T L Z S I G N A A L I T E O R I A O S A I V: E N E R G I A - J A T E H O T I H E Y S

Transkriptio

1 L 9 8 Z S I G N L I E O R I O S I V: E N E R G I - J E H O I H E Y S 4 Spektrin eneria- ja tehotiheys Spektrin eneriatiheys Parsevalin teoreema Spektrin eneriatiheyden ominaisuuksia Eneriasinaalien utokorrelaatio utokorrelaatiounktion ominaisuudet Eneriasinaalien ristikorrelaatio Spektrin tehotiheys Periodisten sinaalien spektrit Satunnaiset sinaalit ja kohina Valkoinen kohina Ekvivalentti kohinakaistaleveys 7 4

2 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 57 SPEKRIN ENERGI- J EHOIHEYS Kurssin siunatuksi lopuksi täydennetään vielä sinaalien ja systeemien luokittelua. Palataan vielä alussa esiteltyihin sinaalin enerian ja tehon käsitteisiin. arkastelun kohteeksi otetaan spektritiheys, joka määrittelee, miten eneria tai teho jakautuu eri taajuuksille. Kun sinaali on eneriasinaali, on luontevaa tarkastella sinaalin spektrin eneriatiheyttä. Vastaavasti tehosinaalille tarkastellaan spektrin tehotiheyttä. Lisäksi tutustutaan tärkeään käsitteeseen korrelaatio, jonka voidaan ajatella olevan spektritiheyden aikatason vastine. 4. SPEKRIN ENERGIIHEYS 4.. PRSEVLIN EOREEM arkastellaan reaaliarvoista eneriasinaalia t, joka on määritelty välillä -,. Merkitään sen Fourier-muunnosta G:llä. Sinaalin kokonaiseneria saadaan kaavasta E t dt Parsevalin teoreema, joka erityisesti ysiikan puolella tunnetaan paremmin nimellä Rayleihin eneriateoreema, sanoo, että kokonaiseneria voidaan laskea joko aika- tai taajuustasossa, eli t dt G d G ω dω π eoreema antaa erittäin käyttökelpoisen menetelmän, jolla sinaalin eneria voidaan laskea. Monesti nimittäin on paljon helpompi laskea kokonaiseneria taajuustasossa kuin aikatasossa. Fysikaalinen tulkinta on, että sinaalin Fourier-muunnoksen itseisarvon neliö antaa sinaalin enerian taajuusyksikköä kohti joulea/hz. Interointi yli kaikkien taajuuksien antaa sitten kokonaisenerian. Esimerkki: Olkoon tsint. Sinaalin kokonaiseneria on ämä on E t dt sin t dt JUKK JUHIINEN 6

3 L98Z SIGNLIEORI, OS IV JUKK JUHIINEN 6 58 varsin inhoittava interoitava. Entuudestaan kuitenkin tiedetään, että sin ja kantti muodostavat Fourier-muunnosparin. Kantin interointi on triviaali juttu. Nyt meillä on Fourier-muunnospari Merkitään On syytä huomata, että ret/ on unktio, jonka leveys on ja korkeus. Ykkösen korottaminen neliöön on yhtä tyhjän kanssa, eli. Siten ret /ret/! Siten Kokonaiseneria on siten Lasketaanpa toinen esimerkki teoreeman sähkötekniikan sovellutuksista: Esimerkki: 4 Ω:n vastuksessa virta ajan unktiona on muotoa ite -t ut ampeeria. Mikä osuus vastuksen läpi menevästä kokonaiseneriasta keskittyy taajuusvälille ω 3 rad/s? Vastuksessa kuluva kokonaiseneria aikatason avulla laskettuna on sin ret t ret G Ψ ret Ψ d d ret d E 4 Ψ

4 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 59 E Ri 4 4e 4t 4t e dt 6 / 4 4J Virran Fourier-muunnos on muotoa laskeva eksponentiaali, jolle johdettiin kakkososassa Ke K at a + jω Siten e t + jω Merkitään it:n Fourier-muunnosta Iω:lla. Sen itseisarvo saadaan laventamalla nimittäjän kompleksikonjuaatilla, jolloin saadaan eroteltua reaali- ja imainääriosat. Lopuksi korotetaan neliöön. ätähän harjoiteltiin S:ssä vaihtovirtapiirien yhteydessä I ω jω + jω + jω jω ω ω j 4 + ω I ω 4 + ω ω 4 + ω ω ω 4 + ω 4 + ω 4 + ω 4 + ω 6 + 4ω Siten kokonaiseneria taajuustasossa on E I ω 4 dω π 8 π 4J π ` 4 6 dω / 4 + ω π artan Eli saatiin sama tulos kuin aikatasossa. aajuustason kautta lasku oli tällä kertaa kuitenkin huomattavan työläs. Edellä on interaalin laskennassa käytetty hyväksi taulukoitua interaalin laskukaavaa ω dx a + x artan a x a JUKK JUHIINEN 6

5 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 6 Lisäksi on syytä huomata, että π lim artan x x artan Kysytyllä taajuusvälillä oleva eneria saadaan samalla lailla interoimalla taajuustasossa, kuten edellä on esitetty, mutta nyt interaalissa ylärajana on 3: 3 E ω dω / artan 4 + ω π 8 π 8 667J π `3 3 η ,67% 4.. SPEKRIN ENERGIIHEYDEN OMINISUUKSI Spektrin eneriatiheysunktio Ψ :llä on seuraavat ominaisuudet: Sinaalin t spektrin eneriatiheys on ei-neatiivinen reaaliarvoinen taajuuden unktio, Ψ kaikilla Reaaliarvoisen sinaalin t spektrin eneriatiheys on parillinen taajuuden unktio Ψ - Ψ 3 Eneriasinaalin t enerian tehotiheyskäyrän alle jäävä pinta-ala on yhtä suuri kuin sinaalin eneria. E Ψ d 4 Kun eneriasinaali siirretään lineaarisen ajan suhteen invariantin systeemin läpi, systeemistä lähtevän sinaalin enerian tehotiheys on yhtäsuuri kuin tulosinaalin enerian tehotiheys kertaa systeemin taajuusvasteen itseisarvon neliö. Ψ H y Ψ x JUKK JUHIINEN 6

6 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 6 Esimerkki: Yksikkökanttipulssi syötetään ideaalisen alipäästösuodattimen kaistanleveys B läpi. Suodattimen amplitudivaste on, B B H, muulloin Koska tulossa olevan kantin pinta-ala on, on sen kokonaiseneria myös. utkitaan, mitä tapahtuu, kun kaistanleveyttä varioidaan. loitetaan Fourier-muunnosparista ret t sin ämä esittää normalisoitua versiota muunnosparista, joka johdettiin osassa II. Siten, kun tulosinaali on muotoa x t Ideaalinen yt alipäästösuodatin xtrett xt. ja sen Fourier-muunnos on Xsin t on sinaalin xt spektrin eneriatiheys H. Ψ x X sin. t ämä normalisoitu eneriatiheys on esitetty seuraavassa kuvassa. B B utkitaan seuraavaksi, mikä on spektrin eneriatiheys lähdössä. Sehän on Ψ H y Ψx, B Ψx, muualla B JUKK JUHIINEN 6

7 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 6,8 sin,6,4,,5,5,5 3 3,5 Normalisoitu taajuus Suodattimen lähdöstä saatava eneria on siten E y B Ψ y d sin d B B Ψ y d B Ψ x d Koska suodattimen tulosinaali oli normitettu yksikköeneriaksi, tulos voidaan tulkita hyötysuhteeksi, jolla suodatin muuttaa tulo- ja lähtösinaalin enerioita. Ideaalisessa tapauksessa tietenkin ulostulosta saadaan yhtäsuuri eneria kuin mitä sinne työnnettiin. Käytännössä kuitenkin aina osa syötetystä eneriasta kuluu piirissä esimerkiksi lämmöksi. Ylläoleva tulos pätee yleisessä tapauksessa, jossa ideaaliseen kaistanpäästösuodattimeen syötetään määrätyn kestoinen ja amplitudinen kanttipulssi. Silloin suodattimen hyötysuhde ρ on ρ Eneria lähdössä Eneria tulossa sin d JUKK JUHIINEN 6

8 L98Z SIGNLIEORI, OS IV ENERGISIGNLIEN UOKORRELIO Spektrin eneriatiheys on tärkeä eneriasinaalia kuvaava taajuustason parametri. Mietiskellään seuraavaksi, onko vastaavaa suuretta löydettävissä aikatasossa. arkastellaan aikatason sinaalia t ja sen Fourier-muunnosta G. Sinaalin spektrin eneriatiheys saatiin kaavasta Siis spektrin eneriatiheys saadaan kertomalla t:n Fourier-muunnos G ja sen kompleksikonjuaatti G * Ψ G G G τ * τ G G keskenään. ika- ja taajuustason esitysten välille voidaan johtaa yhteys * * Huomaa, että aika-alueen *-operaatio viittaa konvoluutioon. Vasemmanpuoleista aika-alueen konvoluutiota sanotaan sinaalin autokorrelaatiounktioksi. R τ τ * τ t t τ dt utokorrelaation käsite on keskeinen sinaalianalyysissä. Se kuvaa sinaalin ja sen τ:n verran viivästytetyn version samankaltaisuutta. Siis unktio t-τ on viivästynyt versio unktiosta t. Parametriä t kutsutaan viive- tai skannausparametriksi. Kun τ:n arvoa muutetaan, on jollain arvolla sinaali parhaiten samanlainen itsensä kanssa. Intuitiivisestikin lienee selvää, että autokorrelaatio on maksimissaan, jos viive. Silloinhan meillä on käsillä kaksi täsmälleen samaa sinaalia! Jos kyseessa on esimerkiksi siniaalto, on R τ:llä maksimi aina nπ:n välein sini samassa vaiheessa itsensä kanssa ja minimi nπ/:n kohdalla vastakkaisessa vaiheessa itsensä kanssa. Mitä järkeä sitten on korreloida sinaalia itsensä kanssa? jatellaanpa vaikka tutkaa, jolla lähetetään sinaali klinonien avaruusalukseen. utka kuuntelee avaruusaluksesta tulevaa sinaalia ja laskee autokorrelaatiota. Sillä hetkellä, jolloin autokorrelaatiounktio saavuttaa maksiminsa, tutkan lähettämä sinaali on heijastunut aluksesta ja palannut takaisin. Jos tutkasinaalin etenemisnopeus väliaineessa tiedetään, voidaan avaruusaluksen etäisyys laskea. JUKK JUHIINEN 6

9 L98Z SIGNLIEORI, OS IV UOKORRELIOFUNKION OMINISUUDE. Reaaliarvoisen sinaalin t autokorrelaatiounktio on reaaliarvoinen ja parillinen unktio R -τr τ. Eneriasinaalin t autokorrelaatiounktion arvo oriossa on yhtäsuuri kuin sinaalin eneria R E 3. Eneriasinaalin t autokorrelaatiounktion maksimiarvo saavutetaan oriossa kaikilla viiveparametrin τ arvoilla. R τ R 4. Eneriasinaalin t autokorrelaatiounktio ja spektrin eneriatiheys muodostavat Fouriermuunnosparin R τ Y γ Esimerkki: Edellisessä esimerkissä tarkasteltiin sin-unktion sint spektrin eneriatiheyttä. Silloin todettiin, että Ψ ret Ψ :n käänteismuunnos on R τ sinτ ämähän on sin-unktion autokorrelaatiounktio. Sillä on sama muoto kuin itse alkuperäisellä sinunktiolla, skaalaustekijää lukuunottamatta ENERGISIGNLIEN RISIKORRELIO Ristikorrelaatio mittaa sinaalin ja jonkin toisen, viiveellä τ viivästetyn sinaalin välistä samankaltaisuutta. Olkoot t ja t kaksi reaaliarvoista eneriasinaalia. Sinaalien ristikorrelaatiounktio määritellään kaavalla τ t t τ R dt JUKK JUHIINEN 6

10 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 65 ämähän muistuttaa jälleen kerran konvoluutiointeraalia Nähdään, että jos sinaalit ovat jossain määrin samankaltaisia, ristikorrelaatiounktiolla R τ on äärellinen arvo jollain τ:n arvoalueella. ästäkin nähdään, että R τ on kvantitatiivinen sinaalien samankaltaisuuden, eli koherenssin, mitta. Sinaalien t ja t sanotaan olevan ortoonaalisia koko aikavälillä, jos t t dt Sinaalien välillä voidaan määritellä myös toinen ristikorrelaatiounktio, jossa t ja t on vaihdettu keskenään: τ t t τ R dt R τ:n ja R τ:n välille saadaan perustavaa laatua oleva yhteys R τr -τ ästä seuraa, että toisin kuin konvoluutio, korrelaatio ei ole kommutatiivinen! oinen ristikorrelaation tärkeä ominaisuus nähdään tarkastelemalla Fourier-muunnosparia R τ G G * Viimeksimainittu tulos tunnetaan korrelaatioteoreemana. Se sanoo, että kahden eneriasinaalin ristikorrelaatio vastaa yhden sinaalin Fourier-muunnoksen ja toisen sinaalin Fourier-muunnoksen kompleksikonjuaatin kertomista keskenään. 4. SPEKRIN EHOIHEYS arkastellaan seuraavaksi reaaliarvoista tehosinaalia t, joka pysyy äärellisenä, kun t. Sinaalin keskimääräinen teho saadaan kaavasta P lim t dt JUKK JUHIINEN 6

11 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 66 Jotta teho voitaisiin esittää taajuustasossa, pitäisi tietää t:n Fourier-muunnos. ämä voi kuitenkin olla onelmallista, koska tehosinaalien eneria on ääretön, eli niiden Fourier-muunnosta ei välttämättä ole edes olemassa. Onelma voidaan välttää määrittelemällä "kutistettu" versio t:stä. t t t ret t, t, muulloin Niin kauan kuin on äärellinen, sinaalin t eneria on myös äärellinen, joten sillä on myös Fouriermuunnos G. Parsevalin teoreeman nojalla voidaan nyt kirjoittaa P lim t dt lim G d Koska oletuksena oli, että eneria on äärellinen, interaali suppenee, jolloin raja-arvon ja interoinnin järjestys voidaan vaihtaa. lim P G t d Interandia kutsutaan spektrin tehotiheydeksi tai tehosinaalin tehospektriksi. S lim G ermiä G / kutsutaan sinaalin periodorammiksi. Esimerkki: arkastellaan moduloitua sinaalia xttosπ t, missä t on kaistarajoitettu leveys B Hz tehosinaali. ässä xt voidaan ajatella olevan siis jollain lähetyksellä moduloitu esimerkiksi radiosinaali. ehtävänä on laskea xt:n tehotiheys, kun keskitaajuus on suurempi kuin kaistanleveys B. Nyt Sx lim X missä X on x t:n Fourier-muunnos ja x t on typistettu versio xt:stä. Siten JUKK JUHIINEN 6

12 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 67 X t tosπ t Koska Eulerin kaavan mukaan osπ t/[expjπ t+exp-π t] niin Fourier-muunnoksen taajuussiirto-ominaisuutta hyödyntäen voidaan kirjoittaa X + [ G + G ] missä G on t:n Fourier-muunnos. Jos > B, niin G - ja G + eivät mene päällekkäin, siten niiden tulo on nolla. Siitä edelleen seuraa, että X :n neliö on 4 [ G + G ] X + Siten tulosinaali S x on [ S + S ] S x + 4 Spektrin tehotiheyden ominaisuudet ovat täysin samat kuin spektrin eneriatiheydelle. Samoin korrelaation käsite. ilan, hermojen ja ajan säästämiseksi ne jätetään tässä käymättä läpi. 4.. PERIODISEN SIGNLIEN SPEKRI Periodiset, äärettömiin jatkuvat sinaalit muodostavat tärkeän tehosinaalien luokan. Niille spektrin tehotiheys ja autokorrelaatiounktio saavat erityisen muodon. arkastellaan periodista sinaalia p t, jonka jaksonpituus on. Se voidaan esittää kompleksisena Fourier-sarjana jπnt p t n exp n Sinaalin teho voidaan laskea onneksi yhden jakson yli, kuten kurssin alussa todettiin P / p / t dt JUKK JUHIINEN 6

13 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 68 Spektrin tehotiheys saa ainoastaan diskreettejä arvoja n S p n δ n ämä on seurausta alkuperäisen unktion periodisesta luonteesta. Koska spektrin tehotiheyskäyrän alle jäävä pinta-ala on yhtä kuin sinaalin keskimääräinen teho, me voimme määritellä sinaalin p t keskimääräisen tehon sen taajuustason kuvauksen avulla P n n ämä tunnetaan Parsevalin tehoteoreemana. Sen mukaan periodisen sinaalin keskimääräinen teho on yhtä kuin sinaalin Fourier-sarjan kertoimien neliöiden itseisarvojen summa. Periodisen sinaalin d-teho on nollataajuuden eli ensimmäisen Fourier-kertoimen neliön itseisarvo. P d Kerroin on sinaalin keskiarvo, joka voidaan laskea kaavalla / p / t dt Sinaalin a-teho on loppujen Fourier-kertoimien summa n n P a n P a :n neliöjuuri on sinaalin rms-arvo root mean square. Sitä käytetään paljon sinaalin kohinaisuutta tutkittaessa. Luonnollisesti on voimassa PP a +P d. Jaksollisen tehosinaalin autokorrelaatiounktio R τ on R τ / p / t p t τ dt JUKK JUHIINEN 6

14 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 69 Jaksollisen sinaalin autokorrelaatiounktio on jaksollinen samalla taajuudella kuin sinaali itse. Esimerkki: arkastellaan siniaaltoa p tosπ t+ ehtävänä on määrittää sinaalin spektrin tehotiheys, keskimääräinen teho ja autokorrelaatiounktio. Siniaalto voidaan esittää kompleksisena Fourier-sarjana muodossa p t expjπ t+ - exp-jπ t, missä exp jθ exp jθ Siten spektrin tehotiheys voidaan kirjoittaa muodossa S p δ + δ Siten siniaallon spektri koostuu kahdesta yksikköimpulssista taajuuksilla ±. ämä on tietenkin aika looinen tulos jos asiaa maalaisjärjellä miettii Keskimääräinen teho on P ämäkin tulos on kaiken matemaattisen jaronin keskellä itsestäänselvyys, jos sitä vähän pähkäilee. utokorrelaatiounkt io voidaan esittää muodossa R p τ / [ osπ t + os4π t π τ + θ ] / / / osπ τ osπ t + θ osπ t π τ + θ dt JUKK JUHIINEN 6 dt

15 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 7 Siis siniaallon autokorrelaatiounktio on viiveparametrin τ:n kosinimuotoinen unktio, joka saa maksiminsa viiveen arvolla nolla. Silloin R p P. 4.3 SUNNISE SIGNLI J KOHIN Satunnaiset sinaalit muodostavat yhden tärkeän ryhmän tehosinaaleja. Sinaali on satunnainen, jos sinaalin käyttäytymistä ei voida tarkasti ennakoida, esimerkiksi laskemalla sen arvo jollain ajanhetkellä jostain kaavasta. ällaisen sinaalin voidaan ajatella kuuluvan joukkoon ensemble sinaaleja, joista jokin valitaan satunnaisesti. ällainen prosessi on luonteeltaan probabilistinen. Siten mikään kaksi sinaalia joukossa eivät ole keskenään samanlaisia. Kutakin joukon sinaalia kutsutaan näyteunktioksi. Kaikkien näyteunktioiden joukko muodostaa satunnaisprosessin. Oheisessa kuvassa on esimerkkinä neljä näytettä eräästä satunnaisprosessista.. Näyteaaltomuodon hetkellisarvot ovat satunnaismuuttujia. Satunnaisia ei-toivottuja sinaaleja., jotka sotkevat tiedonsiirtoa, sanotaan kohinaksi. Niitä ei voida täysin kontrolloida. Esimerkiksi tietoliikennejärjestelmissä on lukuisia kohinalähteitä. Ne voivat olla joko systeemin ulkoisia ilmakehän tai alaksin kohina, ihmisen aikaansaama kohina tai systeemin sisäisiä. Systeemin sisäinen kohina johtuu sähköpiirien virran ja jännitteen spontaaneista luktuaatioista. ämäntyyppinen kohina on aina mukana missä tahansa sähkölaitteessa. Siitä ei koskaan pääse täysin eroon ja se asettaa rajan luotettavalle tiedonsiirrolle. Koska sisäinen kohina yleensä havaitaan vastaanotinpäässä, sitä kutsutaan vastaanotinkohinaksi reeiver noise tai kanavakohinaksi hannel noise VLKOINEN KOHIN Valkoinen kohina on "ideaalista" kohinaa. Sitä käytetään paljon tietoliikennejärjestelmien analyysissä. Valkoisen kohinan spektrin tehotiheys on taajuudesta riippumaton. San "valkoinen" tulee ysiikan puolelta. Valkoisessa valossahan on kaikki ihmissilmän erottamat taajuudet. Kuvataan valkokohinaprosessia symbolilla t. Sen tehotiheys on JUKK JUHIINEN 6

16 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 7 S w N missä puolikas tulee siitä, että puolet tehotiheydestä on S positiivisilla ja puolet neatiivisilla taajuuksilla. N on sinaalin N intensiteetti /Hz. Se mitataan yleensä vastaanottimen sisäänmenosta. Valkoisen kohinan keskiarvo on nolla. Se siis oskilloi nollan molemmin puolin yhtä todennäköisesti. Koska autokorrelaatiounktio on spektrin tehotiheyden Fourierkäänteismuunnos, voidaan valkoisen kohinan autokorrelaatiounktio kirjoittaa muotoon R τ N δ τ τ R w N δ τ Valkoinen kohina siis korreloi vain ja ainoastaan itsensä kanssa viiveparametrin arvolla. ästä seuraa, että mitkä tahansa kaksi valkoisen kohinan näyteunktiota ovat aina täysin korreloimattomia keskenään vaikka ne olisi otettu ajallisesti kuinka lähellä toisiaan tahansa. arkasti ottaen valkoisen kohinan keskimääräinen teho on ääretön eikä sitä ole olemassa todellisissa ysikaalisissa systeemeissä. Esimerkki: arkastellaan valkokohinaprosessia t, jonka keskiarvo on nolla ja tehotiheys N /. jetaan kohinasinaali ideaalisen alipäästön, jonka kaistanleveys on B ja päästökaistan vahvistus, läpi. Suodattimesta ulostulevan kohinan Nt tehotiheys S N on N S B < < B N,, > B Nt:n autokorrelaatiounktio on tehotiheyden Fourier-käänteismuunnos: B N jπτ R N τ e d N BsinBτ B JUKK JUHIINEN 6

17 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 7 ämä autokorrelaatiounktio on esitetty oheisessa kuvassa. Näemme, että sillä on maksimiarvo N B oriossa ja että nollakohdat saadaan viiveen arvoilla τ±n/b, missä n,, 3, S N N B B R τ N B N 3 B B B B B 3 B 4.3. EKVIVLENI KOHINKISLEVEYS Edellisessä esimerkissä havaittiin, että kun valkokohinalähde, jonka keskiarvo on nolla ja tehotiheys N /, syötetään ideaaliseen alipäästösuodattimeen, ulostulosta saatavan kohinasinaalin keskimääräinen teho on N B. Yleisesti voidaan todeta, että valkoisen kohinan keskimääräinen teho on äärellinen ja että teho on verrannollinen kaistanleveyteen. ulos voidaan yleistää kattamaan kaikki mahdolliset alipäästösuodattimet, kun määritellään ekvivalentti kohinakaistaleveys. lipäästävän systeemin ekvivalentti kohinakaistaleveys B N on sellaisen ideaalisen alipäästösuodattimen kaistaleveys, joka päästää saman kokonaistehon tulosinaaliksi kytketystä valkoisesta kohinasta kuva. B N H H d Samalla tavalla määritellään kaistanpäästösuodattimen kohinakaistaleveys, kun nollataajuuden sijalla käytetään keskitaajuutta : JUKK JUHIINEN 6

18 L98Z SIGNLIEORI, OS IV 73 B N H H d H H Yhtäsuuret pinta alat B N BN Kohinakaistaleveys luonnehtii systeemin, esimerkiksi jonkin radiovastaanottimen, herkkyyttä laajakaistaiselle kohinalle. Koska B N -luku kätkee systeemin amplitudivasteen erikoismuodon, sen avulla voidaan vertailla yksityiskohtaisesti erilaisten systeemien kohinansietoa. ähän onkin hyvä päättää tämä kurssi. Smile! END OF PR FOUR JUKK JUHIINEN 6