i ) dµ = 1 i µ(f i E j ) 0.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "i ) dµ = 1 i µ(f i E j ) 0."

Transkriptio

1 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI TUOMAS HYTÖNEN 1. Ehdollinen odotusarvo martingaali 4 s. maasto- ja esteratsastuksessa joskus käytetyt apuohjakset, joiden tarkoitus on estää hevosta viskomasta päätään ylöspäin. Nykysuomen sanakirja Mittateorian peruskäsitteitä ja -merkintöjä. Kolmikko (, F, µ) on mitta-avaruus, jos on joukko, F on :n σ-algebra, eli sellainen :n osajoukkojen kokoelma, joka toteuttaa, F, E F E C := \ E F, E i F E i F, µ on mitta, eli kuvaus F [, ], joka toteuttaa µ( ) =, i= E i F, E i E j = kun i j µ ( ) E i = µ(e i ). Kuvaus f : R on F -mitallinen, jos f 1 (B) := {f B} := {ω : f(ω) B} F kaikilla Borelin joukoilla B R. Merkitään F :lla F :n äärellismittaisten joukkojen kokoelmaa, eli F := {E F : µ(e) < }. Mitta-avaruus (, F, µ) on σ-äärellinen, jos on olemassa joukot E i F, joilla i= E i =. Tällöin nämä joukot voidaan haluttaessa valita toteuttamaan joko (a) E i E i+1 tai (b) E i E j = aina, kun i j. Kohta (a) seuraa valitsemalla E i := i j= E i, ja kohta (b) asettamalla E i := E i \ E i 1, missä E 1 :=. Ellei muuta mainita, oletetaan jäljempänä, että (, F, µ) on σ-äärellinen. Sanotaan, että F -mitallinen funktio f : R on σ-integroituva, jos se on integroituva kaikilla äärellismittaisilla joukoilla eli jos 1 E f L 1 (F, µ) kaikilla E F. Merkitään tällaisten funktioiden joukkoa L 1 σ(f, µ):llä Lemma. Jos f L 1 σ(f, µ) toteuttaa E f dµ kaikilla E F, niin f m.k. (melkein kaikkialla). Sama pätee, kun korvataan :lla tai =:lla. Todistus. Olkoon F i := {f < 1/i} F ja E j yksi σ-äärellisyyden määritelmässä esiintyvä joukko, jotka nyt valitaan erillisiksi. Tällöin ( 1 f dµ F i E j F i E j i ) dµ = 1 i µ(f i E j ). Siis µ(f i E j ) =, ja laskemalla summa j N saadaan µ(f i ) =. Koska {f < } = i=1 F i, nähdään, että µ({f < }) =, mikä on sama kuin f m.k. Tapaus saadaan jo todistetusta tarkastelemalla funktiota f. Tapaus = seuraa näistä kahdesta toteamalla, että x = jos ja vain jos x ja x. i= i= Versio: 16. lokakuuta Tällä määritelmällä on sangen vähän tekemistä luennoilla käsiteltävien martingaalien kanssa. 1

2 2 TUOMAS HYTÖNEN 1.3. Ali-σ-algebra ja ehdollinen odotusarvo sen suhteen. Jos F on toinen σ-algebra, sanotaan sitä F :n ali-σ-algebraksi. Tällöin funktion -mitallisuus on tiukempi ehto kuin F - mitallisuus, sillä on vähemmän vaihtoehtoja alkukuville {f B}. Vastaavasti myös (,, µ):n σ-äärellisyys on tiukempi ehto kuin (, F, µ):n σ-äärellisyys. Jäljempänä kuitenkin oletetaan, että kaikki käsiteltävät mitta-avaruudet ovat σ-äärellisiä, ellei erikseen muuta mainita. Kuvausta g L 1 σ(, µ) sanotaan kuvauksen f L 1 σ(f, µ) ehdolliseksi odotusarvoksi :n suhteen, mikäli on voimassa yhtälö f dµ = g dµ. Tämä tarkoittaa, että g on (tietyssä mielessä) paras mahdollinen -mitallinen arvio funktiolle f. Todetaan, että f:n ehdollinen odotusarvo :n suhteen, jos se on olemassa, on yksikäsitteinen (m.k.). Nimittäin jos g 1, g 2 L 1 σ(, µ) olisivat kumpikin f:n ehdollisia odotusarvoja, niin määritelmän perusteella g := g 1 g 2 L 1 σ(, µ) toteuttaisi g dµ = kaikilla. Tällöin lemman 1.2 perusteella pätisi g = m.k., eli g 1 = g 2 m.k. Merkitään yksikäsitteiseksi todettua f:n ehdollista odotusarvoa :n suhteen symbolilla E[f ]. Seuraavaksi osoitetaan, että se on aina olemassa Olemassaolo L 2 -funktioille. Avaruudet L 2 (F, µ) ja L 2 (, µ) ovat molemmat Hilbertin avaruuksia, ja jälkimmäinen on ensimmäisen suljettu aliavaruus. Jos f L 2 (F, µ), olkoon g L 2 (, µ) sen kohtisuora projektio avaruudelle L 2 (, µ). Tällöin siis f g L 2 (, µ). Jos, niin 1 L 2 (, µ). Täten = (f g, 1 ) = (f g) dµ, joten g = E[f ] Helppoja havaintoja. Jos g L 1 σ(, µ), se on oma ehdollinen odotusarvonsa, g = E[g ]. Erityisesti vakiofunktion ehdollinen odotusarvo on sama vakio. Jos f 1, f 2 L 1 σ(f, µ), ja niillä kummallakin on ehdolliset odotusarvot E[f i ], niin kaikilla vakioilla α 1, α 2 myös funktiolla α 1 f 1 + α 2 f 2 on ehdollinen odotusarvo, ja se on E[α 1 f 1 + α 2 f 2 ] = α 1 E[f 1 ] + α 2 E[f 2 ]. Nämä havainnot seuraavat helposti suoraan ehdollisen odotusarvon määritelmästä. Jos pätee pisteittäinen (m.k.) epäyhtälö f 1 f 2, niin myös E[f 1 ] E[f 2 ]. Tämä seuraa kaikilla pätevästä arviosta E[f 1 ] dµ = f 1 dµ f 2 dµ = E[f 2 ] dµ sekä lemmasta 1.2. Tästä seuraa, että jos f L 1 σ(f, µ), ja sekä E[f ] että E[ f ] ovat olemassa, niin pätee E[f ] = max { E[f ], E[f ] } = max { E[f ], E[ f ] } E[ f ], missä viimeinen vaihe perustui siihen, että sekä f f että f f Olemassaolo L 1 -funktioille. Olkoon sitten f L 1 (F, µ). Integraaliteorian perusteella on olemassa jono funktioita f n L 1 (F, µ) L 2 (F, µ), joilla f n f avaruudessa L 1 (F, µ). Kohdan 1.4 perusteella ehdolliset odotusarvot g n := E[f n ] ja E[ f n ] ovat olemassa ja kuuluvat avaruuteen L 2 (, µ). Jos, niin g n dµ = E[f n ] dµ E[ f n ] dµ = f n dµ. Valitsemalla erilliset = E k mitta-avaruuden (,, µ) σ-äärellisyyden määritelmästä ja laskemalla summa k N, saadaan g n 1 f n 1, joten g n L 1 (, µ). Toistamalla edellinen lasku, niin että g n :n paikalla on g n g m, saadaan samalla tavalla g n g m 1 f n f m 1, ja tämä lähestyy nollaa, kun n, m, koska f n f. Siis (g n ) n=1 on

3 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI 3 Cauchyn jono L 1 (, µ):ssä, ja täten lähestyy jotakin funktioita g L 1 (, µ). Tämä g toteuttaa kaikilla yhtälön g dµ = lim g n dµ = lim E[f n ] dµ = lim f n dµ = f dµ, n n n joten g = E[f ] Olemassaolo yleisesti. Olkoon viimein f L 1 σ(f, µ). Olkoot erilliset joukot i sellaiset, että i= i =, mikä onnistuu (,, µ):n σ-äärellisyyden perusteella. Nyt f i := 1 i f L 1 (F, µ), joten on olemassa g i := E[f i ] L 1 (, µ). Havaitaan, että tällöin g i = 1 i g i. Nimittäin kaikilla pätee 1 i g i dµ = g i dµ = f i dµ = f i dµ = g i dµ, i i missä käytettiin kahdesti ehdollisen odotusarvon määritelmää funktioon g i = E[f i ] sekä tietoa siitä, että f i = 1 i f i. Nyt väite g i = 1 i g i seuraa lemmasta 1.2. Nyt voidaan asettaa g := i= g i, mikä suppenee triviaalisti pisteittäin, sillä g i :t ovat kannatetut erillisillä joukoilla i. Suoraan määritelmästä on helppo todeta, että g = E[f ]. Kaiken kaikkiaan on nyt osoitettu seuraava tulos: 1.8. Lause. Olkoot (, F, µ) ja (,, µ) σ-äärellisiä mitta-avaruuksia, joista F. Tällöin kaikilla f L 1 σ(f, µ) on olemassa m.k. yksikäsitteinen ehdollinen odotusarvo E[f ] L 1 σ(, µ). Seuraavaksi tutkitaan tarkemmin ehdollisen odotusarvon ominaisuuksia seuraavaa aputulosta hyväksi käyttäen: 1.9. Lemma. Olkoon φ : R R konveksi funktio, ja Tällöin φ(x) = sup{h(x) : h H φ }. H φ := {h : R R h(x) = ax + b joillakin a, b R ja h φ}. Todistus. Kaikilla h H φ pätee h φ, joten myös sup h Hφ h φ; siis riittää osoittaa käänteinen epäyhtälö. Olkoon x R. Tällöin raja-arvo φ(y) φ(x ) a := lim y x y x on olemassa. Nimittäin konveksisuuden määritelmästä seuraa, että raja-arvon sisällä oleva erotusosamäärä on kasvava y:n funktio joukossa y R \ {x }. Jos valitaan jokin x 1 < x, on siis (φ(y) φ(x ))/(y x ) alhaalta rajoitettu luvulla (φ(x 1 ) φ(x ))/(x 1 x ), kun y > x, ja lisäksi vähenevä, kun y x. Tästä raja-arvon olemassaolo seuraa reaalilukujoukkojen tunnettujen ominaisuuksien perusteella. Olkoon sitten h (x) := φ(x ) + a(x x ). Sen nojalla, mitä yllä todettiin a:n määrittelevän erotusosamäärän käyttäytymisestä, pätee kaikilla x R epäyhtälö a(x x ) φ(x) φ(x ), ja siis h H φ. Toisaalta selvästi h (x ) = φ(x ), joten sup h Hφ h(x ) φ(x ). Koska x R oli mielivaltainen, seuraa väite Lause (Jensenin epäyhtälö). Olkoon φ : R R konveksi ja f, φ(f) L 1 σ(f, µ). Tällöin φ ( E[f ] ) E[φ(f) ]. Todistus. Olkoon h H φ. Tällöin h ( E[f ] ) = ae[f ] + b = E[af + b ] = E[h(f) ] E[φ(f) ]. Laskemalla vasemman puolen supremum kaikista h H φ seuraa väite Seuraus. Olkoon p [1, ] ja f L p (F, µ). Tällöin E[f ] L p (, µ) ja E[f ] p f p.

4 4 TUOMAS HYTÖNEN Todistus. Olkoon ensin p <. Koska L p (F, µ) L 1 σ(f, µ), niin E[f ] on olemassa, samoin E[ f p ]. Koska funktio t t p on konveksi, pätee Jensenin epäyhtälön nojalla Täten kaikilla saadaan E[f ] p dµ E[f ] p E[ f p ]. E[ f p ] dµ = f p dµ. Valitsemalla erilliset k mitta-avaruuden (,, µ) σ-äärellisyyden määritelmästä ja laskemalla summa yllä olevista epäyhtälöistä kaikilla = k, saadaan väite. Seuraavaksi esitetään ehdollista odotusarvoa koskevat versiot integraaliteorian tutuista suppenemislauseista Monotonisen suppenemisen lause. Integraalilaskennan versiohan sanoo, että jos jono mitallisia funktiota toteuttaa f n f m.k., niin f n dµ f dµ, missä f n f tarkoittaa lähestyy kasvaen, mikä pitää sisällään lähestymisen f n f lisäksi sen, että f n f n+1 kaikilla n. Vastaava väite ehdolliselle odotusarvolle on seuraava: f n f L 1 σ(f, µ) E[f n ] E[f ]. Todistus. Koska ehdollinen odotusarvo kunnioittaa pisteittäisiä epäyhtälöitä (kohta 1.5), saadaan f n f n+1 f E[f n ] E[f n+1 ] E[f ]. Siis ( E[f n ] ) on kasvava rajoitettu jono, joten sillä on olemassa pisteittäinen -mitallinen n=1 raja-arvo, E[f n ] g, ja g E[f ], joten g L 1 σ(, µ). Vielä on osoitettava, että g = E[f ]. Koska kaikilla pätee g dµ = lim E[f n ] dµ = lim f n dµ = f dµ, n n missä ensimmäinen ja viimeinen askel perustuivat tavalliseen monotonisen suppenemisen lauseeseen, nähdään että g = E[f ], mikä viimeistelee todistuksen Fatoun lemma. Integraaliteorian versiohan kertoo, että f n lim inf f n dµ lim inf n n f n dµ. Ehdolliselle odotusarvolle osoitetaan vastaavasti f n L 1 σ(f, µ), f := lim inf n f n L 1 σ(f, µ) E[f ] lim inf n E[f n ]. Todistus. Kirjoitetaan auki alaraja-arvon määritelmä: f = lim inf n f n = lim n inf m n f n =: lim n h n, h n := inf m n f n. Nyt h n f, joten monotonisen suppenemisen lausetta voidaan soveltaa, ja saadaan E[f ] = E[ lim n h n ] = lim n E[h n ] lim n inf m n E[f m ] = lim inf n E[f n ]. Yllä epäyhtälö perustui siihen, että h n f m kaikilla m n ja siis E[h n ] E[f m ], mistä infimum laskemalla saadaan kyseinen askel. Näin väite on todistettu.

5 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI Dominoidun suppenemisen lause. Integraalilaskennan version perusteella f n f, f n g L 1 (F, µ) f n f dµ f n dµ f dµ; ehdollisen version taas f n f, f n g L 1 σ(f, µ) E [ f n f ] E[fn ] E[f ]. Todistus. Jätetään harjoitustehtäväksi. Vielä osoitetaan yksi ehdollista odotusarvoa koskeva tärkeä tulos, jolla ei ole selkeää vertailukohtaa perusintegraaliteoriassa: Lause. Olkoon f L 1 σ(f, µ), ja g sellainen -mitallinen funktio, että myös g f L 1 (F, µ). Tällöin E[g f ] = g E[f ]. Todistus. Olkoon ensin g yksinkertainen -mitallinen funktio, g = N k=1 a k1 k, missä k. Tällöin kaikilla pätee N N g E[f ] dµ = E[f ] dµ = f dµ = k k k=1 k=1 g f dµ, joten g E[f ] = E[g f ] ehdollisen odotusarvon yksikäsitteisyyden perusteella. Jos g on yleinen -mitallinen funktio, niin mittateorian perusteella on olemassa jono -yksinkertaisia funktioita g n, joilla g n g ja g n g. Siis myös g n f g f ja g n f g f. Soveltamalla dominoidun suppenemisen lausetta ja todistuksen ensimmäistä puolta, nähdään nyt, että mikä oli todistettavana. E[g f ] = lim n E[g n f ] = lim n g n E[f ] = g E[f ], Harjoitustehtäviä. Näissä käsitellään vielä joitakin ehdollisen odotusarvon keskeisiä ominaisuuksia. Kaikissa tehtävissä oletetaan, että on joukko, F ja sen σ-algebroita, joista F, ja µ : F [, ] on mitta. Lisäksi kaikki funktiot ovat F -mitallisia, ellei muuta sanota. Tehtävää 1 lukuunottamatta oletetaan myös, että kaikki mitta-avaruudet ovat σ-äärellisiä. 1. Anna esimerkki seuraavasta tilanteesta: (, F, µ) on σ-äärellinen, mutta (,, µ) ei ole. 2. Todista dominoidun suppenemisen lause ehdollisille odotusarvoille. (Katso kohtaa 1.14.) 3. Todista ehdollisten odotusarvojen tornisääntö: Jos H on vielä yksi σ-algebra, niin kaikilla f L 1 σ(f, µ) pätee E ( E[f ] H ) = E[f H ]. 4. Todista ehdollinen Hölderin epäyhtälö: Jos f L p σ(f, µ) ja g L p σ (F, µ), niin E[f g ] E[ f p ] 1/p E[ f p ] 1/p. (Vihje: todista ensin, että kaikilla a, b > pätee ab a p /p + b p /p.) Lähteistä. Tämän luvun materiaali todennäköisyysavaruuksiin (eli mitta-avaruuksiin, joissa µ() = 1) rajoitettuna on nykyaikaisen todennäköisyysteorian perusasiaa, joka on esitetty useissa kirjoissa, esimerkiksi Williamsin vauhdikkaassa opuksessa [3]. On asiantuntijoiden keskuudessa hyvin tunnettua, että monet tulokset ovat voimassa yleisemmissäkin mitta-avaruuksissa, kuten yllä on osoitettu, mutta tästä on vaikea löytää järjestelmällistä esitystä kirjallisuudesta.

6 6 TUOMAS HYTÖNEN 2. Diskreettiaikaiset martingaalit 2.1. Määritelmä. Olkoon (, F, µ) mitta-avaruus ja I järjestetty joukko. σ-algebraperhettä (F i ) i I kutsutaan F :n suodatukseksi jos F i F j F aina kun i, j I ja i < j. Funktioperhettä (f i ) i I kutsutaan mukautetuksi annettuun suodatukseen, jos f i on F i - mitallinen kaikilla i I. Olkoot lisäksi kaikki mitta-avaruudet (, F i, µ) σ-äärellisiä. Mukautettua funktioperhettä kutsutaan alimartingaaliksi, jos f i L 1 σ(f i, µ) kaikilla i I ja f i E[f j F i ] aina kun i < j. Sitä sanotaan martingaaliksi, jos viimeinen epäyhtälö voimistetaan yhtälöksi f i = E[f j F i ] aina kun i < j. Jos f L 1 σ(f, µ) ja (F i ) i I on suodatus, jonka määräämät mitta-avaruudet ovat σ-äärellisiä, niin asettamalla f i := E[f F i ] kaikilla i I saadaan martingaali. Jos (f i ) i I on martingaali, niin ( f i ) i i on alimartingaali. Nämä seikat on helppo tarkistaa. Sovelluksissa indeksiä i I voidaan usein ajatella jonkinlaisena aikaparametrina. Näissä luennoissa rajoitutaan diskreettiaikaisiin suodatuksiin ja martingaaleihin, joissa I Z. Jos I Z on aito osajoukko ja (F i ) i I ja (f i ) i I sillä indeksoitu suodatus ja martingaali, niin voidaan määritellä F i ja f i myös arvoilla i Z \ I sillä tavalla, että myös (F i ) i Z ja (f i ) i Z ovat suodatus ja siihen mukautettu martingaali (harjoitustehtävä) Tiheyskysymyksiä. Vaikka tätä ei edellytetä suodatuksen määritelmässä, on mielenkiintoisinta tarkastella tilannetta, jossa suodatus (F i ) i Z virittää koko σ-algebran F, toisin sanoen ( F = σ F i ). Palautetaan mieleen, että merkintä σ(a ), missä A on mikä tahansa :n osajoukkojen kokelma, tarkoittaa pienintä :n σ-algebraa, joka sisältää A :n. Se saadaan kaikkien A :n sisältävien σ-algebrojen leikkauksena: näitä on ainakin yksi (kaikki :n osajoukot sisältävä σ-algebra) ja toisaalta σ-algebrojen (miten monen tahansa) leikkaus on aina σ-algebra. Kuvatussa tilanteessa on luonnollista kysyä, voidaanko F :n joukkoja, tai toisaalta F -mitallisia funktioita, arvioida i Z F i:n joukoilla, tai virittävien σ-algebroiden suhteen mitallisilla funktioilla. Seuraavat tulokset antavat myönteisiä vastauksia näihin kysymyksiin. Merkitään F :llä niitä F :n joukkoja, joiden äärellismittaisia osia voidaan mielivaltaisen tarkasti arvioida i Z F i:n joukoilla, eli tarkemmin F := i Z { E F E F ε > F } F i : µ(e [E F ]) < ε. i Z Tässä E F on joukkojen symmetrinen erotus, E F := (E \ F ) (F \ E). ) 2.3. Lemma. Olkoon (F i ) i I suodatus ja F = σ( i Z F i. Tällöin F = F. Todistus. Selvästi i Z F i F F. ( seuraa siitä, että jos E i Z F i, kelpaa F = E tarvittavaksi joukoksi F :n määritelmässä kaikilla E ja ε.) Siis riittää osoittaa, että F on σ- algebra. Nimittäin tällöin sen perusteella, että F oli pienin i Z F i:n sisältävä σ-algebra saadaan F F, ja tästä seuraa väite. Triviaalisti, F, ja väite E F E C F seuraa siitä, että jos µ(e [E F ]) < ε, niin myös µ(e [E C F C ]) < ε (sillä E C F C = E F ), joten F C i Z F i kelpaa E C :tä arvioivaksi joukoksi. Vielä on osoitettava, että E k F E := k=1 E k F. Kiinnitetään E F ja ε >, ja merkitään µ () := µ(e ); tämä on äärellinen mitta. Koska N k=1 E k E, eli E \ N k=1 E k, pätee riittävän suurella N arvio N ) µ (E \ E k < ε. k=1

7 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI 7 Olkoon F k i Z F i sellainen joukko, että µ (E k F k ) < ε 2 k. Tällöin siis F k F i(k) jollakin i(k) Z. Merkitään j := max{i(k); k = 1,..., n}, jolloin F k F j kaikilla k = 1,..., n (koska (F i ) i Z oli suodatus) ja siis myös N F := F k F j F i. k=1 i Z Nyt voidaan arvioida N ) N N µ (E \ F ) µ (E \ E k + µ (E k \ F k ) < ε + ε 2 k < 2ε, N µ (F \ E) µ (F k \ E k ) < ε, k=1 k=1 k=1 k=1 eli kaiken kaikkiaan µ (E F ) < 3ε, ja todistus on valmis Lemma. Olkoot lemman 2.3 oletukset voimassa ja lisäksi (, F i, µ):t σ-äärellisiä. Jos E F, niin kaikilla ε > voidaan valita F i Z F i, siten että µ(e F ) < ε. Erona edelliseen lemmaan on siis se, että nyt arvioidaan erotusjoukon E F koko mittaa, eikä vain sen rajoittumaan annetulle joukolle E. Todistus. Koska (esim.) F on σ-äärellinen, on olemassa äärellismittaiset joukot A k F, A k. Tällöin E \ A k, joten jollakin k pätee µ(e \ A k ) < ε. Valitaan E := A k ja sovelletaan lemmaa 2.3. Sen perusteella on olemassa joukko F i Z F i, siten että µ(e [E F ]) < ε. Myös F := E F i Z F i, ja tämä toteuttaa µ(e \ F ) = µ(e \ E ) + µ(e E \ F ) < 2ε, µ(f \ E) = µ(e F \ E) < ε. Siis F on halutuntyyppinen joukko (arvolla 3ε). Nyt saadaan seurauksena tiheystulos funktioille: 2.5. Lause. Olkoon (F i ) i Z avaruuden (, F, µ) suodatus, johon liittyvät mitta-avaruudet ovat ) σ-äärellisiä ja F = σ( i Z F i. Olkoon p [1, ). Tällöin on tiheä L p (F, µ):ssä. L p (F i, µ) i Z Todistus. Olkoon f L p (F, µ). Integraaliteorian perusteella on olemassa yksinkertainen funktio g = N k=1 a k1 Ek, missä E k F, siten että f g p < ε. Lemman 2.4 mukaan on edelleen olemassa joukot F k Fi(k) F j, missä j := max{i(k) : k = 1,..., N}, siten että µ (E k F k ) < δ. Merkitsemällä h := N k=1 a k1 Fk, saadaan N N N g h p a k 1 Ek 1 Fk p = a k µ(e k F k ) 1/p < δ 1/p a k < ε, k=1 kunhan δ valitaan riittävän pieneksi. Siis f h p < 2ε, ja h L p (F j, µ) Seuraus. Lauseen 2.5 oletuksilla pätee kaikilla f L p (F, µ) suppeneminen k=1 E[f F i ] f L p (F, µ)-normin suhteen, kun i. Lause 2.5 siis sanoi, että hyviä arvioita f:lle on olemassa avaruuksissa L p (F i, µ); tämä seuraus kertoo, että niiden löytäminen onnistuu ehdollisen odotusarvon avulla. k=1

8 8 TUOMAS HYTÖNEN Todistus. Olkoon annettu ε >. Lauseen 2.5 perusteella on olemassa j Z ja g L p (F j, µ), siten että f g p < ε. Nyt E[f F i ] f p E[f g F i ] p + E[g F i ] g p + g f p, ja keskimmäinen termi häviää, jos i j, koska silloin E[g F i ] = g. Lisäksi E[f g F i ] p f g p, joten E[f F i ] f p 2 g f p < 2ε, kun i j Kysymys pisteittäisestä suppenemisesta. Yleisen integroimisteorian perusteella muistetaan, että L p -normin suhteen suppenevalla funktiojonolla on myös pisteittäin m.k. suppeneva osajono. Edellisen seurauslauseen tilanteessa ei osajonoon rajoittuminen itse asiassa ole tarpeen, mutta tämän todistaminen edellyttää tiettyä lisätyökalua. Hahmotellaan todistusta niin pitkälle, kuin se tässä vaiheessa on mahdollista, jolloin samalla nähdään mikä tarvittava arvio vielä puuttuu. Ensiksikin {E[f F i ] f} = { lim sup E[f F i ] f > } = i joten riittää osoittaa, että kaikilla ε > pätee n=1 µ ({ lim sup E[f F i ] f > ε }) =. i { lim sup E[f F i ] f > 1, i n} Olkoon δ >, ja olkoon j Z ja g L p (F j, µ) sellaiset, että f g p < δ. Tällöin E[f F i ] f E[f g F i ] + E[g F i ] g + g f. Ottamalla puolittain lim sup i ja havaitsemalla, että keskimmäinen termi lähestyy nollaa (se jopa on nolla heti kun i j), saadaan µ ({ lim sup i E[f F i ] f > 2ε }) µ ({ lim sup E[f g F i ] > ε }) + µ ({ g f > ε }). i Jälkimmäiselle termille pätee perusarvio µ ({ g f > ε }) ε p g f p p < (δ/ε) p, mikä saadaan mielivaltaisen pieneksi, koska δ > voidaan valita vapaasti. Jäljellä olevaa lim sup-termiä voidaan arvioida lim sup i E[f g F i ] sup E[ f g F i ] =: M( f g ), i Z missä määritelty (epälineaarinen) operaattori M on Doobin maksimioperaattori. Pätee siis µ ({ lim sup E[f g F i ] > ε }) µ ({ M( f g ) > ε} ), i joten tarvittaisiin µ ({ Mh > ε }) Cε p h p p -tyyppistä arvioita. Tämä tulos seuraa maksimifunktiota koskevasta Doobin epäyhtälöstä. Määritellään kuitenkin ensin maksimifunktio aavistuksen yleisemmässä tilanteessa: 2.8. Doobin maksimifunktio. Olkoon (f i ) i Z suodatukseen (F i ) i Z mukautettu funktiojono. Merkitään koko jonoa lyhyesti f:llä; nyt siis f = (f i ) i Z ei itse ole funktio, vaan jono funktioita. Tällöin sen Doobin maksimifunktio määritellään pisteittäin Mf := f := sup f i. i Z Huomaa, että tämä merkintätapa on sopusoinnussa edellisessä kohdassa käsitellyn tilanteen kanssa, jossa f L 1 σ(f, µ) on funktio ja f i = E[f F i ] Lause (Doobin epäyhtälö). Olkoon f = (f i ) i Z alimartingaali, jolla f i ja sup i Z f i p <, missä p (1, ]. Tällöin f L p (F, µ) ja tarkemmin f p p sup f i p. i Z

9 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI 9 Vastaava tulos seuraa välittömästi martingaaleille (ilman vaatimusta f i ), sillä jos (f i ) i Z on martingaali, niin ( f i ) i Z toteuttaa lauseen oletukset. Epäyhtälössä esiintyvä vakio p on paras mahdollinen (siinä mielessä, että tulos ei ole yleisesti voimassa, jos p korvataan millä tahansa luvulla c < p ) tähän seikkaan palataan harjoitustehtävissä. Doobin epäyhtälöstä on olemassa myös ns. heikon tyypin versio tapauksessa p = 1, mutta sitä ei tässä yhteydessä käsitellä Alustavia tarkasteluita. Ennen Doobin epäyhtälön varsinaista todistusta tehdään joitakin yksinkertaistavia havaintoja. Ensinnäkin tapaus p = on triviaali, joten jatkossa keskitytään tilanteeseen p (1, ). Havaitaan, että riittää todistaa vastaava väite alimartingaaleille (f i ) i N, joiden indeksijoukkona on luonnolliset luvut. Tästä nimittäin (pelkästään merkintöjä vaihtamalla) seuraa automaattisesti myös tapaus, jossa indeksijoukkona on {n, n + 1, n + 2,...} millä tahansa n Z, eli sup i n f i p p sup f i p. i n Mutta selvästi sup i n f i sup i Z f i kun n, joten monotonisen suppenemisen lauseesta (integraalilaskennan versio) seuraa sup f i p = i Z lim sup f i p p n i n lim sup i i n f i p = p sup f i p. i Z Sitten huomataan, että voidaan vieläpä rajoittua äärellisiin alimartingaaleihin (f i ) n i=, siis indeksijoukkona {, 1,..., n}. Tästä siirtyminen koko N:ään onnistuu samanlaisella monotoniseen suppenemiseen vetoavalla rajankäynnillä kuin edelläkin. Todistettavaksi jää siis väite max f k k n p p max f k p = p f n p ; k n ylläoleva yhtäsuuruus seuraa siitä, että f k E[f n F k ], joten f k p f n p kaikilla k =, 1,..., n Burkholderin todistus Doobin epäyhtälölle. Käytetään merkintöjä f k := max j k f j ja d k := f k f k 1. Alimartingaalioletus kertoo, että E[d k F k 1 ] = E[f k F k 1 ] f k 1, lisäksi muistetaan oletus f k. Uusilla merkinnöillä kirjoitettuna todistettava väite on v(f n, fn) dµ, v(x, y) := y p (p x) p, x y. Burkholderin idea on arvioida v:tä uudella funktiolla u, jolla on paremmat ominaisuudet. Oletetaan, että löytyisi sellainen kahden muuttujan mitallinen funktio u, määrittelyalueena x y, että v(x, y) u(x, y), u(x, y) Cy p, u(x, x), u(x + h, max{x + h, y}) u(x, y) w(x, y)h, x y, x + h, missä w on samalla alueella määritelty funktio, jolle pätee w(x, y) Cy p 1. Kahdessa ensimmäisessä ominaisuudessa on kyse siitä, että alkuperäistä funktiota v voidaan toisaalta arvioida uudella u:lla, mutta u on kuitenkin riittävän rajoitettu, jotta u(x, y) L 1 (F, µ), kun x:n ja y:n paikalle sijoitetaan L p (F, µ)-funktiot. Hiukan mystiseltä vaikuttava u:n viimeinen ominaisuus yllä on juuri se, mitä tarvitaan arvioimaan lauseketta u(f n, f n). Kun merkitään x := f n 1, y := f n 1 ja h := d n, saadaan f n = x + h ja f n = max{f n, f n 1} = max{x + h, y}; siis u(f n, f n) u(f n 1, f n 1) w(f n 1, f n 1)d n. Oikean puolen toisen termin integraali on w(f n 1, fn 1)d n dµ = E[w(f n 1, fn 1)d n F n 1 ] dµ = w(f n 1, fn 1)E[d n F n 1 ] dµ,

10 1 TUOMAS HYTÖNEN koska w ja E[d n F n 1 ]. Siis v(f n, fn) u(f n, fn) dµ u(f n 1, f n 1) dµ. Jälkimmäistä epäyhtälöä iteroimalla saadaan n:n askelen jälkeen u(f n, fn) dµ u(f, f ) dµ = u(f, f ) dµ, missä havaittiin, että f = max j f j = f, ja käytettiin ominaisuutta u(x, x). Todistus on nyt sitä vaille valmis, että halutuilla ominaisuuksilla varustetun funktion u olemassaolo on vielä osoitettava Apufunktioiden etsintä I: funktioiden muoto. Kuinka löydetään halutut ominaisuudet toteuttavat u ja w? Hyödynnetään aluksi ongelman ehdoissa esiintyvää homogeenisuutta, josta seuraa, että jos u ja w ovat sopivat funktiot, niin kaikilla λ > myös u λ (x, y) := λ p u(λx, λy) ja w λ (x, y) := λ p+1 w(λx, λy) ovat sellaiset. Oleellista tässä on, että alkuperäinen funktio v toteuttaa v(x, y) = λ p v(λx, λy). Edelleen todetaan, että myös funktiot ũ := inf λ> u λ ja w := inf λ> w λ kelpaavat. Tässä on huomattava, että myös infimumit ovat edelleen reaaliarvoisia (eivätkä koskaan ), sillä kaikilla λ pätee u λ v ja w λ. Funktioilla ũ ja w on lisäksi homogeenisuusominaisuudet ũ(λx, λy) = λ p ũ(x, y) ja w(x, y) = λ p 1 w(x, y), joten riittää etsiä sellaisia apufunktioita, jotka toteuttavat nämä lisäehdot. Jatkossa merkitään näitä lyhyesti u:lla ja w:llä ilman laineita. Tutkitaan vaadittua epäyhtälöä u(x + h, max{x + h, y}):lle, kun x, x + h [, y]. Halutaan siis, että u(x + h, y) u(x, y) w(x, y)h. Kirjoitetaan sama epäyhtälö, kun x:n paikalla on x + h ja h:n paikalla h; tämä sijoitus antaa Kun h >, seuraa näistä u(x, y) u(x + h, y) w(x + h, y)h. u(x + h, y) u(x, y) w(x + h, y) w(x, y), h joten w on vähenevä x:n funktiona ja w siis kasvava. Oletetaan, että u on x:n suhteen derivoituva ja w taas x:n suhteen jatkuva kohdassa (x, y). Raja-arvo h edellisestä epäyhtälöstä antaa w(x, y) u x (x, y) w(x, y), missä u x := u/ x, ja itse asiassa pätee siis yhtäsuuruus w = u x. Edellä todetun nojalla u x :n on oltava vähenevä x:n suhteen. Kääntäen tästä vaatimuksesta seuraa u(x + h, y) u(x, y) = 1 u x (x + th, y)h dt u x (x, y)h = w(x, y)h, joten tutkittu vaatimus toteutuu, kunhan w = u x on kasvava x:n funktio Homogeenisuusehdosta seuraa, että missä φ on määritelty välillä [, 1]. Edelleen u(x, y) = u(y x/y, y 1) = y p u(x/y, 1) =: y p φ(x/y), w(x, y) = u x (x, y) = y p 1 φ (x/y). Nyt siis φ :n on oltava kasvava. Tutkitaan sitten u:n ja w:n välistä epäyhtälöä, kun x + h > y. Uuden funktion φ avulla kirjoitettuna vaatimus on (x + h) p φ(1) y p φ(x/y) y p 1 φ (x/y)h, tai yhtäpitävästi uusilla muuttujilla t := x/y ja s := h/y, joilla siis t + s > 1, Termejä siirtämällä tämä saa muodon ( ) (t + s) p φ(1) φ(t) φ (t)s. φ(1)[(t + s) p 1] φ(t) φ(1) + φ (t)s.

11 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI 11 Kun jaetaan (t + s 1):llä ja otetaan raja-arvo s 1 t saadaan vasemmalta φ(1)p. Derivaatan φ kasvavuuden ja väli-arvolauseen perusteella on ( ):n oikealla puolella jollain ξ (t, 1) φ(t) φ(1) = (t 1)φ (ξ) (t 1)φ (t) joten ( ):n oikea puoli on. Tässä aito epäyhtälö on mahdoton, sillä tutkitun erotusosamäärän raja-arvo olisi. On siis saatu differentiaaliyhtälö (1 t)φ (t) + φ(t) φ(1) =. Kertomalla puolittain tekijällä (1 t) 2 = [(1 t) 1 ], saadaan d ( φ(t) φ(1) ) =, dt 1 t ja tästä integroimalla φ(t) = φ()(1 t) + φ(1)t =: c c 1 t. Takaisin sijoittamalla nähdään, että apufunktioitten on oltava muotoa u(x, y) = y p φ(x/y) = c y p c 1 y p 1 x, w(x, y) = c 1 y p Apufunktioiden etsintä II: vakioiden määritys. Tehdään ensin helpot havainnot siitä, että vaatimukset y p = v(, y) u(, y) = c y p ja (c c 1 )y p = u(y, y) ovat yhtäpitäviä ehdolle c 1 c 1. Tällöin myös w(x, y) ja funktioiden itseisarvoilta vaaditut ylärajat ovat selvästi voimassa, mutta vielä on löydettävä c ja c 1 siten, että muutkin ehdot toteutuvat. Palataan sitten u:n ja w:n väliseen epäyhtälöön, kun x + h > y, joka jo nähtiin yhtäpitäväksi kohdan 2.12 muodolle ( ), eli (c c 1 )[(t + s) p 1] (c c 1 t) (c c 1 ) c 1 s = c 1 [(t + s) 1]. Kun jaetaan tämä puolittain (t+s 1):llä ja otetaan raja-arvo s 1 t, saadaan ehto (c c 1 )p c 1, eli c p c 1. Kääntäen tästä seuraa alkuperäinen epäyhtälö väliarvolauseen nojalla. Jäljellä on vielä vaatimus u v, joka saa termien siirron jälkeen muodon (c 1)y p c 1 y p 1 x + (p x) p, y x. Epäyhtälö toteutuu kun y, jos ja vain jos c > 1, ja automaattisesti myös kohdassa y = (vaikkei tätä vaaditaakaan, paitsi jos x = ). Pienimmän arvonsa välillä y [, ) se saa joko välin alkupisteessä tai derivaatan nollakohdassa. Jälkimmäinen on pisteessä, jossa (c 1)py p 1 c 1 (p 1)y p 2 x = eli y = c 1 x c 1 p c p x c 1 p > x, joten tämä sisältyy kriittiselle välille [x, ). Tässä pisteessä funktio saa arvon (c 1) 1 p c p 1 (x/p ) p c p 1 (c 1) 1 p (x/p ) p 1 x + (p x) p, ja vaatimus sen epänegatiivisuudesta on (havaitaan, että (p 1) 1 = (p 1)) (c 1) 1 p c p 1 (p 1) (p ) 2p, eli c 1 (p ) 2 (p 1) 1/p (c 1) 1/p. Kaikkiaan on nyt osoitettu, että funktiot u(x, y) = c y p c 1 y p 1 x ja w(x, y) = c 1 y p 1 toteuttavat vaaditut ehdot, jos ja vain jos p c c 1 (p ) 2 (p 1) 1/p (c 1) 1/p, c > 1. Merkitään t := c 1 ja etsitään ratkaisua epäyhtälölle F (t) := p (p 1) 1/p t 1/p t 1, t [, ). Funktion suurin arvo saavutetaan derivaatan nollakohdassa (p 1) 1/p t 1/p 1 1 = eli t = p 1, jossa F (p 1) = p (p 1) (p 1) = p (p 1) = 1. Siis on löydetty yksikäsitteiset ratkaisut c = t + 1 = p ja c 1 = p c = p p, eli u(x, y) = py p 1 (y p x), w(x, y) = pp y p 1.

12 12 TUOMAS HYTÖNEN Martingaalin suppeneminen käänteiseen suuntaan. Edellä on todettu, että jos (F j ) j Z on sellainen suodatus, että σ( j Z F j) = F, niin kaikilla f L p (F, µ), p (1, ), pätee E[f F j ] f kun j sekä L p -normin suhteen että pisteittäin. Entä kun j? Tehdään seuraavat lisäoletukset: F j = {, }, µ() =. j Z Tällöin kaikilla f L p (F, µ), p (1, ), pätee E[f F j ] kun j, sekä L p -normin suhteen että pisteittäin. Todistus. Melkein jokaisessa pisteessä ω, jono (E[f F j ]) j Z on ylhäältä ja alhaalta rajoitettu luvuilla Mf ja Mf. Erityisesti sillä on pisteittäinen lim sup ja lim inf kun j ; merkitään ensin mainittua g:llä. Perushavainto on, että g = lim sup E[f F j ] = lim sup E[f F j ] j i j voidaan laskea rajoittumalla jonon häntään j i millä hyvänsä kiinteällä i Z. Erityisesti g on F i -mitallisten funktioiden yläraja-arvona itsekin F i -mitallinen. Koska tämä pätee kaikilla i Z, on g itse asiassa ( j Z F j)- eli {, }-mitallinen. Siis g on vakio. Toisaalta g Mf L p (F, µ), joten oletuksesta µ() = seuraa, että vakion on oltava nolla. Aivan vastaava päättely osoitaa, että myös lim inf j E[f F j ] =, joten itse asiassa on olemassa pisteittäinen raja-arvo lim j E[f F j ] =. Dominoidun suppenemisen lauseesta (dominoivana funktiona Mf) seuraa, että raja-arvo pätee myös L p -mielessä. Yhdistämällä tämän luvun suppenemistulokset saadaan funktioille seuraava tärkeä esitys martingaalierotustensa avulla: Lause. Olkoon (, F, µ) mitta-avaruus ja (F j ) j Z sen suodatus, jolla avaruudet (, F j, µ) ovat σ-äärellisiä. Olkoon lisäksi ( ) σ F j = F, F j = {, }, µ() =. j Z Tällöin kaikilla f L p (F, µ), p (1, ), pätee ( f = E[f Fj ] E[f F j 1 ] ), j= missä sarja suppenee sekä L p -normin mielessä että pisteittäin m.k. j Z Todistus. Käyttämällä saatuja suppenemistuloksia ja kirjoittamalla erotus teleskooppisummana saadaan n f = f = lim E[f F n] lim E[f F ( m] = E[f Fj ] E[f F j 1 ] ), n + m lim n + m j=m+1 ja oikean puolen raja-arvon olemassaolo on määritelmän perusteella sama kuin väitteessä esiintyvän sarjan suppeneminen Harjoitustehtäviä. Useissa tehtävissä tutkitaan martingaaliteorian ja erityisesti Doobin maksimiepäyhtälön sovelluksia klassisen analyysin puolelle. 1. Osoita, että Z:n osajoukolla I Z indeksoitu suodatus ja siihen mukautettu martingaali voidaan laajentaa koko Z:lla indeksoiduiksi. Tarkemmin: Olkoon (F i ) i I suodatus ja (f i ) i I siihen mukautettu martingaali, missä I Z. Määrittele F i ja f i arvoilla i Z \ I sillä tavalla, että myös (F i ) i Z on suodatus ja (f i ) i Z siihen mukautettu martingaali. 2. Johda Doobin epäyhtälöstä Hardyn epäyhtälö: kaikilla f L p (R + ) (missä R + = (, ) on varustettu Borelin σ-algebralla ja Lebesguen mitalla) [ ( 1 x ) p ] [ 1/p f(y) dy dx p 1/p. f(x) dx] p x

13 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI 13 (Vihje: Kiinteällä δ > tarkastele suodatusta (F n ) n Z, missä F n := σ ({ (, n δ], (kδ, (k + 1)δ] : n k Z }). Siirry lopuksi raja-arvoon δ.) Huomaa, että Hardyn epäyhtälö on toki mahdollista (eikä erityisen vaikeaa) todistaa muillakin tavoin, mutta tehtävän tarkoitus on nimenomaan johtaa se Doobin epäyhtälön seurauksena. 3. Osoita, että Hardyn epäyhtälössä (ja siis myös Doobin epäyhtälössä) vakio p on paras mahdollinen. (Vihje: tutki esim. funktioita f(x) = 1 I (x) x α, missä I R + on sopiva osaväli ja α R.) 4. Merkitään R:n tavallisten dyadisten välien joukkoja D k := {2 k [j, j + 1) : j Z}, missä k Z. Kaikilla β = (β k ) k Z {, 1} Z määritellään siirretyt dyadisten välien joukot D β k := D k + { β j 2 j := I + β j 2 j : I D k }, j>k j>k missä siis I + c := [a + c, b + c) jos I = [a, b). Huomaa, että Dk = D k, missä tarkoittaa nollajonoa. Merkitään vastaavia σ-algebroita F β k := σ(d β k ). Osoita, että (F β k ) k Z on suodatus kaikilla β {, 1} Z. 5. Edellisen tehtävän merkinnöin määritellään vielä kaikkien (siirrettyjen) dyadisten välien joukko D β := k Z D β k. Tarkastellaan sitten erityistä jonoa β {, 1}Z, missä β k = jos k on parillinen ja β k = 1 jos k on pariton. Osoita, että jollakin vakiolla C (, ) on voimassa seuraava väite: Jos J R on mikä tahansa äärellinen osaväli, niin on olemassa I D tai I D β, siten että J I ja I C J. (Vihje: kuva voi selventää tilannetta.) 6. Kun f L 1 loc (R), sen Hardyn ja Littlewoodin maksimifunktio määritellään lausekkeella 1 M HL f(x) := sup I x I I f(y) dy, missä supremum koskee kaikkia R:n äärellisiä osavälejä I, jotka sisältävät x:n. (Yleensä tätä merkitään pelkällä M:llä, mutta nyt käytetään alaindeksiä HL erotukseksi Doobin maksimifunktiosta.) Johda Doobin epäyhtälöstä Hardyn ja Littlewoodin maksimiepäyhtälö M HL f p C p f p, p (1, ]. (Vihje: Päättele edellisen tehtävän avulla, että M HL f on pisteittäin ylhäältä rajoitettu kahteen eri suodatukseen liittyvien Doobin maksimifunktioiden summalla.) Lähteistä. Tämän luvun ydin eli Burkholderin todistus Doobin epäyhtälölle on Burkholderin kesäkoululuentosarjasta [1], myös tehtävien 2 ja 3 ajatus on sieltä. Tehtävien 5 ja 6 tulokset ovat peräisin Meiltä [2]. Burkholder kehitti 198-luvulla konveksien funktioiden nerokkaaseen käyttöön perustuvan tekniikkansa erilaisten analyysin epäyhtälöiden todistamiseksi. Tällöin menetelmän suosio jäi kuitenkin jonkin verran rajalliseksi. Burkholderin idea on sittemmin löydetty uudelleen, ja 2-luvulla erityisesti Nazarov, Treil ja Volberg ovat järjestelmällisesti kehittäneet sitä. He kutsuvat tätä todistustekniikkaa Bellmanin funktioiden menetelmäksi, koska siinä esiintyvillä apufunktioilla ( Bellmanin funktioilla ) on tietty yhteys Bellmanin differentiaaliyhtälöihin stokastisesta säätöteoriasta; tätä puolta ei kuitenkaan käsitellä näissä luennoissa. Doobin epäyhtälö sinänsä on vanhempi ja voidaan todistaa muillakin tavoin. Yleensä (esim. [3]) se tehdään niin, että ensin johdetaan heikon tyypin epäyhtälö L 1 :ssä ns. pysäytysaikojen avulla ja sitten L p -arvio sopivasti interpoloimalla L 1 :n ja L :n välillä. Tämä on myös tapa, jolla Hardyn ja Littlewoodin maksimiepäyhtälö yleensä todistetaan nykyaikaisissa oppikirjoissa, vaikkakaan ei Hardyn ja Littlewoodin alkuperäinen todistus.

14 14 TUOMAS HYTÖNEN 3. Burkholderin epäyhtälö 3.1. Martingaalin etumerkkimuunnos. Tarkastellaan mitta-avaruuden (, F, µ) suodatukseen (F k ) n mukautettua martingaalia f = (f k) n ja merkitään vastaavaa martingaalierotusjonoa d := f, d k := f k f k 1, k = 1,..., n. Tässä siis E[d k F k 1 ] = kaikilla k = 1,..., n, ja f k = k j= d j. Olkoon (ε k ) n jono etumerkkejä, ε k { 1, +1}. Martingaalin f etumerkkimuunnos on uusi martingaali g = (g k ) n, missä g k := k j= ε jd j. Tässä luvussa todistetaan seuraava perustavanlaatuinen tulos, jolla on myös tärkeitä seurauksia. Joitakin niistä käsitellään jäljempänä Lause (Burkholderin epäyhtälö). Olkoon p (1, ). Tällöin on olemassa vakio β, niin että jos f n L p (F, µ) ja g n on sen etumerkkimuunnos, niin g n p β f n p. Voidaan valita { β = p 1 := max{p, p 1 } } 1 = max p 1,, p 1 ja tämä vakio on paras mahdollinen. Todistuksen ydinajatus on samankaltainen kuin Burkholderin todistuksessa Doobin epäyhtälölle: martingaaleja koskevan arvion liittäminen sopivien konveksien funktioiden ominaisuuksiin. Jälleen on kuitenkin ensin tarpeen tehdä joitakin valmistavia ja yksinkertaistavia tarkasteluja Lemma (Pelkistys äärellisiin mitta-avaruuksiin). Riittää todistaa Burkholderin epäyhtälö tapauksessa µ() <, ts. tästä jo seuraa yleinenkin väite. Todistus. Olkoon (d k ) n martingaalierotusjono σ-äärellisellä avaruudella (, F, µ). Yleisten oletusten nojalla (, F, µ) on myös σ-äärellinen, ja siis on olemassa äärellismittaiset joukot E j F, joilla E j. Tällöin 1 Ej d k d k pisteittäin, kun j, ja sitten myös L p -normissa dominoidun suppenemisen perusteella. Voidaan siis kiinnittää E = E j, jolla 1 E d k d k p < ε kaikilla k =,..., n. Nyt myös (1 E d k ) n on martingaalierotusjono; nimittäin E[1 Ed k F k 1 ] = 1 E E[d k F k 1 ] = kaikilla k 1, sillä E on F F k 1 :n suhteen mitallinen. Jos oletetaan Burkholderin epäyhtälö äärellisellä mitta-avaruudella (E, F E, µ), seuraa tästä n p n p n n p n ε k d k ε k 1 E d k + d k 1 E d k p β 1 E d k + ε Kun ε saadaan väite. n p β d k + (n + 1)ε Lemma (Pelkistys yksinkertaisiin martingaaleihin). Riittää osoittaa Burkholderin epäyhtälö tilanteessa, jossa on todennäköisyysavaruus, ts. µ() = 1, ja kukin f k L p (F k, µ) on yksinkertainen funktio. Todistus. Olkoon (d k ) n martingaalierotusjono jollakin äärellisellä avaruudella (, F, µ), ja ε >. Valitaan kaikilla k =, 1,..., n sellaiset F k -yksinkertaiset funktiot s k, että d k s k p < ε. Olkoon k := σ(s,..., s k ) F k pienin σ-algebra, jonka suhteen joukko funktiot s,..., s k ovat mitallisia. Koska kukin s j on yksinkertainen, sisältää k vain äärellisen määrän joukkoja. Funktiot s k eivät välttämättä ole martingaalierotuksia, mutta uudet funktiot u k := s k E[s k k 1 ] selvästi ovat. Koska k 1 on äärellinen, on sen suhteen otettu ehdollinen odotusarvo, ja siis myös u k, jälleen yksinkertainen funktio. (Huomaa, että yleisesti yksinkertaisen funktion ehdollisen odotusarvon ei tarvitse olla yksinkertainen; katso harjoituksia.)

15 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI 15 Nyt pätee E[d k k 1 ] = E[E[d k F k 1 ] k 1 ] = E[ k 1] =, siis E[s k k 1] p = E[s k d k k 1] p s k d k p < ε, ja viimein u k d k p < 2ε. Siis u k on yksinkertainen martingaalierotusjono, joka on lähellä alkuperäistä d k :ta. Täten n p n p n n ε k d k ε k u k ε k [d k u k ] d k v k p 2ε(n + 1), p mikä tietenkin pätee erityisesti myös tapauksessa ε k 1. Jos siis Burkholderin epäyhtälö pätee yksinkertaisten martingaalien tapauksessa n p n p ε k u k β u k, saadaan nyt n p ε k d k n p n p ε k u k + 2(n + 1)ε β u k + 2(n + 1)ε ( n ) p n p β d k + 2(n + 1)ε + 2(n + 1)ε = β d k + 2(β + 1)(n + 1)ε. Väite seuraa, kun otetaan lopuksi raja-arvo ε Siksakmartingaalit. Olkoon Z = (Z k ) n = (X k, Y k ) n jono funktiopareja (X k, Y k ). Sanotaan, että Z on kaksiulotteinen martingaali, jos X k ja Y k erikseen ovat martingaaleja, jotka on mukautettu samaan suodatukseen. Sanotaan, että Z on siksakmartingaali, jos sillä on seuraava lisäominaisuus: kaikilla k 1 pätee joko X k X k 1 = tai Y k Y k 1 =. Lähtien martingaalista ja sen etumerkkimuunnoksesta k k f k = d j, g k = ε j d j, määritellään uudet martingaalit X k := g k + f k = j= j= k (ε j + 1)d j, Y k := g k f k = j= k (ε j 1)d j, ja vielä kaksiulotteinen martingaali Z k := (X k, Y k ). Tällä selvästi on siksakominaisuus, sillä kaikilla k pätee joko ε k = 1, jolloin Y k Y k 1 =, tai ε k = 1, jolloin X k X k 1 = Lemma. Olkoon u : R R R on kaksoiskonkaavi funktio, ts. sellainen, että sekä x u(x, y) että y u(x, y) ovat erikseen konkaaveja funktioita R R. Jos Z on yksinkertainen siksakmartingaali, niin pätee u(z k ) dµ u(z k 1 ) dµ. Todistus. Symmetrian perusteella voidaan olettaa, että s X k = X k 1 = a r 1 Ar, r=1 r=1 r=1 A r F k 1. Täten s s u(z k ) dµ = u(x k 1, Y k ) dµ = u(a r, Y k ) dµ = E[u(a r, Y k ) F k 1 ] dµ r=1 A r r=1 A r s s u(a r, E[Y k F k 1 ] dµ = u(a r, Y k 1 ) dµ = u(x k 1, Y k 1 ) dµ = u(z k 1 ) dµ, A r A r j=

16 16 TUOMAS HYTÖNEN missä tietenkin käytettiin Jensenin epäyhtälöä ehdollisille odotusarvoille Lause. Burkholderin epäyhtälö g n p β f n p on voimassa vakiolla β, jos ja vain jos on olemassa sellainen kaksoiskonkaavi funktio u : R R R, että u(x, y) F (x, y) := x + y p β p x y p. 2 2 Kaksoiskonkaavin funktion u etsiminen ei siis ole vain eräs mahdollinen tapa todistaa Burkholderin epäyhtälö, vaan se on jopa tälle ongelmalle yhtäpitävä tehtävä! Huomaa myös, että tämä lause sinänsä ei vielä kerro, pitääkö Burkholderin epäyhtälö paikkansa vai ei, vaan pelkästään muokkaa kysymyksen uuteen muotoon. Ongelma apufunktion u olemassaolosta on yhä jäljellä, ja siihen palataan yllä olevan lauseen todistamisen jälkeen Funktiolle u saatavat symmetriat. Havaitaan ensin, että jos jokin yllä olevan ehdon toteuttava u on olemassa, niin on jopa sellainen u, joka lisäksi toteuttaa u(αx, αy) = α p u(x, y) kaikilla α R. Määritellään nimittäin u α (x, y) := α p u(αx, αy) kun α. Myös tämä on kaksoiskonkaavi ja toteuttaa u α F. Siis myös ũ := inf α u α toteuttaa samat ehdot; tässä vedotaan helppoon huomioon, että konkaavien funktioiden infimum on edelleen konkaavi. Nyt ũ toteuttaa yllä esitetyn homogeenisuusehdon kaikilla α suoraan muuttujanvaihdolla. Mutta tällöin myös ũ( x, y) = ũ(, ) = ũ(α, α ) = α p ũ(, ) = p ũ(x, y) kun α, ja väite saadaan kaikilla α R. Edelleen voidaan vaatia, että u(x, y) = u(y, x). Jos tämä ehto ei jo valmiiksi päde, niin uusi funktio 1 2 [u(x, y)+u(y, x)] ainakin toteuttaa sen, ja edelleen tämä on kaksoiskonkaavi ja vähintään yhtä suuri kuin F (x, y) = F (y, x) Burkholderin epäyhtälö u:n avulla. Oletetaan, että haluttu funktio u on olemassa. Olkoon Z = (X, Y ) yksinkertaiseen martingaaliin f ja sen etumerkkimuunnokseen liittyvä siksakmartingaali. Epäyhtälön väite uudestaan kirjoitettuna on ( X n + Y n p β p X n Y n p ) dµ = F (X n, Y n ) dµ. 2 2 Nyt saadaan oletuksen ja lemman 3.6 avulla F (Z n ) dµ u(z n ) dµ u(z n 1 ) dµ... u(z ) dµ. Tässä joko Z = (X, ) tai Z = (, Y ), oletetaan vaikka ensimmäinen tapaus. Funktion u lisäominaisuuksien ansiosta u(x, ) + u( x, ) u(x, ) = u( x, ) = u ( x x, ) = u(, ) = ; 2 2 siis väite on todistettu Funktion u muodostaminen martingaalien avulla. Kullakin pisteparilla (x, y) R R tarkastellaan seuraavaa joukkoa: S(x, y) := {Z = (Z k ) n yksinkertainen siksakmartingaali, Z k : [, 1) R R, Z = (x, y)}. Tässä ei suodatusta ole kiinnitetty, ts. kaksi eri siksakmartingaalia Z, Z S(x, y) voivat olla mukautetut ( [, 1), B([, 1)), dt ) :n eri suodatuksiin. Myös parametri n N saa vaihdella ja saada mielivaltaisen suuria arvoja, mutta se on kuitenkin kullakin kiinteällä Z äärellinen. Merkitään silti yksinkertaisuuden vuoksi Z := Z n, kun Z = (Z k ) n. Nyt voidaan määritellä funktio { 1 } U(x, y) := sup F (Z ) dt : Z S(x, y) (, ]. Tältä halutaan tarkistaa seuraavat ominaisuudet:

17 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI 17 U(x, y) F (x, y), U on kaksoiskonkaavi, ja U on reaaliarvoinen, tai siis U(x, y) < kaikkialla. Ensimmäinen ominaisuus on selvä, sillä kokoelma S(x, y) sisältää triviaalin siksakmartingaalin Z = (Z ) = (Z k ), jolla Z = (x, y), joten U(x, y) 1 F (x, y) dt = F (x, y) Viimeinen kohta, jota ei välttämättä tulisi ajatelleeksi, on itse asiassa varsin oleellinen. Kaksi muuta ominaisuuttahan olisi helppo toteuttaa yksinkertaisesti valitsemalla U identtisesti, mutta tällaisesta funktiosta ei olisi mitään hyötyä Kaksoiskonkaavisuus. Valitaan mielivaltaiset pisteet y, x 1, x 2 R, α (, 1) ja x = αx 1 + (1 α)x 2 sekä m 1, m 2 R, siten että U(x i, y) > m i. Väitetään, että U(x, y) > αm 1 + (1 α)m 2, mistä seuraisi haluttu U(x, y) αu(x 1, y) + (1 α)u(x 2, y) ja vastaava y:n suhteen tietenkin täysin symmetrisellä tarkastelulla. Arvojen m i valinnan perusteella on olemassa sellaiset Z i S(x i, y), että 1 F (Zi ) dt > m i. Voidaan vieläpä valita nämä siksakmartingaalit niin, että pätee ( ) Y i 2k+1 Y i 2k = = X i 2k+2 X i 2k+1 ja että ne ovat yhtä pitkiä eli Z i = (Zk i )n samalla n N. Todistus. Jos olisi esim. Y2k+1 i Y 2k i jollakin k, niin lisätään väliin nolla-askel, eli määritellään Z j i := Zi j kun j 2k ja Z j i := Zi j 1 kun j > 2k. Nyt Z i S(x, y) on uusi siksakmartingaali, jolla Z i = Z, i mutta lisäksi Z 2k+1 i = Z 2k i, joten erityisesti tämä pätee y-komponentille. Toistamalla tätä operaatiota äärellisen monta kertaa pienimmästä k alkaen, ja myös vastaavat tilanteet x-komponentissa huomioiden saadaan uusi Zi S(x, y) joka toteuttaa halutun ehdon ja Z i = Z, i ja erityisesti siis 1 F ( Z ) i dt > m i. Lopuksi, jos martingaaleista Z 1 ja Z 2 tuli eri mittaiset, voidaan lyhemmän loppuun vielä lisätä nolla-askelia vastaavasti. Määritellään sitten { Z (t) := (x, y), Z k+1 (t) := Zk 1(t/α), t [, α), ( ) (t α)/(1 α), t [α, 1), k = 1,..., n. Selvästi 1 F (Z ) dt = = α α 1 Z 2 k F Z 1 (t/α) dt + 1 α F (Z 1 ) dt + (1 α) joten enää on osoitettava, että Z = (Z k ) n+1 S(x, y). F Z 2 ( (t α)/(1 α) ) dt 1 F (Z 2 ) dt > αm 1 + (1 α)m 2, Todistus. Olkoon (Fk i)n martingaaliin Zi = (Zk i )n liittyvä suodatus. Määritellään F := {, [, 1)}, F k+1 := σ ( α F 1 k, α + (1 α) F 2 k ). Tällöin selvästi yllä määritelty Z on mukautettu (F k ) n :ään, vielä on osoitettava se siksakmartingaaliksi. Kun k 1, saadaan E[Z k+1 F k ] = E[1 [,α) Z 1 k( /α) α F 1 k 1] + E[1 [α,1) Z 2 k( ( α)/(1 α) ) α + (1 α) F 2 k 1] = 1 [,α) E[Z 1 k F 1 k 1]( /α) + 1 [α,1) E[Z 2 k F 2 k 1] ( ( α)/(1 α) ) = 1 [,α) Z 1 k 1( /α) + 1 [α,1) Z 2 k 1( ( α)/(1 α) ) = Zk, missä useimmat yhtälöt olivat oleellisesti ottaen muuttujanvaihtoja, jotka on helppo todeta oikeiksi suoraan ehdollisen odotusarvon määritelmästä, varsinkin kun kaikki yllä esiintyvät funktiot ja σ- algberat ovat yksinkertaisia. Kun k =, saadaan E[Z 1 F ] = E[1 [,α) Z 1 F ] + E[1 [α,1) Z 2 F ] = E[1 [,α) F ](x 1, y) + E[1 [α,1) F ](x 2, y) = α(x 1, y) + (1 α)(x 2, y) = (x, y),

18 18 TUOMAS HYTÖNEN sillä Z i (x i, y) ja funktion ehdollinen odotusarvo triviaalin σ-algebran suhteen on sen keskiarvo koko avaruudella. Yleinen siksakominaisuus ei automaattisesti periytyisi mielivaltaisilta Z i :ltä Z:lle, mutta kun oletettiin, että kumpikin Z i toteuttaa kohdan 3.11 ehdon ( ), pätee tämä selvästi myös Z:lle Äärellisarvoisuus. Vielä ei oletettua Burkholderin epäyhtälöä ole lainkaan käytetty U:n ominaisuuksien tarkastelussa, joten sen on tapahduttava tässä viimeisessä vaiheessa. Keskeinen askel äärellisyyden todistamisessa on näyttää, että U(, ). Todistus. Olkoon Z = (Z k ) n S(, ), erityisesti Z = (X, Y ) = (, ). Määritellään etumerkit ε k ja martingaalierotukset d k seuraavasti: { (+1, + 1 (ε k, d k ) := 2 [X k X k 1 ]) jos X k X k 1, ( 1, 1 2 [Y k Y k 1 ]) muuten, ja f k := k j=1 d j, g k := k j=1 ε jd j. Nyt siksakominaisuuden perusteella kaikilla k = 1,..., n pätee ja yhteen laskemalla Siis erityisesti 1 F (Z n ) dt = X k X k 1 = (ε k + 1)d k, Y k Y k 1 = (ε k 1)d k, 1 X k = g k + f k, Y k = g k f k. X n + Y n p β p X n Y n p dt = g n p p β p f n p p. 2 2 Kun otetaan supremum kaikista Z S(, ) saadaan väite. Viimeistely perustuu yksinkertaisiin konkaavisuushuomioihin: kaikilla x, y R pätee [U(x, y) + U( x, y)] + [U(x, y) + U( x, y)] 2U(, y) + 2U(, y) 4U(, ) <, joten kaikkien termien vasemmalla on oltava äärellisiä Apufunktion etsintä: pelkistys yhden muuttujan ongelmaksi. Lauseen 3.7 perusteella pitäisi löytää kaksoiskonkaavi funktio u : R R R, siten että u F. Kohdan 3.8 nojalla voidaan lisäksi vaatia, että u(x, y) = u(y, x) ja u(αx, αy) = α p u(x, y) kaikilla α, x, y R. Mutta tällöin, jos y, missä ( ) w on konkaavi, u(x, y) = u(y x/y, y 1) = y p u(x/y, 1) =: y p w(x/y), w(x) = u(x, 1) F (x, 1) =: f(x), w(1/x) = u(1/x, 1) = u(1/x 1, 1/x x) = x p u(1, x) = x p u(x, 1) = x p w(x). Kääntäen, jos w on jokin yllämainitut ominaisuudet totettava funktio, niin määritellään { y p w(x/y), jos y, u(x, y) := x p w(), jos y =. Osoitetaan, että u tällöin toteuttaa siltä vaaditut ominaisuudet, joten w:n etsintä on täysin yhtäpitävää u:n etsinnälle. Havaitaan ensin, että u:lla on symmetriat u(y, x) = u(x, y) ja u(αx, αy) = α p u(x, y). Todistus. Jos x y, niin ja jos lisäksi α u(y, x) = x p w(y/x) = x p y/x p w(x/y) = y p w(x/y) = u(x, y), Jos x = y, ja α, niin u(αx, αy) = αy p w(αx/αy) = α p y p w(x/y) = α p u(x, y). u(, x) = x p w(/x) = x p w() = u(x, ), u(, αx) = α p x p w() = α p u(, x).

19 MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI 19 Lopuksi u(, ) = p w() =, joten u( x, y) = = p u(x, y). Toinen perustava havainto on se, että w(). Todistus. Tehdään vastaoletus, että w() >. Koska konkaavi funktio on jatkuva, niin w(t) δ > kaikilla t ε. Täten w(t 1 ) = t p w(t) δ t p, kun t. Erityisesti kaikilla M on olemassa N, siten että w(x) M, kun x N. Mutta konkaavisuuden perusteella saadaan w(x) M myös välillä ( N, N), ja siten koko R:llä. Siis w M kaikkialla, ja M:n mielivaltaisuuden perusteella w +. Tämä on ristiriita äärellisarvoisuudelle. Äskeisestä havainnosta seuraa, että x u(x, y) on konkaavi, kun y =. Muilla y:n arvoilla se seuraa suoraan w:n konkaavisuudesta. Symmetrian u(x, y) = u(y, x) nojalla u on konkaavi myös y:n suhteen kiinteällä x. Jos y, niin u(x, y) = y p w(x/y) y p F (x/y, 1) = F (x, y) funktion F ilmeisen homogeenisuuden perusteella, ja lopuksi u(x, ) = x p w() x p F (, 1) = x p F (1, ) = F (x, ), mikä seuraisi myös rajankäynnillä y, koska sekä y u(x, y) (konkaavina) että y F (x, y) (selvästi) ovat jatkuvia. Liite A. Suomi englanti-sanasto ehdollinen conditional maksimifunktio maximal function martingaali martingale martingaalierotus martingale difference mukautettu adapted odotusarvo expectation pysäytysaika stopping time siksakmartingaali zigzag martingale suodatus filtration Viitteet [1] Burkholder, Donald L., Explorations in martingale theory and its applications, École d Été de Probabilités de Saint-Flour XIX 1989, Lecture Notes in Math., 1464, s. 1 66, Springer, Berlin, [2] Mei, Tao, BMO is the intersection of two translates of dyadic BMO, Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris, 336 (23), n:o 12, s [3] Williams, David, Probability with martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

2 Funktion derivaatta

2 Funktion derivaatta ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN

MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN 1. Johdanto: Riemann vs. Lebesgue Useimmat integroimisteoriat perustuvat siihen, että on jokin joukko helppoja funktioita, jotka ilman muuta osataan integroida, ts. on

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot