scott Hotto 9

3 Seeia Torstai Kuva 4: Kukkie sijoittuie ykerössä liittyy akkaaisogelaa. Tehokkaassa akkaaissessa tila jakaatuu ahdollisia tasaisesti kukkie keske. Kaikkei suuri akkaaistehokkuus (η 0, 869) saavutetaa oikkeaakulalla 7,5077 (vasealla). Kukat ahtuvat huooi, ku käytetää : ratioaalista aroksiaatiota 60 7, (keskellä) tai 55 irratioaalista aroksiaatiota , 979 (oikealla). 44 Kuva 5: raalisarja sua. Tää siraaleille oiaie iliö tuetaa suautuisea. Oletetaa että jollaki tietyllä etäisyysalueella ykerö keskustasta o havaittavissa yötääivää ja vastaäivää kiertävää siraalia. Näihi sarjoihi kuuluu silloi ja siraalia vastaavasti. Kuvassa 5 kukat A ja D ovat yhteydessä toisiisa aioastaa kukkie B ja C välityksellä. Kukasta A kukkaa B siirryttäessä o järjestysueroo lisättävä, ja vastaavasti B:stä D:he siirryttäessä o lukuu lisättävä. Tällöi A:sta D:he siirryttäessä o lisättävä vastaavasti +. Mykerö kasvaessa kukat siirtyvät itkittäissuuassa läheäs toisiaa, jolloi A ja D kohtaavat ja uusi siraalisarja tulee äkyvii. Tää siraalisarja eräkkäiste kukkie järjestysueroide erotus o +. Sillä etäisyydellä keskustasta, jolla + sarja kukat esiäise kerra koskettavat toisiaa, o havaittavissa kole yhteäistä siraalisarjaa. Kaueaksi siirryttäessä - ja- sarjoista ieei lakkaa oleasta yhteäie ja häviää äkyvistä. Siraalie lukuäärät eri alueilla keskustasta alkae uodostavat siis lukujoo, joka jokaie luku o kahde edellise sua. Tällaisista sarjoista yksikertaisi o iboacci joo (,,,, 5, 8,,, 4,...), joka, kute aiei todettii, esiityy yli 9%:ssa kasveista. Toiseksi yleisi o oi %:ssa taauksista esiityvä s. Lucas- 0 joo (,, 4, 7,, 8, 9, 47, 76,...), joka uodostetaa kute iboacci joo, utta lähtie luvuista ja. Syliterialli Hiea toiselaie yfllotaksia esiityy esierkiksi aaaksessa tai suovehkassa. Tässä allissa kukkie voidaa ajatella sijoittuva syliteri ialle. Ne ovat siis aia yhtä kaukaa syliteri akselista. Kukkie aikka voidaa ilaista seuraavasti: φ N, r vakio, (4) H h N issä φ, r ja H ovat kuka syliterikoordiaatit. Laskutoiituste helottaiseksi käytäe kulayksikköä radiaaeja (π 60 ). Tällöi kula lukuarvo o yhtä suuri kui yyrä kaarta itki kuljettu etäisyys syliteri ialla. Koska syliteriallissa säde o vakio, ei oikkeaakulaa () tarvitse valita site, että akkaustehokkuus olisi otiaalie illä tahasa säteellä. Itse asiassa voi olla ikä tahasa reaaliluku tietyltä väliltä. Yleesä se o kuiteki lähellä iboacci kulaa, sillä silloi fyllotaksia säilyttää tehokkuutesa, vaikka kukio uoto ja koko uuttuisivat kasvi kasvaessa, ja syliteri voi yös olla eri kohdista eri aksuie. Tästä seuraa, että yös syliterifyllotaksiassa äkyvät siraalisarjat iletävät yleesä iboacci lukuja. : valia jälkee tehtäväksi jää vielä äärittää kaava (4) uut vakiot se ukaisiksi. Kuva 4 esittää (, 5) fyllotaksiaa iletävää auki leikattua syliteriä. Eri vakioide keskiäiste suhteide äärittäisessä voidaa hyödytää kahde kukasta 0 lähtevä siraali leikkausisteide välille iirrettyä koliota ja kosiilausetta. Ne lukijat, jotka eivät halua seurata äitä ateaattisia erusteluja voivat hyätä suoraa alaotsikkoo Pakkaustehokkuus. Merkitää kuvassa esiityvistä siraalisarjoista oikealle kiertävää :llä ja vasealle kiertävää :llä. Kiertokula kukasta 0 kukkaa o ääritelä (4) ukaa φ. Tää kula voidaa ilaista kahdessa osassa: [4] + π, (5) issä o täyskierroksia ilaistua ja yöristettyä lähiää kokoaislukuu, ja π < π o 0: ja : välie todellie kula, eli itseisarvoltaa iei 0: ja : välie kula ). (Kukkie sijaiti ilaistaa syliterikoordiaatistossa, jote kulat ovat aia vaakasuutaisia ittayksiköitä ja ituusitat ystysuutaisia.) Nää yhtälöt voidaa kirjoittaa vastaavasti toiselle siraalisarjalle, ku :t korvataa :illä. Koska kukka sijaitsee kuka 0 oikealla ja vasealla uolella, o luoollisesti ositiivie ja egatiivie, sillä kukka sijoittuu aia kuka 0 vasealle ja oikealle uolelle. Koska ) Tää ääritelä ukaa, sillä tuotatosiraali uodostaa -siraalisarja aioa siraali.

4 Seeia Torstai π( + ) () Kuva 6: Auki leikattu syliteri, jolla sijaitsevat yyrät iletävät (, )-fyllotaksiaa. Syliteri saadaa, ku kuva suorakaitee oikea ja vase reua liiataa yhtee. 0-kukasta lähtevät -ja-siraalit kohtaavat kukassa, saadaa: π (6) (yhtälö o kirjoitettu väheyslaskua, sillä 0) Sijoittaalla ja yhtälöstä (5), saadaa vastaavasti: (7) Saae lisää selville siraalie geoetriasta, ku sovellae Pythagoraa lausetta kuva 6 kahtee suorakulaisee kolioo. Näi saadaa: ( r ) + ( h) ( d) (8) ( r ) + ( h) ( d) (9) issä d o kukkie halkaisija, joka o yhtä suuri kui saa siraali eräkkäiste kukkie välie etäisyys ku kukat koskettavat toisiaa. Yhtälöt voidaa ratkaista d: ja h: suhtee: d h (0) () Bioikaavaa käyttäällä () voidaa uuttaa uotoo: d ( )( ) + Yhteäiste siraalie välie kula saadaa ku erkitää - ja-siraalisarjoje välistä kulaa γ:lla, ja ku tiedetää, että kolio kata o + π, voidaa kosiilausee ukaa kirjoittaa seuraavasti: ( πr) ( d) + ( d) ( d)( d) cos γ () Kolas hyödyllie kaava o s. Heroi kaava, joka ilaisee kolio ita-ala se sivuje ituuksie avulla: A ( a)( b)( c), (4) issä a, b ja c ovat kolio sivut ja a+ b+ c, eli kolio iiri uolikas. Ku tiedetää, että kolio ala o A a( h), voidaa yhtälöstä (4) ratkaista h: ( a)( b)( c) h, (5) a Tästä voidaa ratkaista kuva 6 kolio korkeus, sillä aπr, b d, c d ja ( d+ d+ π). r Esierkki: Eräässä c aksussa kuusekävyssä havaittii suouje uodostava 8 siraalia toisee suutaa ja 5 toisee. Kahde eräkkäise suou väliatka o oi 6,. Määritä kahde eräkkäise suou välie oikkeaakula () sekä ystyoikkeaa (h). Ratkaisu: Tässä taauksessa 8 ja ) Diofatokse yhtälöllä tarkoitetaa yhtälöä, jossa käytetää aioastaa yhtee- kerto- ja otessilaskutoiituksia, ja joka kaikki vakiot ja tuteattoat ovat kokoaislukuja. Muotoa ax+byc olevaa yhtälöä kutsutaa lieaariseksi Diofatokse yhtälöksi. Se o ratkeava jos ja vai jos syt(a, b) o c: tekijä. Ku c, yhtälö ratkeaa jos ja vai jos a ja b ovat suhteellisia alkulukuja. Diofatokse yhtälöratkaiseista Eukleidee algoritilla käsitellää lukio ateatiikakurssilla "Lukuteoria ja logiikka". Kuva 7: Koealuiii (Luius olyhyllus) o tyyillie esierkks syliteri fyllotaksiasta. 5. Yhtälöstä (5) saadaa: h ( πr)( d)( d) r jossa + d + πr π, (6) , + π 0 π 0+ 40, 7, 759 sijoittaalla yt kaavaa (6) saadaa: h 0, , 60 : ratkaiseie ei ole yhtä yksikertaista. Se saadaa yhtälöstä (5), utta esi o ratkaistava Diofatokse yhtälö ) (7) sekä tai yhtälöistä (8) tai (9). Ee tarvitse yhtälö (7) kaikkia ratkaisuja; aioastaa ieiät ositiiviset ratkaisut.

5 Seeia Torstai Ne o helo arvata, utta e voidaa ratkaista yös Eukleidee algoritilla. Näi saadaa:. Yhtälöstä (8): ( d) ( h) ( r ) 0, 6858 Ku ja sijoitetaa yhtälöö (5) saadaa:, 448 9, 50 Vastaus: h 060, 9, 5 Kute havaittii uide vakioide selvittäie o elko yksikertaista ku tuetaa d, h tai, sekä yhteäiset siraalisarjat. Näitä arvoja ei kuitekaa voida valita ite tahasa. Tietty siraalisarja voi iittäi olla yhteäie vai tietyillä d:, h: ja : arvoilla. Esierkiksi h: kasvessa tareeksi suurei yhteäisistä siraalisarjoista eettää yhteäisyytesä, sillä se ja toise yhteäise siraalisarja välie kula laskee alle 60 :, jolloi kukat eivät yksikertaisesti eää ahdu vierekkäi. (h: kasvaie vastaa tavallaa kuvio veyistä ystysuuassa, aitsi että d kasvaa vastaavasti säilyttäe vierekkäiste kukkie kosketukse ikäli ahdollista.) Vastaavasti h: ieetyessä iei siraalisarja eettää yhteäisyytesä ku γ ylittää 0. h:lle ja :lle voidaa siis äärittää arvoalueet, joilla tietty siraalisarja voi olla yhteäie. Valittaessa arvot äide alueide reualta, saadaa kukat sijoittuaa site, että kole siraalisarjaa ovat yhteäisiä. Tällöi iide kaikkie väliset kulat ovat 60. Nää raja-arvot saadaa yhtälö () avulla, ku sijoitetaa γ 60. Ku tiedetää, että cos 60, saadaa: π d. + ja ku korvataa d yhtälöllä () voidaa kirjoittaa: π( ) +, + istä voidaa yhtälö (6) avulla ratkaista ja : π( + ) + π( + ) + (7) Ku :lle ja :lle aetaa ää arvot, ja ääritetää uut arvot kute edellä, saadaa fyllotaksiakuvio, jossa o yhteäistä siraalisarjaa:, ja. Toie raja, jolla yhteäiset siraalisarjat ovat, ja + saadaa vastaavasti ku γ 0. Tällöi 60 kula esiityy saoi kui edellisessä taauksessa, utta ei : ja : vaa ax {, }: ja + : välillä. Koska cos 0 saadaa vastaavasti: ja d π + + π( + ) + + π( + ) + + (8) Nyt voidaa todeta, että siraalisarjat ja voivat olla yhteäisiä jos ja vai jos ja sijaitsevat lausekkeide (7) ja (8) äärääällä suljetulla välillä. Miksi? Poikkeaakula τ valitaa voi erustella oella tavalla. Kasville olisi edullisita, että kukat tai lehdet jakautuisivat ahdollisia tasaisesti eri kula-alueide keske kukkie äärästä tai ittakaavasta riiuatta. Tää erusteella voidaa olettaa, että vartee sytyvä uusi lehti sytyy aia suuriaa oleassa olevaa rakoo kahde uu lehde välillä (a). Tasaisesta jakauasta seuraa yös, että kukat sijaitsevat ieessä ittakaavassa saoi kui suuressaki ittakaavassa. Näi o, jos uusi lehti jakaa se väli, joho se sytyy saassa suhteessa, kui jakaa täyskula (b). Näide oletuste ohjalta voidaa johtaa kula otiaalisi arvo seuraavasti: [6] Tarkastellaa varre yärille asettuvie lehtie uodostaaa kuviota ylhäältä äi. (Kuva 8a) Merkitää z:lla kahde lehde välistä kulaa kierroksia ilaistua. Toisi saoe z. z: o 60 luoollisesti oltava irratioaaliluku, sillä uutoi φ:lla voisi olla vai äärellie äärä arvoja, ikä johtaisi kukkie eätasaisee jakautuisee (kuva ). Sitä voidaa kuiteki lähestyä ratioaalisilla likiarvoilla site, että uusi arvo o aia läheää z: todellista arvoa kui edellie. Olkoo z luvu z:s likiarvo, jossa ja ovat suhteellisia alkulukuja ts. iillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Arvataa joki likiarvo z:lle ja er- kitää sitä z 0 :lla. Esi. z 0 ts. ja. Lehdet osuvat kohdakkai aia lehde välei, jolloi o kääytty yhteesä täyskierrosta (koska z, joka Kuva 8: Siirtyie z: aroksiaatiosta z arvoo z +. Kuvat o iirretty site, että 0 ja z z0. Kuvasta b äkyy, kuika lehti jakaa lehtie 0 ja väli suhteessa z : z z 0 z+ z+ z- z +

6 Seeia Torstai Kuva 9: o kokoaisluku). :s lehti osuu siis kohdakkai 0:e lehde kassa je. Lehtie kohdakkai sattuise välttäiseksi kasvatetaa likiarvoa hiea. Merkitää tätä uutta likiarvoa z + :llä. :s lehti sijoittuu tällöi ylhäältä katsottua lehde 0 ja sitä lähiä oleva lehde välii jakae se oletukse b ukaisesti suhteessa z + : z +. (huoaa, että ylhäältä katsottua 0:aa lähi lehti ei välttäättä lehti ) Tää väli suuruus o aia z (z, ku eli ku lehti uero 0 o lähiä lehteä uero ). Tällöi :e lehde kierokula ei eää olekaa 60 vaa + z 60 z + 60 ( + ) ( :e lehde aikka yyrä kehällä saadaa ku kääytää kertaa z + 60 ) Ratkaistaa z + : z + + z + + z + z + ( ) z z + Toisaalta kuiteki z , jote. () Ku valitaa z0 0 0, ii () o tosi jos ja vai jos ja ovat eräkkäisiä arillista järjestyslukua olevia iboacci lukuja. Tää oiaisuus voidaa johtaa iboacci lukuje erusoiaisuudesta (kss. 0). z: arvo saadaa, ku tiedetää, että eräkkäiste iboacci lukuje suhde läheee kultaista leikkausta, ku luvut läheevät ääretötä. z li li li + ) ) Koska + li li li li li τ τ , 5 τ Pakkaustehokkuus Kolas taa lähestyä : otiaalisita arvoa o akkaustehokkuus. Tällöi ajatellaa, että kasville olisi edullisita saada ahdollisia ota kukkaa ahtuaa tiety kokoisee ykeröö. Pakkaustehokkuudella tarkoitetaa yleisesti hyödyety ala suhdetta koko alaa, eli ykerossä kukkie yhteelasketu ita-ala suhdetta koko ykerö alaa. Keskeää saa kokoiste yyrä uotoiste kukkie fyllotaksiaa tutkittaessa voidaa kuiteki käyttää toista ääritelää, joka johtaa saoihi lukuarvoihi, utta tekee laskut heloiksi. [5] Kaava () ukaa kukkie etäisyys keskiisteestä oudattaa kaavaa r c N, sillä tällöi ykeröö ahtuvie kukkie äärä o suoraa verraollie ykerö ita-alaa. Kukat ovat siis laajassa ittakaavassa sijoittueet tasaisesti. Yleisesti voidaa saoa, että ite tahasa äärettöälle tasolle sijoittueet isteet sijaitsevat laajassa ittakaavassa tasaisesti, jos jossaki kohtaa tasolla sijaitseva yyrä sisää jäävie isteide lukuäärä suhde yyrä säteesee läheee jotaki vakiota ku yyrä säde lähestyy ääretötä. Toisi saoe o oleassa raja-arvo: r A li π, (9) r N r jossa N r o r-säteise yyrä sisää jäävie kukkie lukuäärä. Esierkiksi siraaliyfllotaksialla A o tällöi πc. Lauseke (9) voidaa tulkita site, että A o keskiääräie ita-ala kukkaa kohde. Pieessä ittakaavassa tilae o kuiteki toie. Kukat saattavat sijoittua kaikki saalle suoralle tai suurii kaukaa toisistaa olevii ryäisii ja olla silti suuressa ittakaavassa tasaisesti sijoittueita. Tällaie akkaaie ei kuitekaa ole erityise tehokasta, sillä jos kaikki kukat ovat yhtä suuria, äärää iei kahde kuka väli suuria ahdollisia koo. Itse asiassa riittää, että tarkastelee ieitä kahde kuka välistä etäisyyttä, sillä jos jossaki o kukkia keskiääräistä tiheäää akattua, iitä täytyy jossaki uualla olla keskiääräistä harveassa. Määrittelee yt akkaustehokkuude seuraavasti: η D, (0) A issä D o iei etäisyys joka voidaa itata kahde kuka keskiisteide välillä. A: ita-alatulkia erusteella (0) o yhtäitävä akkaustehokkuude itaalaääritelä kassa. Syliterifyllotaksia akkaustehokkuude äärittäie o varsi yksikertaista, sillä keskiääräie ita-ala kukkaa kohde o eljä kuka uodostaa suuikkaa ala. (ks. kuva 9) ts. A d si γ, issä 0 γ 90 o yhteäiste siraalisarjoje välie kula. Piei etäisyys kahde kuka välillä o d, ku 60 γ, utta ieeillä kulilla kukat eevät osittai äällekkäi ja väliat- kaksi saadaa η si γ ta γ ( si γ ) sillä si γ. Tällöi,kuγ 60,kuγ> 60 ta γ. si γ () η saavuttaa tällöi aksiiarvosa ku γ60 : si60 ta 0 Siraalifyllotaksialle η:ta o vaikea äärittää, utta lähteessä [5] osoitetaa, että se saa aksiiarvosa ( 5 4cos ) π π 6 τ 0,869, ku τ. Siraalifyyllotaksia akkaustehokkuus jää siis arhaiillaaki selvästi syliterisestä jälkee. O kuiteki heloa osoittaa, että jos o ratioaaliluku, ii η0. [5]

7 Seeia Torstai Ditriy Weise Sytyekaisi Vaikuttaa siis siltä, että iboacci lukuja ja kultaista leikkausta hyödytäällä kasvit voivat sijoittaa osasesa ahdollisia tehokkaasti, utta ite kasvit osaavat oudattaa äitä säätöjä? Millä tavalla kasvi äärää, että kahde eräkkäi sytyee kuka välie kula o juuri 7,5, varsiki ku ykerö kukat eivät äytä edes sytyvä yksitelle? Mistä kukka sytyessää tietää, ihi kohtaa o hetkeä aikaisei sytyyt kukka ykerö vastakkaisella laidalla? Näihi kysyyksii o kehitetty vastaukseksi useita teorioita, joista itää ei ole voitu täysi kuota. Vaikuttaaki itse asiassa siltä, että eri kasvit käyttävät eri eeteliä saa tulokse saavuttaiseksi. Jo itkää o tiedetty, että kasvie kasvuu vaikuttavat erilaiset aktivaattoreia ja ihibiittoreia toiivat horoit 5). Jokaise oksa kärkiosassa sytyy ihibiittorihoroia, joka estää yliääräiste haaroje sytyistä se lähettyville. Levitessää horoi laieee, ja se vaikutus heikkeee. Ku oksa kärki o kasvaessaa tareeksi etäätyyt lähiästä haa- Kuva 0: esierkki kierteisestä fyllotaksiksiasta (yllä) ja vastakkaisesta (alla) Ditriy Weise 4 rasta, tietylle etäisyydelle siitä sytyy uusi haara. O ehdotettu, että tää järjestelä aiheuttaisi yös haaroje siraalise asettuise, ku oleassa olevie haaroje tuottaa ihibiittori jakautuisi eätasaisesti varre itasoluko eri uolille. Tää johtaisi kuiteki korkeitaa vuorotelle varre kualleki uolelle sytyvii tai vastakkai asettuvii lehtii, jotka vuorottelevat 90 kulassa, sillä aleat lehdet sijaitsevat ii kaukaa, että e vaikuttavat lehde sytyalueesee vai vähä. Oki havaittu, että siraalista fyllotaksiaa iletävissä kasveissa esiityy lisäksi toista, aljo hitaai diffusoituvaa ihibiittorihoroia, joka toiii kasvuistee yäristössä eräälaisea uistijälkeä siitä, ihi suutaa aikaiseat lehdet ovat sytyeet. Lehde sijoittuisee vaakasuuassa vaikuttaa siis eri horoi kui ystysuuassa. Tääki horoi laieee ikkuhiljaa, jolloi vaheie lehtie vaikutus se kosetraatioo väheee. [] Mykerö fyllotaksiaa tää teoria ei sovellu. M. havaito, että ykerö keskiosa leikkaaie ois ei vaikuta fyllotaksia sytyy kuosi aikaiseat teoriat keskiistee erittäästä horoista. O yös ogelallista, että kukat sytyvät esiksi ykerö reuoille, utta osaavat silti uodostaa oikea äärä siraaleita. Erää teoria ukaa kukkie sijoittuie ääräytyy fyysise kosketukse ukaa [,,, 4, 0]. Uusi kuka alku sytyy ie tahasa, issä oleassa olevie kukkie välii jää tareeksi tilaa. Kukat työtävät toisiaa, ja yrkivät siirtyää ahdollisia etäälle uista kukista. Tällöi kukkiejärjestys voi uuttua kehitykse yöheässäki vaiheessa, etkä iide täydy heti aluksi löytää loullista aikkaasa. Toise teoria ukaa kukkie asettuie ääräytyisi keiallisesti, kute edellä aiitussa teoriassa lehtie sytyisestä. Kukkakuvio uodostuksee osallistuu kuiteki sekä aktivaattori että ihibiittori, jotka vaikuttavat 5) Aktivaattorilla tarkoitetaa aietta, joka edistää jotaki toiitoa elävässä orgaisissa, ja ihibiittorilla vastaavasti aietta, joka hidastaa toiitoa tai estää se täysi. aitsi kukkie sytyy, yös toistesa tuotatoo soluissa. Horoit äätyvät loulta tasaaiotilaa, joka äärää kukkie sytyaikat. [0, 8] Tietokoesiulaatioissa tää alli johtaa vastaavii kuvioihi, kui kosketusalliki, jote tällä erusteella o vaikea saoa kui o läheää totuutta. Kirjallisuutta Sao Tiesuu [] Adler, Irvig; A Model of Cotact Pressure i Phyllotaxis. Joural of Theoretical Biology 45: 79 (974) [] Adler, Irvig; A Model of Sace illig i Phyllotaxis. Joural of Theoretical Biology 5: (975) [] Adler, Irvig; The Coseueses of Cotact Pressure i Phyllotaxis. Joural of Theoretical Biology 65:9 77 (977) [4] owler, Deborah R.; Prusikiewicz, Preyslaw; Battjes, Johaes; A Collisio.based Model of Siral Phyllotaxis. Couter Grahics, 6, (99) [5] Haß, Helut (000); Phyllotaxis Phäoe ud Modellierug lebediger Ordug. htt:// ~odsgroe/wwwha/sirale/wwwhyllotaxis/0.hyllotaxis.htl [5] Hotto, Scott G. (000) Scott Hotto's Phyllotaxis Page, htt:// uixge.cs.uohio.edu/~hottosg/ hyllo.htl [6] Hotto, Scott G.; Syetry of Plats. Uiversity of Califoria, Sata Cruz, 999. [7] Sith College, Phyllotaxis a Iteractive Site for Matheatical Study of Plat Patter oratio, htt:// [8] Thoas, R. L.; Caell, M. G. R.; The Geerative Siral i Phyllotaxis Theory. Aals of Botay 45:7 49 (980). [9] Jea, Roger V.; Matheatical odellig i Phyllotaxis: The State of the Art. Matheatical Bioscieces 64: 7 (98) [0] Jea, Roger V.; Phyllotaxis A Systeic Stydy i Plat Morhogeesis. Cabridge Uiversity Press, 994. [] Maxyowych, R.; Erickso, R. O.; Phyllotactic chage iduced by by gibberelic acid o Xathiu Shoot Aices. Aerica Joural of Botay 64: 44 (977). [] Mitchiso, G. J.; Phyllotaxis ad the iboacci Series. Sciece96:70 75 (997). [] Nill, Karl-Heiz; (000) Phyllotaxis Helical arrageet of leaves ad staggered. htt:// eihardt/hyllo.htl [4] Prusikiewicz, Preyslaw; Lideayer, Aristid; The Algorithic Beauty ofplats. Sriger-Verlag, New York 990. [5] Ridley, J. N.; Packig Efficiecy i Suflower Heads. Matheatical Bioscieces 58:9 9 (98). [6] Vogel, Helut; A Better Way to Costruct a Suflower Head. Matheatical Bioscieces 44:79 89 (979) [7] Weise, Ditriy (998) Pricile of Miiax ad Rise Phyllotaxis (Mechaistic Phyllotaxis Model), htt:// ebers.triod.co/visath/dia/ [8] Youg, David A.; O the Diffusi Theory of Phyllotaxis. Joural of Theoretical Biology 7:4 4 (978)