HARJOITUS Formalisoi seuraavat lauseet lauselogiikassa.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HARJOITUS 1. 1. Formalisoi seuraavat lauseet lauselogiikassa."

Transkriptio

1 HARJOITUS Formalisoi seuraavat lauseet lauselogiikassa. (a) Aurinko laskee länteen. (b) Jos otat, et aja. (c) Jos Heli ei tule tänään käymään, katson televisiosta jalkapalloa, mutta en visailua. (d) Jos et veikkaa, et voi voittaa. (e) Stalin ei hyökännyt Norjaan, vaan Suomeen. (f) Jääkaapissa on maitoa tai piimää. 2. Formalisoi seuraavat lauseet lauselogiikassa. (a) Stalin ei hyökännyt Norjaan eikä Ruotsiin. (b) Jos Suomi tai Norja voittaa ensi kesänä Brasilian jalkapallossa, niin minä olen Kiinan keisari. (c) Ei savua ilman tulta. 3. Formalisoi tai yritä formalisoida seuraavat lauseet lauselogiikassa. (a) Sulje ovi ja pyyhi jalkasi! (b) Presidentin saapuessa miehet paljastivat päänsä. (c) En pese tänään pyykkiä vain jos sataa. 4. Mikä seuraavista lauseista poikkeaa muista lauselogiikan kannalta? (a) Matti ja Teppo ovat laulajia. (b) Matti ja Teppo ovat veljeksiä. (c) Matti ja Teppo ovat turkulaisia. 5. Muodosta seuraavien lauseiden rakennepuut. (a) A B C (b) A B C (c) A B

2 HARJOITUS Laadi seuraaville lauseille totuustaulukot. (a) A B C (b) A B C (c) A B C (d) A B C 2. Osoita seuraavat lauseet tautologioiksi. (a) A A (b) A B A B (c) A B A (d) A A A 3. Osoita seuraavat loogiset yhtäpitävyydet. (a) A B A B (b) A B A B A B 4. Olkoon Q lause A B P, jossa P:n tekijät ovat täsmälleen A ja B. (a) Mikä on vähimmäisvaatimus lauseelle P, jolla lause Q on tautologia? (b) Keksi lause P, jolla Q on tautologia. (c) Keksi lause, joka täyttää täsmälleen a-kohdan vaatimuksen.

3 HARJOITUS Osoita: (a) P P Q (b) P Q Q 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä: (a) A B C, B, C, Siispä A (b) A B C, B, Siispä A 3. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä: (a) Jos otat, et aja. Siis jos ajat, et ota. (b) Jos pienyritykset joutuvat vaikeuksiin, Suomen kansantalous romahtaa. Valtion ulkomaista velkaa lisätään tai Suomen kansantalous romahtaa. Siispä jos valtion ulkomaista velkaa ei lisätä, pienyritykset joutuvat vaikeuksiin. (c) Jos otat, et aja. Ajat tai et ota. Siispä et ota. (d) Jos Martti on poliisi, hän käyttää virkapukua. Martti käyttää virkapukua ja ajaa työssään paljon autoa. Siispä Martti on poliisi. 4. Mitkä seuraavista lausejoukoista ovat ristiriitaisia? (a) Jos Heli tulee tänään käymään, lähdemme leffaan tai pizzalle. Jos lähdemme leffaan, Heli ei tule tänään käymään. Emme lähde pizzalle. (b) A B, A B,C,B C

4 HARJOITUS Voidaanko seuraavat periaatteet hyväksyä päättelysäännöiksi? (a) Lauseista P Q ja P saadaan päätellä lause Q. (b) Lauseista P Q ja P saadaan päätellä lause P Q. 2. Osoita seuraavat päätelmät päteviksi todistupuilla. (a) Jos otat, et aja. Siispä jos ajat, et ota. (b) Jos otat, et aja. Ajat tai et ota. Siispä et ota. 3. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä. Osoita pätevät päteviksi todistuspuilla. (a) Tupakointi on kielletty yliopiston sisätiloissa. Jos tupakointi on kielletty yliopiston sisätiloissa ja yliopiston tupakkahuoneet sijaitsevat yliopiston sisätiloissa, tupakointi ei ole sallittu yliopiston tupakkahuoneissa. Jos yliopiston tupakkahuoneet sijaitsevat yliopiston sisätiloissa, tupakointi on sallittu niissä. Siispä yliopiston tupakkahuoneet eivät sijaitse yliopiston sisätiloissa. (b) Eläin on lintu tai lisko. Jos sillä on höyhenet, se on lintu. Eläimellä ei ole höyheniä. Siispä se on lisko. (c) Jos verotus kevenee, kansantalous elpyy. Kansantalous ei elvy tai hallitus kaatuu. Hallitus ei kaadu ja verotus kevenee. Siispä Turku on Suomen pääkaupunki.

5 HARJOITUS Osoita seuraavat johdettavuudet käyttämällä pelkkiä tuonti- ja eliminointisääntöjä. (a) P Q, Q P (b) P Q R P Q P R (c) P Q R P Q P R (d) P Q,Q R P R 2. Olkoot A a, b, c ja B c, d. Mitkä seuraavista pitävät paikkansa? (a) a A (b) a A (c) a A (d) c A Muodosta seuraavat joukot: (e) A B (f) A A B (g) x x A B B 3. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä diagrammimenetelmällä. (a) Jokainen opiskelija on ihminen. Joku ihminen on viininmaistaja. Siispä joku opiskelija on viininmaistaja. (b) Jokainen ateisti on kommunisti. Kukaan uskovainen ei ole kommunisti. Siispä kukaan uskovainen ei ole ateisti. (c) Jokainen ateisti on kommunisti. Kukaan uskovainen ei ole ateisti. Siispä kukaan uskovainen ei ole kommunisti. (d) Mikään Brockenin kummitus ei ole kummitus. Fritz on Brockenin kummitus. Siispä Fritz ei ole kummitus.

6 HARJOITUS Piirrä seuraavien lauseiden kuvaamia tilanteita vastaavat diagrammit. (a) Tarja pitää Pentistä. (b) Martti on poliisi, joka pidätti Roopen. (c) Satu on jotakuta koripallojoukkueen pelaajaa pitempi. (d) Joku koptilainen omistaa aasin. 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä diagrammimenetelmällä. (a) Paavo pitää Seposta. Seppo on kepulainen. Kukaan kepulainen ei ole kommunisti. Siispä Paavo pitää jostakusta, joka ei ole kommunisti. (b) Paavo ei pidä Pekasta. Pekka on kansalliskiihkoilija. Jotkut kansalliskiihkoilijat ovat rasisteja. Siispä Paavo ei pidä jostakusta rasistista. 3. Formalisoi seuraavat lauseet predikaattilogiikassa. (a) Jaana on Tuukan äiti. (b) Tuukalla on äiti. (c) Kaikilla on äiti. (d) Joku ei ole kenenkään äiti. (e) Kukaan ei ole kaikkien äiti. (f) Jokin sota on kaikkien sotien äiti. 4. Mitkä seuraavista merkkijonoista ovat predikaattilogiikan kaavoja? (a) x y P x Q y R x, y (b) x P x y Q y R x y (c) P x x Q x,y R x

7 HARJOITUS Formalisoi seuraavat lauseet predikaattilogiikassa. (a) Kaikki terrierit ovat koiria. (b) Mikään Brockenin kummitus ei ole kummitus. (c) Jotkut nisäkkäät eivät ole koiria. (d) Paavo Lipponen ei äänestänyt ketään kepulaista. (e) Jokaisen miehen äiti on joku nainen. (f) Joku koptilainen omistaa aasin. (g) Jokainen, joka piirtää ympyrän, piirtää kuvion. 2. Mitkä seuraavista kaavoista ovat lauseita? Merkitse kaavoihin vapaat muuttujat ja kvanttorien vaikutusalat. (a) F x x F x G x,y (b) x F x G x H x (c) x F x y G y H x, y (d) x y F x G x H x, y 3. Siirrä negaatio kaavassa x y zr x,y,z kvanttorien sisäpuolelle. 4. Formalisoi seuraavat lauseet käyttämällä toisaaltaa pelkkää eksistenssikvanttoria ja toisaalta pelkkää universaalikvanttoria. (a) Kaikki terrierit ovat koiria. (b) Mikään leijona ei ole kavioeläin.

8 HARJOITUS Osoita seuraavat päätelmät päteviksi päättelysäännöin. (a) Persianlahden sota on kaikkien sotien äiti. Persianlahden sota on sota. Siis Persianlahden sota on itsensä äiti. (b) Väinö rakastaa Ainoa. Aino rakastaa jokaista, joka rakastaa häntä. Siis Aino rakastaa Väinöä. (c) Jokainen terrieri on koira. Jokainen koira on kaikkiruokainen. Siis jokainen terrieri on kaikkiruokainen. (d) Mikään kavioeläin ei ole kala. Jokainen aasi on kavioeläin. Siis mikään aasi ei ole kala. (e) Jokaisessa raitiovaunussa mölyää joku humalainen. Siis jokaisessa raitiovaunussa mölyää joku hullu tai humalainen. 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä predikaattilogiikan keinoin. (a) Jokin lammas ei ole valkoinen. Kaikki lampaat ovat kotieläimiä. Siis jokin kotieläin ei ole valkoinen. (b) Jokaisella on äiti. Siis joku on kaikkien äiti. (c) Mikään Brockenin kummitus ei ole kummitus. Fritz ei ole Brockenin kummitus. Siis Fritz on kummitus. (d) Jokainen suutari korjaa jonkin kengän. Jokainen kenkä on jalkine. Siis jokainen suutari korjaa jonkin jalkineen. (e) Kukaan suutari ei korjaa yhtään takkia. Kaikki takit ovat päällysvaatteita. Siispä kukaan suutari ei korjaa yhtään päällysvaatetta. (f) Jokainen ympyrä on kuvio. Siis jokainen, joka piirtää ympyrän, piirtää kuvion. (g) Jotkut intialaiset eivät ole lukutaitoisia. Kaikki, jotka eivät ole lukutaitoisia, eivät tunne kreikkalaisia aakkosia. Siis jotkut intialaiset eivät tunne kreikkalaisia aakkosia.

9 HARJOITUS Suorita ehdotettu sijoitus, jos sen saa tehdä. (a) Kaavassa F x, y G x sijoitus x/a (b) Kaavassa y H x, y G y sijoitus x/y (c) Kaavassa x H x, y G y sijoitus y/z 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä identiteetillä varustetun predikaattilogiikan keinoin. (a) Fritz on Brockenin kummitus. Mikään Brockenin kummitus ei ole kummitus. Chesterburyn linnan koputtaja on kummitus. Siis Fritz ei ole Chesterburyn linnan koputtaja. (b) Sauli on puhemies. Niinistö on puhemies. On korkeintaan yksi puhemies. Siis Sauli on Niinistö. 3. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä predikaattilogiikan keinoin. Arvioi lopuksi saamiasi tuloksiasi. (a) Jokainen suutari on korjannut jalkineita. Jokainen kenkä on jalkine. Siis jokainen suutari on korjannut kenkiä. (b) Patriarkka Pimen on ortodoksipappi. Kaikki ortodoksipapit ovat miehiä. Siis Patriarkka Pimen ei ole nainen. (c) Kaikki Sepin esi-isät ovat ihmisiä. Sepillä on esi-isiä. Siis joku on ihminen. (d) Jokaisella tapahtumalla on syy. Siis on kaikkien tapahtumien syy. (e) Satu on jotakuta koripallojoukkueen pelaajaa pitempi. Kaikki koripallojoukkueen pelaajat ovat Raimoa pitempiä. Siis Satu on Raimoa pitempi.

10 HARJOITUS Formalisoi seuraavat lauseet identiteetillä varustetussa predikaattilogiikassa. (a) On täsmälleen kaksi valtiovarainministeriä. (b) Suomen nykyinen presidentti on nainen. (c) Maailman pisin henkilö on mies. 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä. (a) Tiku on pikkuorava. Taku on pikkuorava. Tiku ei ole Taku. Siis on vähintään kaksi pikkuoravaa. (b) On täsmälleen yksi presidentti. Halonen on presidentti. Halonen ei ole Arajärvi. Siispä Arajärvi ei ole presidentti. 3. Mitkä seuraavista periaatteista näyttävät pätevän pitempi kuin -suhteesta? P x, y xon pitempi kuin y x y P x, y P y, x x y P x, y P y,x x y z P x, y P y, z P x, z xp x, x

HARJOITUSTEHTÄVIEN MALLIRATKAISUT HARJOITUS 1.

HARJOITUSTEHTÄVIEN MALLIRATKAISUT HARJOITUS 1. HARJOITUSTEHTÄVIEN MALLIRATKAISUT HARJOITUS (a) A (A : Aurinko laskee länteen.) (b) A B (A: Otat. B : Ajat.) (c) A B C (A : Heli tulee tänään käymään. B : Katson televisiosta jalkapalloa. C : Katson televisiosta

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi

Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei

Lisätiedot

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko.

SUBSTANTIIVIT 1/6. juttu. joukkue. vaali. kaupunki. syy. alku. kokous. asukas. tapaus. kysymys. lapsi. kauppa. pankki. miljoona. keskiviikko. SUBSTANTIIVIT 1/6 juttu joukkue vaali kaupunki syy alku kokous asukas tapaus kysymys lapsi kauppa pankki miljoona keskiviikko käsi loppu pelaaja voitto pääministeri päivä tutkimus äiti kirja SUBSTANTIIVIT

Lisätiedot

Lauselogiikka Tautologia

Lauselogiikka Tautologia Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden

Lisätiedot

LOGIIKKA johdantoa

LOGIIKKA johdantoa LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

T Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A

Lisätiedot

Predikaattilogiikkaa

Predikaattilogiikkaa Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Ecolier, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät.

Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Tehtäviä on osittain muokattu, jotta ne vastaisivat paremmin kokeilumonistetta Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi.

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

SANATYYPIT JA VARTALOT

SANATYYPIT JA VARTALOT SANATYYPIT JA VARTALOT nominatiivi Kuka? Mikä? Millainen? t-monikko Ketkä? Mitkä? Millaiset? vartalo genetiivi Kenen? Minkä? Millaisen? opiskelija opiskelijat opiskelija- opiskelijan pöytä pöydät pöydä-

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

SANATYYPIT PERUSOPINNOT 2 KOULUTUSKESKUS SALPAUS

SANATYYPIT PERUSOPINNOT 2 KOULUTUSKESKUS SALPAUS SANATYYPIT LÄMMIN TAKKI LÄMPIMÄT TAKIT KAUNIS NAINEN KAUNIIT NAISET SANATYYPIT JA VARTALOT nominatiivi Kuka? Mikä? Millainen? t-monikko Ketkä? Mitkä? Millaiset? vartalo genetiivi Kenen? Minkä? Millaisen?

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa

Lisätiedot

Odpowiedzi do ćwiczeń

Odpowiedzi do ćwiczeń Odpowiedzi do ćwiczeń Lekcja 1 1. c 2. b 3. d 4. a 5. c Lekcja 2 1. ruotsia 2. Norja 3. tanskalainen 4. venäjää 5. virolainen 6. englantia 7. Saksa 8. kiina 9. espanjaa 10. Suomi 11. puolalainen 12. englanti

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

3. Predikaattilogiikka

3. Predikaattilogiikka 3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole

Lisätiedot

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2 uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia

Lisätiedot

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi.

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Tehtävä A1 Kirjoita essee aiheesta: Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Vastaa esseemuotoisesti, älä käytä ranskalaisia viivoja. Piirroksia voi käyttää. Vastauksessa luetaan ansioksi selkeä

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

LAUSESANAT KONJUNKTIOT

LAUSESANAT KONJUNKTIOT LAUSESANAT KONJUNKTIOT Ruusu ja Pampeliska ovat marsuja. Marja on vanhempi kuin Anna. Otatko teetä vai kahvia? JA TAI VAI (kysymyslause) MUTTA KOSKA (syy) KUN KUIN (vertailu) ETTÄ JOS SEKÄ Mari ja Matti

Lisätiedot

Copylefted = saa monistaa ja jakaa vapaasti 1. Käännä omalle kielellesi. Ilolan perhe

Copylefted = saa monistaa ja jakaa vapaasti 1. Käännä omalle kielellesi. Ilolan perhe Ilolan perhe 1 Pentti ja Liisa ovat Reinon, Jaanan ja Veeran isä ja äiti. Heidän lapsiaan ovat Reino, Jaana ja Veera. 'Pikku-Veera' on perheen nuorin. Hän on vielä vauva. Henry-vaari on perheen vanhin.

Lisätiedot

Inessiivi, elatiivi, illativi, adessiivi, ablatiivi vai allatiivi?

Inessiivi, elatiivi, illativi, adessiivi, ablatiivi vai allatiivi? KERTAUSTEHTÄVIÄ WS 05/06 A Inessiivi, elatiivi, illativi, adessiivi, ablatiivi vai allatiivi? 1. Juha käy aina lauantaina (TORI). 2. Juna saapuu (ASEMA). 3. Olemme (HELSINKI). 4. (MIKÄ KATU) te asutte?

Lisätiedot

Tehtävä 3: Ongelmanratkaisutehtävä

Tehtävä 3: Ongelmanratkaisutehtävä Tehtävä 3: Ongelmanratkaisutehtävä Kysymys 3.1 Seuraavat kortit tulee kääntää: ympyrä: tämän kortin selkäpuolen tulee olla punainen sininen: etupuolella ei saa olla ympyrää Seuraavia kortteja ei tarvitse

Lisätiedot

LAUSETREENEJÄ. Kysymykset:

LAUSETREENEJÄ. Kysymykset: LAUSETREENEJÄ Kysymykset: Mikä - kuka - millainen? (perusmuoto) Mitkä ketkä millaiset? (t-monikko) Minkä kenen millaisen? (genetiivi) Milloin? Millainen? Minkävärinen? Minkämaalainen? Miten? Kenellä? Keneltä?

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

VERBI ILMAISEE MYÖNTEISYYTTÄ JA KIELTEISYYTTÄ

VERBI ILMAISEE MYÖNTEISYYTTÄ JA KIELTEISYYTTÄ VERBI ILMAISEE MYÖNTEISYYTTÄ JA KIELTEISYYTTÄ EI taipuu tekijän mukaan + VERBI NUKU/N EI NUKU (minä) EN NUKU (sinä) ET NUKU hän EI NUKU (me) EMME NUKU (te) ETTE NUKU he EIVÄT NUKU (tekijänä joku, jota

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

KERROSTALO. A. Katso kuvaa numero 1. Mikä kuvassa on? Kuvassa on. B. Katso kuvaa numero 1. Missä kuvassa ovat nämä tilat? Lisää kuvaan numero.

KERROSTALO. A. Katso kuvaa numero 1. Mikä kuvassa on? Kuvassa on. B. Katso kuvaa numero 1. Missä kuvassa ovat nämä tilat? Lisää kuvaan numero. KERROSTALO A. Katso kuvaa numero 1. Mikä kuvassa on? Kuvassa on B. Katso kuvaa numero 1. Missä kuvassa ovat nämä tilat? Lisää kuvaan numero. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. uima-allas

Lisätiedot

Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista

Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Lammi Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2018 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta

Lisätiedot

TEMPORAALINEN LAUSEENVASTIKE 1

TEMPORAALINEN LAUSEENVASTIKE 1 TEMPORAALINEN LAUSEENVASTIKE 1 Lukiessa -rakenne (2. infinitiivin inessiivi) Temporaalinen lauseenvastike 1 korvaa kun-lauseen, jonka toiminta on samanaikaista päälauseen toiminnan kanssa. Verbityyppi

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka

Kieli merkitys ja logiikka Luento 9 Kieli merkitys ja logiikka Luento 9: Merkitys ja logiikka, kertaus Luku 10 loppuun (ei kausatiiveja) Ekstensio, intensio ja käsitteet Primitiivisten ilmaisujen merkitys Käsitteellis-intentionaaliset

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

Objektiharjoituksia. Harjoitus 2 Tässä on lyhyitä dialogeja. Pane objektit oikeaan muotoon. 1) - Vien... TÄMÄ KIRJE postiin.

Objektiharjoituksia. Harjoitus 2 Tässä on lyhyitä dialogeja. Pane objektit oikeaan muotoon. 1) - Vien... TÄMÄ KIRJE postiin. Objektiharjoituksia Harjoitus 1 Pane objekti oikeaan muotoon. 1. Ensin te kirjoitatte... TÄMÄ TESTI ja sitten annatte... PAPERI minulle. 2. Haluan... KUPPI - KAHVI. 3. Ostan... TUO MUSTA KENKÄ (mon.).

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 1

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 1 Tekijä Pitkä matematiikka 11 16.2.2017 1 a) Yhdistetään ja-sanalla lauseet A ja B. A B: Järvi on tyyni ja lähden vesihiihtämään. b) Muodostetaan lauseiden A ja B negaatiot. A : järvi ei ole tyyni B : en

Lisätiedot

12. kappale (kahdestoista kappale) FERESHTE MUUTTAA

12. kappale (kahdestoista kappale) FERESHTE MUUTTAA 12. kappale (kahdestoista kappale) FERESHTE MUUTTAA 12.1. Liian pieni asunto Fereshten perheessä on äiti ja neljä lasta. Heidän koti on Hervannassa. Koti on liian pieni. Asunnossa on vain kaksi huonetta,

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta:

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: RMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 8 Ratkaisuehdotuksia Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: Pankki harkitsee myöntääkö 5. euron lainan asiakkaalle 12%

Lisätiedot

TEHTÄVIÄ SATUUN SAAPASJALKAKISSA

TEHTÄVIÄ SATUUN SAAPASJALKAKISSA 1 TEHTÄVIÄ SATUUN SAAPASJALKAKISSA A) Sisältökysymykset: OSA1: OSA2: 1. Miksi myllärin nuorin poika oli surullinen perinnöstä? 2. Mitä kissa ehdotti nuorimmalle veljelle? 3. Miten saapasjalkakissa pyydysti

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

2. kappale ( toinen kappale) P ERHE. sisko. Hän on 13 vuotta.

2. kappale ( toinen kappale) P ERHE. sisko. Hän on 13 vuotta. 2. kappale ( toinen kappale) P ERHE 2.1. Fereshte ja Anna katsovat kuvaa. Fereshte: Tämä on minun perhe. Anna: Kuka hän on? Fereshte: Hän on minun äiti. Äidin nimi on Samiya. Tämä olen minä. Tämä on minun

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka

Kieli merkitys ja logiikka Luento 8 Kieli merkitys ja logiikka Luento 8: Merkitys ja logiikka Luku 10: Luennon 7 kertaus: propositiologiikka predikaattilogiikka Kvanttorit ja looginen muoto Määritelmät, analyyttisyys ja synteettisyys

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Jorma Lehtojuuri, rkm Omakotiliiton rakennusneuvoja Juuan Omakotiyhdistys ry:n puheenjohtaja

Jorma Lehtojuuri, rkm Omakotiliiton rakennusneuvoja Juuan Omakotiyhdistys ry:n puheenjohtaja Jorma Lehtojuuri, rkm Omakotiliiton rakennusneuvoja Juuan Omakotiyhdistys ry:n puheenjohtaja Uusavuttomuus - uusi ilmiö Jorma Lehtojuuri Wikipedia määrittelee uusavuttomuuden varsinkin nuorten aikuisten

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 11 (predikaattilogiikka )

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 11 (predikaattilogiikka ) T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 11 (predikaattilogiikka 14.1 14.5) 23. 25.4.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 14.1 Herbrand-universumi U muodostuu termeistä,

Lisätiedot

Miten Suomi on muuttunut sadassa vuodessa? A1 Suomen valtio

Miten Suomi on muuttunut sadassa vuodessa? A1 Suomen valtio A1 Suomen valtio 1917 2017 1 Kuinka suuri Suomi oli? Mikä oli Suomen pinta-ala? km 2 2 Mikä oli Suomen 4. suurin kaupunki? 3 Kuinka paljon Suomessa oli asukkaita? 4 Kuinka monta ihmistä asui neliökilometrin

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN

JOHDATUS MATEMATIIKKAAN JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Toitteko minulle ihmisen, joka ei osaa laskea sormiaan? Kuolleiden kirja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Alkusanat Tämä tiivistelmä on allekirjoittaneen

Lisätiedot

Valitse jokaiseen lauseeseen sopiva kysymyssana vastauksen mukaan:

Valitse jokaiseen lauseeseen sopiva kysymyssana vastauksen mukaan: Kero, mitä menet tekemään. Malli: Menen yliopistoon Menen yliopistoon opiskelemaan. Menen kauppaan 5. Menen uimahalliin Menen kotiin 6. Menen kahvilaan Menen ravintolaan 7. Menen pankkiin 4. Menen kirjastoon

Lisätiedot

Paritreenejä. Lausetyypit

Paritreenejä. Lausetyypit Paritreenejä Lausetyypit Keskustele parin kanssa, kysy parilta! Omasta mielestäni olen Minun perhe on Minun suku on Minun äiti on Minun isä on Minun koti on Minun lempiruoka on Minun suosikkilaulaja on

Lisätiedot

Vastaoletuksen muodostaminen

Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset

Lisätiedot

Seuraavat henkilöt ovat ehdokkaina seuraavissa presidentinvaaleissa 2012, ketä heistä todennäköisesti äänestätte?

Seuraavat henkilöt ovat ehdokkaina seuraavissa presidentinvaaleissa 2012, ketä heistä todennäköisesti äänestätte? TALOUSTUTKIMUS OY 20111215 09:14:42 TYÖ 2650.15 TAULUKKO 9015 ss VER % Telebus vko 48B-50B½/2011 Kaikki Sukupuoli Ikä Ammatti Ruokakunta nainen mies 18-24 25-34 35-49 50-79 työn toimi eläke muu aikuis

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Tämä on perusohje sinulle, joka asut vastaanottokeskuksen vuokraamassa asunnossa. Asumiseen liittyviä ohjeita

Tämä on perusohje sinulle, joka asut vastaanottokeskuksen vuokraamassa asunnossa. Asumiseen liittyviä ohjeita Tämä on perusohje sinulle, joka asut vastaanottokeskuksen vuokraamassa asunnossa. Asumiseen liittyviä ohjeita Asuminen vastaanottokeskuksen asunnossa Vastaanottokeskus järjestää sinulle tilapäisen majoituksen

Lisätiedot

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.

Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.

Lisätiedot

Kansalaiset: Kekkonen, Niinistö ja Koivisto arvostetuimmat presidentit

Kansalaiset: Kekkonen, Niinistö ja Koivisto arvostetuimmat presidentit TIEDOTE Kansalaiset: Kekkonen, Niinistö ja Koivisto arvostetuimmat presidentit Kaikkien aikojen arvostetuimmiksi tasavallan presidenteiksi nousevat ja, käy ilmi KAKS Kunnallisalan kehittämissäätiön kansalaistutkimuksesta.

Lisätiedot

Dialogi 1 Luonto ja ympäristö

Dialogi 1 Luonto ja ympäristö Lämmittely Kuinka paljon Suomen pinta-alasta on metsää? Mikä suo on? Miksi ihmiset liikkuvat syksyllä paljon metsässä? Mikä on villieläimen ja kesyn eläimen ero? Millainen eläin karhu / susi on? Mitkä

Lisätiedot

TYÖKALUJA SELKEÄÄN SEKSUAALITERVEYSKASVATUKSEEN TURVATAIDOT

TYÖKALUJA SELKEÄÄN SEKSUAALITERVEYSKASVATUKSEEN TURVATAIDOT TYÖKALUJA SELKEÄÄN SEKSUAALITERVEYSKASVATUKSEEN TURVATAIDOT Turvaympyrä i TUTUT IHMISET Sinun kehosi on tärkeä ja arvokas. Kukaan ei saa koskea siihen ilman sinun lupaa. Tärkeä tietää: Suorista käsi eteesi

Lisätiedot

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan,

Lisätiedot

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden

Lisätiedot

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Jorma Merikoski Ari Virtanen Pertti Koivisto. Johdatus diskreettiin matematiikkaan

Jorma Merikoski Ari Virtanen Pertti Koivisto. Johdatus diskreettiin matematiikkaan Jorma Merikoski Ari Virtanen Pertti Koivisto Johdatus diskreettiin matematiikkaan 2 c Jorma Merikoski, Ari Virtanen, Pertti Koivisto Esipuhe Monisteemme Diskreetti matematiikka I (kirjallisuusluettelossa

Lisätiedot

Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä.

Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. 1 Lapsen nimi: Ikä: Haastattelija: PVM: ALKUNAUHOITUS Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. OSA

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan (Fte170)

Johdatus logiikkaan (Fte170) Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian,

Lisätiedot

Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus.

Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 17.10.2016 klo 15:07 passed waiting redo submitters

Lisätiedot

KUVAJUTTU Lapsen nimi: Päivämäärä: Päiväkoti/koulu: Lomakkeen täyttäjä:

KUVAJUTTU Lapsen nimi: Päivämäärä: Päiväkoti/koulu: Lomakkeen täyttäjä: KUVAJUTTU Lapsen nimi: Päivämäärä: Päiväkoti/koulu: Lomakkeen täyttäjä: Lapsen kanssa järjestetään kahdenkeskeinen arviointihetki 2 kertaa vuodessa: alkukartoitus ja seuranta puolen vuoden päästä. Tutustu

Lisätiedot

MILLOIN PARTITIIVIA KÄYTETÄÄN? 1. NEGATIIVINEN LAUSE o Minulla ei ole autoa. o Lauralla ei ole työtä. o En osta uutta kännykkää.

MILLOIN PARTITIIVIA KÄYTETÄÄN? 1. NEGATIIVINEN LAUSE o Minulla ei ole autoa. o Lauralla ei ole työtä. o En osta uutta kännykkää. MILLOIN PARTITIIVIA KÄYTETÄÄN? 1. NEGATIIVINEN LAUSE o Minulla ei ole autoa. o Lauralla ei ole työtä. o En osta uutta kännykkää. 2. NUMERO (EI 1) + PARTITIIVI o Minulla on kaksi autoa. o Kadulla seisoo

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

KUN-LAUSEENVASTIKE (TEMPORAALINEN LAUSEENVASTIKE 1)

KUN-LAUSEENVASTIKE (TEMPORAALINEN LAUSEENVASTIKE 1) KUN-LAUSEENVASTIKE (TEMPORAALINEN LAUSEENVASTIKE 1) - essa- / -essä- - kun-lauseen paikalla - tekeminen on samaan aikaan päälauseen tekemisen kanssa Sulje ovi lähtiessäsi! Meille tullessasi, voisitko tuoda

Lisätiedot