Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 Vektori Ennakkotehtävät.. Laiva etenee aikayksikössä aina nuolen pituuden verran. Jatketaan laivojen kulkua osoittavia nuolia, jolloin saadaan selville laivan sijainti yhden, kahden, kolmen jne. aikayksikön kuluttua. a) Laiva A ehtii reittien risteyskohtaan kahden aikayksikön kuluttua. Tällöin laiva B on ehtinyt jo ohittaa risteyskohdan. Laivat A ja B eivät törmää ja laiva B menee laivan A editse.

2 b) Laiva C ja D törmäävät, koska niiltä molemmilta kestää kolme aikayksikköä saapua reittien risteyskohtaan. c) Kun laiva F ehtii reittien risteyskohtaan,5 aikayksikön kuluttua, laiva E ei ole ehtinyt samassa ajassa risteyskohtaan. Laivat E ja F eivät törmää ja laiva F menee laivan E editse.

3 . Geometrinen vektori YDINTEHTÄVÄT 0. a) b ja f b) b, c, d. ja f c) c d) d ja e e) d 0. Esimerkiksi: 0. a) A II, B III, C I b) Merkintä u tarkoittaa vektoria, jolla on suunta ja pituus. Merkintä u merkitsee pelkästään vektorin pituutta (eli se on reaaliluku).

4 04. a) b) c) d)

5 05. a) b) Vektorin v loppupiste on (4, ) ja vektorin w loppupiste on (, 4). 06. a) ( ab, ) = 5 b) ( ab, ) = 80 5 = 45 (vieruskulma) c) ( ab, ) = 0 (ristikulma)

6 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 07. a) ( uc, ) = 7 ( ud, ) = 0 ( ua, ) = 80 b) Vektori a on piirretty alkamaan pisteestä (0, ) ja vektori b pisteestä (, 0). c) Samansuuntainen d, vastakkaissuuntaisia a ja b, erisuuntaisia c ja e.

7 08. a) b) Loppupiste on (, ). c) Alkupiste on (, ). 09. a) esim. AD ja BC b) esim. AD ja AC c) esim. AD, BC ja CB d) DP ja PB

8 0. A IV, B I ja III, C II ja III, D IV. a) 5 b) Vektoreiden v ja w välinen kulma saadaan, kun siirretään vektorit v ja w alkamaan samasta pisteestä. Kulma on kolmion kolmannen kulman ristikulma, eli yhtä suuri kuin kolmion kolmas kulma = 5. c) Vektoreiden u ja w välinen kulma saadaan, kun siirretään vektori u alkamaan samasta pisteestä kuin vektori w. Kulma on 40 :een kulman vieruskulma 40.

9 . a) Päädytään pisteeseen (4, 0). b) Päädytään pisteeseen (5, ). c) Päädytään pisteeseen (, 4).

10 . a) epätosi Yhdensuuntaiset vektorit voivat olla myös vastakkaissuuntaiset. b) tosi c) epätosi u d) tosi v myös esimerkiksi kun u v. Jos vektorit ovat yhtä suuret ovat ne myös yhtä pitkät. e) epätosi Kahden vektorin välinen kulma on aina välillä [0, 80 ]. Kulma voi olla myös tylppä tai suora eli välillä [90, 80 [. 4. a) Vektorin AF vastavektoreita ovat FA ja GD. Vektorin BC kanssa yhtä suuria vektoreita ovat AD, EH ja FG. b) Molemmat vektorit BE ja BD ovat särmiön tahkojen lävistäjiä. Niillä on sama alkupiste ja ne ovat yhtä pitkät. Vektorit eivät ole yhtä suuret, koska ne eivät ole yhdensuuntaiset.

11 5. a) Vektorit AB ja DE ovat vastakkaissuuntaiset. Niiden välinen kulma on 80. b) Vektorit AF ja CD ovat samansuuntaiset. Niiden välinen kulma on 0. c) Vektorit AB ja AF ovat samasta kulmasta lähtevät sivuvektorit. Kuusikulmion yhden kulman suuruus on (6 ) Vektoreiden AB ja AF välinen kulma on 0.

12 d) Vektorit AC ja AE ovat tasasivuisen kolmion ACE sivuvektorit. Kolmio ACE on tasasivuinen. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60. Vektoreiden AC ja AE välinen kulma on 60. e) Siirretään vektorit AD ja BE alkamaan kuusikulmion keskipisteestä. Vektoreiden välinen kulma on f) Siirretään vektorit AD ja CF alkamaan kuusikulmion keskipisteestä. Vektoreiden välinen kulma on 60 = 0.

13 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 6. a) Vektorit ovat yhtä suuret jos ne ovat yhtä pitkät ja samansuuntaiset. b) Vektorit ovat yhdensuuntaiset, jos niiden suuntaiset suorat ovat yhdensuuntaiset. c) Vektorit ovat yhtä pitkät jos niiden alku- ja loppupisteen välinen etäisyys on sama. d) Vektorit ovat samansuuntaiset, jos ne ovat yhdensuuntaiset ja jos niiden alkupisteestä loppupisteeseen piirretty nuoli osoittaa samaan suuntaan. 7. a) ( BC, AB) on kolmion kulman CBA vieruskulma. Lasketaan kolmion kulma CBA = sinilauseen avulla. 5 4 sin 0 sin 5sin 4 sin0 :5 sin 4sin0 5,57... tai 80, ,4...

14 Kolmion kulman CBA tulee olla pienempi kuin kulma BAC, koska sen vastainen sivu on lyhempi kuin kulman BAC vastainen sivu AC. Kulma CBA on,57. ( BC, AB) 80 80, , b) Piirretään vektorit AC ja BC alkamaan samasta pisteestä C. ( AC, BC) on kolmion kulman ACB ristikulma ja siten yhtä suuri kuin kulma ACB. Lasketaan ( AC, BC) kulman ACB avulla, kun tunnetaan kolmion kaksi muuta kulmaa. ( AC, BC) 800, ,4... 6

15 8. Piirretään kuva. Siirretään vektori AB alkamaan pisteestä B. ( AB, BC) on kolmion ABC kulman CBA vieruskulma. Lasketaan kulman CBA = suuruus kosinilauseen avulla cos 48cos 4 : 48 cos ,8... ( AB, BC) 806,8... 5,

16 9. a) Piirretään kuva. BC,4,8 0,6 BC AC, joten ( AC, BC) 80. b) Piirretään kuva. BC,4,8 4, BC AC, joten ( AC, BC) 0.

17 c) Piirretään kuva. Ratkaistaan BC suorakulmaisesta kolmiosta ABC Pythagoraan lauseella. BC BC,8, 4 9 BC (taibc ) ( AC, BC) on kolmion kulman C ristikulma. Ratkaistaan kulma C suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla.,4 tanc,8 C 5,... 5 ( AC, BC) = 5.

18 0. Piirretään kuva. a) Vektorin AE pituus on sama kuin pyramidin sivusärmän AE pituus. Merkitään pyramidin pohjan keskipistettä kirjaimella F. Ratkaistaan särmän AE pituus suorakulmaisesta kolmiosta AFE. Jana AF on pyramidin pohjaneliön halkaisijan AC puolikas. Ratkaistaan pohjaneliön halkaisijan AC pituus Pythagoraan lauseella. AC = AC = AC = (tai AC = ) AC = 4 AF = 4

19 Ratkaistaan AE Pythagoraan lauseella. AE = AF + FE AE = ( ) + AE = 7 AE = 7 (tai AE = 7 ) AE 7 b) ( AC, AE) on sama kulma, kuin suorakulmaisen kolmion AFE terävä kulma A. tan A A 46, ,7 ( AC, AE) 46,7 c) Pisteet A, C ja E muodostavat kolmion, jonka sivu AC on pohjaneliön halkaisija ja AE ja EC ovat pyramidin sivusärmiä. Kolmio ACE on tasakylkinen. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Kantakulman A suuruudeksi saatiin b-kohdassa 46,7. ( AE, EC) on kolmion ACE kulman E vieruskulma. Ratkaistaan kulma E, kun kolmion kantakulmat tunnetaan. E = 80 46,68 = 86,6 ( AE, EC) 8086,6... 9,7... 9,4

20 . Vektoreiden summa ja erotus YDINTEHTÄVÄT. a) b) c). A III, B IV, C I, D II. a) AD DC AC b) AC CB AB c) AD DC CB AC CB AB d) AC DC AC ( CD) AC CD AD 4. A III, B I, C II

21 5. Koska nelikulmiot ABDE ja BCDE ovat suunnikkaita, ovat niiden vastakkaiset sivut yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset, jolloin ABEDBC v ja AE BD u. a) BD u b) CB BC v c) CD CB BD v u u v d) DA DB BA BD AB u v

22 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. a) Loppupiste on (9, 0). b) Loppupiste on (0, ).

23 7. a) b) c) d)

24 8. a) AB u v b) AD u w c) Koska nelikulmio ABCD on suunnikas, ovat vastakkaiset sivut yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset, joten DC AB. OC OD DC OD AB w ( u v) u v w 9. a) AB u v b) AC AB BC ( u v) w u v w 0. a) c) Koska monitahokkaan pohja on neliö, on AD BC w. DE DA AE AD EA wu u w uvabcd AB, eli vektorit u v, abc d ja AB ovat yhtä suuret. b) Jos merkitään, että yksi ruudun sivu on, on a b 5, josta 5 b c b 5 d a b c d ,5.

25 u v 5 8 Summa a b c d on suurempi kuin summa u v. Summat kuvaavat "punaisen" ja "sinisen" reitin pituuksia pisteestä A pisteeseen B. c) Pituudet u v ja abc d kuvaavat summavektorin, eli suoran reitin pituutta pisteestä A pisteeseen B kun taas b-kohdan summat kuvaavat mutkittelevan reitin pituutta. u v ja abc d ovat keskenään samat, eli uv abcd AB. d) Jos vektorit u ja v ovat erisuuntaiset, vektorit u, v ja u v muodostavat yhdessä kolmion. Kolmion kahden sivun pituuksien summa on suurempi kuin kolmannen sivun pituus, joten u v u v. Jos vektorit u ja v ovat vastakkaissuuntaiset, on vektori u v lyhyempi kuin pidempi vektoreista u ja v ja siten uv u v.

26 Kun vektorit u ja v ovat samansuuntaiset, on voimassa uv u v. Jos vektorit u tai v ovat nollavektoreita, pätee epäyhtälössä yhtäsuuruus. Eli u0 u ja 0 v v sekä Yhtäsuuruus toteutuu, kun vektorit ovat samansuuntaiset tai toinen vektoreista on nollavektori.. Piirretään kuva. Koska ( uv, ) 90, on vektorin u v pituus suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus. Ratkaistaan vektorin u v pituus Pythagoraan lauseella, kun u = 6,5 cm ja v 7, cm. uv u v uv 6,5 7, uv 94,09 uv 9,7 (tai uv 9,7) Vektorin u v pituus on 9,7 cm.

27 . PQ QR RP PR RP PP 0. Jos vektorin b loppupisteestä piirretään alkamaan vektori a ja tämän vektorin loppupisteestä vektori b, muodostuu suunnikas. Kuvasta huomataan, että vektorin a b vastavektori ( a b) on sama suunnikkaan lävistäjävektori kuin vektori a b.

28 4. a) Kolmion sivuvektorit ovat yhtä pitkät, joten syntyy tasakylkinen kolmio. b) Kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, joten syntyy tasasivuinen kolmio. c) Käänteisen Pythagoraan lauseen perusteella syntyy suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat vektorit a ja a b.

29 5. Piirretään kuva. Merkitään kirjaimella kulmaa rannan suhteen. Tiedetään, että v joki 0,9 km/h ja vvene 4,0 km/h. Koska veneen kulkusuunta on kohtisuorasti virtaussuuntaa vastaan, muodostuu suorakulmainen kolmio. Ratkaistaan kulma kosinin avulla. 0,9 cos 4,0 76, Venettä pitää soutaa 77:n kulmassa rantaan nähden virtaussuuntaa vastaan.

30 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 6. Jos OB OA OC OD, saadaan OB ( AO) OC ( DO) AO OB DO OC AB DC Tällöin siis nelikulmion ABCD sivut AB ja DC ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Yhtälöstä OB OA OC OD saadaan myös OB OC OA OD CO OB DO OA CB DA. Tällöin myös nelikulmion ABCD sivut CB ja DA ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Koska nelikulmion ABCD vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset, on nelikulmio suunnikas.

31 7. a) Piirretään kuva. Muodostuu kolmio, jonka sivuina on vektorit a, b ja a b. Kolmion yksi kulma on 6:een kulman vieruskulma 80 6 = 44. Tiedetään, että a,7 ja b 4,9. Ratkaistaan vektorin a b pituus kosinilauseella., 7 4,9, 7 4,9 cos44 ab ab 67,0... ab 8,8... (tai ab 8,8...) ab 8, Vektorin a b pituus on 8,.

32 b) Piirretään kuva. Ratkaistaan kolmiosta kulma kosinilauseen avulla. 9, 0 5,5 4, 7 5,5 4, 7 cos 5,7 cos 8,66 :5,7 cos 0,554...,66.. Vektoreiden a ja b välinen kulma on kulman vieruskulma. = 80,66 = 56, 56 ( ab, ) 56

33 8. Piirretään kuva. Muodostuu kolmio, jonka kaikki kulmat ja yksi sivu tunnetaan. Lasketaan kolmion muiden kulmien suuruudet. Kolmion yksi kulma on 40:n kulman vieruskulma = 40. Kolmion kolmas kulma saadaan kolmion kulmien summan avulla: = 70. Kolmio on tasakylkinen, koska sillä on kaksi yhtä suurta kulmaa. Tällöin a ba. Lasketaan vektorin b pituus kosinilauseella. b b cos40 79,07... b 8,89... (tai b 8,89...) b 8,9 a ja b 8,9

34 9. a) Piirretään kuva. Merkitään kirjaimella v kysyttyä haukan nopeutta maan suhteen. Haukan ja tuulen nopeudet ovat vastakkaissuuntaiset. Haukan nopeus maan suhteen on haukan ja tuulen nopeuksien erotus. Haukan nopeus on 0 m/s = 0,6 km/h = 6 km/h. v = 80 km/h 6 km/h = 44 km/h, länteen eli 70. b) Piirretään kuva. Haukan ja tuulen nopeudet ovat samansuuntaiset. Haukan nopeus maan suhteen on haukan ja tuulen nopeuksien summa. v = 80 km/h + 6 km/h = 6 km/h, länteen eli 70. c) Piirretään kuva. Idän ja koillisen välinen kulma on 45. Muodostuu kolmio, jonka yksi kulma on 45:n kulman vieruskulma = 5 ja sivujen pituudet 6 ja 80.

35 Ratkaistaan haukan nopeus maan suhteen kosinilauseella. v cos5 v 768,9... v08,48... (tai v08,48...) v 08 (km/h) Lasketaan haukan lentosuunta lännestä mitattuna, eli kulma , ,48... cos cos 0,97..., Kompassisuunta on 70,5 = 56,4 56. Haukan nopeus maan suhteen on 08 km/h ja suunta 4 lännestä etelään päin, eli kompassisuunta on 56.

36 40. Piirretään kuva. vsuihkuvirtaus 40 m/s m 900 km/h = 50 m/s 600 s vkone Ratkaistaan koneen vauhti maan suhteen. Lännen ja lounaan välinen kulma on 45. Muodostuvan kolmion yksi kulma on 45:n kulman vieruskulma = 5. Ratkaistaan koneen nopeus maan suhteen kosinilauseella v 40 vcos5 v0,... tai v76,6... v 0 m/s Ratkaistaan suunta, eli kulma myös kosinilauseella. 0, cos cos 0, , Kompassisuunta on 70 8,5 =, Koneen vauhti maan suhteen on 0, m/s = 79, km/h 790 km/h ja kompassisuunta 0.

37 . Vektorin kertominen luvulla YDINTEHTÄVÄT 4. a) b) c) d) 4. A I ja III, B I ja III, C II ja III, D II ja III 4. a) v 0,5u 0,5 u 0,55,5 b) v u u 5 0 c) v u u 5 0

38 44. a) u a, v6aa u Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaisia. Koska kerroin > 0, ne ovat samansuuntaisia. b) Riippumatta vektoreiden a ja b valinnasta vektorit u ja v näyttäisivät olevan vastakkaissuuntaisia ja vektorin v pituus näyttäisi olevan kaksinkertainen vektorin u pituuteen verrattuna. Osoitetaan laskemalla. ua b, v a4b( a b) u Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaisia. Koska kerroin < 0, ne ovat vastakkaissuuntaisia. v u u u Vektorin v pituus on kaksinkertainen vektorin u pituuteen verrattuna.

39 45. a) Koska nelikulmio ABCD on suunnikas, BC a ja DC b. Koska P on sivun CD keskipiste, Koska Q on sivun BC keskipiste, DP PC DC b. BQQC BC a. PQ PC CQ PC QC b a a b b) PQ PD DA AB BQ DPADABBQ bab a a b

40 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 46. a) ja b) 47. a) Piste P jakaa janan AB siten, että janan AP ja janan PB pituuksien suhde on :. Janan PB pituus on siis kolminkertainen janan AP pituuteen verrattuna. b) AP AB, 4 PB AB ja 4 BP PB AB a) : b) :5 c) BP AB BA 4 4 Piste P jakaa janan BA suhteessa : eli janan AB suhteessa :.

41 49. Piirretään kuva. a) AB AO OB OA OB a b b) c) AP AB ( a b) a b OP OA AP a ( a b) a b

42 50. Piirretään kuva. a) b) BP BC 5 AP AB BP AB BC 5 AB ( BA AC ) 5 AB ( AB AC ) 5 a ( ab ) 5 a a b 5 5 a b 5 5

43 5. Piirretään kuva. Koska nelikulmio ABCD on suunnikas, on BC AD u ja DC AB v. a) b) c) BQ BC u 5 5 PD CD DC v PQ PC CQ DC CB DC BC v u u v a) t =,5

44 b) r = 0,5 5. a) epätosi Vektorin u pituus riippuu vektorin u pituudesta. Jos esimerkiksi vektorin u pituus on, on vektorin u pituus 6, eikä. b) tosi Jos u5v 0, on u 5v. Tällöin u 5v 5 v 5v. c) epätosi Jos AP AB, niin piste P jakaa janan AB suhteessa : d) tosi Jos e) tosi AP AB, on AP AB AB. Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t siten, että u tv. Kun u 0,8v, on t = 0,8.

45 54. u a b ja 4 v a b w4u6v4( a b) 6( ab) 4ab4a6b 9b 4 Vektorit w ja b ovat vastakkaissuuntaiset, koska w( b). Vektorin w pituus on kolme kertaa vektorin b pituus, koska w ( b) b. 55. Koska nelikulmio ABCD on suunnikas, ovat sen vastakkaiset sivut yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Tällöin DC AB ja BC AD. AB CA DB AB ( CB BA) ( DC CB) AB CB AB DC CB) AB DC AB AB 0

46 56. Koska pisteet A, B, C ja D ovat samalla janalla, on AD 6AB ja AC AB. Lisäksi AB AOOBOAOBu v OC OA AC OA AB u( uv) uuv uv BD5AB5( uv) 5u 5v CB BC AB ( u v) u v

47 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 57. Kun erisuuntaiset vekorit a ja b asetetaan peräkkäin muodostavat a, b ja a b kolmion. Venytetään kolmion kaikki sivut t-kertaisiksi. Kuviot ovat yhdenmuotoisia suhteessa :t, joten myös venytetty kuvio on kolmio. Venytetyn kolmion sivut ovat ta, tb ja ta ( b). Tällöin tulee olla tatbt( a b). Jos vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset, ei kolmiota muodostu. Tällöin kuitenkin vastaavasti kuin kolmion tapauksessa voidaan vektorien pituus venyttää t-kertaiseksi, jolloin myös niiden summavektorin pituus tulee t-kertaiseksi.

48 58. Piirretään kuva. Koska jana AP on keskijana, on BP PC BC. Piste Q on janan AP keskipiste, joten AQ QP AP. OQ OA AQ OA AP OA ( AB BP ) OA (( AO OB) BC) OA (( AO OB) ( BO OC)) a ( ab ( b( ab))) a ( ab bab) a ( b ) a b 4

49 59. AB AC AD AE AF ( AOOB) ( AOOC) ( AOOD) ( AOOE) ( AOOF) 5 AO ( OB OC OD OE OF) Koska kuvio on säännöllinen kuusikulmio, on AOOD, BOOE ja CO OF. 5 AO ( OB OC OD OE OF) 5 AO ( OB OC AO BO CO) 5 AO ( OB OC AO OB OC) 5AO AO 6AO

50 60. Kolmion painopiste on keskijanojen, eli mediaanien leikkauspisteessä. Mediaanit jakavat toisensa kärjestä lukien suhteessa :. Piirretään kuva. Pyramidin pohja on kolmio ABC. Merkitään kirjaimella D kolmion sivun BC keskipistettä. Merkitään sivusärmät PA a, PBb ja PC c. PQ PA AQ PA AD PA ( AB BD ) PA ( AB BC) PA ( AP PB) ( BP PC) a (( ab) ( bc)) a a b b c a b c ( abc )

51 6. a) Vektoreista muodostuu kolmio tai ne ovat samalla suoralla. Jos kaikki ovat nollavektoreita, muodostuu piste. b) abc 0 Merkitään vektorien yhteistä alkupistettä kirjaimella O. Vektorin a loppupiste on A, vektorin b loppupiste on B ja vektorin c loppupiste on C. Pitää osoittaa, että AB AC. AC AOOC ac AB AOOB ab Koska abc 0, voidaan kirjoittaa c a b. Tällöin AC acaabab( ab) AB. Koska AC AB, on AB AC. Pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla.

52 6. Piirretään kuva. Koska abc 0, päättyy vektori c samaan pisteeseen, mistä vektori a alkoi. Muodostuva kolmio on suorakulmainen, koska a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kolmion kateetit ovat vektorit a ja b. Ratkaistaan vektorin c pituus suorakulmaisesta kolmiosta. a b c a b 9 c a 4b 9 c 4 9 c 5 :9 c 5 9 c 5 (tai c 5 ) 9 9 c 5

53 .4 Vektorin komponentit YDINTEHTÄVÄT 6. a) au v, bu 5v b) u ja 5v 64. w5u v

54 65. au v, bu v 66. r( ab) t( ab) 5ab rarbtatb 5ab ratarbtb 5ab ( rt) a( rt) b5ab Koska vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen, tulee olla rt rt 5 Ratkaistaan yhtälöparista t ja r. rt 5 rt ( ) rt 5 r t r Sijoitetaan r = alempaan yhtälöön r + t =. t t r = ja t =

55 67. wa5 b, uab java b Vektori w jaetaan vektoreiden u ja v suuntaisiin komponentteihin, eli wtu sv. wt( ab) s( a b) Saadaan yhtälö: a5 bt( ab) s( a b) a5btatbsasb a5btasatb sb a5 b( ts) a( t s) b. Koska vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen, tulee olla t s ts5 Ratkaistaan yhtälöparista t. t t s s5 ( ) t s t s 5 s 8 : ( ) s 8 Sijoitetaan s = 8 ylempään yhtälöön t + s =. t 8 = t = t = ja s = 8 Komponentteihin jaettu muoto on wu 8v. Vektorin u suuntaisen komponentin kerroin on.

56 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 68. a) ab 7a5b4 ba 7a5b4 Sijoitetaan b = a alempaan yhtälöön ja ratkaistaan a. 7a + 5( a) = 4 7a + 5 0a = 4 a = 9 : ( ) a = Sijoitetaan a = yhtälöön b = a. b = ( ) = + 6 = 7 a = ja b = 7 b) x4y 4 x6y 6 6xy 6xy 0 0 Yhtälöpari toteutuu kaikilla x:n ja y:n arvoilla, jotka toteuttavat yhtälön x + 4y = 4.

57 69. a) x4y 4 6xy 6x8y 8 6x y 0y 5 :0 y 5 0 y Sijoitetaan y = ylempään yhtälöön x + 4y = 4 ja ratkaistaan x. x 4 4 x 4 x : x x ja y b) tr ( ) t r 6tr 6tr 4r 0 r 0 Sijoitetaan r = 0 ylempään yhtälöön t r = ja ratkaistaan t. t 0 t : t

58 r = 0 ja t = 70. a) u 4a 8b, v6a 5b Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on voimassa u tv, missä t on jokin realiluku. 4a8 bt( 6a5 b) 4a8b6ta5tb 6t 4 : ( 6) 5t 8 :5 4 t 6 t 8 5 On olemassa t, siten että u tv. Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset. b) u a b ja v7a 8b Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on voimassa u tv, missä t on jokin reaaliluku. a bt(7a8 b) ab7ta8tb 7t : 7 8t : ( 8) t 7 t 8 6 Ei ole olemassa sellaista lukua t, että u tv. Vektorit u ja v eivät ole yhdensuuntaiset.

59 7. a) Ei ole mahdollista. Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen. b) a uv, buv jacu v atbsc uvt( uv) s( u v) uvtutvsusv uv( ts) u( t s) v Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan t ja s. t t s s ( ) t s t 4s s 5 : ( ) s 5 Sijoitetaan s = t ( 5 ) t 0 t 7 5 alempaan yhtälöön t + s = ja ratkaistaan t. Komponentteihin jaettu muoto on a 7 b 5 c.

60 7. Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet vektoreiden u ja v summana. ru tv ( tu rv) u v ru tv tu rv u v ( r t) u( t r) vuv ( r t) u(r t) vuv Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan r ja t. rt rt 4r 0 : 4 r 0 Sijoitetaan r = 0 ylempään yhtälöön r + t =. 0t t : t r = 0 ja t =

61 7. Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on voimassa u tv, missä t on jokin reaaliluku. u 6ra r b ja v a 5b u tv 6rar b ta5tb 6 ra r b t( a 5 b) Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan r ja t. r r 6 t 5t Ylemmästä yhtälöstä saadaan r t t. 6 Sijoitetaan tämä alempaan yhtälöön r:n paikalle ja ratkaistaan t. ( t) 5t t 5t 0 4 t( t5) 0 4 t 0 tai t50 4 t 5 : ( ) 4 4 t 0 Jos t = 0, on vektori u nollavektori, jolloin yhdensuuntaisuus ei päde. Jos t = 0, r = ( 0) = 0. Vektorit ovat yhdensuuntaiset, kun r = 0. Tällöin u 0v, joten vektorit u ja v ovat vastakkaissuuntaiset.

62 74. a) wa b, uab java b Jaetaan vektori w komponentteihin. wtusv a bt( ab) s( ab) abtatbsasb a b( ts) a( ts) b Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan t ja s. ts t s t 5 : t 5 Sijoitetaan t = 5 ylempään yhtälöön t + s = ja ratkaistaan s. 5 s s 5 s Komponenttiesitys on b) w 5 u v.

63 75. a) Vektorin a suuntaisen komponentin pituus on noin 5 ja kohtisuoran pituus noin 8,6. b) Koska vektorin u komponentit ovat vektorin a.ja vektoria a vastaan kohtisuoran vektorin suuntaiset, muodostuu suorakulmainen kolmio. Kolmion hypotenuusa on vektori u, jonka pituus on 0. Merkitään vektorin a suuntaista kolmion kateetin pituutta kirjaimella a ja toisen kateetin pituutta kirjaimella b. Ratkaistaan vektorin a suuntaisen komponentin pituus a, kun (,) au 60. cos60 a 0 0 a 0cos60 a 5 Ratkaistaan vektoria a vastaan kohtisuoran komponentin pituus b.

64 sin 60 b 0 0 b 0 sin 60 b 5 b 8, ,7 Vektorin a suuntaisen komponentin pituus on 5 ja vektoria a vastaan kohtisuoran komponentin pituus on 5 8, a) Vektorit u x ja u y ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten muodostuu suorakulmainen kolmio. Ratkaistaan vektoreiden u x ja u y pituudet, kun vektorin u pituus on 40 (m/s). ux cos0 u ux cos ux 40cos0 ux 4,64... u 5 (m/s) x

65 u y sin 0 u u y sin u y u 40 sin 0 0 (m/s) y Pystysuuntaisen komponentin pituus on 0 m/s ja vaakasuuntaisen 5 m/s. b) Matka on aika kerrottuna vaakasuuntaisella nopeudella. s t vx 0,s 4,64... m/s=0,9... m 0 m Pallo liikkuu vaakasuunnassa 0 m. c) Aika on matka jaettuna vaakasuuntaisella nopeudella. m t s 0,95...s s vx 4,64... m/s Pallo ylittää poikkipolun s kuluttua.

66 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 77.. Piirretään vektoreiden a ja b suuntaiset suorat.. Piirretään vektorin b suuntaiselle suoralle yhdensuuntainen suora vektorin u loppupisteen kautta.. Piirretään vektorin u komponentit.

67 78. Jos vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, voi komponenttiesityksen muodostaa usealla tavalla. Esimerkiksi oheisen kuvan mukaisessa tilanteessa voidaan kirjoittaa au0 v, au v, au 4v jne. Komponenttiesitys ei tällöin ole yksikäsitteinen.

68 79. ura rb ja v( r) a 4b Vektorit u ja v ovat vastakkaissuuntaiset, jos u u tv ra rb t(( r ) a4 b) ra rb t( r ) a 4tb tv, missä t < 0. Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan t ja r. ( ) r t r r 4t Alemmasta yhtälöstä saadaan r = t. Sijoitetaan r = t ylempään yhtälöön r = t(r + ). t = t(t +) t = t + t t t = 0 t(t ) = 0 t = 0 tai t = 0 t = Kumpikaan saaduista t:n arvoista ei ole negatiivinen. Ei siis myöskään ole olemassa sellaista lukua r, että vektorit u ja v olisivat vastakkaissuuntaiset.

69 80. Jaetaan kaikki vektorit vaaka- ja pystysuuntaisiin komponentteihin. Voima F on vaakasuuntainen, joten sen vaakasuuntaisen komponentin suuruus on 00 N. Muodostuvassa suorakulmaisessa kolmiossa on kaksi 45:een kulmaa, joten kolmio on tasakylkinen. Voiman F vaaka- ja pystysuuntainen komponentti ovat yhtä suuret. Ratkaistaan komponenttien suuruus Pythagoraan lauseella. x y F x x 50 F F F 50 : F F F F x x x x 5 (tai F 5 ) 5,5... 5,4 (N) Voiman F vaaka- ja pystysuuntainen komponentti ovat molemmat 5,4 N.

70 Voima F on pystysuuntainen, joten sen pystysuuntaisen komponentin suuruus on 0 N. Voimien F, F ja F vaakasuuntaisten komponenttien summa on 00 N + 5,5 N = 5,5 N. Voimien F, F ja F pystysuuntaisten komponenttien summa on 5,5 N + 0 N = 65,5 N. Voiman F 4 vaakasuuntaisen komponentin tulee olla 5,5 N ja pystysuuntaisen 65,5 N. Lasketaan voiman F 4 suuruus Pythagoraan lauseella. F F F F 4 65,5... 5, , ,... (tai F 50,...) 50 (N) Voima F 4 on 50 N.

71 8. Piirretään kuva. Kuvaan piirretty voima F on pystysuora ja voima 800 N on kohtisuorassa mäkeä vastaan, on näiden välinen kulma sama kuin mäen kaltevuuskulma 0. Lasketaan voiman Fsuuruus suorakulmaisesta kolmiosta. F cos F 800cos0 F 77,6... F 770 (N) Ponnistusvoiman pystysuora komponentti on 770 N.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =

Lisätiedot

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna on sama. . a) Vektorin 4i komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion,

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että

Lisätiedot

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus. Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

VEKTORIT paikkavektori OA

VEKTORIT paikkavektori OA paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot