Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla.

2 . a) b) f ( ) ( ) (6) f ( ) ( ) 4 ( ) 8 9 f( ) tarkoittaa pisteen (, 6) etäisyyttä pisteestä (, ). c) Ratkaistaan yhtälö f() = ( ) 4 7 tai d) Funktion f lausekkeessa sisäfunktion 4 + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktio f saa pienimmän arvonsa, kun juurrettava saa pienimmän arvonsa. Juurrettavan pienin arvo on paraabelin huipussa, eli derivaatan nollakohdassa. D( 4 + ) = 4 4 = 0 = 4 : = Funktion f pienin arvo on f() =

3 . Juurifunktio ja -yhtälö YDINTEHTÄVÄT 0. A III B I C I ja III D I ja II E I 0. a) Funktio f on määritelty, kun juurrettava on ei-negatiivinen : ( ) 7 f ( ) ( ) 7 9 b) Funktio f on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla (juuri on pariton). f ( ) ( ) 5 8

4 0. a) 4 = 6 b) = 8 c) 0 ei ratkaisua d) 4 4

5 04. a) 4 = 6 = 7 : = 7 8 b) = 8 = 9 : ( ) = 9 c) 0 ei ratkaisua

6 05. a) = = 4 : = b) 5 5 Yhtälöllä on ratkaisuja, kun ja : ( ) Molemmat ehdot ovat voimassa välillä 5. Ratkaistaan yhtälö korottamalla se puolittain neliöön = ( + 5) + 5 = = 0 () 0 0 tai 4 4 ( ) ( 0) Ratkaisuista ainoastaan = toteuttaa ehdon 5.

7 06. a) 0 : b) 0, 0 :( ) c), > 0, eli > 0 ( ) 4 8 8

8 07. a) Koska kateettien summa on 7, toisen kateetin pituus on 7. b) Merkitään hypotenuusaa kirjaimella a. Pythagoraan lauseen mukaan a = + (7 ) a = a = a = 4 49 Jotta kyseessä olisi kolmio, tulee kummankin kateetin pituuden olla suurempi kuin 0, jolloin tulee olla 0 < < 7. c) Ratkaistaan yhtälö a = tai 4 Jos kateetin pituus on, niin toisen kateetin (7 ) pituus on 7 = 4. Jos kateetin pituus on 4, niin toisen kateetin (7 ) pituus on 7 4 =. Kateettien pituuksilla ja 4, hypotenuusan pituus on 5. Tärkeä huomata, että kumpikin :n saatu arvo ( ja 4) tuottavat toisen kateetin arvon. Kummallakin :n arvolla saadut kateettien pituudet ovat sitten samat.

9 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 08. A II B I C IV D III 09. a) 7,6 b),

10 0. a) Funktio on määritelty, kun juurrettava 4 on ei-negatiivinen : ( ) 4 Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä f() = :( ) 4 4 :( ) b) Funktion arvo kohdassa 5 on f( 5) = 4 ( 5) 9. Funktio saa arvon 5, kun f() = :( )

11 . a) Leikkauspiste on (, ). b) Määritetään leikkauspiste yhtälöstä f() =. 7 Yhtälö on määritelty, kun 7 0 ja 0 eli välillä 7. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. 7 = ( ) 7 = = 0 = tai = Ratkaisuista vain = kuuluu välille 7. Leikkauspisteen y-koordinaatti on y = =. Leikkauspiste on (, ).

12 . a) 4 + > 0 kaikilla muuttujan arvoilla. Yhtälö toteutuu, kun 4 0, eli. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen. + = (4 ) + = = 0 ( ) tai ( ) ( ) Ratkaisuista vain = täyttää ehdon. Graafisesti ratkaisu tarkoittaa käyrien y = ja y = 4 leikkauskohtaa.

13 b) Juuri on määritelty, kun 0, eli. Yhtälö on määritelty, kun 0 ja 0. Juuri 0, kun ja 0, kun. Molemmat ehdot toteutuvat, kun. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen. 9( ) = ( ) 9 9 = = 0 ( + ) = 0 = 0 tai = Molemmat ratkaisut kuuluvat välille. Graafisesti ratkaisu tarkoittaa käyrien y = ja y = leikkauskohtaa.

14 . a) tai b) 0 Neliöjuuri on määritelty kun. Myös yhtälön oikean puolen tulee olla ei-negatiivinen, joten 0, eli 0. Molemmat ehdot ovat voimassa, kun 0. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. + = = 0 4 ( 4) 49 7 (4) tai Ratkaisuista vain = toteuttaa ehdon 0.

15 4. a) b) 8, 0 ( ) , 0 ( ) ( ) ( 9) 0 0 tai a) 4 0, ( ) :9 6 9

16 b) Yhtälön oikea puoli on määritelty, kun > 0, eli kun < <. Jotta yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen, tulee olla myös 4 0. Molemmat ehdot toteutuvat, kun 0 <. ( 4 ) 9 6 ( ) 9( ) : ( 5) 9 5 tai 5 5 Ratkaisuista vain = 5 toteuttaa ehdon 0 <. c) 6 Neliöjuurilausekkeet on määritelty, kun + 6 0, eli 6 ja 0. Molemmat ehdot toteutuvat, kun 0. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. 4( + 6) = = = 4 : = 8 Ratkaisu ei toteuta ehtoa 0. Yhtälöllä ei ole ratkaisua.

17 6. a) Yhtälöllä on ratkaisu, kun 0 ja + 0, eli. Molemmat ehdot toteutuvat, kun 0. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. ( + ) = + = + = 0 ( + ) = 0 = 0 tai + = 0 4 ( ) tai Ratkaisuista = 0 ja = täyttävät ehdon 0. b) Neliöjuuri on määritelty, kun 0, eli. Yhtälöllä on ratkaisu, kun 4 0, eli. 4 Molemmat ehdot toteutuvat, kun 4. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. 6( ) = (4 ) 6 6 = = 0 (6) 40 5 tai ( 8) 4 ( 6) Ratkaisuista vain = 4 täyttää ehdon 4.

18 7. a) Rotan leposyke: h(0,) 00 70, , Hevosen leposyke: h(500) 00 4, b) Ratkaistaan yhtälö h() = 0,5h(70). 00 0, : Nisäkkään painon tulee olla noin 00 kg. 8. a) Funktio on määritelty, kun + > 0, eli >. Kohdassa = osoittaja on negatiivinen ja nimittäjä 00 on koko määrittelyjoukossa positiivinen. Funktio saa negatiivisen arvon kohdassa =. b) Funktio on määritelty, kun 6 0, eli 6. Osoittaja on aina positiivinen ja nimittäjä 0 6 on kohdassa = negatiivinen. Funktio saa negatiivisen arvon kohdassa =. c) Funktio on määritelty, kun sin 0, eli sin. Koska sin, on sin 0 kaikilla muuttujan arvoilla. Funktio f saa kohdassa = positiivisen arvon.

19 9. a) Funktio f on määritelty, kun Ratkaistaan nyt lausekkeen + 0 nollakohdat. + 0 = 0 ( + 0) = 0 = 0 tai = 0 Funktio on määritelty välillä 0 0. b) Funktio f saa suurimman arvonsa, kun juurrettava + 0 saa suurimman arvonsa. Juurrettava saa suurimman arvonsa kuvaajaparaabelin huipussa, joka on funktion nollakohtien = 0 ja = 0 puolivälissä, eli kohdassa = 5.

20 0. a) Funktio f on määritelty, kun juurrettava + 0. Ratkaistaan epäyhtälö + 0 selvittämällä, milloin funktio g() = + saa ei-negatiivisia arvoja. + = 0 ( ) 4 8 Juurrettavalla ei ole nollakohtia, joten funktio on määritelty koko reaalilukujoukossa. Juurrettavan + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Juurrettavalla ei ole suurinta arvoa, mutta sillä on pienin arvo paraabelin huipussa. Paraabelin huippu on derivaatan nollakohdassa. D( + ) = = 0 = : = Funktion f pienin arvo on f (). b) Funktio f on määritelty, kun juurrettava 0, eli kun. Funktion f lauseke voidaan kirjoittaa muodossa f () ( ). Funktio f saa suurimman ja pienimmän arvonsa, kun juurrettava 4 6 saa suurimman ja pienimmän arvonsa. Tutkitaan juurrettavan arvoja suljetulla välillä.

21 Lasketaan funktion arvo välin päätepisteissä. = : ( ) ( ) 0 0 = : 0 0 Määritetään lausekkeen 4 6 derivaatan nollakohdat. D( 4 6 ) = = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = 0 = tai = Kaikki derivaatan nollakohdat kuuluvat välille. Lasketaan funktion f arvo derivaatan nollakohdissa. = 0: = 0 = : ) 9 = : 9 Funktion f pienin arvo on 0 ja suurin arvo on 9.

22 . a) Matka poikkeamakohdasta lintutornille saadaan Pythagoraan lauseen avulla: (4 ) Reitin pituutta kuvaa funktio f() = + 8 0, missä 0 < < 4. b) Matka risteyskohdasta lintutornille saadaan Pythagoraan lauseen avulla: 4. Reitin pituutta kuvaa funktio f() = (4 ) 4, missä 0 < < 4.

23 c) Valitaan b-kohdan funktio. Ratkaistaan yhtälö f() = 5. (4 ) Kun 0 < < 4, myös + 0. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. + 4 = ( + ) + 4 = + + = = Reitin pituus on 5 km, kun poikkeamakohta on,5 km risteyksestä sillalle päin.. a) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Merkitään pistettä, jossa suunnistaja poikkeaa metsätieltä metsään (, 0). Suunnistaja kulkee metsätiellä km. Metsässä kuljettu matka y voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. y = ( ) + y =, missä 0 < <. Aika on matka jaettuna nopeudella. Aikaa kuvaava funktio on f( ),0. 0 6

24 b) 5 minuuttia on 0,5 h. Ratkaistaan yhtälö f() = 0,5. 0, , tai 0, Ratkaisuista välille 0 < < kuuluu = 0,800. Poikkeamakohta on noin 800 m origosta.. u v i j i j ( ) i ( ) j ( ) i ( ) j ( ) ( ) 6 5 u v Pituus on lyhin, kun juurrettava saa pienimmän arvonsa. Juurrettavan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on pienin arvo huipussa. Huippu on derivaatan nollakohdassa. D( ) = = 0 = Vektori u v on lyhin muuttujan arvolla =. Vektorin pituus on tällöin u v ( ) 6 ( ) 5

25 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 4. Merkitään suorakulmion -akselilla olevia kärkiä (, 0) ja (, 0). Yksikköympyrä on muotoa. Yksikköympyrän yhtälö on y + =, josta saadaan y tai y. Koska kaksi kärkeä ovat -akselin yläpuolella, ovat ne käyrällä y. Suorakulmion pinta-ala on. Ratkaistaan yhtälö 4 ( ) merkitään = t 4t 4t = 0 4t + 4t = ( 4) ( ) t 40 ( 4) 8 = = tai = Ympyrällä sijaitsevien kärkien y-koordinaatti on y. Ympyrällä sijaitsevien kärkien koordinaatit ovat, ja,.

26 5. a) Funktion kuvaajalla yhtä -koordinaatin arvoa vastaa täsmälleen yksi y-koordinaatin arvo. Ympyrällä + y = 4 esimerkiksi -koordinaatin arvoa vastaavat y-koordinaatin arvot ja. Ympyrä + y = 4 ei siis ole minkään funktion kuvaaja. b) Origokeskeisen ympyrän, jonka säde on, yhtälö on + y =. Ratkaistaan yhtälöstä y. y y 4 4 y 4 tai y 4 Kysytyt funktiot ovat f() 4 ja g() 4.

27 6. a) Yhtälön ratkaisujen tulee toteuttaa ehdo ( ) ( ) ( 64) 0 0tai 64 b) Neliöjuuri on määritelty, kun. Itseisarvo on aina einegatiivinen. Korotetaan epäyhtälö puolittain neliöön. < + < 0 ( ) < 0 : ( ) ( ) > 0 Lausekkeen ( ) arvo on aina ei-negatiivinen. Epäyhtälö toteutuu muulloin, paitsi kun ( ) = 0, eli kun =. Epäyhtälön ratkaisu on ja.

28 7. a) 4 Neliöjuurilausekkeet on määritelty, kun eli 4 ja 0. Molemmat ehdot ovat voimassa välillä 0. Neliöjuurilauseke saa vain ei-negatiivisia arvoja, joten yhtälön oikea puoli > 0. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. 4 ( ) 4 :( ) 9 4 b) 5( ) 0 5( ) Neliöjuurilausekkeet on määritelty kun 5( ) 0, eli, 0, eli ja 0, eli. Kaikki ehdot ovat voimassa kun. Koska neliöjuurilausekkeet saavat ei-negatiivisia arvoja, ovat yhtälön molemmat puolet ei-negatiivisia. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. 5( ) () () 55 ()() ()() 0 ()() 0 0 tai 0 Ratkaisuista = täyttää ehdon.

29 8. a) Pythagoraan lauseella saadaan pyramidin korkeus h. h + =6 h = 6 h = 6 Pohjan sivun pituus a saadaan myös Pythagoraan lauseella, koska pohjaneliön lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuorasti. a = + a = a = Pohjaneliön pinta-ala on a =. b) Pyramidin tilavuuden ilmaisee funktio 4 V() = Ah 6 6 (6 ), missä 0 < < 6. Funktion V arvo on suurin, kun juurrettava 4 (6 ) = saa suurimman arvonsa. Tutkitaan juurrettavan arvoja välillä 0 6. Lauseke saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Samoin funktio V. D(6 4 6 ) = = = 0 (44 6 ) = 0 = 0, = 6 tai = 6 Derivaatan nollakohdista = 0 ja = 6 kuuluvat välille 0 6. V(0) = 0 V(6) = 0 V( 6) = Tilavuus on suurin arvolla = 6, jolloin tilavuus on.

30 9. Piirretään kuva tilanteesta. Valitaan koordinaatisto siten, että reittien risteyskohta on origossa ja koordinaatistossa yksi ruudun sivu on km. Alkutilanteessa ensin mainittu vene on pisteessä (, 0) ja toinen vene pisteessä (0, ). Aikayksikössä ensin mainittu vene etenee 5 km ja toinen vene 5 km. Hetkellä ensimmäisen veneen sijainti on ( 5, 0) ja toisen veneen (0, 5). Veneiden etäisyys on d ((5) 0) (0 (5)) (5) ( 5) Veneiden etäisyys on pienin, kun juurrettava ( 5) + ( 5) = 850² 0 + saa pienimmän arvonsa. Juurrettavan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on pienin arvo huipussa. Paraabelin huippu on derivaatan nollakohdassa. D(850² 0 + ) = = 0 = 0,... (h) 70 Veneiden etäisyys on pienin, kun on kulunut 0, h = 7,4 min 7 min alkuhetkestä. Etäisyys on tällöin ( 5 ) ( 5 ) 0,7... km 70 m

31 0. a) Esimerkiksi s() = 0, koska tällöin u(s()) = 0, joka on määritelty, kun 0 0, eli 0. b) Yhdistetty funktio saa pienimmän ja suurimman arvonsa kun sisäfunktio saa pienimmän ja suurimman arvonsa. Sisäfunktio on esimerkiksi s() = + 6. Tällöin sisäfunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka pienin arvo on s(0) = 6. Tällöin u(s(0)) = 6 4. Yhdistetyllä funktiolla ei ole suurinta arvoa, koska sisäfunktiollakaan ei ole suurinta arvoa. c) Esimerkiksi s() =. Tällöin kaikilla muuttujan arvoilla u(s()) =, eli funktion pienin ja suurin arvo ovat.

32 . Juurifunktion derivaatta ja kulun tutkiminen YDINTEHTÄVÄT. a) b) f ( ) D4 4D 4 f ( ) D D D D c) 6 6 f ( ) D D D6 6 ( ). a) 0 f ( ) D( 4) D( 4) b) f ( ) 5 D ( ) 5 c) f ( ) D( )

33 . a) b) f( ) D 4 D(4 ) (4 ) D(4 ) ( ) 4 (4 ) f( ) D D( ) ( ) D( ) ( ) 4. a) b) f( ) D( ) ( ) D( ) ( ) f (0) c) f () = 0 0, kun 0 5. a) Funktio f on määritelty, kun 4 8 0, eli välillä.

34 b) Funktio f on jatkuva, kun ja derivoituva, kun >. Funktio f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [, 6] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Lasketaan funktion arvo välin päätepisteissä. c) f () f (6) Määritetään derivaattafunktion nollakohdat. f ( ) D( (48) ) (48) D(48) , : 4 Derivaatan nollakohta = kuuluu välille [, 6]. Lasketaan funktion arvo kohdassa =. f () 4 8 Funktion suurin arvo välillä [, 6] on ja pienin arvo.

35 6. Muodostetaan funktion f() = kulkukaavio derivaatan avulla. Funktio f on määritelty, kun 0. f( ) D( ) Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0, 0 : 4 Määritetään derivaatan merkki testipisteiden = 6 f () merkki + 6 ja = avulla. Kulkukaavio: Funktion f suurin arvo on f ( )

36 7. a) Funktiolla f on ääriarvokohta derivaatan nollakohdassa. Sinisellä käyrällä on pienin arvo punaisen käyrän nollakohdassa, joten sininen käyrä on funktion f kuvaaja ja punainen käyrä derivaattafunktion f kuvaaja. b) f() = 0 ja f () = 0,5 c) Funktiolla f on paikallinen minimiarvo kohdassa 0, ja minimiarvo on noin 0,. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 8. a) b) c) D( ) D( ) ( ) D D D D D

37 9. a) b) c) D D( ) D( ) D( ) ( ) D( 77) 77 D D(77) 77 (77) (77) D( ) D( )( ) D( ) ( )

38 d) D ( ) D( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 40. Funktion f muutosnopeus on derivaatan arvo. f( ) D( ) D( ) ( ) f ( )

39 4. a) Tangentin sivuamispisteen -koordinaatti on 4 ja y-koordinaatti on y = f(4) = + 4 = + =. Tangentin sivuamispiste on (4, ). Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamiskohdassa. f( ) D( ) k f(4) 4 4 Tangentin yhtälö on y ( 4) 4 y 4 y. 4 b) Tangentti ja normaali ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten niiden kulmakertoimien tulo on. Normaalin kulmakerroin on siten 4. Normaalin yhtälö on y4( 4) y46 y49.

40 4. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f( ) D( ) D( ) ( ) Kun > 0, on derivaatan lausekkeessa nimittäjä > 0. Tällöin derivaatan arvo on positiivinen ja funktio f on kasvava. 4. Funktio f on jatkuva, kun ja derivoituva, kun < <. Funktio f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä [, ] välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa. Lasketaan funktion arvo välin päätepisteissä. f f ( ) 9 ( ) 0 () 9 0 Määritetään derivaattafunktion nollakohdat. f ( ) D( (9 ) ) (9 ) ( ) ( 0) 9 9 : 9 ) tai ( )

41 Lasketaan funktion arvo derivaatan nollakohdassa. 8 8 f ( ) 9 ( ) Funktion suurin arvo välillä on ja pienin arvo.

42 44. Kirjoitetaan yhtälö muodossa 0. Yhtälöllä on yhtä monta ratkaisua, kuin funktiolla f() on nollakohtia. Tutkitaan funktion f arvoja derivaatan avulla. Funktio f on määritelty, kun 0, + 0 ja 0. Kaikki ehdot ovat voimassa, kun > 0. 4 f ( ) D( ( ) ) ( ) ( ) 4 Derivaatan lausekkeessa 0, 0 ja 4 > 0, kun > 0. Derivaatan arvo on siten positiivinen, ja funktio f on kasvava, kun > 0. Kasvavalla funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta. f ( ) ( ) 4 f () 0 Koska funktio f saa kohdissa = ja = erimerkkiset arvot, on välillä 4 4 ainakin yksi nollakohta. Koska funktio on kasvava, on nollakohtia tarkalleen yksi. Yhtälöllä on yksi ratkaisu.

43 45. a) Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälösta f() = Neliöjuuri on määritelty, kun 4 0, eli 4. Yhtälöllä voi olla ratkaisu kun 0. Molemmat ehdot ovat voimassa, kun 4. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. 4 = + 4 = 0 = + tai = Nollakohdista molemmat kuuluvat välille 4. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f( ) D((4) ) (4) 4 4 Määritetään derivaatan nollakohdat : f () merkki 0,5 + 0, f () + f()

44 Funktiolla on paikallinen maksimiarvo f ( 5 ) b) Funktio ei saa arvoa, koska sen suurin arvo on Funktio f on määritelty kun 0, eli kun. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f( ) D( ( ) ) ( ) ( ) Derivaatan lausekkeessa nimittäjässä oleva neliöjuuri saa vain positiivisia arvoja, kun < merkistä.. Derivaatan merkki riippuu vain osoittajan 0, kun ja 0, kun. Laaditaan kulkukaavio. f () + f() Funktio on kasvava välillä ja vähenevä välillä. Funktiolla on paikallinen maksimikohta =.

45 47. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. Funktio f on määritelty, kun 0 ja 6 0. Molemmat ehdot toteutuvat, kun 0 8. Funktio f on jatkuva suljetulla välillä [0, 8] ja derivoituva avoimella välillä ]0, 8[, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Lasketaan funktion f arvo välin päätepisteissä. f (0) f (8) Määritetään derivaattafunktion nollakohdat. f( ) D( 6 ) ( ) (6 ) ( ) : 4 4 Derivaatan nollakohta = 4 kuuluu välille ]0, 8[. f (4) Funktion f suurin arvo on 4 ja pienin arvo on 4.

46 48. Funktio f on määritelty, kun 0 ja 9 + 0, eli ehdot toteutuvat, kun 0. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla.. Molemmat 9 9 ) 9 8 (9 ) 9 9 f( ) 9 (9) (9) (9) (9) Derivaatan lausekkeessa nimittäjä saa vain positiivisia arvoja, kun > 0. Derivaatan merkki riippuu vain osoittajan merkistä. 9 0, kun 9 ja 9 0, kun 9 Laaditaan funktion kulkukaavio. 0 9 f () + f() Funktiolla on paikallinen maksimiarvo Funktion suurin arvo on. 6 Funktion arvo kohdassa = 0 on f ( ) f (0) Kun muuttujan arvon kasvavat kohdan = oikealla puolella, ovat 9 funktion f lausekkeen osoittaja ja nimittäjä molemmat positiivisia. Funktio f ei siis voi saada arvoa nolla pienempiä arvoja. Funktion f pienin arvo on 0.

47 49. Funktio f on määritelty, kun juurrettava + 0, eli. Tämä on laajin joukko, joka määrittelee funktion. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. D( ) ( ) Määritetään derivaatan nollakohdat. 0 : 0 Määritetään derivaatan merkki testipisteiden avulla. f () merkki 0,5 0, + 0,5 0 f () + f() Funktio on kasvava välillä 0.

48 50. Funktio f on määritelty, kun juurrettava 0, eli. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f( ) 8 4 ( ) ( ) 8 8 ( ) 0 8 Derivaatan lausekkeessa nimittäjä saa vain positiivisia arvoja, kun <, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. Osoittajan lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Laaditaan kulkukaavio = 0 ( 0 + 8) = 0 = 0 tai = 0 = f () + f() Funktio f saa pienimmän arvonsa kohdassa = 0, f(0) = 0, tai kohdassa =, f () 4 0. Molemmissa kohdissa funktion arvo on 0, joten funktio saa pienimmän arvonsa kohdissa = 0 ja =. Funktion arvo kohdassa = 4 5 on f ( 4 ) 4 6,4. Kuitenkin kun esimerkiksi =, f( ) 49 ( ) 497 f( ). 5 Johtopäätös: Funktiolla ei ole suurinta arvoa, joten ei ole kohtaa, jossa funktio saa suurimman arvonsa.

49 5. Käyrän ja -akselin välinen kulma on sama kuin -akselin leikkauspisteeseen piirretyn tangentin ja -akselin välinen kulma. a) b) Määritetään käyrän ja -akselin leikkauskohta. 0, 0 8 : 8 Määritetään derivaatan arvo leikkauspisteessä. 4 D( ) D(( ) ) ( ) Kun = 8, derivaatan arvo on Tangentin kulmakerroin -akselin leikkauspisteessä on Määritetään kulma yhtälöstä tan α = k. tan 48, Kuvaajan ja -akselin välinen kulma on,6. 6

50 5. Piirretään kuva tilanteesta. Määritetään tangentin yhtälö. Tangentti sivuaa käyrää kohdassa =. Sivuamispisteen y-koordinaatti on y. Tangentti kulkee pisteen (, ) kautta. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamiskohdassa. D( ) D( ) Kun =, derivaatan arvo on. Tangentin kulmakerroin on siis. Tangentin yhtälö on y ( ) y y. Tangentin ja y-akselin leikkauspiste on (0, ). Määritetään tangentin ja -akselin leikkauspiste. 0

51 Tangentin ja -akselin leikkauspiste on (, 0). Muodostuva kolmio on suorakulmainen kolmio, jonka kanta on ja korkeus. 9 Kolmion pinta-ala on Suora y + 5 = 0 sivuaa käyrää y = +, jos suora on käyrän tangentti, eli suoran ja käyrän leikkauspisteessä suoran kulmakerroin on sama kuin funktion + derivaatan arvo. Määritetään sivuamispiste. Sijoitetaan käyrän yhtälö y = + suoran yhtälöön ja ratkaistaan saatu yhtälö. ( ) 5 0 8tai Lasketaan derivaatan arvo sivuamiskohdassa. D( ) Kun = 8, derivaatan arvo on ja kun =, derivaatan ( 8) arvo on. 5 Suoran y + 5 = 0 eli y kulmakerroin on. Suora siis sivuaa käyrää kohdassa =.

52 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 54. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Merkitään tangentin ja -akselin leikkauspistettä A ja normaalin ja -akselin leikkauspistettä B. Merkitään P = (a, a ), a > 0. Pisteeseen P piirretyn tangentin kulmakerroin funktion f ( ) derivaatan arvo tässä pisteessä. f( ) Pisteessä P derivaatan arvo on Tangentin yhtälö: y a ( a ) a a. Tangentin ja -akselin leikkauskohta: 0 a ( a) a a a a a Tangentti leikkaa -akselin pisteessä A = ( a, 0). Tangentin ja normaalin kulmakertoimien tulo on. Normaalin kulmakerroin on a.

53 Normaalin yhtälö: y a a( a) Normaalin ja -akselin leikkauskohta: 0 a a( a) :( a) a a Normaali leikkaa -akselin pisteessä B = ( a,0). Kolmion sivut ovat pisteiden P = ( a, a ), A = ( a, 0) ja B = väliset janat. Kolmio on tasasivuinen, jos kaksi näistä janoista ovat yhtä pitkät. Määritetään sivujen pituudet. ( a,0) Sivun AB pituus: Sivun AP pituus: Sivun BP pituus: AB a ( a) a. AP ( a ( a)) ( a 0) 4a a. 4 BP ( a ( a )) ( a 0) a 4 a Kahden sivun tulee olla yhtä pitkät. AB AP a 4a a 4a a 4a a 4 a 4 Ratkaisu ei toteuta ehtoa a > 0.

54 AP BP 4a a 4a 4a a 4a 4 a a a 6a a 6 a tai a Vain ratkaisu a = 4 toteuttaa ehdon a > 0. AB BP a 4a a a 4a 4 4 4a a0 a(4a) 0 a 0taia 4 4 Kumpikaan ratkaisuista ei toteuta ehtoa a > 0. Kolmio on tasakylkinen, jos pitkät. Pisteen P koordinaatit ovat a. Tällöin sivut AP ja BP ovat yhtä 4 (, ). 4 Kylkien pituudet ovat tällöin 4a a 4 ( )

55 55. Derivaattafunktio on monotoninen, jos sen derivaatta on kaikkialla positiivinen tai negatiivinen. f( ) 4 8, 0 ( ) 8 ( f ) 8, 0 4 Funktion f termi 8 on positiivinen. Termin nimittäjä on myös 4 positiivinen, kun > 0. Kahden positiivisen luvun summa on positiivinen, joten funktio f on positiivinen, kun > 0 ja siten funktion f derivaattafunktio f on kasvava, eli monotoninen. 56.

56 Vaikuttaisi siltä, että -akselin leikkauspisteen -koordinaatin ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatin summa on. Osoitetaan havainto yleisesti. Olkoon käyrän y = ( ) tangentin sivuamispiste (a, ( a ) ). Määritetään tangentin kulmakerroin. D( ) ( ) ( ) Tangentin kulmakerroin sivuamispisteessä on Tangentin yhtälö on y( a) a ( a) a a a ( ) y a a a a y a a a a a a y a a a a. a Tangentin ja -akselin leikkauspisteen -koordinaatti:

57 a a 0 a a a : a, a a a a Tangentin ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti: y a 0 a a y a y a ( a ) Havainto on totta.

58 57. a) Symbolinen laskenta GeoGebralla: b) Piirretään funktion kuvaaja. Kuvaajasta huomataan, että kohdassa = 0 ei ole paikallista ääriarvoa. Funktio f on määritelty, kun juurrettava 0, eli ja. Koska funktio ei ole määritelty välillä < <, ei sille voi määrittää derivaattaa tällä välillä. Tällöin derivaatalla ei voi olla nollakohtaa kohdassa = 0. Opiskelijan ratkaisu ei siis ole oikein.

59 58. a) Tangentin näyttävät muodostavan suorakulmion. b) Kuvio on suorakulmio, jos kuvion vastakkaisten sivujen suuntaiset tangentit ovat yhdensuuntaiset ja kuvion kulmissa tangentit leikkaavat toisensa kohtisuorasti. Määritetään funktion f() = n kohtiin = ja = piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet. n Tangentin kulmakerroin on f ( ) n. Koska n on pariton n on parillinen. n f () n n n n f ( ) n( ) n n Funktion f kuvaajalle kohtiin = ja = piirretyt tangentit ovat yhdensuuntaiset. n n Määritetään funktion g() = kohtiin = ja = piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet. Tangentin kulmakerroin on n n g( ). n n g() n n n g( ) n n ( ) n ( ) ( ) n

60 Funktion g kuvaajalle kohtiin = ja = piirretyt tangentit ovat yhdensuuntaiset. Funktiolle f ja g kohtaan = piirrettyjen tangenttien kulmakertoimien tulo on n ( ). Tangentit leikkaavat toisensa kohtisuorasti. n Samoin kohtaan = piirretyt tangentit leikkaavat toisensa kohtisuorasti. Muodostunut kuvio on suorakulmio. 59. a) b) Derivaatta on tangentin kulmakerroin. Derivaatta kohdassa = on 0,. f( ) f() f () lim lim ( )( lim ( )( ) ( ) lim ( )( ) lim ( ) ( ) lim

61 60. Funktiolle f ei voi määrittää derivaattaa kohdassa = 0. Kuvaajasta tämä ilmenee siten, että kohtaan = 0 ei voi piirtää tangenttia, koska tässä kohdassa kuvaajassa on kärki. Funktion g derivaatta kohdassa = 0 on 0. Kuvaajasta tämä ilmenee siten, että kohtaan = 0 voidaan piirtää tangentti ja tangentti on vaakasuora.

62 6. a) f( ) D(4) (4) ( 4) 6 b) Tangentit näyttäisivät olevan yhdensuuntaiset. c) Merkitään kohtaa a = + c ja b = c, missä c. Tällöin kohdat = a ja = b ovat yhtä kaukana kohdasta =, mutta sen eri puolilla. Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo tässä kohdassa. f( a) f( c) (( c) 4) 7 (4c4) 7 ( c) 7 64c f( b) f( c) (( c) 4) 7 (4c4) 7 ( c) 7 64c Kohtiin = a ja = b piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet ovat samat.

63 . Sovelluksia YDINTEHTÄVÄT 6. a) Koska kolmion piiri on 0, on AB = 0 = 0. Janan AD pituus on puolet sivun AB pituudesta, eli AD = 0 5. Janan CD pituus voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. CD + AD = CD = AD CD = (5 ) CD = CD = 0 5 CD = 0 5 b) Kolmion kanta on AB ja korkeus CD. c) (0 ) 05 f ( ) (5 ) 0 5 Suurin arvo on noin 4,8 ja sivun pituus on tällöin noin,.

64 6. a) Pinta-alan suurin arvo vaikuttaisi olevan 4. b) Suorakulmion kannan pituus ja korkeus on käyrällä olevan kärkipisteen y-koordinaatti, eli. A ( ) ( ) Piirretään pinta-alafunktion A kuvaaja ja määritetään suurin arvo geogebralla: Ma(A,0,) Suurin arvo on A() = 4.

65 64. a) Kirjoitetaan janojen AC ja CB pituudet Pythagoraan lauseen avulla. AC = 5 + AC = 5 CB = 5 + (8 ) CB = CB = 6 89 f() = AC + CB = , 0 8 b) Määritetään funktion f pienin arvo välillä 0 8. Funktio f on jatkuva tällä välillä ja derivoituva välillä 0 < < 8. Funktio f saa pienimmän arvonsa välin 0 8 päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f(0) = ,4 f(8) = ,4 f( ) 8 f( ) 0, kun f(4) = 4,8 (pienin) Janojen yhteispituus on pienin, kun piste C sijaitsee sivun puolivälissä.

66 65. a) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Määritetään kaapelin veden alla kulkevaa osa y Pythagoraan lauseen avulla. y = (00 ) + 00 y = y = y , Kaapeloinnin kokonaishintaa kuvaava funktio on: f( ) b) Kustannukset ovat mahdollisimman pienet, kun funktion f arvo on pienin. Määritetään funktion f pienin arvo välillä Funktio f on jatkuva tällä välillä ja derivoituva välillä 0 < < 00. Funktio f saa pienimmän arvonsa välin 0 00 päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f(0) = 64,98 f(00) = 9500 f ( ) 5 45( 00) f () = 0 = ,5... f ( 75 00) , (pienin) Kustannukset ovat pienimmät, kun kaapelia maalla n. 50 m ja loppumatka veden alla suoraviivaisesti. Kaapelointi maksaa tällöin noin

67 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 66. Piirretään kuva tilanteesta. Piste P on (, y) = (, + ). Pisteen P etäisyys origosta, eli janan OP pituus on OP ( 0) ( 0) 5 9. Janan OP pituus on lyhin, kun juurrettava saa pienimmän arvonsa. Toisen asteen polynomilausekkeen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka saa pienimmän arvonsa huipussa. Määritetään huipun - koordinaatti derivaatan avulla. D( ) = = 0 6 = 5 6 Etäisyys on pienin, kun =. Tällöin 5 y ( 6 ) Piste on ( 6, ) (, )

68 Huomautus: Piste voidaan määrittää myös laskemalla suoran y = + ja sen origon kautta kulkevan normaalin y = leikkauspiste, koska suoran ja origon lyhin etäisyys on kohtisuorasti mitattu etäisyys. 67. Merkitään suorakulmion toista sivua kirjaimella ja toista sivua kirjaimella y. Ratkaistaan sivun pituus y pituuden avulla Pythagoraan lauseella. = + y y = 04 y = 04 Suorakulmion pinta-alaa kuvaa funktio A() = y = 04, 0. Määritetään funktion A suurin ja pienin arvo välillä 0. Funktio A on jatkuva tällä välillä ja derivoituva välillä 0 < <. Funktio A saa suurimman arvonsa välin 0 päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. A(0) = 0 A() = 0 A( ) 04 A () = 0, kun = 6 tai = 6 04

69 Näistä välille 0 kuuluu = 6,6. A(6 ) = 5 (suurin) Pinta-ala on suurin, kun suorakulmion toinen sivu on pituudeltaan 6. Toisen sivun pituus on tällöin 04 (6 ) 6. Molempien sivujen tulee olla,6, eli ruutu on neliö. 68. Merkitään särmiön pohjan sivua kirjaimella, korkeutta kirjaimella y ja särmiön lävistäjää kirjaimella d. Rimojen yhteispituus on 500 cm. Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan y y = 500 y = 5 Avaruuslävistäjän pituus on d y d (5 ) d d d Avaruuslävistäjä on lyhin, kun juurrettava saa pienimmän arvonsa. Juurrettavan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on pienin arvo huipussa, eli derivaatan nollakohdassa.

70 Määritetään huipun -koordinaatti. D( ) = =0 = 5 4 Kun = 5, 5 d 6 ( ) , Lyhin mahdollinen avaruuslävistäjä on 7 cm. 69. a) Koska kasvuston pinta-ala on kääntäen verrannollinen tarkastelun alusta kuluneen ajan neliöjuureen, saadaan pinta-alalle funktio A ( ) k. Ratkaistaan verrannollisuuskerroin k tiedosta, että viikon kuluttua pinta-ala oli 0 mm. A() 0 k 0 k 0 Tällöin A () 0, 0. b) Kasvuston pinta-alan muutosnopeus on pinta-alan derivaatta. A( ) D(0 ) Neljän viikon kuluttua muutosnopeus on 0, Kasvusto pienenee nopeudella 0,6 mm /viikko.

71 70. Piirretään kuva. Merkitään kysyttyä pistettä kirjaimella P. Koska piste P on paraabelilla y = 5, sen koordinaatit ovat muotoa P = (, 5 ). Pisteen P etäisyys origosta on d ( 0) (5 0) Etäisyys on suurin, kun juurrettava on suurin. Tarkastellaan juurrettavaa välillä 0. Juurrettava saa suurimman arvonsa välillä 0 tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. välin päätepisteessä D( ) = = 0 = 0, = 5 tai = Lasketaan etäisyyden arvo välin päätepisteissä = 0 ja = sekä välillä olevassa derivaatan nollakohdassa = 5. = 0: d = 0 = : d = 5 0,

72 = 5 : d = 0, (suurin) Etäisyys on suurin, kun pisteen -koordinaatti on 5 koordinaatti on 5 ( ) Tällöin y- Kysytty piste on (, ) Piirretään kuva tilanteesta. Merkitään kirjaimella pisteen D (kylän A kohtisuora etäisyys sähkölinjalle) ja pisteen C (muuntajan paikka) välistä etäisyyttä. Määritetään kuvan mukaisin merkinnöin etäisyydet AC ja BC Pythagoraan lauseella. AC = + AC = 9 BC = + (8 ) BC = 6 68 Sähkölinjan pituus on AC + BC = , 0 8. Määritetään pituutta kuvaavan funktion pienin arvo välillä 0 8. f () Funktio f on jatkuva välillä 0 8 ja derivoituva välillä 0 < < 8. Funktio f saa pienimmän arvonsa välin 0 8 päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa.

73 f( ) f () = 0, kun Lasketaan funktion arvo välin päätepisteissä = 0, = 8 ja välillä olevassa 4 derivaatan nollakohdassa. 5 f (0) 7,4... f (8) 7 0,54... f ( 4 ) 89 9, Sähkölinjan pituus on lyhin, kun muuntaja rakennetaan kohtaan, josta on sähkölinjaa pitkin matkaa 4,8 km pisteeseen D. Piste D on sähkölinjan piste, josta kohtisuora etäisyys kylään A on km. 7. Piirretään kuva tilanteesta. Pisteen B koordinaatti on (, 0). Piste C on puoliympyrällä + y = 6, y 0, joten sen y-koordinaatti on y 6. Piste C on siis (, 6 ). Suorakulmion kannan pituus on ja korkeus 6. Suorakulmion pinta-alaa kuvaa funktio A ( ) 6, 0 4.

74 Määritetään pinta-alafunktion suurin arvo välillä 0 4. Funktio A on jatkuva tällä välillä ja derivoituva välillä 0 < < 4. Funktio A saa suurimman arvonsa välin 0 4 päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. A( ) 6 6 A 6 tai ( ) 6 0 Derivaatan nollakohdista välillä 0 < < 4 on =. Lasketaan funktion A arvo välin päätepisteissä = 0 ja = 4 ja välillä olevassa derivaatan nollakohdassa =. A(0) 0 A(4) 0 A ( ) 6 ( ) 8 6 Suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala on Merkitään suorakulmaisen särmiön mitat: pohjan sivut ja y ja korkeus h. Avaruuslävistäjän pituus on y h. Särmiön tilavuus on y h. Tilavuus on suurin, kun kaikki mitat saavat suurimman mahdollisen arvonsa. Tällöin korkeuden h tulee olla,0 m ja avaruuslävistäjän,0 m. Saadaan siis y, josta saadaan y. Särmiön tilavuutta kuvaa funktio V (),0. Määritetään tilavuusfunktion suurin arvo välillä 0. Funktio V on jatkuva tällä välillä ja derivoituva välillä 0 < <.

75 Funktio V saa suurimman arvonsa välin 0 päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. V( ) V( ) 0,kun 0 6 tai 6 Derivaatan nollakohdista välillä 0 < < on = 6. Lasketaan funktion A arvo välin päätepisteissä = 0 ja = ja välillä olevassa derivaatan nollakohdassa = V (0) 0 V ( ) V ( ) ( ),5 Paketin suurin tilavuus on,5 m. Tällöin = 6,... ja y = 6,.... Paketin pohjan mitat ovat, m ja, m ja korkeus on,0 m.

76 74. b) Merkitään hengenpelastajan rannalla juoksemaa matkaa kirjaimella ja hänen uimaansa matkaa kirjaimella y. Uintimatkan pituus y voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. y 5 (0 ) y 4065 Aikaa, jonka kuluttua hengenpelastaja on uimarin luona, kuvaa funktio t ( ) 0, 5 y0, , 0 0. Määritetään funktion t pienin arvo välillä 0 0. Funktio t on jatkuva tällä välillä ja derivoituva välillä 0 < < 0. Funktio t saa suurimman arvonsa välin 0 0 päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. t( ) 0, t( ) 0, kun 0, Lasketaan funktion t arvo välin päätepisteissä = 0 ja = 0 ja välillä olevassa derivaatan nollakohdassa = 0 5 6,7.... t(0) 5 t(0) 0 t(0 5) 9,5... (pienin) Hengenpelastajan tulee lähteä uimaan kohdassa, joka on noin 6 metriä lähtöpaikasta.

77 75. Piirretään kuva tilanteesta. Merkitään soutumatkan pituutta kirjaimella y ja kävelymatkan pituutta kirjaimella. Määritetään laivan sijaintipaikan ja poukaman välimatka d rantaa pitkin Pythagoraan lauseella. 5 = d + d = 5 9 d = 6 d = 4 Ratkaistaan myös y Pythagoraan lauseella. y = + (4 ) y = y 8 5 Jos soutunopeus on a, on kävelynopeus 4a. Aika on matka jaettuna nopeudella. Matkaan kuluvaa aikaa kuvaa funktio y t ( ) 85 ( 85 ),0 4. a 4a a 4a a 4 Aika on lyhin, kun 85 saa pienimmän arvonsa. Tutkitaan 4 lausekkeen saamia arvoja suljetulla välillä on jatkuva suljetulla välillä 0 4 ja derivoituva 4 avoimella välillä 0 < < 4.

78 Lauseke saa pienimmän arvonsa välin 0 4 päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. D( 85 ) Derivaatan nollakohta , Derivaatan nollakohta on välillä 0 < < 4. Lasketan lausekkeen , , = 0: 4 = 4: : ( 7 4),66... (pienin) 7 4 arvo kohdissa = 0, = 4 ja 4 Soutajan tulisi jättää veneensä paikkaan, joka on 0,6 km poukamasta.

79 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 76. Piirretään kuva tilanteesta. Merkitään teltan pohjaympyrän sädettä kirjaimella r, korkeutta h ja sivujanaa s. Kartion vaipan ala on A = πrs. Vaipan ala on 6 m. Saadaan πrs = 6 : πr s = 6 r Teltan tilavuus on kartion tilavuus V r h. Kirjoitetaan korkeus h pohjan säteen r avulla. s = h + r h = s r h ( 6 ) r r 4 h 56 r r h 56 r r h 56 r r 4 4 Teltan tilavuutta kuvaa funktio 4 r 56 r (56 ) () r r r r r V r 56 6 r r, r 0.

80 Määritetään tilavuuden suurin arvo. Tilavuus on suurin, kun juurrettava 56r π r 6 on suurin. Tutkitaan juurrettavan saamia arvoja derivaatan avulla. D(56r π r 6 ) = 5r 6π r 5 5r 6π r 5 = 0 r(5 6π r 4 ) = 0 r = 0 tai r = 4 4,7... Laaditaan kulkukaavio r 5r 6π r 5 merkki 45, ,9 0,7 5r 6π r r π r 6 Juurrettava saa suurimman arvonsa, kun r = 4 4,7.... Teltan tilavuus on suurin, kun pohjaympyrän halkaisija on r =,4,4 m.

81 77. Jotta tanko mahtuu kääntymään käytävässä suorana, se saa olla korkeintaan niin pitkä kuin lyhin etäisyys + y. Kuvaan piirretyt suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk). Tällöin y a y a Lisäksi Pythagoraan lauseella saadaan = a + a = 4. Tällöin y y Määritetään funktion f( ), 4 pienin arvo. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f ( ) ( 4) 4 4 f( ) 0,09... tai,09...

82 Laaditaan kulkukaavio. f () merkki 0,07 4 0,7 +,09 f () + f() Ääritilanteessa =,09 Tällöin f(,09 ) = 7,0 Tangon pituus on pisimmillään 7,0 m. 78. Merkitään pyramidin pohjan sivun pituutta ja sivutahkon korkeusjanaa a sekä koko pyramidin korkeutta h. Paperiarkin neliönmuotoisen osan halkaisijan pituus on Tämä pituus on + a. 0 mm. Saadaan yhtälö a 0 a 05 Pyramidin korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella. a = + h h = a (05 ) 0(05 )

83 Pyramidin tilavuutta kuvaa funktio (05 ) ( ) h h V , > Funktio V arvo on suurin, kun juurrettava 05 saa suurimman arvonsa. Tutkitaan juurrettavan arvoja derivaatan avulla. D(05 ) tai 4 59,96... Laaditaan juurrettavan kulkukaavio merkki , , Juurrettava saa suurimman arvonsa, kun = 4 59, Pohjaneliön pituus on tällöin = 8,79 0 mm = cm. V (4 ) 8,4... Pyramidin tilavuus on mm = 0 cm.

84 79. Piirretään kuva. Olkoon suorakulmion kannan pituus ja korkeus y. Puoliympyrän säde on r. Suorakulmion piiri on + y = 4 + y. Ratkaistaan suorakulmion korkeus y Pythagoraan lauseella. r = y + y = r Piiriä kuvaa funktio f() 4r, 0 r. Määritetään funktion f suurin arvo suljetulla välillä 0 r. Funktio f on jatkuva tällä välillä ja derivoituva välillä 0 < < r. Funktio f saa suurimman arvonsa välin 0 r päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. f( ) 4 r 4 0 r r 5 f(0) = r f(r) = 4r f 8 4 ( ) r 5 r r 5 r 5 r 5 r 5 r r (suurin)

85 4 Tällöin suorakulmion kanta on = r r ja korkeus on 5 5 y = r 4 r r r Kannan ja korkeuden suhde on 5 4r : r 4:. y r Kartion korkeus on h ja pohjan säde. h + = 0 h = 00 Kartion tilavuutta kuvaa funktio 00 4 ( ) h (00 ) V, 0 0. Funktio V saa suurimman arvonsa samassa kohdassa kuin sisäfunktio s() = 4 (00 ) = Funktio s on jatkuva välillä 0 0 ja derivoituva välillä 0 < < 0. Funktio s saa suurimman ja pienimmän arvonsa välillä 0 0 välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.

86 s 0 tai tai tai 00 '( ) (400 6 ) Derivaatan nollakohdista välillä 0 < < 0 on 00 8,64... V(0) = 0 V(0) = 0 V ( 00 ) ,06... suurin 7 00 Tilavuus on suurin, kun kartion pohjaympyrän säde on. 00 Pohjaympyrän ympärysmitta on tällöin π =. Pohjaympyrän ympärysmitta on yhtä suuri kuin vaipan ympyräsektorin kaaren pituus. Olkoon ympyräsektorin keskuskulma α. Tällöin ,9... Sektorin keskuskulman tulee olla 94.

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

7 Differentiaalilaskenta

7 Differentiaalilaskenta 7 Differentiaalilaskenta 7. Raja-arvo ja jatkuvuus LUVUN 7. YDINTEHTÄVÄT 70. a) lim f( ), lim f ( ) ja f(). b) lim f ( ), lim f ( ),5 ja lim f ( ) 5 Raja-arvoa kohdassa ei ole olemassa. c) Funktio on jatkuva

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

4 FUNKTION ANALYSOINTIA

4 FUNKTION ANALYSOINTIA Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 1.1.018 4 FUNKTION ANALYSOINTIA POHDITTAVAA 1. Appletin avulla huomataan, että suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kaikki

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot