ELEC-E8419 syksyllä 2017 Sähkönsiirtojärjestelmät 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ELEC-E8419 syksyllä 2017 Sähkönsiirtojärjestelmät 1"

Transkriptio

1 LC849 syksyllä 7 Sähkönsiirtoärestelmät Verkon vit Periodit, 5 opintopistettä Liis Hrl..7

2 Ydinsit Luennon sisältö Verkkoen mdoitustpo Symmetriset komponentit, komponenttiverkkoen kytkeytyminen eri vioiss, vikvirtoen lskeminen komponenttiverkkoen vull Täydentävää tieto: viktilsto Suomest, vlokren resistnssi Kirllisuutt: lovr Hrl: Sähköverkot : luvut , 5., 5., 6. lovr Hrl: Sähköverkot : luku 5.

3 Häiriöt vit Häiriö (disturbnce), vik (fult, filure) Kikki vit eivät iheut häiriöitä, usein kuitenkin verkon vik iheutt häiriön Nordelmääritelmä häiriölle: tlösning, påtvingd eller obefogt utkoppling, eller misslyckd inkoppling som föld v fel i krftsystemet, Outges, forced or unintended disconnection or filed reconnection s result of fults in the power grid ) Määritelmä ville: The inbility of component to perform its required function.,) ) Nordel filure sttistics ) ) C 5(95): nterntionl lectrotechnicl Vocbulry, Dependbility nd qulity of service

4 Rinnkkisviko: rilisi viko oiko msulut, oiden iheutti ovt esimerkiksi slmn iskut, pylvään ktkeminen, virtmuuntn räähtäminen, erottimen murtuminen, lumi ti ää, ohtimen ktkeminen Srviko: ohtimen ktkeminen ilmn msulku, ktkisin vnpinen toimint

5 Vlokri Vikvirtlskuiss ei in tiedetä vikimpednssin suuruutt. Jos hlutn lske suurin mhdollinen vikvirt, käytetään vikimpednssin rvo noll. Vlokren lämpötil stt oll op stett Vlokren vstus riippuu sen pituudest

6 Vlokren vstus Vlokren vstus on mukn vikpiirin impednssiss Vlokren vstust on mitttu. Wrringtonin kv Terzin Koglinin kvt ntvt hiemn eri tulokset. Yleensä vlokren vstus ei uuri vikut vikvirrn suuruuteen Jos lsketn m viheväli k virt, sdn Wrringtonin kvll,7 W uudell kvll (,8,5)W usi yhtälö (Terzi, Koglin, 4) R (8,4...5,5) L Lähde: On the modeling of long rc in still ir nd rc resistnce clcultion. Terzi, V.V.; Koglin, H.J.; Trnsctions on Power Delivery, Volume 9, ssue, July 4 Pge(s): 7

7 Mdoitus Suomen siirtoverkoss Suomen 4 kv:n kv:n siirtoverkot ovt on tehollisesti mdoitettu. Tällisell mdoitustvn vlinnll hlutn pienentää msulun ikist terveiden viheiden ännitteennousu smll iknsd mhdollisimmn nopet suoustoiminnot (suuret msulkuvirrt). Jokisell semll muuntn tähtipiste on mdoitettu oko suorn ti kuristimen kutt. kv:n siirtoverkko ts on mdoitettu vin tietyistä kohdist oko suorn ti kuristimen kutt. kv:n verkon mdoitustvn vlint perustuu siihen, että msulkuvirt on riittävän suuri, ott distnssirele pystyisi toimimn selektiivisesti msuluiss. Toislt mdoittmll verkon muuntien tähtipisteistä vin os, voidn msulkuvirt roitt, mikä puolestn pienentää msulkuvirrn vikpikkn synnyttämää mdoitusännitettä. Mdoitusännitteen pienentäminen msulkuvirt roittmll on tloudellisemp käytännössä helpommin toteutettviss kuin mdoitusresistnssin pienentäminen. Smll pienenee myös msulun iheuttm ännitekuopp.

8 Muit mdoitustpo Mst erotetuss ärestelmässä yksiviheinen msulku ei ikns suurt virt, kosk msulkuvirtpiiri sulkeutuu vin viheiden mkpsitnssien kutt. Järestelmän etun on se, että msulun sttuess ärestelmää ei ole pkko kytkeä ännitteettömäksi vn käyttöä voidn tk määrätyin ehdoin. Hälytys msulust vditn tässäkin tpuksess. simerkiksi rektorilitosten msulkusuous on tehty näin, os siellä ei ole suurännitekpeleit. seimmt Suomen kv:n keskiännitekeluverkoist ovt mst erotettu. Smmutetuss ärestelmässä msulkuvirt vikpikss pienennetään tähtipisteeseen sennetull smmutuskuristimell, ok kumo mkpsitnssien kutt kulkevn kpsitiivisen msulkuvirrn lähes kokonn. Näin vlokrimsulku sdn usein smmumn itsestään. Tätä mdoitustp käytetään PohoisSuomen kv:n verkoss sekä oisskin keskiännitekeluverkoiss sen käyttö on suouksen knnlt tloudellist vin säteittäisverkoiss. Selektiivisyyden svuttmiseksi rengsverkoss trvittisiin viestiyhteys ohdon kummnkin pään suousten välille.

9 Mst erotettu ärestelmä dut: Pienet msulkuvirrt, vlokrimsulut voivt smmu itsestään, käyttö msuluiss on mhdollist, vrännitteiden roitus on helppo Hitt: Kksoismsulku mhdollinen, os verkko käytetään msulun ikn, msulun ikn tähtipisteeseen kohdistuu viheännite terveiden viheiden mn väliin pääännite, ktkeilevt msulut iheuttvt trnsienttiyliännitteitä, nollännite voi indusoid puhelinohtoihin häiriöitä, msulkusuous ylivirtreleillä ei välttämättä onnistu pienten virtoen tki Käytössä oisskin kv:n ärestelmissä Svt s. 6

10 Smmutettu ärestelmä dut: Msulkuen vikutukset pieniä, vlokret smmuvt itsestään, yliänniteriski vähäinen Hitt: Kolmiokytkentäisessä muuntss trvitn smmutuskuristimen lisäksi mdoitusmuunt, ott tähtipiste sdn esille, loiss verkoiss (useit kuristimi) resonnssivr, smmutuskuristin viritettävä verkkomuutosten mukn, rengsverkon relesuous on kllis, mkpsitnssiepäsymmetrist voi iheutu tvllist suurempi nollännite Käytössä PohoisSuomess kv:n verkoss

11 Suorn mdoitettu ärestelmä dut: Terveiden viheiden ännitteen nousu vähäisempi msulun ikn, mdoitustp ei roit verkon luutt, relesuous msuluiss yksinkertist (voidn käyttää distnssireleitä), virt on trpeeksi ylivirtreleille, msulkuen vikutukset pieniä, vlokret smmuvt itsestään, yliänniteriski vähäinen Hitt: vikvirrt suuri > lyhyet lukisut, ohimenevien vikoen älkeen trvitn pikälleenkytkentä os hlutn nope käytönplutus, vrännitteiden eliminoiminen on kllist silloin kun mdoitusolosuhteet ovt huonot. Jos kikkien muuntien tähtipistettä ei ole mdoitettu, on huolehdittv siitä, että verkkoon ei ää häiriötilnteess mdoittmttomi srekkeit Svt s. 6465

12 Vikvirrt Vikvirrn suuruus riippuu verkon rkenteest (silmukoitu, säteittäinen), rektnsseist, verkon mdoitustvst voimlitosten koost, siinnist generttoreist Vikvirto pitää lske mm. litteiden mitoitust vrten msulun iheuttminen mpotentilien selvittämiseksi Oikosulku msulkuvirrn roittminen on optimointitehtävä. Msulkuvirrn roittminen oht terveiden viheiden ännitteen nousuun vin ikn, toislt suuri msulkuvirt iheutt suuri mpotentile vrännitteitä, kosk Suomess on suuri mn ominisvstus. Msulkuvirtoen on oltv niin suuri että suous toimii luotettvsti. Siis verkon X /X on oltv riittävän suuri, ott msulkuvirrt eivät ksv liin suureksi trpeeksi pieni, että terveiden viheiden ännitteet eivät ksv liik.

13 Vikvirrt Oikosulkuvirtoen ksvess täytyy selliset litteet viht, otk eivät kestä uusi oikosulkuvirto Oikosulkuvirt ksvttvt: uudet generttorit, uudet ohdot Oikosulkuvirt voidn roitt hnkkimll muunti, oiss on iso oikosulkurektnssi vähentämällä silmukoitumist kmll verkko osiin

14 päsymmetriset vit symmetriset komponentit..7 4

15 Lskeminen symmetrisillä komponenteill Kun ok viheess on yhtä suuret resistnssit, rektnssit, ännitteet virrt, voidn verkko lske vihesiiskytkennällä, mikä helpott lskemist Verkon myötä, vst nollverkot mllinnetn: myötäverkko kuin symmetrisen tiln vihesiiskytkentä, vstverkoss vihesuureet eri ärestyksessä: thtigenerttorin rektnssist tulee erilinen nollverkko riippuu mm. tähtipisteiden kytkennästä. Komponenttiverkot kytketään toisiins eri tvoin eri vioiss Lsketn epäsymmetrinen tilnne komponenttiverkkoen vull Plutetn lsketut komponenttiverkkoen rvot tkisin vihevirroiksi vihe ti pääännitteiksi..7 5

16 C Jokinen epäsymmetrinen tilnne voidn esittää kolmell symmetrisellä ärestelmällä, esimerkki päsymmetriset ännitteet C,95,8 Myötäkomponentit, pituus,95, viheen kulm,8 stett,6 8,,5 C Vstkomponentit, pituus noin,, viheen kulm 7 7 C Nollkomponentit, Pituus noin,5

17 Myötä vst nollärestelmä C Myötäärestelmä Vstärestelmä C Nollärestelmä C Kikki ärestelmät pyörivät smn suuntn! Vstärestelmässä viheärestys on erilinen kuin myötäärestelmässä

18 C,6 päsymmetriset ännitteet 8, viheen muodostuminen symmetrisistä komponenteist,5 Cviheen muodostuminen symmetrisistä komponenteist C viheen muodostuminen symmetrisistä komponenteist C C C

19 C Myötä vst nollärestelmä C () () (4) (5) () Vin myötäverkoss on ännitelähde. Punisell merkityt korttu ti täydennnetty..7 Kikki ärestelmät pyörivät vstpäivään. Myötäärestelmässä viheiden ärestys on,, C (R, S T) Vstärestelmässä viheiden ärestys on, C, (R, T, S) Nollkomponentit pyörivät kikki smnviheisin Nollvirrn syntyminen edellyttää nollohtimen ti vstvn virttien olemss olo on viheen viheännite vikpikss vin lkuhetkellä Yhtälöt () ntvt kunkin komponenttiverkon viheen ännitteen. Muut sdn lskettu operttorill sivun 9 mukisesti. Yhtälöiden () () muunnokset pätevät myös virroille

20 Symmetriset komponentit: operttori osoittimell kertominen: kierto stett eteenpäin osoittimell kertominen: kierto stett tksepäin

21 X g g v. oikosulku, vikvirt khdest suunnst X v L F ennen vik X m m X g g X v Fg F Fm vin ikn X m m lindeksit: g: thtigenerttori, m: thtimoottori, L: kuormvirt, F: vikvirt, v: verkko Jännite thtirektnssin tkn lsketn näin: yhtälössä virt ennen vik mutt viktiln rektnssi g m F F ( X X v m L X g ) L () ()

22 m F L m F m F m m m m v F L g v F g v F g g v g g X X X X X X X X X X X X d Vin ikn generttorin moottorin syöttämät lkutiln vikvirr lkutiln vikvirt: ) ( ) ( missä, ) ( ) ( g v m m g v TH TH F m g v g v m F L m F L g v F m g F X X X X X X X X X X X X X X X L yhtälön () mukn L yhtälön () mukn

23 Vikvirt Theveninin peritteell X m m X g X v g TH ( X ( X v m X X g v ) X X m g ) F F sein on helpoint lske vikvirt Theveninin peritteell. Vikvirt voidn lske, kun tiedetään vikkohdn ännite ennen vik verkon impednssi vikkohdss (Theveninin impednssi vikkohdn referenssitson välillä). Voidn lske lkutiln, muutostiln ti tkuvn tiln vikvirt. Tässä on lskettu lkutiln vikvirt.

24 viheinen oikosulku: vikehdot Vikehdot:, C, C Vikehtoen vull hetn komponenttiverkkoen kytkentä, siksi ei otet huomioon kuormvirt. Kiroitetn vikehdot komponenttiverkkoen virroill ännitteillä (yhtälöiden () vull, LT ) sdn tulokseksi komponenttiverkkoen kytkentä viss. Kun vikvirt tulee molemmilt puolilt: L R C C F C L R CL CR L R C CL CR

25 viheinen oikosulku: siiskytkentä Liite : F v F F Siiskytkentä: myötä vstverkko ovt rinnkkin, nollverkko ei ole mukn. Näin lsketn komponenttiverkkoen virt. Viheiden vikvirrt (hluttu lopputulos) sdn kun käytetään mtriisiyhtälöitä (). Vikvirrt sdn komponenttiverkkoen virroist yhtälöillä () kuten LT esittää.

26 Msulku Vikehdot:,, C hdoiss ei otet huomioon kuormitusvirto, siksi yllä oleviss ehdoiss Cvihevirrt ovt nolli. C C Y F Komponenttiverkkoen kytkeytyminen ohdetn myös lskuhroituksiss Liitteessä.

27 Msulun komponenttiverkkoen kytkentä F F v F F v F Yllä olevss kuvss vikpikst näkyvät komponenttiverkkoen Theveninin impednssit kuvvt koko tustverkko. Jos vikvirt tulee khdest suunnst kummnkin suunnn tustverkkoen impednssit on nnettu erikseen, siiskytkentä muistutt viheisen ohdinktkoksen siiskytkentää. F on vikimpednssi

28 ..7 8 C Msulku: vihevirrt Vikvirt on kolminkertinen komponenttiverkkoen virtn ( ) nähden.

29 Nollvirrn kulku viheiss tähtipisteessä viheen msulun ikn C C C Y F F viheen msulun ikn vikvirt on viheen virt, ok on myös komponenttiverkkoen virtoen summ eli. Siis vikvirt on.

30 viheinen moikosulku Vikehdot:, C Vikehdoiss ei otet huomioon kuormvirt Kiroitetn vikehdot komponenttiverkkoen virroill ännitteillä (yhtälöiden () vull, LT 4) sdn tulokseksi komponenttiverkkoen kytkentä viss. Tilnne: Kun vikvirt tulee molemmilt puolilt: L R L R L R L R CL CR CL CR C Y C L R C CL CR C C

31 viheinen moikosulku: komponenttiverkkoen kytkentä LT 4: ( ( F ( Y )) ) F Y ( F Y ) oskus käytetään Y ( F Y ) oss tähtipisteen impednssit vikimpednssi ovt erikseen. sein tähtipisteen impednssit ovt o nollimpednssiss mukn (kolminkertisin) Yllä olevss kuvss komponenttiverkkoen impednssit sisältävät vikpikkn kikist suunnist tulevt vikvirrt. Jos vikvirt tulee khdest suunnst kummnkin suunnn komponenttiverkkoen Theveninin impednssit nnettu erikseen, on siiskytkentä smntpinen kuin viheisess ohdinktkoksess, oss vikimpednssi tähtipisteen impednssi. ovt kolminkertisen.

32 viheinen moikosulku, ( ) Virrn yhtälöstä nähdään, että vst nollverkko ovt toistens rinnll myötäverkko on srss tämän rinnnkytkennän knss Lsketn virrnoll, kun tiedetään:, Vihevirrt sdn yhtälöiden () vull, kuten Liite 5 esittää. Mhn menevä virt sdn vikntuneiden viheiden virtoen summn (työläs tp) ti kertomll nollkomponenttivirt kolmell.

33 Pitkittäisvit (srvit) Srvit trkoittvt ohdinktkoksi muit impednssin muutoksi viheiset ohdinktkokset ovt epäsymmetrisiä viko niitä voidn lske symmetrisillä komponenteill Srvioiss komponenttiverkkoen impednsseill trkoitetn vikkohdn nvoist näkyviä verkon impednsse eikä vikkohdn mn välisiä impednsse

34 viheinen ohdinktkos C C C Vikehdot: CC ' ' C ' C' ' ' ' ( ( ( ' ' ' ' ' ' CC' ) CC' CC' ' ) ' ) ' ' ' ' Komponenttiverkot kytkeytyvät rinnn smn tpn kuin viheisess moikosuluss

35 viheinen ohdinktkos: siiskytkentä myötäverkko vstverkko Kuvst nähdään, että vikpikk voidn viheisell siiskytkennällä lskettess korvt impednssill P nollverkko P Siiskytkentä nloginen viheisen moikosulun siiskytkennän knss.

36 viheinen ohdinktkos C C C Vikehdot: C ' ' ( ( ( C) C) C) ' ' ' ' Komponenttiverkot kytkeytyvät srn smn tpn kuin viheisess msuluss

37 viheinen ohdinktko siiskytkentä myötäverkko vstverkko Kuvst nähdään, että vikpikk voidn viheisell siiskytkennällä lskettess korvt impednssill P nollverkko P

38 Generttorin komponenttiverkot " q " X» ( X d X mpinpgenerttorille " X X d " X < X d ) Jos thtigenerttori on kytketty tähteen on nollrektnssi äärellinen se on pienempi kuin lkutiln rektnssi X d. Jos generttori on kytketty kolmioon, on nollrektnssi ääretön eli nollpiiri menee poikki.

39 Johtoen komponenttiverkot Suuränniteohtoen nollverkko sulkeutuu vikpikn, muuntien mdoitettuen tähtipisteiden viheohtiminen nollkpsitnssien kutt Nollimpednssiin vikutt se, onko ohdoll ukkosohtimet. Jos ohdoll on ukkosohtimet, niin koko nollpiirin virt ei kule mt pitkin, vn os kulkee ukkosohtimiss kkosohtimet ovt glvnisesti kiinni pylväissä pylväät on yleensä mdoitettu

40 Muuntien nollverkot tähtitähtikytkennässä Yy: Tähtitähti kytkentä: nollvirt ei voi kulke, nollverkko on poikki molemmist suunnist eli muuntn läpi menevä impednssi on ääretön. YNy ti Yyn: Kun vin toinen tähtipiste on mdoitettu, ei nollvirt voi kulke muuntn läpi. Nollpiiri muuntn läpi on poikki. Nollpiiri tkuu muuntst sille verkon änniteportlle, missä mdoitettu tähti on. Jos mdoitus on tehty impednssin kutt, tämä impednssi tulee piiriin mukn kolminkertisen. YNyn: Jos molemmt tähtipisteet on mdoitettu, on nollpiiri tkuv ännitetsost toiseen. Mhdolliset mdoitusimpednssit tulevt piiriin kolminkertisin.

41 x k x N x NY x N x k x NY x k x k x N x N

42 Muuntien nollverkko tähtikolmio kolmiokolmiokytkennässä YNd ti Dyn: kun tähtipiste on mdoitettu, nollverkon impednssi on ospuilleen yhtä suuri kuin oikosulkuimpednssi, kun muunt ktsotn mdoitetun tähden puoleisest verkost. mpednssi suuruus riippuu muuntn rkenteest. Nollpiiri ei tku muuntn läpi, vn menee mdoitetun tähden puoleisest piiristä referenssitsoon (mhn). Mhdollinen mdoitusimpednssi on kolminkertinen. Kun tähtipistettä ei ole mdoitettu, on nollpiiri poikki muuntn kummltkin puolelt. Dd: Nollpiiri on poikki kummltkin puolelt

43 x k x N x N x k x k x k

44 Verkon puolelt muuntn tultess vstss mdoittmton tähti () ti kolmio (): piiri poikki. Muuntn puolell kolmiokäämistä kytkentä referenssimhn (4). (Tätä ei in piirretä, os muunt irti muust nollverkost molemmin puolin.) Verkon puolelt muuntn tultess vstss mdoitettu tähti: verkon muuntn välinen piiri kiinni, (). YNyn () x k () Yyn () () Yd YNd x k () x k () (4) () x k () (4) Ydkytkennässä kytkentä kummnkin ännitteen verkost (, ) muuntn on poikki: () (). Joskus piirretään pystysuor kytkentä referenssimhn, oskus ei. Ydkytkennässä lopputulos on sm, piirrettiin kytkentä ti ei. Johdonmukisuuden vuoksi voi oll hyvä piirtää kytkentä referenssimhn, ott tämä ei unohdu YNdkytkennässä, oss sitä trvitn.

45 Jos tähtipiste on mdoitettu impednssin kutt, niin mdoitusimpednssi tulee nollpiiriin kolminkertisen. (Tähtipisteen impednssi ole ollenkn mukn myötä vstverkoss.) YNyn x k x x x x () () YNy () x x k () x Ynd () x x k (4) () x Dd () (4) x k (4) ()

46 Piirrä lkutiln komponenttiverkot G r n M x n P M x n T S m m x n Generttori G: x d x, x,5 r n, Muunt M: z k x,78 x,5 x n, Johto P: x,67 x,5 Muunt M: x PS,7 x PT,9 x ST,8 z k z,78 x n, Moottori m: x d x,46 x,6 Moottori m: x d x,49 x, x n, Mörsky Mörsky tehtävä 7

47 käämimuuntst on mitttu X PS, X PT X ST. Muunnetn piiri selliseksi, että meillä on X P, X S X T, kuten ll olevss kuvss. Tämä siiskytkentä on kokonisen okisess komponenttiverkoss mhdolliset nollpiirin ktkokset ovt tämän siiskytkennän ulkopuolell. ll olevn kuvn tähtipiste on eri kuin tähtikytkentäisen ylä, keski ti lännitekäämin tähtipiste. Teksti lisätty..7 P X P X S X T S X PS X P X S,7 X PT X P X T,9 X ST X S X T,8 X P,4 X S, X T,5 T myötäverkko,78,67,4, G M P,5, T S,46,49 G m m

48 Vstverkko on muuten smnlinen kuin myötäverkko, mutt ännitelähteiden tilll on oikosulku otkut, lähinnä generttoreiden impednssit voivt oll erisuuruisi.,78,67,4, P,5, T S,46,49 punisell kiroitettu teksti lisätty..7

49 Nollverkko: muutetn rektnssien rvo siltä osin kuin ne ovt erilisi kuin myötäverkoss. Muuntn kytkentäryhmät D Y: nollpiiri poikki, D: ohdin mhn pisteestä T moottorin m nollpiirin kutt, mdoitettu tähtipiste: nollpiiri sulkeutuu. P X P X S X T S T G,78 *,,5 *,,5 *, P x P,4 x T,5 x S, Ktso käämimuuntn kytkentä kvioit myös täältä: lovr Hrl: Sähköverkot, sivu 98, kuv 4.5 T,6 m S m, *, ston/files/6//5 99sicPower SystemComp Clcultions_Rev.pdf sivu 9. Täydennys..7

50 G M P X x,4 X,7 G P m T m Jos vikpikk on P vik on v. msulku, komponenttiverkot ovt srss kuvn mukisesti. P S T m m

51 Msulkukerroin Msulkukerroin k on terveiden viheiden suurin viheännite vin ikn ettun viheännitteellä vikkohdss ennen vik k voidn lske ohtorektnssien vull Tehollisesti mdoitetuss verkoss k on lle,4. Tällöin terveiden viheiden ännitteen nousu msulun ikn on korkeintn,4. X X X X k X e

52 hmiset vikoen iheuttin Koneurkoitsi oli oikisemss kv voohdon rkennustyömll tukirkenteen pylvästä. Hän ohsi mss seisten trktoriins kiinnitetyn nostimen puomin kiinni viereiseen, ännitteiseen kv voohtoon. Msulkuvirt kulki ohusvipuen urkoitsin kutt mhn. rkoitsi kuoli lähistöllä ollut pumies si vmmo. Tilnteess syttyi myös mstoplo Ongintkilpiluun osllistuneen miehen hiilikuituinen 6,8 metrin pituinen onkivp osui kv ohtoon iheutten msulun. Msulkuvirt sytytti miehen vtteet tuleen iheutti hänelle noin 7 % plovmmt. Hän kuoli viisi päivää myöhemmin. Johdon korkeus tphtumpikll oli 7,7 m. hissit/rekisterit/shkotpturmt.html

53 Vikoen seuruksi Oikosulut iheuttvt suuri virto, Msulut iheuttvt suuri virto, os verkko on mdoitettu Msulut voivt iheutt vrännitteitä Oiko msuluist seur läheiseen verkkoon ännitekuopp Vit lähellä suuri generttoreit voivt vrnt verkon stbiiliuden, ellei niitä kytketä irti nopesti Verkko käytetään yleensä siten, että se kestää milloin thns yhden komponentin irtomisen vin älkeen (ennustettv vik)

54 Tilstotieto Suomest vrmuus/sivut/defult.spx n%toimitusvrmuus/rportit_siirtovrm_kntverk/sivut/d efult.spx n%toimitusvrmuus/rportit_v_toimint/sivut/defult.sp x n%toimitusvrmuus/rportit_pohoisminen_v_h_tilstot/ Sivut/defult.spx..7 54

55 4 kv:n ohtoen lukemiset Suomess vuosin 98 oteltun vin keston mukn 9% Pikälleenkytkentä, PJK 46% ikälleenkytkentä, JK 5% Käsin kiinni kytkentä ti pysyvä vik

56 4 kv:n ohtoen lukemiset Suomess vuosin 98 Msulku ohdoll (66) Oikosulku ohdoll (48) Suuriresistnssinen msulku ohdoll () itoivottu epäselektiivinen lukisu () itoivottu spontni lukisu () Vik sähkösemll (5) Srvik () Seklinen ()

57 Johtovik > 4 kv:n voimohdon lukisut Suomess Vikoen lukumäärä 5 4 Msulku Oikosulku Suuriresistnssinen msulku Tm Hel M Huh Tou Kes Hei lo Syy Lok Mr Jou

58 Oikosulku Virtpiiriin syntyy oikosulku, kun virtpiirin ohtimet outuvt keskenään ohtvn yhteyteen esimerkiksi vlokren kutt. Oikosuluss virt on suuri vikkohdn ännite pieni Oikosulku voi oll ti viheinen Tyypillinen viheinen oikosulku on ukkosen iheuttm viheinen moikosulku Voimnsiirtoohtoen muuntien impednssit roittvt oikosulkuvirt. Siis mitä kuempn ohto syöttävältä semlt oikosulku sttuu, sitä pienempi on oikosulkuvirt Oikosulkusuon voidn käyttää distnssirelettä, differentilirelettä ti ylivirtrelettä

59 Msulku Virtpiiriin syntyy msulku, kun virtpiirin ohdin eristysvin ti muun vin kutt outuu ohtvn yhteyteen mn ti mhn ohtvss yhteydessä olevn osn knss. Msulust iheutuu vikpikkn sen ympäristöön hengenvr skelännitteen msulkuvirrn vuoksi sekä tuliplonvr msulkuvirrn vikutuksest Msulkuvirrn suuruus sen vikutukset riippuvt vikresistnssin suuruuden lisäksi siitä onko ärestelmän tähtipisteet mdoitettu suorn, virt roittvn kuristimen kutt, vi onko kyseessä mst erotettu ärestelmä. Voimnsiirtoohdot muuntt roittvt mdoitetun verkon msulkuvirt smoin kuin oikosulkuvirtkin Msulkusuon käytetään distnssirelettä, nollvirtrelettä msulun suuntrelettä. Distnssirele hvitsee suurivirtiset msulut, käytännössä noin W:n vikresistnssiin skk.

60 Johtimen ktkeminen Mikäli voohdon ohtimen ktkettu ohtimen päät putovt mhn, on tpus suouksen knnlt sm kuin (yksiviheinen) msulku vikresistnssill. Jos ts ohtimen pää ää roikkumn outumtt mn knss kosketuksiin niin suouksen toimint riippuu verkon rkenteest kuormituksest kv:n säteisohdoll ei ohtimen ktkettu ole nollvirt kpsitnssien iheuttm pientä nollvirt lukuun ottmtt. 4 kv:n kv:n kuormitetuill säteisohdoill sen sin on nollvirt, kosk niissä on tähtipisteestään mdoitettu muunt myös säteisohdon päässä olevll semll. Mdoitetun verkon rengsohdoill on nollvirt, onk suuruus riippuu villisen ohdon kuormituksest. Smmutetun kv:n verkon nollännite voi noust niin suureksi, että suous lukisee. Nollännitettä esiintyy ktkospikn kuormn puolell myös mdoitetuss kv:n verkoss, kosk yhden viheen puuttuess viheännitteiden summ ei enää ole noll. Ktkoksen ikn kuormitusvirt on epäsymmetristä, eivätkä kikki kulutuslitteet kestä sitä pitkää ik vurioitumtt. Kosk verkoss ei ole msulku eikä oikosulku niin syöttävän verkon suous ei in toimi. Tilnne on kuitenkin vrllinen kulutuslitteille, oten suous on hoidettu kuormn puolell esimerkiksi kolmiviheisell liännitereleellä.

61 Mterili iheest J. Lewis lckburn: Symmetricl Components for Power Systems ngineering. June 7, 99 by CRC Press, Reference 448 Pges, SN CT# DK466 L. J. Mytt nd P. Hmmond: Symmetricl Components, volume in The Commonwelth nd nterntionl Librry: pplied lectricity nd lectronics Division. SN: J.C. Ds: Power System nlysis, Mrcel Dekker, nc,, SN 84777, 85 s triclcomponents_.pdf _TutorilSymmetriclPt_R_4.pdf?v mmetricl_s_5_web.pdf?v55

62 viheinen oikosulku ) )( ( ) ( ) ( C C ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C ) ( ) ( LT

63 viheinen oikosulku: vihevirrt ännitteet F C C ) ( ) ( C F F C F F F LT

64 Msulku ) ( ) ( Kosk C : Kosk C : ) ( Komponenttiverkkoen virt on sm > verkot srss. Viheen ännite on noll: ) ( ) ( LT

65 LT 4 viheinen moikosulku C ( ) ( ) & ( ) Komponenttiverkkoen ännitteiden yhtälöistä nähdään, että myötä, vst nollverkon ännitteet ovt smt

66 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Virrn yhtälöstä nähdään, että vst nollverkko ovt toistens rinnll viheinen moikosulku Vikimpednssi on noll. Mdoitetut tähtipisteet tulevt kolminkertisin srss nollimpednssin knss LT 4

67 LT 6 Symmetrinen viheinen oikosulku C C vikehdot: ) viheännite on noll ok viheess, ) virtoen summ on noll C C F on vikimpednssi C

68 viheinen oikosulku C () () () ) ( ) ( () ) ( ) ( C LT 6

69 LT 6 viheinen oikosulku Komponenttiverkkoen kytkentä: Vst nollverkko eivät ole mukn: ( ) Siis viktilnteen lskemiseen riittää myötäverkko Viktilnne on symmetrinen

70 LT 6 viheinen oikosulun siiskytkentä F P F F v F Huom. on vikpikn viheännite ennen vik, F on vikvirt F on vikpikn impednssi F F Siiskytkentä viheisen oikosulun lskemiseen Jos lsketn fysiklisill rvoill, on muistettv, että on viheännite. Yllä olevss kuvss vikvirt tulee vin yhdestä suunnst.

71 viheinen oikosulku: vihevirrt viheännitteet C C C LT 6

72 ..7 7 C ) ( ) ( ) ( ) ( viheinen moikosulku: vihevirrt LT 5

73 Lähde: Tekniikn käsikir, s. 5 verkon myötäimpednssi (oko lku, muutos ti tkuvuusrvo,, ) verkon vstimpednssi (ohdoill muuntill ) verkon nollimpednssi Y tähtipisteen mdoitusimpednssi Y Y R Myötäverkon Rviheen smv. (lkuoikosulkuvirt lskettess R, käyttöännite R ) R (Rviheen) ännitteen nollkomponentti R (Rviheen) virrn nollkomponentti Jännitteiden yhtälöt Virtoen yhtälöt Viktpus R S T T Y R R S T T Y S, R S T T Y,, R S T T Y,, R T R S R R T S R S T R S R S T R S R R R T S Y R R Y R Y Y R Y T R Y S R ) ( ) ( Y Y Y R Y Y R Y T R Y S R ) ( ) ( Y Y R T S Y Y R Y R» 4 LT 6

ELEC-E8419 Sähkönsiirtojärjestelmät 1 Viat ja häiriöt. Kurssi syksyllä 2015 Periodit I-II, 5 opintopistettä Liisa Haarla

ELEC-E8419 Sähkönsiirtojärjestelmät 1 Viat ja häiriöt. Kurssi syksyllä 2015 Periodit I-II, 5 opintopistettä Liisa Haarla LC849 Sähkönsiirtojärjestelmät Vit j häiriöt Kurssi syksyllä 5 Periodit, 5 opintopistettä Liis Hrl Luennon ydinsit Verkkojen mdoitustpoj Symmetriset komponentit Komponenttiverkkojen kytkeytyminen eri vioiss

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /7 Laskuharjoitus 9: Teheveninin ja Nortonin menetelmät

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /7 Laskuharjoitus 9: Teheveninin ja Nortonin menetelmät SATE1140 Piirinlyysi, os 1 kevät 2018 1 /7 Tehtävä 1. Lske ortonin menetelmän vull ll olevss kuvss esitetyssä piirissä jännite U 3. 20 A, E 345 V, E 660 V, Z 130, Z 30, Z 545. 3 Z 1 Z 2 E 2 Z 3 U 3 Kuv

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä

. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä 766319A Sähkömgnetismi, 7 op Vnhoj tenttitehtäviä 1. Puoliympyrän muotoon tivutettu suv on vrttu tsisesti siten, että vrus pituusyksikköä kohti on λ. Puoliympyrän säde on. Lske sähkökenttä puoliympyrän

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife

Ankkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti Framax Xlife 999805711-02/2015 fi Muottimestrit. nkkurijärjestelmä Monotec Järjestelmämuotti rmx Xlife Käyttäjätieto sennus- j käyttöohje 9764-445-01 Johdnto Käyttäjätieto nkkurijärjestelmä Monotec dnto Joh- by ok

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen

766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen 76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus

Lisätiedot

SATE1050 Piirianalyysi II syksy kevät / 8 Laskuharjoitus 12 / Siirtojohdot taajuusalueessa, ketjumatriisi

SATE1050 Piirianalyysi II syksy kevät / 8 Laskuharjoitus 12 / Siirtojohdot taajuusalueessa, ketjumatriisi SAT5 Piirinlyysi syksy 6 kevät 7 / 8 Tehtävä. Lske kuvss esitetyssä piirissä sisäänmenoimpednssi siirtojohdon ketjumtriisin vull, kun ) johdon loppupää on voin ) johdon loppupää on oikosuljettu c) johto

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen.

Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen. Tässä on vnhoj Sähkömgnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentttorin on ollut näissä tenteissä sm henkilö kuin tänä vuonn eli Hnn Pulkkinen. 766319A Sähkömgnetismi, kesäkurssi 2012 Päätekoe 11.6.2012 1. Esitä

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,

601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44, Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Pinta-alan laskeminen

Pinta-alan laskeminen Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

2.2 Automaattien minimointi

2.2 Automaattien minimointi 24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss

Lisätiedot

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA

uusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA COOLS COOLSIDE uusi JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE Jäähdytysteho Kylmäine Puhllintyyppi Mikroprosessori jop 96,0 kw sroll R410A ksili MP.COM T: MONO DXA (R410A) Jäähdytysteho jop 21,9 kw Ilmluhdutteinen

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

VESIPATTERIN ASENNUS TBLA Thermo Guard-jäätymissuojalla GOLD koko 11-32, versio B

VESIPATTERIN ASENNUS TBLA Thermo Guard-jäätymissuojalla GOLD koko 11-32, versio B VESIPATTERIN ASENNUS TBLA -jäätymissuojll GOLD koko 11-32, versio B ASENNUS 1. Knvliitäntä on tehtävä seurvsti: ) TBLA 000-031 j 000-040 Vesiptteri voidn sent suorn kierresumttuun knvn. Ptteri on vrustettu

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Koestusnormit: VDE 0660 osa 500/IEC Suoritettu koestus: Nimellinen virtapiikkien kestävyys I pk. Ip hetkellinen oikosulkuvirta [ka]

Koestusnormit: VDE 0660 osa 500/IEC Suoritettu koestus: Nimellinen virtapiikkien kestävyys I pk. Ip hetkellinen oikosulkuvirta [ka] Oikosulkukestoisuus EC:n mukn Oikosulkukestoisuus DN EN 439-1/EC 439-1:n mukn Tyyppikoestus DN EN 439-1 Järjestelmän tyyppikoestuksen yhteyessä suoritettiin seurvt Rittl-virtkiskojärjestelmien sekä vstvien

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Mittamuuntajien yleiset ominaisuudet

Mittamuuntajien yleiset ominaisuudet Mittmuuntjien yleiset ominisuudet Eurolite Oy on vuonn 1988 perustettu sähkötekniikn tuotteiden mhntuontiin, mrkkinointiin j myyntiin erikoistunut sintuntijyritys. Keskeisenä tvoitteen on hyvä siksplvelu,

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet Putkitekniikn perusteet 1 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään...3 2. Putkitekniikn perusteet...4 3. Putken eri ost...8 4. Diodi...12 5. Triodi...18 6. Tetrodi...31 7. Pentodi...33 8. Lähdeluettelo...39

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi

SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi ATE.1xx tttisen kenttäteorin ljentminen ähkömgneettiseksi kenttäteoriksi syksy 212 1 / 5 skuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

2. Laske tehtävän 1 mukaiselle 320 km pitkälle johdolle nimellisen p- sijaiskytkeän impedanssit ja admittanssit, sekä piirrä sijaiskytkennän kuva.

2. Laske tehtävän 1 mukaiselle 320 km pitkälle johdolle nimellisen p- sijaiskytkeän impedanssit ja admittanssit, sekä piirrä sijaiskytkennän kuva. ELECE849 k 6. Lk 6 Hz:n vrko olvn 5 :n ohdon ltoimpdni khdll tvll: kä olttmll ohto hävittmäki ttä ottmll hävit huomioon. Vrtil impdnin ro. Lk luonnollinn tho P kättämällä hävittmän ohdon ltoimpdni. Lk

Lisätiedot