Sattuman matematiikkaa I

Transkriptio

1 Sattuman matematiikkaa I klassinen todennäköisyys Mika Koskenoja ssistentti Matematiikan laitos, Helsingin yliopisto Johdanto loitan todennäköisyyslaskennasta ketovan kijoitussajan, jonka toinen osa ilmestynee seuaavassa Solmussa syksyllä. Inspiaation aiheesta kijoittamiseen olen saanut kahdeltakin taholta. Ensinnäkin, Ilta-Sanomien toimittaja soitti minulle muutama kuukausi sitten ja pyysi kommentoimaan Veijo Wiénin vasta ilmestynyttä kijaa Näin voitan lotossa? (Gummeus, 2002). Kijassa esitetyt menetelmät todennäköisten lottoivien löytämisestä on helppo osoittaa hölynpölyksi klassisen todennäköisyyslaskennan avulla (Ilta-Sanomat, ). Kijan kijoittaja intoutui kuitenkin vielä avostelemaan toimittajaa ja siinä samalla minuakin kijansa teilaamisesta Ilta-Sanomien yleisönosastolla Hänen mielestään kaavamainen matematiikka ei lainkaan sovi yhteen hänen luovan ajattelunsa kanssa; siitä on toki helppo olla samaa mieltä hänen kanssaan. Toinen ja edellistä täkeämpi syy todennäköisyyslaskennasta kijoittamiseen on Solmun lukijoilta tullut toivomus. Eityisesti on toivottu Betandin paadoksin käsittelyä, johon palaankin myöhemmin. Se on esimekki klassisen (geometisen) todennäköisyyslaskennan tunnetusta ongelmasta. Tässä kijoitussajan ensimmäisessä osassa käsittelen todennäköisyyslaskennan histoiaa sekä klassista todennäköisyyttä ja tämän laajennuksena geometista todennäköisyyttä. Näihin liittyen esitän jo mainitsemieni loton ja Betandin paadoksin lisäksi muutamia vasin yksinketaisia esimekkejä. Seuaavissa kijoitussajan osissa Solmun lukijat on aikomus tutustuttaa todennäköisyyden aksioomiin ja peusominaisuuksiin, satunnaismuuuttujiin sekä eilaisiin jakaumiin, jotka mahdollistavat satunnaisilmiöiden kuvaamisen klassisia menetelmiä huomattavasti tehokkaammin. Eityisen ilahduttavaa uskoisin lukijoille olevan, että lukiomatematiikka suuelta osin jopa hyvin hallittu peuskoulumatematiikka iittää vallan mainiosti esitedoiksi kijoitussajan seuaamiseen. Histoiaa Todennäköisyyslaskennan katsotaan saaneen alkunsa 1600-luvun puolivälissä siitä, kun Chevalie de Méén nimellä tunnettu anskalainen aatelismies ntoine Gombaud ( ) esitti maanmiehelleen Blaise Pascalille ( ) uhkapeleihin liittyneet kaksi kysymystä. Näistä ensimmäinen koski peliä, joka koostuu pelieistä, joiden voittamiseen kummallakin pelaajalla

2 on samat mahdollisuudet. Jos ensimmäisenä kuusi eää voittanut saa pelipanoksen, mutta peli keskeytetään tilanteessa, jossa toinen pelaaja on voittanut viisi ja toinen kolme eää, niin mikä on oikeudenmukainen tapa jakaa pelipanos? Pascal ja Piee de Femat ( , hänkin Pascalin tavoin anskalainen matematiikan histoian suui nimi) käsittelivät ongelmaa kijeenvaihdossaan ja päätyivät samaan atkaisuun 7 : 1. Toinen de Méén kysymys koski nopanheittoa, ja siihen palaan takemmin klassista todennäköisyyttä koskevassa luvussa. todennäköisyyslaskennan edistyksen peustaksi. Suuimman paineen analyysin kehitykselle loivat fysikaalisten tieteiden tapeet. Todennäköisyyslaskennan puolella analyysin voimakas kehitys vauhditti eityisesti nomaalijakauman käyttöönottoa, joka loi pohjan mm. havaintoviheiden analysoinnille ja väestötieteelle. de Moive Laplace Pascal Femat Pascalin ja Femat n lisäksi klassisen todennäköisyyden käsitteen yksi ensimmäisiä kehittäjiä oli 1600-luvun puolivälissä hollantilainen Chistiaan Huygens ( ), joka vuonna 1657 ilmestyneessä kijasessaan takasteli de Méén nopanheittoon liittynyttä kysymystä. Koska todennäköisyyslaskennan ensimmäiset ongelmat vesoivat juui uhkapeleistä, niin teoeettinen takastelu peustuikin aluksi lähes yksinomaan aitmetiikkaan ja kombinatoiikkaan. Muutamaa vuosikymmentä myöhemmin saksalainen Jakob Benoulli ( ) toi tilastollisen todennäköisyyden käsitteen mukaan teoian piiiin. Benoullin s Conjectandi (1713) laajensi todennäköisyyskäsitystä uhkapeleistä akitodellisuuteen. Täkeimmät tuon ajan matemaatikot, joiden nimet monen muun luonnontieteiden alan lisäksi liitetään myös todennäköisyyslaskentaan, olivat anskalainen, jo nuoena Englantiin muuttanut baham de Moive ( ), anskalaiset Piee Laplace ( ) ja Siméon Poisson ( ) sekä saksalainen Cal Fiedich Gauss ( ). Poisson Gauss Todennäköisyysteoian itsenäinen kehitys alkoi luvun puolivälissä. Venäläisen koulukunnan johdolla etunenässä Pafnuti Tšebyšev ( ) se eli kulta-aikaansa aina 1930-luvulle asti. Satunnaismuuttujan ja odotusavon käsitteiden katsotaan olevan peäisin juui Tšebyševiltä. Huygens Benoulli Vaikka analyysin ensiaskeleita jo otettiinkin luvulla, niin todennäköisyyslaskennan vahaisvaiheiden aikaan analyysi vielä odotteli todellista läpimutoaan luonnontieteissä. Kuitenkin jo 1700-luvun puolivälissä analyysi muodostui luonnontieteiden ja samalla myös Tšebyšev Makov

3 Teoian kehitykseen 1900-luvun vaihteessa vaikuttaneista venäläisistä matemaatikoista mainittakoon ndej Makov ( ), jonka ansioksi luetaan stokastisten posessien tutkimuksen aloittaminen ns. Makovin ketjujen muodossa. Todennäköisyyslaskennan yleisen teoian loivat vähän myöhemmin 1930-luvulla venäläiset ndej Kolmogoov ( ) ja leksande Hintšin ( ). Koko teoian peustana pidetään Kolmogoovin vuonna 1933 julkaisemaa aksiomatiikkaa. tavallisesti sanomalla, että alkeistapaukset ovat symmetisiä. Esimekiksi kolikonheitossa on kaksi symmetistä alkeistapausta, kuuna ja klaava, ja nopanheitossa on kuusi symmetistä alkeistapausta, pisteluvut 1, 2,..., 6. Tapahtumalla takoitamme mielivaltaista alkeistapausten joukkoa, eityisesti se voi olla tyhjä tai kaikkien alkeistapausten joukko. Tapahtumia on tapana mekitä isoilla aakkosilla, B, C, jne. Esimekiksi nopanheitossa tapahtuma voisi olla nopanheiton tulos on vähintään neljä, siis = {4, 5, 6}. Tapahtuman sanotaan olevan vama, jos se sattuu välttämättä jokaisessa satunnaiskokeessa, ja tapahtuma on mahdoton, jos se ei voi sattua yhdessäkään kokeessa. Nopanheitossa tapahtuma B = pisteluku on vähintään yksi on vama, kun sen sijaan tapahtuma C = eli pisteluvuksi ei tule mitään on mahdoton. Kolmogoov Hintšin Mekitsemme kaikkien alkeistapausten lukumääää n:llä ja joukon alkioiden lukumääää n():lla, jota on tässä yhteydessä tapana kutsua :lle suotuisien alkeistapausten lukumäääksi. Tapahtuman klassinen todennäköisyys määitellään nyt lukuna Täydellisempi esitys todennäköisyyslaskennan histoiasta löytyy Matti Lehtisen kijoittamasta Matematiikan histoiasta, /mathist/. Seuaava klassisen todennäköisyyden esitys peustuu Pekka Tuomisen ja Pekka Nolamon 2-osaiseen kijaan Todennäköisyyslaskenta, jossa käsitellään jonkin vean myös todennäköisyyslaskennan histoiaa. Klassinen todennäköisyys Klassinen todennäköisyys voidaan määitellä käyttäen useaa toisistaan hieman poikkeavaa lähestymistapaa. Määitelmän on kuitenkin toteutettava muutamia peuspeiaatteita lähestymistavasta iippumatta. Täkein näistä on yhtä todennäköisen peiaate, jota voidaan pitää klassisen todennäköisyyden tunnusmekkinä. Tilannetta tai ilmiötä, jossa esiintyy satunnaisuutta, kutsutaan satunnaiskokeeksi. Klassisessa todennäköisyydessä on voitava olettaa, että koe on mahdollista toistaa samoissa olosuhteissa ajattoman monta ketaa toistojen ollessa iippumattomia. Tämä ei aivan kijaimellisesti ottaen ole tietenkään ikinä mahdollista muuten kuin peiaatteena. Satunnaiskokeen eilaisia tulosmahdollisuuksia kutsutaan alkeistapauksiksi. Klassisessa todennäköisyydessä alkeistapauksia on aina ääellinen määä. Lisäksi oletetaan, että kaikki alkeistapaukset ovat yhtä mahdollisia eli yhtä todennäköisiä. Tämä olettamus lausutaan P k () = n() n. Mekinnässä P k kijain P tulee englannin kielen sanasta pobability eli todennäköisyys ja alaindeksi k osoittaa, että kyseessä on klassinen todennäköisyys. Tämän määitelmän peusteella edellä esitetyn tapahtuman = nopanheiton tulos on vähintään neljä todennäköisyys on P k () = n() n = 3 6 = 1 2 = 0,5. Vastaus on tapana antaa desimaalilukuna kahden tai kolmen mekitsevän numeon takkuudella, mutta myös mutolukuna eityisesti silloin, kun desimaalilukuavo on likiavo takalle mutolukuavolle. lkeistapausten symmetisyyttä ei voi peustella pelkästään matemaattisesti, vaan sen tueksi tavitaan havainnollinen käsite umpimähkäinen valinta. Mistä yleensä ottaen edes tiedämme, mitkä takasteltavana olevassa ilmiössä ovat symmetisiä alkeistapauksia? Pulman voisi yittää atkaista johtamalla alkeistapausten symmetisyys fysikaalisesta symmetiasta. Esimekiksi kolikonheitossa kuuna ja klaava ovat symmetisiä alkeistapauksia edellyttäen, että kolikkoa ei ole mitenkään painotettu. Symmetiaa ei tässä voi kuitenkaan peustella sillä, että kolikko olisi fysikaalisesti täysin symmetinen; silloinhan kuunaa ja klaavaa ei voisi eottaa toisistaan. Fysikaalisesta symmetiasta voi siis olla hyötyä intuitiivisessa takastelussa, mutta on selvää, että sitä ei voi sisällyttää klassisen todennäköisyyden määitelmään.

4 Fekvenssitulkinta Klassisen todennäköisyyden mekitystä voidaan havainnollistaa fekvenssitulkinnan avulla. Itse asiassa tilastollisen todennäköisyyden käsite peustuu juui fekvenssitulkintaan. Takastelemme satunnaiskoetta, jota voidaan toistaa samanlaisissa olosuhteissa ajattomasti. Olkoon tähän kokeeseen liittyvä tapahtuma ja F n () tapahtuman esiintymisketojen lukumäää n:ssä toistossa. Määittelemme :n suhteellisen fekvenssin lukuna f n () = F n() n. Kokeellisesti on havaittu, että toistojen lukumäään n kasvaessa suhteellinen fekvenssi f n () näyttää yhä vamemmin keskittyvän tietyn luvun läheisyyteen. Fekvenssitulkinnan mukaan tapahtuman todennäköisyys on juui kyseinen luku, jota :n suhteellinen fekvenssi näyttää lähestyvän toistojen lukumäään kasvaessa. Toteamme kuitenkin, että fekvenssitulkinta ei voi olla todennäköisyyden määitelmä matemaattisessa mielessä. Ensinnäkin, kyseinen aja-avo ei ole aja-avo matemaattisen analyysin mielessä, ja toiseksi, ääettömiä toistosajoja on mahdoton ealisoida. de Méén ongelma Chevalie de Méé oli havainnut kokeellisesti seuaavaa: Havainto 1. Kannattaa lyödä vetoa siitä, että heitettäessä neljä ketaa noppaa saadaan ainakin yksi kuutonen. Havainto 2. Ei kannata lyödä vetoa siitä, että heitettäessä kahta noppaa 24 ketaa saadaan ainakin yksi kuutospai. Hän ei kuitenkaan kyennyt osoittamaan havaintojaan teoeettisesti, joten hän kääntyi Pascalin puoleen noin vuonna Ratkaisu. de Méén ensimmäisen havainnon selittävän satunnaiskokeen symmetisiksi alkeistapauksiksi voidaan valita 4-jonot (x 1, x 2, x 2, x 4 ), x i {1, 2,..., 6}. Jokainen x i ilmoittaa siis i:nnen heiton pisteluvun, yksi mahdollinen tulos on esimekiksi 4-jono (5, 1, 3, 5). Kaikkien mahdollisten alkeistapausten lukumäää on n = 6 4 = Jos on tapahtuma saadaan ainakin yksi kuutonen, niin :lle suotuisien tapahtumien lukumäää on n() = = = 671, sillä :lle epäsuotuisia tapauksia on 5 4. Näin ollen P k () = = 1 ( ) 4 5 0, Kahden nopan heiton symmetisiksi alkeistapauksiksi valitsemme jäjestetyt pait (1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (6, 6), joiden lukumäää on 6 2 = 36. Koska takastelemme jäjestettyjä paeja, niin esimekiksi tapahtuma (1, 2) on ei tapahtuma kuin (2, 1). Tämä mekitsee, että on ei asia saada ensin ykkönen ja sitten kakkonen kuin saada ensin kakkonen ja sitten ykkönen. Näin ollen de Méén toisen havainnon selittävässä satunnaiskokeessa on yhteensä n = eilaista alkeistapausta. Näistä tapauksia, joissa ei ole yhtään kuutospaia, on Jos B on tapahtuma saadaan ainakin yksi kuutospai, niin P k (B) = = 1 ( ) , Havaitsemme, että P k () > 0,5, joten :n puolesta kannattaa lyödä vetoa. Sen sijaan P k (B) < 0,5, joten B:n puolesta ei kannata lyödä vetoa. Toki kysymystä siitä, milloin jonkin asian puolesta kannattaa lyödä vetoa, voi pohtia syvällisemminkin, mutta puhtaasti klassisen todennäköisyyden kannalta kysymys ei ole tämän monimutkaisempi. Lotto Meidän suomalaisten pahaiten tuntema ja eniten pelaama ahapeli on epäilemättä lotto. Luultavasti jokainen meistä on ainakin itse mielessään pohtinut loton täysosuman todennäköisyyttä. Laskemmekin tämän seuaavaksi klassisen todennäköisyyden keinoin. Takastelemme ensin hieman kombinatoiikkaa tavitsemassamme laajuudessa. Jos E on n-alkioinen joukko ja k on kokonaisluku, jolle pätee 1 k n, niin E:n k- kombinaatio on E:n k-alkioinen osajoukko. lkioiden jäjestyksellä kombinaatioissa ei siis ole mekityssä. On vasin helposti osoitettavissa, että n-alkioisella joukolla E on ( ) n = k n! k! (n k)! k-kombinaatiota. Edellä mekintä n! takoittaa n:n ketomaa, joka määitellään positiiviselle kokonaisluvulle n! = n. Lukuja ( n k) kutsutaan binomiketoimiksi, ja mekintä luetaan n alle k (tai n yli k ).

5 Lotossa joukon E muodostavat kaikki avottavat numeot, siis E = {1, 2, 3,..., 39}. Koska (vasinaisia) numeoita avotaan 7 kappaletta, niin tutkimme E:n 7-kombinaatioita, jotka voimme valita loton symmetisiksi alkeistapauksiksi. Näiden lukumäää on edellä olevan peusteella n = ( 39 7 ) = 39! = ! 32! Kaikista mahdollisista iveistä vain yksi on kulloisenkin kieoksen täysosumaivi, joten tämän klassinen todennäköisyys on P k ( 7 oikein ) = , On syytä huomauttaa, että loton muiden eityisesti lisänumeoja sisältävien voittoluokkien todennäköisyyksien määääminen on jonkin vean edellä esitettyä hankalampaa. Näiden laskeminen jää tässä yhteydessä kuitenkin lukijoiden oman mielenkiinnon vaaan. Voitte miettiä mahdollisia atkaisumalleja ja lähettää ne Solmun toimitukseen; pahaat ehdotukset julkaistaan kijoitussajan seuaavissa osissa. mitalle pätee 0 < m <. Kyseisen määitelmän täsmentäminen vaatisi tiettyjä ajoituksia koko kuviolle ja sen osakuviolle, mutta se johtaisi euklidisen avauuden mitan määittelyyn, ja tyydymmekin tässä yhteydessä pelkästään havainnolliseen käsittelyyn. Esimekki. Huoneen lattialla on neliöuudukko, jossa neliön sivu = kolikon halkaisija = 2. Millä todennäköisyydellä lattialle heitetty kolikko peittää neliön käjen? Ratkaisu. Tutkimme kysytyn geometisen todennäköisyyden selvittämiseksi kolikon keskipisteen sijaintia neliöuudukossa. Koska ei neliöt ovat toisiinsa nähden samassa asemassa, voimme takastella yhtä neliötä. Sen pinta-ala on m = (2) 2 = 4 2. Takastelemme tapahtumaa = lattialle heitetty kolikko peittää neliön käjen, jota mallissamme edustaa kolikon keskipisteen sijainti neliössä. Suotuisissa tapauksissa kolikon keskipisteen etäisyys neliön käjestä on pienempi kuin (katso kuva). Näin ollen :n pintaala on m() = 4 π2 4 = π 2, ja kysytty geometinen todennäköisyys on siten P g () = π2 4 2 = π 4 0,785. Geometinen todennäköisyys Heti todennäköisyyslaskennan vahaiskehitysvaiheessa huomattiin, että symmetisiin yhtä todennäköisiin tapahtumiin peustuva todennäköisyyden klassinen määitelmä oli iittämätön. Yksi ensimmäisistä yityksistä laajentaa määitelmää oli geometisen todennäköisyyden idea. Tässäkin lähestymistavassa yhtä todennäköisen käsite oli vielä keskeisessä oolissa, mutta geometista todennäköisyyttä voidaan kuitenkin hyvällä syyllä pitää klassisen todennäköisyyden yleistyksenä; esimekiksi alkeistapauksia geometisessa todennäköisyydessä on ajaton määä. Geometista todennäköisyyttä on mahdollista soveltaa tilanteissa, joissa satunnaiskokeen tulos voidaan havainnollistaa geometisella kuviolla ja kiinnostuksen kohteena oleva tapahtuma tämän osakuviona. Tällaisia kuvioita ja niiden osakuvioita voivat olla esimekiksi yksiulotteinen jana, kaksiulotteinen tasoalue tai kolmiulotteinen kappale. Tilanteen on oltava siinä mielessä symmetinen, että :n mahdollisuus esiintyä iippuu vain :n geometisesta mitasta (janalla pituus, tasoalueella pinta-ala ja kappaleella tilavuus), eikä lainkaan :n muodosta ja sijainnista. Tällöin voimme määitellä :n geometisen todennäköisyyden lukuna P g () = m() m, missä m() edustaa osakuvion ja m koko kuvion geometista mittaa; lisäksi oletetaan, että koko kuvion On selvää, että geometisen todennäköisyyden määittelyyn liittyy aivan samoja peiaatteellisia ongelmia kuin klassisenkin todennäköisyyden määittelyyn. Vakavin puute kummassakin määitelmässä on, että ne kattavat vain hyvin suppean osan niistä satunnaiskokeista, joista olemme kiinnostuneet. Kummankaan määitelmän pohjalta on mahdotonta konstuoida alkeistapauksia, joiden avulla voisimme johtaa todennäköisyyden, että syntyvä lapsi on tyttö tai että tietyn adioaktiivisen atomin elinikä on suuempi kuin vuotta. Betandin paadoksi Ranskalainen matemaatikko Joseph Betand ( ) esitti todennäköisyyslaskennan kusseillaan useita geometiseen todennäköisyyteen liittyviä ongelmia, joissa tulos iippui ongelman atkaisutavasta. Betandin esittämistä ongelmista tunnetuin lienee seuaava paadoksi, jonka käsittely peustuu venäläisen Bois Gnedenkon ( ) todennäköisyysteoian klassisen teoksen The Theoy of Pobability esitykseen.

6 Tämän -säteisen kiekon pinta-ala on tunnetusti π 2, siis tämä on m. Tapahtumalle suotuisissa tapauksissa jänteen keskipiste kuuluu kiekkoon ( ) 2}, {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 2 jonka pinta-ala on Betand Gnedenko ( ) 2 π m() = π = Betandin paadoksi. nnettuun ympyään piietään umpimähkään jänne. Mikä on todennäköisyys, että jänne on pidempi kuin ympyän sisään piietyn tasasivuisen kolmion sivu? Mekitään totuttuun tapaan kysyttyä tapahtumaa :lla. Ympyän sisään piietyn tasasivuisen kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä suhteessa 1 : 2. Näin ollen ympyän keskipisteen etäisyys kolmion sivuista on 2 (katso kuva). /2 Ratkaisu 1. Oletetaan, että jänteen keskipisteen ja ympyän keskipisteen etäisyys valitaan umpimähkään väliltä ]0, [, missä on ympyän säde. Tällöin geometinen mitta m =. Tapahtumalle suotuisissa tapauksissa jänteen ja ympyän keskipisteiden välinen etäisyys kuuluu välille ]0, 2 [, joten m() = 2. Näin ollen kysytty geometinen todennäköisyys on P g () = 2 = 1 2 = 0,5. Ratkaisu 2. Oletetaan, että jänteen toinen päätepiste ajatellaan kiinteäksi ja toinen valitaan umpimähkään ympyän kehältä. Kehän pituus on m = 2π. Tapahtumalle suotuisissa tapauksissa jänteen toinen päätepiste kuuluu ympyän kaaeen, jonka pituus on m() = 2π 3. Näin ollen kysytty geometinen todennäköisyys on Näin ollen kysytty geometinen todennäköisyys on P g () = m() m = π 4 2 π 2 = 1 4 = 0,25. Saimme esitettyyn ongelmaan kolme eilaista vastausta, ja seuaava tehtävämme onkin yittää selvittää, miksei ongelman atkaisu ole yksikäsitteinen. Onko syy mahdollisesti jokin peustavaa laatua oleva mahdottomuus määittää todennäköisyys yksikäsitteisesti tilanteissa, joissa on ääetön määä mahdollisia tuloksia (jännehän voidaan piitää ympyän sisään ääettömän monella ei tavalla)? Vai johtuuko havaintomme kenties joistakin vääistä alkuoletuksista ongelman kolmessa ei atkaisussa? On selvää, että edellä esitetyt atkaisut ovat yhden ja saman ongelman kolme eilaista atkaisua, sillä ongelman asettelu ei määittele tapaa, jolla jänne tulee satunnaisesti piitää ympyän sisälle. Ensimmäisessä atkaisussa voidaan ajatella, että vähintään lävistäjän pituinen tanko (ympyän sisään jäävä osa vastaa jännettä) vieii kohtisuoasti yhtä lävistäjää (siis kahta peäkkäin asetettua samansuuntaista sädettä) pitkin. Kaikki mahdolliset tangon keskipisteen pysähtymiskohdat muodostavat janan B (katso kuva), jonka pituus on sama kuin lävistäjänkin. Yhtä todennäköisiä ovat tällöin ne tapahtumat, jotka koostuvat tangon pysähtymiskohdista h:n pituisella janalla iippumatta siitä, missä kyseinen jana sijaitsee lävistäjällä. P g () = 2π 3 2π = 1 3 0,333. x B Ratkaisu 3. Oletetaan, että jänteen keskipiste valitaan umpimähkään ympyän sisältä eli kiekosta {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 2 }. Ratkaisun 1 kuva.

7 Toisessa atkaisussa voidaan ajatella, että vastaava tanko on kiinnitetty yhteen pisteeseen ympyän kehällä, ja tankoa on mahdollista käännellä kokeintaan 180 siten, että se leikkaa aina ympyän kehää (katso kuva). Tangon liikkumista ajoittaa siis kiinnityspisteeseen ympyälle piietty tangentti. Nyt oletetaan, että tangon pysähtymiskohta h:n pituisella ympyän kaaella iippuu kaaen pituudesta mutta ei iipu kaaen paikasta ympyän kehällä. Näin ollen yhtä todennäköisiä tapahtumia ovat tangon pysähtymiskohdat kaailla, joiden pituudet ovat samat. Kolmannessa atkaisussa heitämme jänteen keskipisteen umpimähkään ympyän sisälle. Tällöin yhtä todennäköisiä tapahtumia ovat pinta-alaltaan samansuuuiset ympyän sisällä sijaitsevat tasoalueet. Kysytty todennäköisyys saadaan siitä, että keskipiste putoaa tiettyyn pienempään samankeskiseen ympyään (katso kuva). Eilaiset lopputulokset esittämissämme kolmessa ei atkaisussa ovat tämän jälkeen vasin ilmeisiä. x Lähteet Ratkaisun 3 kuva. Ratkaisun 2 kuva. Näiden takastelujen jälkeen on vasin selvää, että geometisen todennäköisyyden määitelmät ensimmäisessä ja toisessa atkaisussa ovat istiiidassa keskenään. Ensimmäisen atkaisun mukaan todennäköisyys, että jana pysähtyy välille ], x[, on x 2. Todennäköisyys sille, että janan ja ympyän kehän leikkauspisteen kohtisuoa pojektio lävistäjälle toisessa atkaisussa osuu samalle välille, on alkeellisen geometisen takastelun nojalla { 1 π x accos, kun x, ja 1 1 x π accos, kun x. Elfving, Gustav, ja Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta II, Limes y, Helsinki, Gnedenko, Bois: The Theoy of Pobability, Mi Publishes, Moscow, Lehtinen, Matti: Matematiikan histoia, Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta I, Limes y, Helsinki, Tuominen, Pekka, ja Nolamo, Pekka: Todennäköisyyslaskenta, osa 1, Limes y, Helsinki, Tuominen, Pekka, ja Nolamo, Pekka: Todennäköisyyslaskenta, osa 2, Limes y, Helsinki, The MacTuto Histoy of Mathematics achive,