5. Julkisen avaimen salaus
|
|
- Hilkka Kouki
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Osa3: Matematiikkaa julkisen avaimen salausten taustalla 5. Julkisen avaimen salaus Public key cryptography 5. 1 Julkisen avaimen salausmenetelmät - Diffien ja Hellmannin periaate v RSA:n perusteet 5. 2 Symmetrisestä avaimesta sopimisen menetelmät - RSA key exchange - Diffie Hellman avaimenvaihto - Diskreetin logaritmin ongelma DLP - Generoiva alkio 5. 3 Sykliset ryhmät ja DLP:hen perustuvat salaimet - ElGamal salausalgoritmi - Sykliset ryhmät elliptisillä käyrillä - Elliptisen käyrien Diffie- Hellman avaimenvaihto - ElGamal Elliptisillä käyrillä
2 Julkisen avaimen salauksen matematiikkaa Huom! Seuraavassa esityksessä otetaan hieman vapauksia jakojäännösaritmetiikan merkintöjen suhteen: kongruenssia a b ( mod n) merkitään a = b mod n.
3 Peruskäsitteiden kertaus Merkintöjä: Kokonaislukujen joukko Z = {,-2, -1, 0, 1, 2,,,,, } Äärellinen Z:n osajoukko Z n = { 0, 1, 2,..., n 1} Alkuluvut (prime numbers) ja yhdistetyt luvut (composite numbers): Positiivinen kokonaisluku on alkuluku, jos se on jaollinen vain itsellään ja 1:llä. Jos positiivinen kokonaisluku ei ole alkuluku, se on yhdistetty luku. Esim. Mitkä seuraavista ovat alkulukuja, mitkä yhdistettyjä? a) 31 b) 59 c) 177 d)
4 JAKOALGORITMI, osamäärä ja jakojäännös: (division algorithm, quotient, remainder) Jos a ja b ovat kokonaislukuja, on olemassa yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r siten, että a = q b + r Esim. Luku 1321 jaetaan 521:llä. Laske osamäärä ja jakojäännös = 2* Osamäärä on 2, jakojäännös 279 DIVISORI ELI JAKAJA: b on luvun n jakaja, jos jakojäännös jaettaessa luku n b:llä on 0. Sanomme tällöin myös, että luku b jakaa luvun n. Määritä luvun a) 45 ja b) 23 divisorit a) Tuloesitys: 45 = 1*3*3*5 Divisorit: 1, 45, 3, 5, 9, 15 b) Tuloesitys : 23 = 1*23 Divisorit: 1 ja 23 KOKONAISLUKUJEN YKSIKÄSITTEINEN ALKULUKUESITYS Jokainen kokonaisluku voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukutekijöidensä tulona Esitä kokonaisluvut a) 45 ja b) 20 alkutekijöidensä tulona. a) Tuloesitys: 45 = 3*3*5 b) Tuloesitys : 20 = 2 2 *5
5 Jakojäännösaritmetiikka Joukossa Z n = { 0, 1, 2,..., n- 1} voidaan määritellä yhteen-, vähennys-, kerto- ja potenssilasku jakojäännöksiä mod n Esim. Laske joukossa Z 13, jossa yhteen- ja kertolasku on määritelty mod 13 a) b) 7 13 c) 4*12 d) 3 4 a) mod 13 = 16 mod 13 = 3 b) 7 13 mod 15 = -6 mod 15 = 15-6 = mod 9 = 9 c) 4*12 mod 13 = 48 mod 13 = 9 d) 3 4 mod 11 = 81 mod 11 = 4 Kysymys: Voidaanko jakojäännösaritmetiikassa määritellä myös jakolasku a/b? Tähän vastaaminen onnistuu parhaiten ottamalla käyttöön ryhmän käsite.
6 Ryhmä (Group) Olkoon G joukko jossa on määritelty laskutoimitus *. Tällöin G:tä sanotaan ryhmäksi, jos laskutoimituksella on seuraavat ominaisuudet G1: a*b kuuluu G:hen aina kun a,b ϵ G G2: (a*b)*c = a*(b*c) kaikille a,b,c ϵ G G3 G4 Joukossa G on olemassa neutraalialkio e (vrt. luku 1), jolle e* a = a*e = a kaikille a ϵ G Jokaisella G:n alkiolla a on olemassa käänteisalkio a -1, jolle a -1 * a = a* a -1 = e Ryhmää sanotaan Abelin ryhmäksi, jos edellisten lisäksi on voimassa G5: a*b = b*a kaikille a,b ϵ G
7 Esimerkkejä ryhmistä a) Kokonaisluvut Z muodostavat selvästikin ryhmän yhteenlaskun a + b suhteen. Neutraalialkiona on selvästikin luku 0: a + 0 = 0 + a = a Jokaisella kokonaisluvulla on käänteisalkiona sen vastaluku: a + ( - a) = -a + a = 0 b) Kokonaisluvut Z eivät muodosta ryhmää kertolaskun a * b suhteen. Neutraalialkio kyllä löytyy: luku 1: a*1 = 1*a = a, mutta kokonaisluvuilla ei ole käänteislukua kokonaislukujen joukossa. esim. Luvun 2 käänteisalkio ½ ei ole kokonaisluku Murtoluvut Q \ {0} sen sijaan muodostavat ryhmän kertolaskun suhteen, kun luku 0 on ensin poistettu joukosta. Luku 0 pitää poistaa, koska sillä ei ole käänteislukua. (1/ 0 ei ole määritelty)
8 Äärelliset ryhmät Salausmenetelmissä käytetään äärellisiä ryhmiä. Äärellisen ryhmän kertotaulussa 1) jokainen rivi ja sarake sisältää ryhmän alkiot uudessa järjestyksessä eli jokainen rivi ja sarake on ryhmän alkioiden permutaatio. 2) Ryhmän alkio voi olla vain yhdellä rivillä ja yhdessä sarakkeessa kertotaulussa. Esim. Täydennä seuraava 4:n alkion e, a, b, c Abelin ryhmän kertotaulu, missä e on neutraalialkio.
9 Eulerin lause Olkoon äärellisen Abelin ryhmän G alkioiden lukumäärä n. Tällöin ryhmän mielivaltaiselle alkiolle a on voimassa a n = 1, jos neutraalialkiota merkitään 1:llä Todistus: Kertotaulun 1. rivi g 1, g 2,..., g n. Kertotaulun eräällä rivillä on 1. rivin alkiot kerrottuna luvulla a. Koska molemmat rivit sisältävät samat alkiot eri järjestyksessä, on oltava: g 1 *g 2 *...g n = (a g 1 )* (a g 2 ) *... *(a g n ) = a n (g 1 *g 2 *... g n ) Tulo (g 1 *g 2 *... g n ) on ryhmän alkio, joten sillä on käänteisalkio. Kertomalla yhtälö puolittain tuolla käänteisalkiolla saadaan 1 = a n Ts. a n = 1
10 Kertolaskuryhmä Z n * Julkisen avaimen salauksen tämänhetkiset salausstandardit, RSA ja Diskreetin logaritmin ongelmaan perustuvat järjestelmät kuten Diffie Hellman avaimesta sopiminen ja Elgamal perustuvat jakojäännösaritmetiikkaan kertolaskuryhmässä Z n * Tutkitaan tätä kertolaskuryhmää tarkemmin.
11 Tapaus1: n on alkuluku, esim Z 11 * Kertotaulu, jossa on laskettu kaikki tulot a*b mod 11, esim. 7*5 mod 11 = 35 mod 11 = 2 Havainto: neutraalialkio = 1, kaikilla luvuilla paitsi luvulla 0 on käänteisluku. Kun se jätetään pois, saadaan ryhmän alkioiksi Z 11 * = [1. 2.,,,, 10}, yhteensä 11 1 eli 10 alkiota YLEISESTI: Kun p on alkuluku, kertolaskuryhmä Z p * = {1,2,..., p 1) Eulerin lauseesta Abelin ryhmille seuraa Fermat n lause: Kun p on alkuluku, a p-1 mod p = 1 kaikille 1 a p-1
12 Z 11 *n kertotaulu on siten seuraava Alkioiden määrä Φ(11) = 10 kpl
13 Tapaus2: n yhdistetty luku, esim Z 10 * Kertotaulu, jossa on laskettu a*b mod 10, esim. 4*4 mod 10 = 16 mod 10 = 6 Vain luvuilla 1, 3, 7 ja 9 on käänteisluvut. Ne ovat ainoat luvut välillä 0-9, joille GCD(a, 10 ) = 1. Niiden lukumäärä on φ(10) = φ(2*5)= 1*4 = 4 kpl. Siten kertolaskuryhmä Z 10 * = {1,3,7,9] YLEISESTI: Kertolaskuryhmä Z n * koostuu niistä luvuista a välillä 1... n-1, joille GCD(a, n) = 1. Niiden lukumäärä on φ(n) Eulerin lause: a φ(n) mod n = 1 kaikille kertolaskuryhmän Z n * alkioile a.
14 Z 10 *n kertotaulu Alkioiden määrä Φ(10) = 4 kpl
15 Eulerin funktion ominaisuuksia Φ(n) antaa niiden kokonaislukujen a lukumäärän välillä 1... n-1, joilla ei ole yhteisiä tekijöitä luvun n kanssa, ts. joille GCD(a,n) = 1. Luvuilla a on tällöin kertolaskun suhteen käänteisluku mod n. Φ(n) on samalla kertolaskuryhmän Z n * alkioiden lukumäärä. Eulerin funktion laskeminen: 1) Φ(p ) = p 1, kun p on alkuluku 2) Φ(n) = (p-1)(q-1), kun n = p*q missä p,q ovat alkulukuja 3) Φ(n) = n (1-1/p 1 ) /1-1/p 2 ),,, Missä p 1, p 2,... ovat luvun n eri alkulukutekijöitä
16 Esimerkkejä Φ(n):n laskemisesta Laske a) Φ(29) b) Φ(35) c) Φ(36): a) 29 on alkuluku => Φ(29) = 29 1 = 28 b) 35 on 7*5 (kahden alkuluvun tulo)=> Φ(35) = 6*4 = 24 c) 36 = 2 2 *3 2 => Φ(36) = 36 ( 1- ½)(1-1/3) = 12 Φ(n) kuvaaja kun n 100 Yläreunan pisteet kuuluvat alkuluvuille. Alimmat pisteet kuuluvt luvuille, joilla on paljon pieniä tekijöitä.
17 Sykliset ryhmät Aliryhmän määritelmä: Aliryhmä (subgroup): H on ryhmän G aliryhmä jos 1) H sisältyy G:hen 2) H on itsekin ryhmä (toteuttaa ryhmän aksioomat) 3) Laskutoimitus * on sama H:ssa ja G:ssä Ryhmän Z 10 * aliryhmä on esim. {1,9}
18 Syklinen ryhmä Ryhmä G on syklinen, jos siinä on alkio, jonka potenssit generoivat ryhmän kaikki alkiot, ts. Jos on olemassa g ϵ G, jolle G = g, g 2, g 3,..., g n = e, miss n on G:n alkioiden lukumäärä Alkiota g, jonka potenssit antavat kaikki ryhmän alkiot, sanotaan ryhmän G generoivaksi alkioksi (group generator) eli primitiivijuureksi. Muut kuin generoivat alkiot generoivat ryhmän aliryhmiä. Aliryhmän koko on aina ryhmän koon divisori. Alkion g kertaluvulla, Ord(g) tarkoitetaan sen generoiman aliryhmän kokoa. Kertolaskuryhmät Z n * ovat syklisiä, ts. Niistä löytyy generoivia alkioita, mikäli modulus n on muotoa 2, 4, p, p k, 2p k, missä p on alkuluku G:n alkioiden virittämien aliryhmien kokoja koskeva kaunis tulos: Olkoon ryhmän G koko n. Kaikille n:n divisoreille d on olemassa φ(d) G:n alkioita, joiden virittämän aliryhmän koko on juuri d.
19 Z p *:n potenssitaulu (p alkuluku) Esim. Z 11 * Generaattoreita on 4 kpl : 2, 6, 7 ja 8 φ(10) = 4 Aliryhmän, jonka koko on 5, virittävät 3,4,5 ja 9 φ(5) = 4 Aliryhmän, jonka koko on 2 virittää alkio 10 φ(2) = 1 Neutraalialkio 1 virittää pienimmän aliryhmän, jonka koko on 1. φ(1) = 1
20 Esimerkki kertolaskuryhmästä, jossa ei ole generoivaa alkiota Z 15 * potenssi A L K I O Kertolaskuryhmistä Z n * löytyy generoivia alkioita, mikäli modulus n on muotoa 2, 4, p, p k, 2p k, missä p on alkuluku. Luku 15 ei ole em. muotoa, joten ryhmä ei ole syklinen. Alkoiden kertaluvut jäävät enintään neljään.
21 Kuvissa näkyy alkioiden potenssien muodostamia aliryhmiä graafeina. Alkio 5 virittää aliryhmän {5,3,4,9, 1}. Se ei siis ole generoiva alkio. Alkio 6 virittää koko ryhmän Z 11 * = {6,3,7,9,10,5,8,4,2,1} Siten 6 on ryhmän generaattori.
22 Sovellus: Diffie Hellman key exhange -protokolla Menetelmä, jolla yhteyden osapuolet voivat sopia symmetrisestä salausavaimesta. Algoritmi esitettiin 1977 kuuluisassa konferenssipuheessa, jossa Diffie ja Hellman ensimmäistä kertaa esittivät julkisen avaimen salauksen perusperiaatteen. Puheessaan he esittivät metodin, jolla voidaan turvallisesti sopia esim. AES avaimesta ennen istuntoa DH menetelmä on yleisesti käytössä esim. AES:lla salatuissa videoneuvotteluyhteyksissä. Kryptologit Diffie ja Hellman luvun alussa
23 Diffie Hellman avaimesta sopiminen Järjestelmäparametrit alkuluku p ja Z p * :n generaattori g on annettu. Turvallinen koko modulukselle p on 2048 bittiä. Alice valitsee luvun a Bob valitsee luvun b y a = g a mod p y b = g b mod p * A ja B laskevat ja lähettävät toisilleen julkiset avaimensa Ya ja Yb K = Y ba mod p K = Y ab mod p A ja B laskevat symmetrisen avaimen K = g ab mod p
24 Järjestelmäparametrit p ja g Alkulukumodulus p luodaan alkulukugeneraattorilla, jollainen löytyy kryptologiaan käytettävistä ohjelmointikielistä. Generoiva alkio q luodaan seuraavalla algoritmilla: 1. Generoidaan satunnaisluku g väliltä 1... (p-1) 2. Testataan sen kertaluku Ord(g) (ts. alkion g virittämän aliryhmän koko) kertolaskuryhmässä Z p seuraavasti. a) Etsitään luvun p-1 divisorit eli jakajat d b) Lasketaan potenssit q d mod p kaikille p-1:n divisoreille c) Jos ainoastaan g p-1 mod p = 1, q on generoiva alkio Toistetaan askelia 1 ja 2, kunnes löydetään generoiva alkio.
25 Esim. parametrien p ja g luonnista 1. Generoidaan alkuluku p ( tässä väliltä ) RandomPrime[{150,200}] Ans: 173 Komento wolframalphalla 2. Kertolaskuryhmän Z 173 * mahdolliset aliryhmien koot ovat p-1:n jakajat: Divisors[172] Ans: 1,2,4, 43, 86, Valitaan generaattoriehdokas ja testataan, onko sen kertaluku 172 vai pienempi. Ehdokas1: g = ^{1,2,4,43,86,172} mod 173 Ans: {10, 100, 139, 1, 1, 1} => kantaluvun 10 kertaluku = 43 => luku 10 ei ole generoiva alkio Ehdokas 2: g = 11 10^Divisors[172] mod 173 {11, 121, 109, 93, 172, 1]} => 11 on generaattori
26 Diffie Hellman esimerkki Järjestelmäparametrit p = 173 ja g = 11 Alice valitsee luvun a = 17 Bob valitsee luvun b = 56 y a = mod 173 = 69 y b = mod 173 = 43 * A ja B laskevat ja lähettävät toisilleen julkiset avaimensa K = mod 173 = 132 K = mod 173 = 132 A ja B laskevat symmetrisen avaimen K = g ab mod p Sovittu symmetrinen avain on 132.
27 DH :n turvallisuus, DLP Murtaakseen DH:n turvallisuuden hyökkääjän tulisi kyetä laskemaan X:n julkisesta avaimesta Yx eksponentti x. DLP : Ratkaise x yhtälöstä Y x = g x mod p Tämä on ns. Diskreetin logaritmin ongelma, Discrete Logarithm Problem. Se on yksi lukuteorian ns. kovista ongelmista. Yleisesti katsotaan, että jos modulus p on väh bittinen, ei käyttäjän yksityistä avainta x ole mahdollista murtaa tällä hetkellä tiedossa olevilla parhaillakaan algoritmeilla. On tärkeää selvittää g:n kertaluku aiemmin kuvatulla tavalla. g:n tulisi olla generoiva alkio. Joskus hyväksytään kantaluvuksi muitakin kuin generoivia alkioita, jos aliryhmän koko on lähellä koko ryhmän suuruusluokkaa p 1.
28 Alkulukujen generointi 1. Generoi pariton satunnaisluku halutulta väliltä 2. Suorita alkulukutesti. Jos testitulos on negatiivinen, palaa kohtaan 1 Huom. Lukujen kasvaessa alkuluvut harvenevat. Siksi suurten alkulukujen generointi esim. RSA:ta tai DH- algoritmia varten voi olla hidasta.
29 Vahvat alkuluvut (strong primes) Vahva alkuluku p on alkuluku, jolle p-1:llä on suuri alkulukutekijä, esim. kun p 1 = 2* r, missä r on alkuluku 1. Diskreetin logaritmin ongelma DLP on erityisen vaikea ratkaista ryhmässä Z p, missä p on vahva alkuluku => DH protokolla on tavanomaista turvallisempi. 2. Lisäksi järjestelmäparametrien generoinnissa kantaluvun g kertaluvun selvittäminen on helpompaa kun p on vahva alkuluku. Jos p on suuri, luvun p- 1 divisoreja ei välttämättä saada selville. Tällöin jos p 1 = 2*r, missä r olisi alkuluku, p-1:n divisorit ovat 1, 2, (p-1)/2 ja (p-1) ja kantaluvun g kertaluku selviää korottamalla se em. potensseihin.
30 Alkulukutestit Deterministiset alkulukutesti ovat hitaita, niitä ei voi käyttää suurten lukujen testaukseen. Käytetyt alkulukutestit ovat probabilistisia: * Jos testi antaa, että luku on yhdistetty luku, tulos on 100% varma. Jos testi antaa, että luku on alkuluku, tulos ei ole 100% varma. On vähäinen mahdollisuus, että luku on silti yhdistetty luku. Tämän mahdollisuuden todennäköisyys on hyvissä alkulukutesteissä laskettavissa. 1) Fermat n testi perustuu Fernat n lauseeseen. Se ei ole kovin yleisesti käytössä, mutta esim. PGP salausohjelmisto on käyttänyt sitä 2) Rabin-Millerin testi on yleisimmin käytetty alkulukutesti. Se on nopea ja sen erehtymistodennäköisyys tunnetaan ja sitä voidaan säädellä parametrillä.
31 Fermat n alkulukutesti INPUT: testattava alkuluku n kierrosten lukumäärä k TOISTA k kertaa {arvo satunnaisluku a väliltä 2... (n-1) Jos a n-1 mod n 1, tulos = FALSE, lopeta testi} Jos jokaisella kierroksella a n-1 mod n = 1, niin testin tulos = TRUE ( n = alkuluku) Testi perustuu Fermat n lauseeseen, jonka mukaan a n-1 mod n = 1 kaikilla kantaluvuilla a välillä 1...n-1, mikäli n on alkuluku. Yhtälö voi olla voimassa joillekin kantaluvuille a, vaikka n olisi yhdistetty luku. Erityisesti jos n kuuluu Charmichaelin lukuihin (mm. 561, 1105,...), alkulukutesti saattaa mennä läpi useilla kantaluvuilla a, joita kutsutaan tällöin nimellä Fermat n liar. Fermat n testiä käytettäessä tulee käyttää riittävää määrää kantalukuja a testituloksen varmistamiseksi, mikäli testi menee läpi. Tuloksen luotettavuuden yhteyttä kierrosten määrää ei tunneta.
32 Rabin Miller -alkulukutesti 1. Valitse satunnainen kantaluku a välilä 2 (p-1) 2. Erota p-1:stä luvun 2 potenssit => Ts. esitä p-1 muodossa p-1 = 2 s r, missä r on pariton. 3. Laske jono : 2 p-1 mod p, 2 (p-1)/2 mod p, 2 (p-1)/4 mod p, lukuun a r mod p saakka. Jonon tulisi alkaa luvulla 1, seuraava luku tulisi olla 1 tai p-1. Pysähdy, jos tulos on p-1. Jos jotain muuta kuin 1 tai p-1 esiintyy jonossa, p ei ole alkuluku. 4. Toista askeleita 1 3 k kertaa eri kantaluvuilla a. Jos testi menee läpi joka kerta, todennäköisyys sille, että p on alkuluku > 1 1 / 4 k. 99% varmuus saavutetaan jo neljällä eri satunnaisesti valitulla kantaluvulla. Testi perustuu siihen faktaan, että mikäli p on alkuluku, kertolaskuryhmässä luvun 1 neliöjuuri voi olla vain 1 tai -1 eli p- 1
33 Esim. Alkulukutesti luvulle 561 Kyseessä on ensimmäinen Carmichaelin luku, josta tiedetään, että Fermat n testi saattaa antaa useilla kantaluvuilla vääriä tuloksia. 1) Fermat n testi kantaluvuilla 5, 2, mod 561 = 1 testi menee läpi mod 561 = 1 testi menee läpi mod 561 = 375 vasta kantaluku 3 osoittaa, että 561 ei ole alkuluku 1) Rabin Miller -testi kantaluvulla 5 Kirjoitetaan p 1 = 560 muodossa 560 = 2 5 * mod 561 = mod 561 = 67 Koska tämä ei ole 1 tai 560, päätellään, että 561 ei ole alkuluku Rabin Miller testiin riitti yksi kantaluku, kun Fermat n testi antoi oikean tuloksen vasta kolmannella yrityksellä.
34 Rabin- Miller esimerkki Onko p = alkuluku? Erotetaan p-1: stä 2:n potenssit : p - 1= = 2 2 * Testi kantaluvulla a = 7 : 7 p 1 mod p = mod = 1 7 (p-1)/2 mod p = mod Viimeinen tulos = p-1 => p läpäisi testin kantaluvulla a = 7 Testi kantaluvulla a = 16 : 16 p 1 mod p = mod = 1 16 (p-1)/2 mod p = mod = 1 16 (p-1)/4 mod p = mod = 1 => p läpäisi testin kantaluvulla a = 16 Kierrosten määrä yo. testissä k = 2. Luku p on alkuluku todennäköisyydellä > 1 1/4 k = 93.7 %
35 Muita tarvittavia algoritmeja POWERMOD: NOPEA POTENSSIIN KOROTUS a b mod n Algoritmi on nopea, ja tarvitsee muistia enintään n 2 verran. Example 7 11 mod mod 13 = 7 10 *7 mod 13 = 49 5 *7 mod 13 = 10 5 *7 mod 13 = 10 4 *(7*10) mod mod 13 = 5 = * 5 mod mod 13 = 9 = 9 2 * 5 mod 13 = 81*5 mod mod 13 = 3 = 3*5 mod 13 = 15 mod 13 = 2 1. Jos b on parillinen, puolita se ja neliöi samalla kantaluku mod n 2. Jos b on pariton, kirjoitetaan a b muodossa a*a b-1 ja parilliseen sovelletaan kohdan 1 menettelyä
36 Muita tarvittavia algoritmeja SUURIN YHTEINEN TEKIJÄ GCD Suurin yhteinen tekijä GCD (greatest common divisor) lasketaan Eucleiden algoritmilla soveltaen jakoalgoritmia useita kertoja perättäin. Esim. Laske GDC(13,5) 13 = 2* = 1* = 1*2 + 1 < = GDC on viimeinen 0:sta eroava jakojäännös 2 = 2*1 + 0 Algoritmissa edellisen vaiheen jakaja siirtyy jaettavaksi, ja jakojäännös siirtyy jakajaksi.
37 a:n käänteisluvun laskeminen mod n GCD(a,n):n laskemisen yhteydessä saatu jakoalgoritmien jono Käännetään ja esitetään GCD(a,n) = 1 lukujen a ja n lineaariyhdistelmänä. 1 = k*a + s*n a:n kerroin k lineaariyhdistelmässä on käänteisluku a -1 mod n Esim. Laske 5-1 mod 13 lähtien GCD :n iteraatiosta: 13 = 2* = 1* = 1*2 + 1 < = gcd Algoritmi käännettynä antaa lineaariyhdistelmän 1 = 3 1*2 eliminoidaan 2 käyttäen seur. Yhtälöä 1 = 3 1*(5 1*3) = = 2*3 5 eliminoidaan 3 1 = 2*(13 2*5) 5 = 2*13 4*5 5 = 2*13 5*5 Luvun 5 käänteisluku on sen kerroin lineaariyhdistelmässä = -5 mod 13 = 13 5 = 8. Tarkistus: 5*8 mod 13 = 40 mod 13 = 1
38 Satunnaislukujen generointi Salausavaimet luodaan usein satunnaislukugeneraattorilla. Hyökkäys salausavaimia vastaan on huomattavasti helpompaa, jos jotkut satunnaisluvut ovat todennäköisempiä kuin toiset. Satunnaislukugeneraattori voi olla salausprotokollan heikko kohta, vaikka kaikki muu olisi kunnossa. Yksi tämän vuosikymmenen skandaaleista oli se, kun Eduard Snowden paljasti, että SSLyhteyksissä yleinen satunnaislukugeneraattori Dual EC-DRBG sisälsi tietoisen takaportin, joka tarjosi NSA:lle mahdollisuuden murtaa salausavaimia ja kuunnella suojattuja yhteyksiä. On väitetty, että mm. RSA laboratories on auttanut levittämään tätä satunnaisluku- generaattoria tuotteidensa välityksellä. SATUNNAISLUKUGENERAATTORIN KÄYTTÖ Haastelukuina autentikoinnissa Salausavaimina RSA:n avainten luonnissa DH:ssa osapuolten yksityisinä avaimina Kertakäyttösalasanoja generoivissa laitteissa Kuva laitteesta joka luo minuutin välein uuden 7 -numeroisen salasanan.
39 Satunnaislukugeneraattorien tuottamien bittijonojen vaatimuksia: 1. Binäärimuodossa esitettyinä generaattorin tuottamien lukujen tulee sisältää yhtä paljon ykkösiä kuin nollia 2) Todennäköisyydet 1,2,3 ja 4 pituiselle saman pitin toistolle: 1, 11, 111, 1111, ( tai 0, 00, 000, 000 ) tulisi olla ½, ¼, 1/8, 1/16, 3) Kun bittijonoon tehdään määrätyn bittimäärän suuruinen rotaatio, ja lasketaan sen jälkeen alkuperäisen ja uuden jonon bittien samat ja eroavat bitit, niiden määrien pitäisi olla likimain samat: 50%. Kryptografisia vaatimuksia: 4) Kaikilla satunnaislukugeneraattoreilla on periodi. Tietyn bittimäärän jälkeen ne alkavat tuottaa samoja bittejä alusta. Salauksessa käytettyjen satunnaislukugeneraattorien periodin pitäisi olla riittävän suuri. 5) Jos tunnetaan osajono satunnaislukugeneraatorin tuottamista biteistä, ei saisi olla mahdollista laskea niistä edellisiä ja seuraavia bittejä.
40 ElGamal -salaus - Perustuu Diffie-Hellman avaimenvaihtoprotokollaan. ElGamal algoritmissa sovitaan samassa algoritmissa symmetrinen avain ja käytetään sitä viestien salaamiseen. Lohkosalainta ei tarvita. Alice salaa viestin m 1. Alice hakee serveriltä Bob:n julkiset avaimet 2. Alice generoi oman yksityisen avaimen a ja laskee julkisen avaimen Ya = g a mod p 3. Alice laskee salausavaimen K = Y ba mod p 4. Alice laskee salakirjoituksen C = K*M mod p Ja lähettää Bob:lle parin (Ya, C) Bob:n yksityinen avain = b Bob:n julkiset avaimet ovat p = alkulukumodulus g = generoiva alkio y b = g b mod p ElGamal on käytössä GNU Privacy Guard salausohjelmistossa. Bob purkaa salauksen 5. Bob laskee avaimen K = Y ab mod p 6. Bob laskee avaimen K käänteisluvun K -1 mod p 7. Bob purkaa salauksen M = K -1 *C mod p
SALAUSMENETELMÄT. Osa 2. Etätehtävät
SALAUSMENETELMÄT Osa 2 Etätehtävät A. Kysymyksiä, jotka perustuvat luentomateriaaliin 1. Määrittele, mitä tarkoitetaan tiedon eheydellä tieoturvan yhteydessä. 2. Määrittele, mitä tarkoittaa kiistämättömyys
LisätiedotECC Elliptic Curve Cryptography
Jouko Teeriaho kevät 2018 ECC Elliptic Curve Cryptography Elliptisten käyrien salaus lähemmin tarkasteltuna 1. Miksi on siirrytty ECC:hen? 1) käyttäjien autentikointi, 2) symmetrisestä avaimesta sopiminen
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
LisätiedotOsa4: Julkisen avaimen salaukset: RSA ja Elliptisten käyrien salaus. Tiivistefunktiot ja HMAC, Digitaalinen allekirjoitus RSA
Osa4: Julkisen avaimen salaukset: RSA ja Elliptisten käyrien salaus. Tiivistefunktiot ja HMAC, Digitaalinen allekirjoitus RSA RSA on ensimmäinen julkisen avaimen salausmenetelmä, jonka esittivät tutkijat
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Lisätiedot(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)
1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotHuom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotNimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla
6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotRatkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
Lisätiedot2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Lisätiedotn (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin
3. RSA Salausjärjestelmien käytön perusongelma oli pitkään seuraava: Kun Liisa ja Pentti haluavat vaihtaa salakirjoitettuja viestejä keskenään ja jos heidän käyttämänsä salausmenetelmä on symmetrinen,
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotAlgebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen
Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotSalakirjoitusmenetelmiä
Salakirjoitusmenetelmiä LUKUTEORIA JA LOGIIKKA, MAA 11 Salakirjoitusten historia on tuhansia vuosia pitkä. On ollut tarve lähettää viestejä, joiden sisältö ei asianomaisen mielestä saanut tulla ulkopuolisten
LisätiedotRSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017
RSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro. 1976269 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Salausmenetelmien yleisiä periaatteita 3 2 Määritelmiä ja
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotRSA-salakirjoitus. Simo K. Kivelä, Apufunktioita
Simo K. Kivelä, 25.1.2005 RSA-salakirjoitus Ron Rivest, Adi Shamir ja Leonard Adleman esittivät vuonna 1978 salakirjoitusmenettelyn, jossa tietylle henkilölle osoitetut viestit voidaan salakirjoittaa hänen
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,
LisätiedotKokonaisluvun kertaluvun sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Timo D. Talvitie Kokonaisluvun kertaluvun sovelluksia Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotRSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä
RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä Perusteet, algoritmit, hyökkäykset Matti K. Sinisalo, FL Alkuluvut Alkuluvuilla tarkoitetaan lukua 1 suurempia kokonaislukuja, jotka eivät ole tasan jaollisia
LisätiedotJokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.
Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotPotenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
LisätiedotRSA-salaus ja sen lukuteoreettinen pohja
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Pekka Larja RSA-salaus ja sen lukuteoreettinen pohja Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LARJA,
LisätiedotOsa1: Peruskäsitteitä, klassiset salakirjoitukset. Salausmenetelmät. Jouko Teeriaho LapinAMK
Osa1: Peruskäsitteitä, klassiset salakirjoitukset Salausmenetelmät Jouko Teeriaho LapinAMK SALAUSMENELMÄT OSANA TEKNISTÄ TIETOTURVAA Tietoturvallisuus Yleinen tietoturva Tekninen tietoturva Palomuurit,
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotTietoturvan perusteet - Syksy 2005. SSH salattu yhteys & autentikointi. Tekijät: Antti Huhtala & Asko Ikävalko (TP02S)
Tietoturvan perusteet - Syksy 2005 SSH salattu yhteys & autentikointi Tekijät: Antti Huhtala & Asko Ikävalko (TP02S) Yleistä SSH-1 vuonna 1995 (by. Tatu Ylönen) Korvaa suojaamattomat yhteydentottotavat
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotPython-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
Lisätiedot4. Eulerin ja Fermat'n lauseet
4. Eulerin ja Fermat'n lauseet 4.1 Alkuluokka ja Eulerin φ-funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä jäännösluokista modulo m, joiden alkiot ovat suhteellisia alkulukuja luvun m kanssa. Näiden
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotJulkisten avainten salausmenetelmät
Julkisten avainten salausmenetelmät Sami Jaktholm, Olli Kiljunen, Waltteri Pakalén 16. lokakuuta 2014 1 Taustaa Kautta ihmiskunnan historian erilaisia salausmenetelmiä on käytetty estämään luottamuksellisen
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotEräitä RSA-salauksen haavoittuvuuksia
Eräitä RSA-salauksen haavoittuvuuksia Helinä Anttila Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 206 Tiivistelmä: Helinä Anttila, Eräitä RSA-salauksen haavoittuvuuksia,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 41
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 4 Tuntitehtävät 4-42 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 45-46 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 43-44 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Jaollisuus à. Tekijöihin jako Kerrataan aluksi muutamia merkintöjä: on luonnollisten lukujen joukko, on kokonaislukujen
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotSalausmenetelmät 2015/Harjoitustehtävät
Salausmenetelmät 2015/Harjoitustehtävät 1. Ystäväsi K lähettää sinulle Caesarin yhteenlaskumenetelmällä kirjoitetun viestin ÖHXHHTTLOHUPSSHSSH R. Avaa viesti. 2. Avaa Caesarin yhteenlaskumenetelmällä laadittu
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 25.-26.1.2017 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka laskee kahden kokonaisluvun välisen jakojäännöksen käyttämättä lainkaan jakolaskuja Jaettava m, jakaja n Vähennetään luku
LisätiedotModulaarisista laskutaulukoista
Modulaarisista laskutaulukoista Visa Latvala ja Pekka Smolander Matematiikan laitos, Joensuun yliopisto Johdanto Artikkelin tarkoituksena on tutustuttaa lukija modulaariseen yhteen- ja kertolaskuun. Nämä
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Ville-Matti Erkintalo. Lukuteoria ja RSA
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ville-Matti Erkintalo Lukuteoria ja RSA Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotHarjoitustehtävät. Laskarit: Ti KO148 Ke KO148. Tehtävät viikko. VIIKON 42 laskarit to ko salissa IT138
Harjoitustehtävät Laskarit: Ti 12 14 KO148 Ke 12 14 KO148 Tehtävät viikko 37 : 3, 4, 5, 9a, 10, 11 38 : 18a, b, 20, 21, 23a, b, 26, 28b 39 : 17, 29, 31, 32, 33, 35 40 : 8, 16, 34, 37, 38a, b 41 : 40, 42,
Lisätiedot2. Eukleideen algoritmi
2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotLiite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa
Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä
Lisätiedot802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedot