GPS järjestelmän teoreettisista perusteista
|
|
- Pentti Mikkola
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos GPS jäjestelmän teoeettisista peusteista Tkt Tuomo Suntola Relatiistiset ilmiöt kellojen näyttämissä ja signaalien kulkuajoissa 1. Liikkeen ja gaitaation aikutus (aikaan) kelloihin. GPS-jäjestelmän koodinaattiaika 3. Signaalin kulkuaikaan liittyiä tekijöitä 4. Maapallo ja GPS-jäjestelmä auingon gaitaatiokehyksessä 5. Päätelmiä 1. Liikkeen ja gaitaation aikutus (aikaan) kelloihin Suppean suhteellisuusteoian keskeisenä lähtökohtana on ollut haaintokoodinaatiston kuaaminen siten, että alon nopeus ilmenee samana jokaiselle leossa tai tasaisessa liikkeessä olealle haaitsijalle. Kellojen käyntitaajuuden osalta aatimus toteutuu kun haaitsijaan nähden liikkeessä olean kelloon soelletaan Loentz muunnoksesta saataaa aikadilaatiota, ts. liikkeessä olean kellon käyntitaajuus (tai ajan kulku) haaitaan tekijällä 1 hidastuneena, missä on kellon nopeus haaitsijaan nähden. Aikadilaatio todennettiin ensimmäisen kean laboatoiokokeissa 1930-luun lopulla sähkökentässä kiihdytettyjen ionien emissioaallonpituudesta (Ies & Stilwell) ja sen jälkeen 1960-luulla monissa Mössbaue-ilmiöön peustuissa sentiugeilla tehdyissä kokeissa, kua 1. Käytetyissä koejäjestelyissä lepotilaksi oitiin määitellä maanpallon pinnan mukana pyöiä laboatoio, ilman että maapallon pyöimisestä johtuaa nopeutta summattiin eeenssiäähtelijän ja laboatoiossa liikkeessä oleien äähtelijöiden nopeuteen. Kun astaaa koe uonna 1971 tehtiin ensi ketaa apaasti maapallon gaitaatiokehyksessä lentokoneissa liikkuilla kelloilla [1,], ei maan pinnalla oleaa haaitsijaa enää oitukaan pitää lepotilassa oleana, aan liikkeen aikutus kellojen jättämiin (aikadilaatioon) suhteutui maan pyöimisliikkeen suhteen leossa oleaan kelloon, kuten kuitteelliseen pohjois- tai etelänaalla oleaan kelloon, kua. Lepotilan tulkinta synnytti tieteellisen keskustelun suhteellisuusteoian peusteista; oikeaoppinen koulukunta katsoi, että suppean suhteellisuusteoian aikadilaatio on haaitsemiseen liittyä ilmiö haaitsijaan nähden liikkeessä oleasta objektista, mikä takoittaisi, että maapallon mukana pyöiää kuan kelloa K R tulisi oida pitää leossa oleana etailukellona [3,4]. Kokeen tulos oli kuitenkin yksiselitteinen, lentokoneessa länsisuuntaan maapallon ympäi lennätetty kello K W edisti maan pinnalla oleaan kelloon K R nähden kun taas itäsuuntaan lennätetty kello K E jäi jälkeen etailukellosta K R. Haainto antoi peustan maakeskeisen inetiaalikoodinaatiston määittelylle (Eath Centeed Inetial Fame, ECI-ame). ECI-kehyksessä takasteltuna maan pinnalla olea etailukello on liikkeessä maapallon pyöimisen, ja siten kellon sijaintipaikan leeyspiiin määäämällä nopeudella. Koska kellojen jättämät todettiin kelloissa itsessään olleilla laskueilla mekitsi koetulos myös, että kellojen jättämä ei ollut yhdistettäässä ei liiketilasta tapahtuaan haaitsemiseen, aan että se oli liiketilaan ko. liikejäjestelmässä sinänsä liittyä ilmiö. 48
2 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Kello suljetussa liikejäjestelmässä maan pinnalla Eath-Centeed, Eath-Fied Fame (ECEF Fame): Maakeskeinen koodinaatisto, joka on kiinnitetty maan pyöimiseen N K 1 1 = ½ K 0 Laboatoiokokeet Ies Stillwell 1939 Mössbaue-kokeet 1960-luulla S Kua 1. Suljetussa liikejäjestelmässä liikkuan kellon aikadilaatio suhteutuu ko. liikejäjestelmän suhteen leossa oleaan kelloon. Kello liikkeessä maapallon gaitaatiokehyksessä Eath-Centeed Inetial Fame (ECI Fame): Maakeskeinen koodinaatisto, joka on iippumaton maan pyöimisestä N W ( h ) 1 ½ ( ) ω 0 W W K W K R K E E ( + ) ω E 0 1 ½ he ω R 0 1 ½ h R S K 0(h) Cesium-kellot lentokoneissa Haele, Keating 1971 Mössbaue-kokeet 1960-luulla Kua. Vapaasti maan gaitaatiokehyksessä liikkuan kellon aikadilaatio suhteutuu maan pyöimiseen nähden leossa, samassa gaitaatiopotentiaalissa oleaan kelloon. 49
3 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Edellä suoitetussa takastelussa käsiteltiin ain liikkeen aikutusta kellon käyntiin. Yleisen suhteellisuusteoian, tai ehkä oikeammin ekilenssipeiaatteen, mukaan myös kellon gaitaatiotila aikuttaa sen käyntinopeuteen, kuten myös Mössbaue-ilmiöön peustuissa kokeissa 1960-luulla ja yhtäpitäästi Haelen ja Keatingin lentokoneissa lennätetyillä Cesiumkelloilla oitiin todentaa. ECI-kehyksessä määiteltyjen liike- ja gaitaatiotilojen (gaitaatiopotentiaalin) yhteisaikutus kellon taajuuteen oidaan ilmaista kuan 3 lausekkeella GM GM 0 (, ) 0 (,0) 1 1 ½ 0 (,0) 1 ½ h missä etailukellona on maapalloon nähden kaukana leossa olea kello, jonka taajuus on, kua 3. 0 (,0) Yhtälöä (1) oidaan käyttää yleisenä lausekkeena paikallisessa liike- ja gaitaatiojäjestelmässä haaittaalle atomaaisen äähtelijän taajuudelle. Yleisen suhteellisuusteoian omalismissa yhtälö (1) saa muodon GM GM =, 0 (,0) 1 0 (,0) 1 β ½ tai gaitaatiopotentiaalin (1) () GM φ = aulla ilmaistuna muodossa φ φ (, ) = 0 (,0) 1+ β 0 (,0) 1+ ½β β (3) Yhtälöitä (1-3) oidaan soeltaa sellaisenaan satelliittien kellojen taajuuden (pope equeny) takasteluun ECI-kehyksessä, kua 4. Soellettaessa yhtälöitä maa-asemien kelloihin, on lisäksi huomioitaa maan litistyneisyydestä johtua leeysasteiippuuus gaitaatiopotentiaaliin. Gaitaation aikutus kellon käyntinopeuteen (aikaan) Eath-Centeed Inetial Fame (ECI Fame): Maakeskeinen koodinaatisto, joka on iippumaton maan pyöimisestä N GM 1 0( h ) 0 (, ) K E K W K,0 K R Yhdistetty liikkeen ja gaitaation aikutus: S K 0 GM 0, 0 (,0) 1 1 ½ h Kua 3. Massakeskuksen läheisyys hidastaa kellon taajuutta suhteessa kaukana massakeskusta oleaan etailukellon taajuuteen. 50
4 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Liikkeen ja gaitaation aikutus (aikaan) kelloihin ECI kehyksessä β = s GM φ = ( 0,0) M E nopeuseekti: ( β ) ( β ) φ,0 1 ½ gaitaatioeekti: φ 1+ ( φ,0) ( 0,0) konaiseekti: φ ( φ, ) 1+ ½ 0,0 Kua 4. Kuassa 3 esitettyä liikkeen ja gaitaation yhteisaikutusta kellotaajuuteen oidaan soeltaa sekä maan pinnalla, että satelliiteissa. Satelliitin ataliikkeen keskeiskiihtyyydellä ei ole aikutusta kellojen taajuuteen. Maapallon akiopotentiaali -geoidi φ θ = 1+ ½ θ ( ECI ) (,0) GM a 1 φθ = ( θ) ( θ) ( θ ) 1 1 J 3sin 1 P N (θ) θ θ = ωeosθ φ φ φθ = 1+ + ½ P P θ ( ECI ) (,0) φθ φ P θ = (,0) 1 ½ ECI P + ECEF ( 0) 0 S gh ( 0)( h) ( 0) 1 ECEF ECEF + h θ (θ ) os θ os 4 θ os 6 θ os 8 θ Kua 5. Naoilta päiäntasaajalle siiyttäessä maapallon litistyneisyydestä johtua säteen kasu pienentää kellojen gaitaatiohidastumaa saman ean kuin maapallon pyöimisestä johtua kehänopeuden kasu lisää liikehidastumaa (aikadilaatiota). 51
5 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Maapallon litistyneisyys aiheuttaa gaitaatiopotentiaaliin kadopolimomentin (quadupole moment), jonka aikutuksesta gaitaatiopotentiaali on leeyspiiin θ unktio GM ( 0) 1 = 1 J ( 3sin 1) (4) ( θ) ( θ) φ θ E θ missä J = (= quadupole moment oeiient), (0) on maapallon säde ekaattoilla. Leeyspiiillä θ säteelle (θ) käytetään likiaoa (θ) = os θ os 4 θ os 6 θ os 8 θ (5) missä ensimmäinen temi (90 ) = on maapallon säde naoilla. Yhtälöä (4) soeltaen saa maan pinnalla, pintaan nähden leossa olean kellon taajuuden lauseke muodon φ 1+ ½ E ( ECI ) (,0) os ( θ) θ (6) missä θ = ωe θ θ on maapallon pyöimisestä johtua nopeus ja φ E (θ ) on yhtälön (4) mukainen gaitaatiopotentiaali. Maapallon litistyneisyyden aiheuttama lisäys gaitaatiopotentiaalitemiin φ E (θ )/ maapallon säteen kasaessa päiäntasaajaa lähestyttäessä on jokseenkin yhtä suui kuin astaaa pyöimisnopeuden aiheuttama nopeustemin ½( θ /) pieneneminen, joten yhtälön (6) kahden iimeisen temin summa on akio. Maapallon akiopotentiaali -geoidi määitelläänkin yhtälöstä ( θ) Φ φe ½ akio = θ (7) josta oidaan atkaista akiopotentiaali -geoidin säde [t. yhtälö (5)] leeysasteiden unktiona, kua 5. On huomattaa, että näin määiteltyyn akiopotentiaaliin sisältyy maapallon pyöimisen antamasta liike-enegiasta johtua temi, joten akiopotentiaali Φ ei muodostu pelkästä gaitaatiopotentiaalista. Määittelystä johtuen atomikellon taajuus leossa meenpinnan kokeudella (= geoidin määäämän säteen etäisyydellä maapallon keskipisteestä) on akio [5]. Kellojen takastelu akipotentiaali-geoidilla takoittaa ECEF-kehyksen käyttöä, sillä liikeeeenssinä on tällöin maapallon pinta pyöimisliikkeineen. Kuassa 6 on eattu suppean suhteellisuusteoian tulkintaa ECEF ja ECI-kehyksissä. ECEF-kehyksessä takasteltuna aikadilaatiota soelletaan suhteelliseen nopeuteen ja kojataan kehyksen liikkeestä johtualla lisätemillä, jota nimitetään Sagna-kojaukseksi [6-8] (johtuen sen matemaattisesta samankaltaisuudesta Sagna-ilmiöön). ECI-kehyksessä takasteltuna aikadilaatiota oidaan soeltaa suoaan kellon kokonaisnopeuteen ECI = (Eath) + ω(θ), jolloin mitään lisäkojauksia ei taita. Kuassa 6 nopeus (East) takoittaa kellon maanpintaan nähden suhteellisen nopeuden itään suuntautuaa komponenttia ja ( ) sitä astaan kohtisuoaa nopeuskomponenttia. Kun kelloa kuljetaan itä länsisuunnassa maapallon ympäi nopeudella, joka on pieni maan paikalliseen pyöimisnopeuteen nähden, (East) = ECI ω(θ) = d ω(θ), oidaan kumuloitua aikadilaatio ECI-kehyksessä laskea taajuusdieenssin aikaintegaalista kuljetusaikana. Koska taajuusdieenssi on suoaan eannollinen nopeusdieenssiin, d = d, ja kuljetusaika kääntäen eannollinen nopeusdieenssiin, supistuu kuljetusnopeus (nopeusdieenssi) kumuloituan aikadilaation lausekkeesta, joka näin on kuljetusnopeudesta iippumaton. Kuassa 7 on esitetty aikadilaatio, joka syntyy kun kelloa kuljetetaan maapallon ympäi päiäntasaajaa myöten itä ja länsisuuntaan. ECEF kehyksessä takasteltuna näin saatua kellon jättämää/edistymää nimitetään Sagnasiitymäksi, jota kijallisuudessa käytetään määitelmän taoin tehtäänä kojauksena [8]. 5
6 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Siiettää kello ECI- ja ECEF kehyksissä K 0 K 1 N K 1 K 1 K 0 S ECI: ECEF: ωθ ECI 1 ½ ½, R MC + ( h ) ( East) = 1 ½, R MC ( h ) = MC 1+ ½ ½ = MC 1 ½ ωθ ( East) ωθ ( + ) + ( ) ( East) ωθ ωθ aikadilaatio aikadilaatio aikadilaatio Sagna -siitymä Kua 6. Maapallon gaitaatiokehyksessä, määätyssä gaitaatiopotentiaalissa, aikadilaatio määäytyy nopeudesta maapallon pyöimisestä apaaseen lepotilaan nähden (ECI-kehys). Jos aikadilaatio lasketaan suhteellisesta maan pintaan nähden, joudutaan tulosta kojaamaan Sagna - siitymällä. Aikadilaatio ai Sagna ilmiö? Kelloa kuljetetaan matka L = π nopeudella << ω(θ ) L Kellon näyttämä: N = ( ) T = N ECI: ωθ, [,0] 1 ECI h ω ECI h ( ½ eq ) eq ( ± eq ) d d L N N0 0 L = T = = N0 0 0 deq d eq π eq =± =± 07.4 ns [ ] eq Aikadilaatio - ketymä S ECEF: ( East) ωθ (, ) = (,0) 1 ½ ECEF h ECEF h R 0 0 N0 N ± d eq L ωeq πeq ωaeq = T = = ± = ± = ± 07.4 ns N d [ ] Sagna - siitymä Kua 7. Maapallon pyöimisnopeuteen nähden pienellä nopeudella siiettään kelloon kumuloitua aikadilaatio on ko. siitonopeudesta iippumaton. ECEF-kehyksessä takasteltuna ko. jättämää nimitetään Sagna-ilmiöksi. 53
7 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos GPS-jäjestelmän koodinaattiaika Yhtälön (5) mukaista maapallon sädettä käyttäen saadaan geoidilla kuassa 8 esitetty kellotaajuuden iippuuus leeyspiiistä. Kuassa on myös esitetty geoidilla olean eeenssikellon (MC) taajuuden eo GPS-adalla käyään kelloon sekä kuitteelliseen ääettömän kaukana leossa oleaan eeenssikelloon. GPS-adalla toteutua kellotaajuuden eo Maste-kellon taajuuteen nähden on / = Käytännössä adalleen lähetettäien GPS-satelliittien kellot iitetään ennen laukaisua käymään ketoimella hitaammin kuin Maste-kello, jolloin ne adalleen päästyään käyät samalla taajuudella kuin Maste-kello maassa. On huomattaa, että GPS-kellojen koodinaattiaika on määitelty ECI-kehyksessä aikka eeenssinä (Maste Clok) käytetään pyöiän maapallon pinnalla ECEF-kehyksessä (Eath Centeed Eath Fied) määiteltyä standadiaikaa. Tämä on jossain määin hämmentäää syy lienee lähinnä histoiallinen, sillä 1970-luulle asti maan pintaa pyöimisliikkeineen totuttiin pitämään eeenssitilana suppean suhteellisuusteoian mukaiselle aikadilaatiolle. GPSjäjestelmän koodinaattiaika astaa ECI-kehyksessä leossa maapallon pohjois- ja etelänaan gaitaatiopotentiaalissa olean kellon osoittamana aikana. Kellon käyntitaajuus satelliitin kietoadalla GPS-satelliitin ata oidaan kuata Keplein atana, jolloin kellotaajuuden gaitaatio- ja liiketemit oidaan yhdistää. Satelliittien ata pyitään saamaan mahdollisimman takoin ympyäksi, sillä eksentisyys aiheuttaa kellotaajuuteen jaksollisen häiiön kuissa 9 ja 10 esitettyjen yhtälöiden mukaisesti. Kuten kuassa 10 on haainnollistettu, aiheutuu kellon näyttämään keskimäääisestä noin 0.5%:n eksentisyydestä amplitudiltaan 11.5 ns:n suuuinen sinimuotoinen häiiö, jonka jakso on satelliitin kietoaika, 11 tuntia 58 minuuttia. Kua 11 esittää tyypillistä GPS-kellodataa, jossa puolen uookauden jaksollisuus on selästi haaittaissa. Maste-kello (MC) ja GPS-kello (,0 ) P N θ (MC) MC GM 10 (,0) 1 (,0)( ) µ s 60. k ns/ MASTER ECEF ECI P 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 S 0 90 Latitude GPS-kello ympyäadalla: 3 GM GPS = + a µ s µ s 1.6 k 38.6 k ,0 (,0)( ) MC ( ) Kua 8. Standadiaika on kiinnitetty maan akiopotentiaali -geoidilla (ECEF-kehyksessä) olean kellon taajuuteen. GPS-jäjestelmä koodinaattiaika määitellään kuitenkin ECI-kehyksessä, jonka kuitteellinen etailukello on leossa kaukana maasta (t. kua 4). 54
8 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Kellotaajuus (pope equeny) Keplein adalla ECI-kehyksessä GM (, ) 1 ½ 0,0 a M ϕ 1 1 = GM a 1 1+ eosϕ 1 = 1 + os a a ( 1 e ) ( e ϕ ) 3 GM GM GM (, ) (,0) 1 e osϕ 1 e osϕ a ϕ a a a a Kua 9. Keplein adalla olean satelliitin kellotaajuuden gaitaatio- ja liiketemit oidaan yhdistää Keplein enegiaintegaalin aulla. Radan eksentisyyden aiheuttama häiiö GPS-kelloihin E M ϕ GM 1 e osϕ ϕ a a ma min = ae 60 km e= GMe T t t os d t 11.5 e+ sin E ns 0 e= a π ( ϕ) ϕ [ ] Kua 10. Radan elliptisyys aiheuttaa satelliitin kelloon eksentisyyteen e eannollisen jaksollisen häiiön. 55
9 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Käsittelemätön GPS-kellodata kuudelle satelliitille 4 päiän aikana [m] 5 Eksentisyyttä 0,005 astaaa häiiö 30 [ns] Kua 11. Käsittelemätön GPS-kellodata (=poikkeama Maste-kellon näyttämästä) sisältää mekittään jaksollisen häiiön satelliitin kietojan (11 h 58 min) taajuudella. Jaksollisten häiiöiden mahdollinen eliminointi datasta on käyttäjän tehtää. 3. Signaalin kulkuaikaan liittyiä tekijöitä Paitsi kellojen käyntitaajuutta on myös signaalin etenemistä yksinketaisinta takastella ECI-kehyksessä, johon myös alon nopeuden oidaan ajatella suhteutuan. Signaalin ns. Sagna-iie määätään matkasta, jonka (maan pintaan nähden paikallaan olea) astaanotin etenee maapallon pyöimisestä johtuen signaalin kulkuaikana, kua 1. Sagna-nimitys peiytyy tähänkin ilmiöön maapallon pyöimisliikkeestä, iieen laskutapa on kuitenkin sama astaanottimen mikä tahansa ECI-kehyksessä tapahtuan liikkeen suhteen. Yleisen suhteellisuusteoian mukainen aika-aauuden kaaeutumisesta johtua signaalin kulkuajan piteneminen maan massan läheisyydessä tunnetaan Shapio-iieenä. Jos alon koodinaattinopeuden etailuaona käytetään maan pinnalla määiteltyä alon nopeutta on oikeampaa puhua Shapio-nopeutumasta. Shapio-eekti oidaan johtaa Shwazshildin metiikasta, kua 1. GPS-signaaleille Shapio-eekti on suuuudeltaan noin 0.07 ns, mikä astaa noin 0 mm:n etäisyyttä signaalin kulkumatkassa, kua 13. Shaipo-eektin takempi analyysi heättää kysymyksen iieen akentumisesta signaalin kulkutien adiaalisen (massasta poispäin suuntautuan) ja toisaalta kulkutien tangentiaalisen komponentin suhteen. Suhteellisuusteoian Shapio-lausekkeessa iieen ketyminen tangentiaalikomponentin suunnassa on oletettu samaksi kuin sen ketyminen adiaalisuunnassa, jolloin päädytään kuan 14 lausekkeisiin. Valon koodinaattinopeus aikuttaa kummassakin suunnassa samalla taalla, mutta aika-aauuden kaaeutumisen aiheuttamasta iiaelementin d pitenemästä johtua iieen komponentti ketyy peiaatteessa ain adiaalikomponentin osalta, kua 15. Jos tällainen kojaus huomioidaan, saa Shapio-iieen lauseke kuassa 15 esitetyn muodon. Suuuudeltaan ko. kojaus GPS-signaalin Shapio-iieeseen on nollasta neljään millimetiä edellä todettuun noin 0 mm:n iieeseen signaalitien etikaalikulmasta iippuen. 56
10 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Vastaanottimen liikkeestä johtua kojaus dt d = t otation d t = = = ± ns Sagna-iie d [ ] t (0) [ ] 6 Etäisyys m Signaalin kulkuaika t = t1 t0 = ms [ ] t (1) N t (0) dotation Vastaanottimen nopeus ECI-kehyksessä [ ] = t m Kua 1. Satelliitin etäisyyden ja signaalin kulkuajan määityksessä on huomioitaa astaanottimen liike signaalin kulkuaikana satelliitista astaanottimeen. Aika-aauuden kaaeuus ja Shapio-iie Shwazshild meti: GM d ds dt dθ θ d = sin ( 1 GM/ ) ( ϕ ) d GM dt dt os 0 φ dt φ = = δ d d d d GM = = δ t AB GSM [ ns] 0 [ mm] 1 d d d d δ d( dt) = = d d GM GM 1 dt = d = ln 3 3 Kua 13. Aika-aauuden kaaeutuminen massakeskuksen läheisyydessä hidastaa signaalin koodinaattinopeutta ja pidentää signaalin kulkutietä. 57
11 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Maapallo ja GPS-jäjestelmä auingon gaitaatiokehyksessä Kuten edellä esitetystä on käynyt ilmi aikuttaa paikallinen gaitaatiopotentiaali ja nopeus paikallisessa gaitaatiojäjestelmässä atomikellon käyntitaajuuteen. Maapallo satelliitteineen liikkuu auingon gaitaatiojäjestelmässä adalla, jonka eksentisyys on noin Tämä mekitsee, että auingon gaitaatiokehyksessä takasteltuna kaikkien jäjestelmän kellojen käyntitaajuuteen tulee uodenajasta iippua tekijä tammikuun alussa, jolloin maa on peihelipisteessään kellot käyät hitaimmin ja heinäkuun alussa, kun maa on aphelissä, nopeimmin, kuat 16 ja 17. Shapio-iie (nopeutuma) B B B AB = B A M d A A A t AB GSM 0.07 [ ns] 0 [ mm] GM B + B GM A + B + AB tab = ln 3 = 3 A + A A + B AB Kua 14. GPS-satelliiteille aika-aauuden kaaeutumisesta johtua Shapio-kojaus on noin 0.07 ns. Shapio-iie, kun tangentiaalinen iiaelementti pidetään akiona d d dϕ α ds ϕ φ t AB GSM 0.06 [ ns] 17 [ mm] GM B + B B A tab = ln 3 A + A B A Kua 15. Aika-aauuden geometinen takastelu johtaa päätelmään, että Shapio-iie on suuempi signaalin kulkutien adiaalikomponentille kuin tangentiaalikomponentille. 58
12 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Maapallo auingon gaitaatiokehyksessä Helioenti Inetial Fame: Auinkokeskeinen koodinaatisto, joka on planeettaliikkeistä iippumaton GM Eath MC 1 e os ϕ GPS ϕ a Eath ϕ GM Sun MC 1 e os Eath a Eath ϕ aeath MSun 3 GM Sun 1 Eath( a) (,0) aeath Kua 16. Auingon gaitaatiokehyksessä takasteltuna on maapallon gaitaatiokehyksessä oleien kellojen taajuuksissa maan adan eksentisyydestä johtua jaksollinen häiiö. Häiiö älittyy sekä maan pinnan että satelliittien kelloihin. B Kellon taajuus auingon gaitaatiokehyksessä ( lok ) = lok ph µ s = k lok ph µ s = k M = ± GM Sun aeath e Eath 1 Eath seond = the SI unit o time equal to the duation o peiods o the adiation oesponding to the tansition between two hypeine leels o the gound state o the aesium-133 atom. Kua 17. Maan planeettaadan eksentisyydestä johtuan jaksollisen häiiön amplitudi maan standadiajassa on noin 1.13 µs/k. 59
13 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Kuassa 16 on yhdistetty kellojen gaitaatio- liikekojaukset auingon ja maapallon gaitaatiokehyksissä. Reeenssitaajuus ( 0, ) kuassa 16 takoittaa nyt kaukana auingosta, auinkoon nähden leossa olean kuitteellisen kellon taajuutta. Maan ja satelliittien kellojen uosiaihtelu on sama, joten uodenaikaan liittyiä taajuuseoja ei kellojen älille synny. Esitetty sisäkkäisten gaitaatiokehysten ketjutus ei sellaisenaan kuulu suhteellisuusteoian omalismiin, mutta se antaa kokonaisaltaisen ja haainnollisen kuan kellotaajuuksiin aikuttaista tekijöistä. Suhteellisuusteoia on lähtökohdiltaan paikallisteoia, jota yleensä soelletaan yhdessä määitellyssä haaintokehyksessä. Auingon aikutusta GPS-jäjestelmän kelloihin on kijallisuudessa käsitelty asin ähän. Ensisijainen päätelmä on, ettei auingon gaitaatio eikä maan obitaaliliike auingon ympäi aikuta GPS-jäjestelmän kelloihin [5,6,9,10]. Päätelmä peustuu satelliittijäjestelmän takasteluun auinkoa kietäänä haaintokehyksenä, jonka auinkoa lähempänä olea euna liikkuu auinkoon nähden hitaammin kuin kauempana auinkoa olea euna. Kuten yksinketaisella laskulla oidaan osoittaa, tulisi auingon gaitaatiosta johtua gaitaatiosiitymä tällöin kumotuksi liikkeestä johtualla astakkaismekkisellä aikadilaatiosiitymällä, jolloin nettoaikutus olisi nolla, kua 18. Kuassa 16 esitetyn sisäkkäisten gaitaatiokehysten takastelu ja ECI-kehyksen ensisijaisuus elatiististen kojausten soeltamisessa eiät tue päätelmää gaitaatiosiitymää kumoaasta liiketemistä, sillä ECI-kehyksen koodinaatistosuunta on lukittu tähtiaauuteen eikä auinkoon, ts. auingosta katsottuna ECI-koodinaatisto pyöähtää uoden aikana 360 maan obitaaliliikettä astaan, mikä kumoaa edellä päätellyn nopeuseon GPS-kehyksen auinkoa lähempänä ja kauempana olean eunan älillä, kua 19. Tällöin auingon gaitaatiosiitymä jää nettoeektiksi, mikä takoittaisi auingon hetkelliseen etäisyyteen eannollista jaksollista häiiötä GPS-satelliitin kelloissa. Suuimmillaan tällainen häiiö olisi silloin, kun GPSatataso osoittaa kohti auinkoa, jolloin kellohäiiön amplitudiksi tulee noin 1 ns, mikä on jokseenkin sama kuin 0.5 %:n eksentisyyttä astaaan jaksollisen häiiön amplitudi. GPS-jäjestelmä auingon gaitaatiokehyksessä Yleisen suhteellisuusteoian tulkinta: gaitaatio- ja nopeussiitymät kumoaat toisensa ma ω min R = R0 + sin Ωsinϕ g g Sun sin Ω sinϕ 0 ( sin sinϕ ) = ω R + Ω = ωsin Ωsinϕ 0 0 = sin Ωsinϕ R gsun = sin Ωsinϕ ( β ) g = d Sun sin sin = Ω ϕ 0 Kua 18. Suhteellisuusteoian tulkinnan mukaan maan satelliittijäjestelmän nopeus auingon gaitaatiokehyksessä on suuimmillaan kun satelliitti on etäimmillään auingosta. Näin saadun nopeuden aiheuttama aikadilaatio kumoaa suuemmasta gaitaatiopotentiaalista johtuan gaitaatiosiityman. 60
14 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos ECI-kehys auingon gaitaatiokehyksessä Vaihtoehtoinen tulkinta: ECI-kehys säilyttää suuntansa heliosentisessä kehyksessä ψ ψ obital( ψ ) ω Vaihtoehtoinen tulkinta: Koska ECI-kehys on lukittu tätitaiaaseen, pyöäyttää maan kieto auingon ympäi ECI-kehystä astapäiään auinkoon nähden, mikä kompensoi ulko/sisäkehä -eektin: ω R = R0 + sin Ωsinϕ Nopeus maan adan suunnassa ψ: R 1 os sin obital = ω ψ 0 ( + Θ ψ ) otation = ω sin Θsinψ ψ = ωr total( ψ ) 0 Auingon eekti: g Sun g g Sun sin Ω sinϕ 0 [ ] t = t0 sin Ω sinϕ = 1 ns sin Ω sinϕ Kua 19. Maan ECI-kehyksen suunta on kiinnitetty tähtiaauuteen, mikä eliminoi kehyksen sisäkehän ja ulkokehän älisen nopeuseon, ja siis myös aikadilaatioeon auingon gaitaatiokehyksessä. Tällöin ECI-kehyksen kelloihin syntyy auingon gaitaatiopotentiaaliin (auingon etäisyyteen) eannollinen siitymä, mikä haaitaan ECI-jäjestelmässä kietoliikkeessä oleissa kelloissa jaksollisena häiiönä. The Eet o Sola Gaitational Potential on GPS Cloks Tom Van Flanden & Thomas B. Bahde Amy Reseah Laboatoy PAWG, Coloado Spings 1998 August 19 (last two slides updated 00 Mah 30) Conlusions (last slide) Sola potential eet does not eist in GPS data; motion is oed Uneplained 1-hou peiods oelated with Sun dietion must hae some othe eplanation No unesoled elatiity issues emain at the 1-mete leel o GPS Soue: Kua 0. GPS-kelloissa on oitu todeta auingon gaitaatiopotentiaaliin eannollinen jaksollinen häiiö, jonka syytä ei ole identiioitu. 61
15 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Auingon asemaan koeloituista häiiöhaainnoista olen löytänyt ain yhden maininnan GPS-kijallisuudessa, kua 0 [11]. Haaittua auingon asemaan koeloituaa jaksollista häiiötä pidetään selittämättömänä ilmiönä edellä esitettyyn suhteellisuusteoian tulkintaan peustuen. Tutkimuksen tekijä ahistaa, että haaittu häiiö astaa laskennallista auingon gaitaatiosiitymän suuuutta [1]. Haainto puoltaa kuissa 16 ja 19 esitettyjä ECI-kehyksen ominaisuuksiin ja sisäkkäisten gaitaatio- ja liikekehysten omalismiin peustuaa tulkintaa. Kuassa 1 on soitettu tältä pohjalta laskettu kuan 19 mukainen maksimihäiiö an Flandenin GPS-siuillaan julkaisemaan, suuimman auingon asemaan koeloituan häiiön sisältämään GPS-dataan, josta satelliitin adan eksentisyyteen liittyä häiiö on poistettu. Auingon gaitaation mahdollisella aikutuksella satelliittikelloihin on teoeettisessa mielessä eittäin suui mekitys kokonaisuuden takasteluun. Koska maa-asemien kellot käyttäytyät gaitaatiopotentiaalin ja liikkeen suhteen ECI-kehyksessä samalla taoin kuin satelliittikellot, mekitsisi se, että myös maa-asemien kelloissa olisi löydettäissä auingon gaitaatiopotentiaalista johtua jaksollinen häiiö. Koska maapallon säde on huomattaasti pienempi kuin GPS-adan säde, muodostuu maapallon pyöimisestä johtua auingon gaitaatiopotentiaalin heilahtelu maa-asemilla pienemmäksi kuin se muodostuu GPS-satelliiteilla. Vastaaasti kuitenkin kelloiheen integointiaika maa-asemien kelloissa on kaksinketainen GPSsatelliittikelloihin nähden, joten maksimissaan (päiäntasaajalla) maa-aseman kellon auinkohäiiölle saadaan lauseke d( VE.. + ) t t 5.8 [ ns] sin π osθ sin π 365 (8) 4 h missä uookausijakson lisäksi esiintyy ekliptikan kalteuudesta johtua uosijakso sekä maa-aseman leeyspiiistä θ määäytyä amplituditekijä. Haaintoja jaksollisesta jäännöshäiiöstä Suuin haaittu, ei eksentisyyteen liittyä 1 h häiiö: satelliitti 3 Lähde: Van Flanden, Absolute GPS to bette than one mete Maksimi gaitaatiosiitymä auingon gaitaatiokehyksessä Kua 1. GPS-satelliittien tunnistamaton jaksollinen häiiö astaa huomattaalla takkuudella ECI-kehyksen ominaisuuksista pääteltyä auingon gaitaatiopotentiaalin aikutusta. 6
16 GPS-meteoologian seminaai, Ilmatieteen laitos Päätelmiä GPS-jäjestelmässä on ielä unsaasti käyttämättömiä mahdollisuuksia. Jäjestelmän kokonaistakkuus on saatu tasolle, joka mahdollistaa suhteellisessa paikannusmittauksissa millimetitason sekä hoisontaali- että etikaalisuunnassa. Absoluuttipaikannuksen ja signaalin sisältämän meteoologisen inomaation täysimittaiseksi hyödyntämiseksi tulisi signaaliin sisältyien eityisesti jaksollisten häiiöiden ysikaalinen alkupeä ja mallinnus saattaa nykyistä takemmalle tasolle. Esimekiksi kuan 1 jaksollinen jäännöshäiiö on amplitudiltaan eilut kolme metiä, mikä on yli kymmenketainen meteoologian kannalta kiinnostaaan ilmakehän kosteuden aiheuttamaan signaaliiieeseen eattuna. Takkuudeltaan ja haaintojäjestelmän kattauudeltaan GPS-jäjestelmä tajoaa myös ainutlaatuisen mahdollisuuden ysiikan ja kosmologian teoioiden ja niiden soeltamisen testaamiseen. Kijallisuusiitteet [1] Haele, J.C. and Keating, R.E., Aound-the-Wold Atomi Cloks: Pedited Relatiisti Time Gains, Siene 177 (197) 166 [] Haele, J.C. and Keating, R.E., Aound-the-Wold Atomi Cloks: Obseed Relatiisti Time Gains, Siene 177 (197) 168 [3] Shlegel, R., Relatiisti East West Eet on Aibone Cloks, Natue Phys. Si. 9 (1971) 37 [4] Haele, J.C., Reply to Shlegel, Natue Phys. Si. 9 (1971) 38 [5] Neil Ashby, Relatiisti Eets in the Global Positioning System, Pesented at the Fiteenth Intenational Coneene on Geneal Relatiity and Gaitation, Pune, India, Deembe 15-1, 1997 [6] Neil Ashby and Daid W. Allan, Patial Impliations o Relatiity o Global Coodinate Time Sale, adio Siene, 14, No.4 (1979) 649 [7] Ashby, N., Relatiity and the Global Positioning System, Physis Today, May 00 (00) 41 [8] D.W. Allan, M.A. Weiss, N. Ashby, Aound-the Wold Relatiisti Sagna Eet, Siene 8 (1985) 69 [9] Manasse, F.K., and Misne, C.W., Femi nomal oodinates and some basi onepts o dieential geomety, J.Mat.Phys., 4(6) (1963) [10] Bahde, T.B., Femi Coodinates o an Obsee Moing in a Cile in Minkowski Spae: Appaent Behaio o Cloks, Geneal Relatiity and Quantum Cosmology, [11] Van Flanden, T., Bahde, T.B., The Eet o Sola Gaitational Potential on GPS Cloks, PAWG, Coloado Spings, August , [1] Van Flanden, T. / Suntola, T., kijeenaihto, lokakuu
GPS-järjestelmän teoreettisista perusteista
GPS-meteorologian seminaari, Ilmatieteen Laitos 7.11.00 GPS-järjestelmän teoreettisista perusteista Relatiistiset ilmiöt kellojen näyttämissä ja signaalien kulkuajoissa 1. Liikkeen ja graitaation aikutus
Lisätiedotellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.
KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa
LisätiedotAjan filosofia aika fysiikassa
Luonnonfilosofian seua Tieteiden talo, Helsinki 15.9.9 Ajan filosofia aika fysiikassa Voidaanko luonnonilmiöitä kuvata absoluuttiajassa? Tuomo Suntola Luonnonfilosofian seua Tieteiden talo, Helsinki 15.9.9
LisätiedotK = Q C W = T C T H T C. c = 1 dq. f) Isokoorinen prosessi: prosessi joka suoritetaan vakiotilavuudessa
Sallitut apuvälineet: kijoitusvälineet ja gaafinen laskin. Muun oman mateiaalin tuominen ei sallittu. Tämä on fysiikan kussi, joten desimaalilleen oikeaa numeeista vastausta täkeämpää on että osoitat ymmätäneesi
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat
LisätiedotTaivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö
Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan
LisätiedotDiplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2015 Insino o rivalinnan fysiikan koe 27.5.2015, malliratkaisut
Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan
LisätiedotLiikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa
LisätiedotTapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora
VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:
LisätiedotSÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN
SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN H. Honkanen SÄHKÖMAGNEETTISEN KYTKEYTYMISEN TEORIAA Sähkömagneettinen kytkeytyminen on häiiöiden siitymistä sähkömagneettisen aaltoliikkeen välityksellä. Sähkömagneettisen
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet 2017
Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit
Lisätiedot15 0, 035 m 53 cm/s. s. 0,065kg 0,065kg 9,81m/s 4,9 N. 0,34 m
Ketaustehtäät. c) Len kietokulma on t,5 ad/s (6 s) 9 ad.. a) Ratanopeus on 5, 35 m 53 cm/s. s 3. b) Tasapainoasemassa palloon kohdistuat paino G ja langan jännitsoima T. Pallon liikehtälö on F ma. n Kun
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotNESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA
NESTEIDEN ja KSUJEN MEKNIIKK Väliaineen astus Kaaleen liikkuessa nesteessä tai kaasussa, kaaleeseen törmääät molekyylit ja aine-erot erot aiheuttaat siihen liikkeen suunnalle astakkaisen astusoiman, jonka
LisätiedotFysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)
LisätiedotOpiskeluintoa ja menestystä tuleviin valintakokeisiin!
RATKAISUT TESTIKYSYMYKSIIN Tästä löydät astaukset lääketieteen alintakoetyyppisiin testikysymyksiin. Jos osa kysymyksistä tuotti sinulle paljon päänaiaa, älä masennu, keään alintakokeeseen on ielä pitkä
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotMagneettikenttä. Magneettikenttä on magneettisen vuorovaikutuksen vaikutusalue. Kenttäviivat: Kenttäviivojen tiheys kuvaa magneettikentän voimakkuutta
Magneettikenttä Magneettikenttä on magneettisen uooaikutuksen aikutusalue Magneetti on aina dipoli. Yksinapaista magneettia ei ole haaittu (nomaaleissa aineissa). Kenttäiiat: Suunta pohjoisnaasta (N) etelänapaan
Lisätiedot( ) ( ) on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen vaikutusala). Sijoittamalla numeroarvot saadaan vapaaksi matkaksi
S-4.35, FYSIIKKA III, Syksy 00, LH, Loppuiikko 38 LH-* Laske happimolekyylin keskimääräinen apaa matka 300 K lämpötilassa ja,0 baarin paineessa. Voit olettaa, että molekyyli on pallon muotoinen ja pallon
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation
LisätiedotF-y. mrmz. - kappaleiden (vetovoima) OVE LI-TJ TT HTAVIA G HÅVITAATI O LAI TA. ltll. kappaleiden massat ovat mr ja mz (kg)
N' tö OVE L-TJ TT HTAVA G HÅVTAAT O LA TA ltll - kappaleiden (vetovoima) 111 ja ffiz vä!inen gavitaatiovoima Fon F-y mmz kappaleiden massat ovat m ja mz (kg) on kappaleiden keskipisteiden välinen etäisyys
Lisätiedot53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ
53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka
LisätiedotRATKAISUT: 15. Aaltojen interferenssi
Physica 9. paios (6) : 5. a) Ku kaksi tai useapia aaltoja eteee saassa äliaieessa, aaltoje yhteisaikutus issä tahasa pisteessä o yksittäiste aaltoje sua. b) Ku aallot kohtaaat, haaitaa iide yhteisaikutus.
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotPerusmittalaitteet 3. Yleismittari. Mittaustekniikan perusteet / luento 5. Digitaalinen yleismittari. Digitaalinen yleismittari.
Mittaustekniikan perusteet / luento 5 Perusmittalaitteet 3 Yleismittari Yleisimmin sähkötekniikassa käytetty mittalaite. Kahta perustyyppiä: Analogimittari Kiertokäämimittari Ei enää juurikaan käytössä
LisätiedotN:o 1405 3847 LIITE 1. 1. Vakuutustekniset suureet
:o 405 3847 LIIE. akuutustekniset suueet äissä peusteissa esiintyät akuutustekniset suueet oat sosiaali- ja teeysministeiön 6.0.990 eläkeakuutusyhtiöille ahistamien yleisten laskupeusteiden sekä niihin
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2013
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaisut 5 Keät 23. Aberraatio suhteellisuusteoriassa Tulkoon alo kuten tehtään kuassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: u u x ˆx + u y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. ()
LisätiedotFysiikkakilpailu , avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA
AVOIN SARJA Kijoita tekstaten koepapeiin oma nimesi, kotiosoitteesi, sähköpostiosoitteesi, opettajasi nimi sekä koulusi nimi. Kilpailuaikaa on 100 minuuttia. Sekä tehtävä- että koepapeit palautetaan kilpailun
Lisätiedotellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.
KEPLERIN LAI: (Ks. Physic 5, s. 5) Johnnes Keple (57-60) yhtyi yko Bhen (546-60) hintoineiston pohjlt etsimään tinmekniikn linlisuuksi. Keple tiiisti tutkimustyönsä kolmeen lkiins (Keplein lit). I LAKI
LisätiedotAluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4
MAB: Ympyä 4 Aluksi Tämän luvun aihe on ympyä. Ympyä on yksi geometisista peusmuodoista ja on sinulle ennestään hyvinkin tuttu. Mutta oletko tullut ajatelleeksi, että ympyää voidaan pitää säännöllisen
LisätiedotRATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike
Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä
LisätiedotRG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m
1. Johtuvia häiiöitä mitataan LISN:n avulla EN55022-standadin mukaisessa johtuvan häiiön mittauksessa. a. 20 MHz taajuudella laite tuottaa 1.5 mv suuuista häiiösignaalia. Läpäiseekö laite standadin B-luokan
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 46/2017
KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, iikko 46/07. Kuan esittämä esiskootteri etenee akioauhdilla. Veden (tihes ) sisäänotto tapahtuu pohjassa olean aakasuoran aukon kautta. Sisääntulean eden auhti on
LisätiedotDI Paul Talvio. Toimiiko GPS-järjestelmä kaikilta osin Suhteellisuusteorian
DI Paul Talvio Toimiiko GPS-järjestelmä kaikilta osin Suhteellisuusteorian mukaisesti? Alustus Luonnonfilosofian seuran tilaisuudessa 30.10.2018 1 Ajan ominaisuudet: Nykyhetki. Tapahtuma on olemassa vain
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää
Lisätiedothavainnollistaa Dopplerin ilmiötä ja interferenssin aiheuttamaa huojuntailmiötä
FYSP0 / K3 DOPPLERIN ILMIÖ Työn tavoitteita havainnollistaa Dopplerin ilmiötä ja interferenssin aiheuttamaa huojuntailmiötä harjoitella mittausarvojen poimimista Capstonen kuvaajalta sekä kerrata maksimiminimi
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään
LisätiedotPerusmittalaitteet 2. Yleismittari Taajuuslaskuri
Mittaustekniikan perusteet / luento 4 Perusmittalaitteet 2 Digitaalinen yleismittari Yleisimmin sähkötekniikassa käytetty mittalaite. Yleismittari aajuuslaskuri Huomaa mittareiden toisistaan poikkeaat
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka
LisätiedotKapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen
Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi
SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen
Lisätiedot, jossa X AF on johdon reaktanssi vikapaikkaan asti. Nyt voidaan laskea reaktanssi asemalta A vikapaikkaan F. U X
. Tiedetään, että 3-aiheisessa oikosulkuiassa ika on asemien ja älisellä johdolla ja että katkaisija on auennut asemalla. Tiedetään iallisen johdon pituus (6 km), (myötä)reaktanssi pituutta kohti (,33
LisätiedotMuuttuuko ajan kulkunopeus vai kellon värähtelytaajuus? Avril Styrman Luonnonfilosofian seuran te ta Suhteellisuusteoria
Muuttuuko ajan kulkunopeus vai kellon värähtelytaajuus? Avril Styrman Luonnonfilosofian seuran teemailta Suhteellisuusteoria 30.10.2018 Sisältö Vertaillaan Yleisen Suhteellisuusteorian (GR) ja Dynaamisen
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
LisätiedotRATKAISUT: Kertaustehtäviä
hysica 6 OETTAJAN OAS 1. painos 1(16) : Luku 1 1. c) 1 0,51 A c) 0,6 A 1 0,55 A 0,6 A. b) V B 4,0 V c) U BC,0 V b) 4,0 V c),0 V 3. a) Kichhoffin. 1 + 3 1 3 4 0,06 A 0,06 A 0 V. b) Alin lamppu syttyy. Kokonaisvita
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin ja Gaussin lait -> sähkökentän voimakkuus ja sähkövuon tiheys
ATE180 Kenttäteoian peusteet 018 1 / Tehtävä 1. Pisteessä P 1 (,, -4) sijaitsee - mc suuuinen negatiivinen vaaus ja pisteessä P (1, -4, ) on positiivinen C vaaus. Määitä positiiviseen vaaukseen vaikuttava
LisätiedotYksinkertainen korkolasku
Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua
LisätiedotVinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
Lisätiedot9 Klassinen ideaalikaasu
111 9 Klassinen ideaalikaasu 9-1 Klassisen ideaalikaasun patitiofunktio Ideaalikaasu on eaalikaasun idealisaatio, jossa molekyylien väliset keskimäääiset etäisyydet oletetaan hyvin suuiksi molekyylien
LisätiedotSatelliittipaikannus
Kolme maailmalaajuista järjestelmää 1. GPS (USAn puolustusministeriö) Täydessä laajuudessaan toiminnassa v. 1994. http://www.navcen.uscg.gov/gps/default.htm 2. GLONASS (Venäjän hallitus) Ilmeisesti 11
LisätiedotLeptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1
Mistä aine koostuu? - kaikki aine koostuu atomeista - atomit koostuvat elektroneista, protoneista ja neutroneista - neutronit ja protonit koostuvat pienistä hiukkasista, kvarkeista Alkeishiukkaset - hiukkasten
LisätiedotTähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi
Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotFy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7
Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput
LisätiedotKERTAUSTEHTÄVIEN RATKAISUT
KERTAUSTEHTÄVIEN RATKAISUT 1. Viiteen pyöähdykseen kulunut aika mitattiin neljä ketaa. Lasketaan mitattujen aikojen keskiao: 6,40 s + 6,4 s + 6,41 s + 6,41 s = 6,41s. 4 N 5 1 Pyöimisnopeus on n = = 0,8.
LisätiedotMatematiikan kurssikoe, Maa 9 Integraalilaskenta RATKAISUT Torstai A-OSA
Matematiikan kussikoe, Maa 9 Integaalilaskenta RATKAISUT Tostai..8 A-OSA Sievin lukio. a) Integoi välivaiheineen i) (x t ) dt ii) x dx. b) Määittele integaalifunktio. c) i) Olkoon 5 f(x) dx =, f(x) dx
LisätiedotASTROFYSIIKAN KAAVOJA:
ASTROFYSIIKAN KAAVOJA: Hum! Mustassa ja keltaisessa taulukssa n hieman ei lunnnakiiden aja. Mustan taulukn at at päiitettyjä aja. Useimmat alla leat suueyhtälöt at myös taulukssa: MAOL s. 4-30, 34-35,
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotCopyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
Lisätiedot11 INTERFEROMETRIA 11.1 MICHELSONIN INTERFEROMETRI
47 NTEREROMETRA Edellisessä kappaleessa takastelimme inteeenssiä. nstumentti, joka on suunniteltu inteeenssikuvion muodostamiseen ja sen tutkimiseen (mittaamiseen on ns. inteeometi. 48 Jakamisessa säteille
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotTyhjä pallosymmetrinen avaruus
Tyhjä pallosymmetinen avauus Yleisen suhteellisuusteoian yhtälöitä on helppo käsitellä silloin kun aika-avauus on lähes tasainen, tai eityisen symmetisissä tapauksissa. Tyhjä pallosymmetinen avauus on
LisätiedotPAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI
Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI Kandidaatintyö Takastaja: lehtoi Risto Silvennoinen Palautuspäivä: 16.9.2008 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotF_l/ mlmz SOVE LLU STE HTÄV Ä G RAVITAATI O LA I STA. Fon. (vetovoima) mr ja lxz välinen gravitaatiovoima. kappaleiden massat ovat mr ja mz (kg)
SOVE LLU STE HTÄV Ä G RAVITAATI O LA I STA ltl ka ppa leiden (vetovoima) m ja lxz välinen gavitaatiovoima Fon F_l/ mlmz 2 kappaleiden massat ovat m ja mz (kg) on kappaleiden keskipisteiden välinen etäisyys
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
Lisätiedot3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista
Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.
Lisätiedot5. KURSSI: Pyöriminen ja gravitaatio (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN
5 KURSSI: Pyöimie ja gaitaati (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN s s KULMASUUREET; kietkulma ϕ =, kietymä = kietkulma muuts ϕ = 360 = π ad (MAOL s 34 (34)) PYÖRIMISLIIKE φ s kulmapeus = ϕ ad ω, yksikkö:[
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotAsennus, kiertopumppu TBPA GOLD/COMPACT
I.TBPA8. Asennus, kiertopumppu TBPA GOLD/COMPACT. Yleistä Patteripiirin toisiopuolella olean kiertopumpun aulla armistetaan jäätymisahtitoiminto, kun käytetään pattereita, joissa ei ole jäätymishalkeamissuojaa.
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti (esimerkki)
KJR-00 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti (esimerkki) 1. Liikemäärän momentin taseen periaatteen soeltaminen kappalealkioon johtaa lokaaliin muotoon σ θ ( ρ r ) < 0, jossa alaindeksi tarkoittaa akiota
LisätiedotN:o 219 739 LIITE 1 ELÄKESÄÄTIÖN TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET
N:o 29 739 LT LÄKSÄÄTÖN TYÖNTKJÄN LÄKLN MUKSN LSÄLÄKVKUUTUKSN LSKUPUSTT 740 N:o 29 PUSTDN SOVLTMSLU Työntekijäin eläkelain (TL) mukaisella lisäakuutuksella tarkoitetaan tässä akuutusta, joka sisältää yhden
LisätiedotRadioyhteys: Tehtävien ratkaisuja. 4π r. L v. a) Kiinteä päätelaite. Iso antennivahvistus, radioaaltojen vapaa eteneminen.
1S1E ietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki adioyhteys: ehtävien ratkaisuja 1. Langatonta laajakaistaa tarjoavan 3.5 GHz:n taajuudella toimivan WiMAX-verkon tukiaseman lähettimen lähetysteho
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys12 Kevät 21 Jukka Maalampi LUENTO 11 Mekaaninen aaltoliike alto = avaruudessa etenevä järjestäytynyt häiriö. alto altoja on kahdenlaisia: Poikittainen aalto - poikkeamat kohtisuorassa
Lisätiedot6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia
6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa
LisätiedotAPTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET. Vahvistettu 1.11.2007, sovelletaan 15.9.2007 alkaen.
PTEEKKIE ELÄKEKSS TEL: MUKISE LISÄELÄKEVKUUTUKSE LSKUPEUSTEET Vahistettu 1.11.2007, soelletaan 15.9.2007 alkaen. ii PTEEKKIE ELÄKEKSS TEL: MUKISE LISÄELÄKE- VKUUTUKSE LSKUPEUSTEET 1. VKUUTUSTEKISET SUUEET...
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016
763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016 1. Valoa nopeampi liike (a) Sekunnissa kuvan 1(a) aaltorintama etenee 10 m. Samassa ajassa rannan ja aallon leikkauspiste etenee matkan s.
LisätiedotMekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot
Mekaniikka, osa 2 Pettu Lantto Luentokalvot peustuvat kijaan: Univesity physics, 13 th Intenational Edition H. D. Young & R. A. Feedman (Peason, 2012) 6. maaliskuuta 2017 Osa V Luku 13: Gavitaatio Gavitaatio
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotFysp240/1 Ising-malli (lyhyt raportti)
Tiia Monto Työ tehty: 19.1. tiia.monto@jyu. 7515 Fysp/1 Ising-malli (lyhyt apotti) Assistentti: Avostellaan (joko hyväksytty tai hylätty) Työ jätetty: Abstact I simulated paamagnet, feomagnet and antifeomagnet
LisätiedotTällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.
39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja
LisätiedotMittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014
Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotHARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE
HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotDEE Tuulivoiman perusteet
DEE-5300 Tuulioiman perusteet Aihepiiri 3 Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulen mittaaminen Tuulisuuden mallintaminen Weibull-jakauman hyödyntäminen DEE-5300: Tuulioiman perusteet ALBERT BETZ Theoretical
Lisätiedot