Avaruuden muunnokset Jukka Liukkonen 24. joulukuuta 2009

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Avaruuden muunnokset Jukka Liukkonen 24. joulukuuta 2009"

Transkriptio

1 Avaruuden muunnokset Jukka Liukkonen 24. joulukuuta 2009

2 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Vektorilaskennan kertaus Vektorit koordinaatistossa Siirto Siirto koordinaatistossa Vents Vents koordinaatistossa Viistoutus Viistoutus koordinaatistossa Peilaus ja projektio Peilaus ja projektio koordinaatistossa Kierto Kierto koordinaatistossa Aktiiviset ja passiiviset muunnokset Muunnosten hdistäminen Affiinit muunnosmatriisit Matriisipino 28

3 1 1 Johdanto Avaruuden muunnokset eli transformaatiot ovat kätännössä laskentakaavoja, joilla mille tahansa avaruuden pisteelle lödetään uusi paikka avaruudessa. Esimerkiksi muunnos f(,, ) = ( +, +, + ) muuntaa pisteen (1, 2, 3) pisteeksi (1 + 2, 2 + 3, 1 + 3) = (3, 5, 4). Transformaatio tavallaan siirtää pisteen (1, 2, 3) uuteen paikkaan. Samoin piste (3, 1, 2) lötää uuden sijainnin paikasta (3 + ( 1), 1 + 2, 3 + 2) = (2, 1, 5). Kun muunnoskaavaa sovelletaan kaikkiin avaruuden pisteisiin, koko avaruus muuttuu ainakin melkein, sillä origo (0, 0, 0) ps paikallaan. Avaruuden pisteet voidaan kuvitella kolmiulotteisen digikuvan värillisinä pikseleinä. Muunnoksessa pikselit siirtvät, ja kuva muuttuu. Tekemällä iso määrä pieniä muunnoksia hvin nopeasti peräkkäin avaruus saadaan elämään: snt kolmiulotteinen animaatio. Matematiikan kielellä ilmaistuna avaruuden muunnos on kolmen reaalimuuttujan funktio, jonka arvot ovat reaalilukukolmikoita. Vaikka muunnos f edellä määriteltiin kättäen koordinaatteja, ja, muunnosten leinen käsittel voidaan tehdä ilman koordinaatteja vektoreilla, kunhan origon O paikka tunnetaan. Vektori on olio, jolla on suuruus eli itseisarvo ja suunta, mutta ei kiinteää paikkaa. Vektoreita havainnollistetaan nuolilla. Nuolen pituus vastaa vektorin itseisarvoa, ja nuolen suunta vektorin suuntaa. Kaksi eri paikkaan sijoitettua nuolta kuvaavat samaa vektoria, jos nuolet ovat saman pituisia ja suuntaisia. Jokaisella avaruuden pisteellä on paikkavektori. Se ajatellaan tavallisesti nuolena, joka lähtee origosta ja päät kseiseen pisteeseen. Pisteet ja vektorit vastaavat toisiaan kääntäen ksikäsitteisesti: 1) jokaisella avaruuden pisteellä on täsmälleen ksi paikkavektori, ja 2) jokaista vektoria voidaan pitää täsmälleen hden pisteen paikkavektorina ajattelemalla vektori origosta lähteväksi nuoleksi. Koska pisteet ja vektorit vastaavat toisiaan, pisteiden liikuttelu voidaan tulkita paikkavektorien liikutteluna. Paikkavektoreita kuvaavien nuolien lähtöpisteet säilvät origossa, mutta niiden kärjet liikkuvat. Tässä käsiteltävät muunnokset ovat siirto, vents, viistoutus, peilaus, projektio ja kierto. Siirtoa lukuunottamatta ne ovat kaikki ns. lineaarisia muunnoksia: ne on mahdollista toteuttaa koordinaatteja kättäen matriisikertolaskuna. Esimerkiksi edellä esitelt muunnos f on matriiseilla kirjoitettuna = = Avaruuden pisteet käsitetään matriisiesitksissä 3 1 -pstvektoreina. Tässä,, ovat pisteen koordinaatit ennen muunnosta, ja,, ovat koordinaatit muunnoksen jälkeen. Jos kaikki edellä luetellut muunnostpit, siirto mukaanlukien, halutaan saman nimen

4 2 1 JOHDANTO alle, pitää puhua affiineista muunnoksista. Affiinin muunnoksen leinen muoto on = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 + s s s (1) eli lhemmin merkinnöin X = AX + S. (2) Affiini muunnos on täten lineaarisen muunnoksen AX ja siirron summa. Pstvektori S edustaa siirtoa, jossa pisteen -koordinaattiin lisätään vakio s, -koordinaattiin lisätään vakio s 2 ja -koordinaattiin lisätään vakio s. Muunnos siis sijoittelee avaruuden pisteitä uusiin paikkoihin. Erilaiset geometriset kuviot koostuvat pisteistä. Esimerkiksi avaruuden ksikköpallo koostuu kaikista niistä pisteistä, joiden etäiss origosta O on tasan ksi. Kun pisteitä liikutellaan, samalla liikkuvat geometriset kuviot. Yksikköpallo saattaa venä soikeaksi ellipsoidiksi, ja kuutio voi muuttua suuntaissärmiöksi, jonka kaksiulotteinen vastine on suunnikas. Projektio romahduttaa koko avaruuden tasoksi, jolloin tasoa vastaan kohtisuorat suorat eli tason normaalit romahtavat tason pisteiksi. Avaruus saattaa romahtaa affiinissa muunnoksessa mös suoraksi tai jopa pisteeksi. Jos tällaista romahdusta alempiulotteiseksi avaruudeksi ei tapahdu, muunnosta kutsutaan affiiniksi isomorfismiksi. Sellaisessa suorat säilvät suorina, tasot tasoina, kolmiot kolmioina jne. Suora voi vaihtaa sekä sijaintiaan että suuntaansa affiinissa isomorfismissa, mutta se on muunnoksen jälkeenkin edelleen suora. Mös hdensuuntaisuus säil: jos tasot ovat hdensuuntaiset ennen muunnosta, ne ovat sitä affiinilla isomorfismilla muunnettuinakin. Sama koskee hdensuuntaisia suoria. Sitävastoin kohtisuoruus ei leensä säil. Ihminen näkee kolmiulotteisesta kappaleesta tavallisesti vain pinnan. Sen takia tietokonegrafiikassa kappaleet esitetään niitä rajaavina pintoina. Nämä pinnat puolestaan kootaan pienenpienistä tasonpalasista. Esimerkiksi pallopinta voidaan panna kokoon kolmioista. Kun ne ovat riittävän pieniä ja niitä on hvin paljon, silmä luulee pintaa sileäksi. Pallon piirtämiseksi tietokoneelle on kerrottava jokaisen pikkukolmion sijainti avaruudessa antamalla sen kärkipisteiden koordinaatit. Kun koordinaatit on annettu, tietokoneohjelma huolehtii kolmion piirtämisestä. Mitä tapahtuu, jos jokaisen kolmion kärkipisteisiin kohdistetaan transformaatio? Kun kaikki muunnetut kolmiot piirretään, millaiseksi pallo muovautuu? Kuvasta 1 nähdään, miten edellä määritelt transformaatio f muuttaa palloa.

5 3 Kuva 1. Kolmioista rakennetun pallon muuttuminen, kun jokaisen kolmion jokaista kärkipistettä (,, ) muutetaan transformaatiolla f(,, ) = (+, +, +). Vasemmalla on alkuperäinen pallo. Oikealla on pallo muunnoksen jälkeen. 2 Vektorilaskennan kertaus Jotta esits ei paisuisi kovin pitkäksi, lukijalta odotetaan vektorilaskennan perusteiden tuntemusta. Muutamat asiat kerrataan. Vektorilaskenta voidaan käsitellä koordinaatistoista riippumattomasti. Kätännön laskut tehdään kuitenkin koordinaatteja kättäen. Jatkossa asiat esitetään ensiksi ilman koordinaatteja ja sen jälkeen perinteisessä suorakulmaisessa, oikeakätisessä -koordinaatistossa. Oikeakätiss tarkoittaa sitä, että positiivinen -akseli osoittaa lukijaa kohti, kun positiivinen -akseli osoittaa oikealle ja positiivinen -akseli lös. Kaikkia ksikön mittaisia vektoreita kutsutaan ksikkövektoreiksi. Vektorin u suuntainen ksikkövektori û saadaan kertomalla u pituutensa käänteisluvulla: û = 1 u u = u u. Vektorien u ja v skalaaritulo eli pistetulo u v määritellään asettamalla u v = u v cos α, missä α on vektorien u ja v välinen kulma. Eritisesti Kuvassa 2 vektori v on esitett summana u u = u 2. v = v u + v, missä v u on vektorin u suuntainen ja v on vektoria u vastaan kohtisuora vektori. Sanotaan, että v u on vektorin v vektoriprojektio vektorilla u, ja v on vektorin v kohtisuora komponentti.

6 4 2 VEKTORILASKENNAN KERTAUS v v u v u α Kuva 2. Vektorin v vektoriprojektio v u ja kohtisuora komponentti v = v v u. Lukua v u = sanotaan vektorin v skalaariprojektioksi vektorilla u. Skalaariprojektion itseisarvo on vektoriprojektion pituus, sillä v u u (3) v u = v u u = v u cos α u = v cos α = { vu, 0 α π/2 v u, π/2 α π. Vektoriprojektiolle saadaan kätevä esits skalaariprojektion ja skalaaritulon avulla: v u = v u û = v u u u u = v u u 2 u. Siis v u = v u û = v u u. (4) u 2 Kun vektoriprojektio tunnetaan, kohtisuora komponentti on helppoa laskea: v = v v u. (5) Tason tai sen osan normaalivektorilla tarkoitetaan sellaista vektoria, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan. Normaalivektoreille on kättöä esimerkiksi valaistuslaskuissa: mitä

7 5 pienemmästä kulmasta tasonpalasta valaistaan, sitä tummempana kseinen palanen nähdään. Kun normaalivektori käänt kohti valonlähdettä, pala nättää kirkastuvan. Jos normaalivektori osoittaa valon kulkusuuntaan, pinta on täsin pimennossa normaalivektorin puolelta. Normaalivektoreita lasketaan vektoritulon eli ristitulon avulla. Vektorien u ja v vektoritulo u v on vektori u v = u v sin α e, missä α on vektorien u ja v välinen kulma, ja e on ksikkövektori, joka on kohtisuorassa sekä vektoria u että vektoria v vastaan (ks. kuva 3). Kohtisuoruusehto ei vielä määrää vektoria e ksikäsitteisesti, sillä mös sen vastavektori e on kohtisuorassa. Sen takia vaaditaan, että vektorit u, v ja e lueteltuina nimenomaan tässä järjestksessä muodostavat oikeakätisen järjestelmän: kun oikean käden keskisormi ( e-sormi) asetetaan kaikkein luonnollisimmalla tavalla etusormeen ( v-sormi) ja peukaloon ( u-sormi) nähden kohtisuoraan, peukalo, etusormi ja keskisormi tässä järjestksessä lueteltuina muodostavat oikeakätisen järjestelmän. Vasemmasta kädestä saataisiin samalla periaatteella vektorin e vastavektori. Ristitulon tekijöiden järjestksen vaihtaminen vastaa etumerkin vaihtamista: v u = u v. Jos u ja v ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja v on ksikövektori, vektoritulon määritelmän suorana seurauksena saadaan ( u v) v = u ja u ( v v) = 0. Liitäntälaki ei siis päde vektoritulolle: leensä ( u v) w ja u ( v w) johtavat eri lopputulokseen. On tärkeää merkitä sulut aina näkviin. Vektoritulon u v itseisarvo u v on sen suunnikkaan ala, jonka klkinä ovat vektorit u ja v. Tämä on helppoa nähdä piirtämällä kuva. Skalaaritulon ja vektoritulon hdistelmänä saadaan skalaarikolmitulo u v w. Siihen ei tarvitse merkitä sulkuja näkviin, sillä sen voi tulkita vain hdellä tavalla (so. vektoritulo lasketaan ensin). Olkoot avaruudessa leijuvan kolmion nurkkapisteiden paikkavektorit r 1, r 2 ja r 3. Silloin vektorit u = r 2 r 1 ja v = r 3 r 1 ovat kolmion klkinä, ja niiden ristitulo u v on kohtisuorassa kolmiota vastaan (ks. kuva 4). Tätä ristituloa voidaan kättää valaistuslaskuissa. Usein vaaditaan, että normaalivektorit normeerataan eli muutetaan ksikön mittaisiksi. Kolmioesimerkissä kättökelpoinen normaalivektori olisi siis n = u v u v = ( r 2 r 1 ) ( r 3 r 1 ) ( r 2 r 1 ) ( r 3 r 1 ).

8 6 2 VEKTORILASKENNAN KERTAUS u v e v α u Kuva 3. Vektoritulo u v on kohtisuorassa vektoreita u ja v vastaan. Yksikkövektori e määrät oikean käden säännöstä. u v v r 3 r 1 u r 2 O Kuva 4. Kolmion normaalivektorin määrittäminen, kun kärkien paikkavektorit r 1, r 2 ja r 3 tunnetaan.

9 2.1 Vektorit koordinaatistossa Vektorit koordinaatistossa Kätännön vektorilaskut tehdään koordinaatteja kättäen. Standardiksi muodostuneessa oikeakätisessä suorakulmaisessa -koordinaatistossa (ks. kuva 5) vektorit lausutaan kantavektorien i, j ja k avulla. Ne ovat ksikkövektoreita ja kohtisuorassa toisiaan vastaan. Mainitussa järjestksessä lueteltuina nämä ns. standardikantavektorit muodostavat oikeakätisen järjestelmän. Jokaisella avaruuden vektorilla v on ksikäsitteinen esits kantavektorien avulla (ks. kuva 6): Yksikäsitteiss tarkoittaa sitä, että htälö v = v i + v j + v k. v i + v j + v k = v1 i + v 2 j + v 3 k on voimassa vain, jos v = v 1, v = v 2 ja v = v 3. k i j Kuva 5. Avaruuden perinteinen -koordinaatisto ja ksikön mittaiset kantavektorit i, j sekä k. Koordinaatisto ajatellaan oikeakätiseksi, jolloin vinoon piirrett -akseli todellisuudessa osoittaa lukijaan päin kohtisuorasti.

10 8 2 VEKTORILASKENNAN KERTAUS v v k v i k i j v j Kuva 6. Avaruuden vektorin v esittäminen komponenteittain kantavektorien i, j ja k avulla muodossa v = v i + v j + v k. Kantavektorien i, j ja k kertotaulujen i j k i j k i j k i 0 k j j k 0 i k j i 0 avulla saadaan vektorien skalaari- ja vektoritulolle esitkset u v = u v + u v + u v u = u i + u j + u k v = v i + v j + v k u v = (u v u v ) i + (u v u v ) j + (u v u v ) k. Ristitulo esitetään usein helposti muistettavana determinanttikaavana: i j k u v = u u u v v v.

11 9 Itseisarvolle tulee htälöstä u 2 = u u laskentakaava u = u 2 + u 2 + u 2. Se on Pthagoraan lauseen leists kolmeen ulottuvuuteen. Merkitsemällä u v 0 u u U = u, V = v ja U = u 0 u (6) u v u u 0 voidaan kirjoittaa u v = U T V (7) u v = UV. (8) 3 Siirto Yksinkertaisin avaruuden muunnoksista on siirto eli translaatio. Siinä avaruuden kaikkia pisteitä siirretään tiettn suuntaan tiett matka. Suunta ja matka hdessä muodostavat vaktorin, jonka itseisarvo on siirtomatkan pituus. Kun tämä vektori tunnetaan, mös siirto tunnetaan tädellisesti. Tällaisessa tilanteessa on tapana sanoa, että translaatiolla on ksi ainut parametri, ja se on kseinen vektori. Kuvassa 7 on esitett siirto vektorin s verran paikkavektorien avulla. r s r O Kuva 7. Paikkavektorin r kärki siirt vektorin s verran paikkavektoriksi r. Siirretn pisteen paikkavektori r lasketaan alkuperäisen pisteen paikkavektorista r kaavalla r = r + s. (9)

12 10 4 VENYTYS 3.1 Siirto koordinaatistossa Koordinaatteja kätettäessä kaavassa (9) esiintvillä vektoreilla on esitkset r = i + j + k r = i + j + k s = s i + s j + s k. Yhtälö (9) koordinaattien avulla kirjoitettuna on i + j + k = i + j + k + s i + s j + s k = ( + s ) i + ( + s ) j + ( + s ) k. Kantavektorien i, j ja k kertoimien vasemmalla ja oikealla pitää olla pareittain samat, josta saadaan koordinaateille muunnoskaava = + s = + s. (10) = + s Matriisihtälöksi kirjoitettuna X = X + S, (11) missä X =, X =, S = s s s 4 Vents Kun avaruuden pisteiden välimatkoja muutetaan esimerkiksi kaksinkertaisiksi tai puoleen alkuperäisestä, ksms on ventksestä siis kutistuskin käsitetään tässä ventkseksi. Välimatkojen kaksinkertaistuessa sanotaan, että ventskerroin on 2. Jos välimatkat kutistuvat kolmasosaan alkuperäisestä, ventskerroin on 1/3. Vents voidaan rajoittaa koskemaan vain tietnsuuntaisia välimatkoja. Silloin vents ilmoitetaan hden ainoan parametrin, ventsvektorin, avulla. Ventksen suunta on sama kuin ventsvektorin suunta, ja ventskerroin on ventsvektorin itseisarvo. Ventksessä pisteiden etäisdet origon kautta kulkevasta, ventsvektoria vastaan kohtisuorasta tasosta muuttuvat ventskertoimen ilmoittamalla määrällä. Tason pisteet psvät paikallaan, ja muut pisteet liikkuvat tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Ventstä on havainnollistettu kuvassa 8.

13 4.1 Vents koordinaatistossa 11 r r r r v v O v =2 Kuva 8. Vents vektorilla v. Paikkavektorin r vektorin v suuntainen komponentti r v ven kertoimella v, jolloin r muuttuu paikkavektoriksi r. Kohtisuora komponentti r säil ennallaan. Yhtälöiden (4) ja (5) perusteella r = r + v r v (5) = r r v + v r v = r + ( v 1) r v (4) = r + v 1 v 2 ( r v) v. Vents noudattaa siis kaavaa r = r + v 1 v 2 ( r v) v. (12) 4.1 Vents koordinaatistossa Esitksiä r = i + j + k r = i + j + k v = v i + v j + v k.

14 12 5 VIISTOUTUS kättämällä htälö (12) saa muodon i + j + k = i + j + k + v 1 (v v 2 + v + v )(v i + v j + v k) [ = + v 1 ] (v v 2 v + v v + v v ) i [ + v 1 ] (v v 2 v + v v + v v ) j [ + v 1 ] (v v 2 v + v v + v v ) k. Kantavektorien kertoimista saadaan htälöt = + v 2 ( v 1)(v v + v v + v v ) = + v 2 ( v 1)(v v + v v + v v ) = + v 2 ( v 1)(v v + v v + v v ). (13) Vektorien matriisiesitkset ovat X =, X = Matriisitulon määritelmän nojalla, V = V T V = v 2 + v 2 + v 2 = v 2 ja V V T = v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v Vertaamalla htälöihin (13) saadaan matriisimuotoinen muunnoskaava ( ) V T X V 1 = I + V V T X, (14) V T V missä I tarkoittaa ksikkömatriisia: I = Viistoutus Olkoot u ja v kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa vektoria. On vain ksi origon kautta kulkeva taso T, joka on kohtisuorassa vektoria u vastaan. Taso jakaa avaruuden kahteen identtiseen puoliskoon. Ne erotetaan toisistaan sen perusteella, kummalla puolella vektoria u kuvaavan, origosta lähtevän nuolen kärki on. Vektori v on tason T suuntainen.

15 5.1 Viistoutus koordinaatistossa 13 Viistoutuksessa avaruuden pistettä siirretään vektorin v suunnassa tai sille vastakkaisessa suunnassa matka, joka on suoraan verrannollinen pisteen etäisteen d tasosta T. Jos piste on u-nuolen kärjen puolella, piste siirt vektorin v suuntaan; toisella puolella siirtmä on vastakkaissuuntainen. Piste siirt täsmälleen matkan d v (ks. kuva 9). Paikkavektoreilla ilmaistuna viistoutus tapahtuu seuraavasti: r = r + r u v. (15) Viistoutuksella on siis kaksi parametria: u ja v. Pisteen siirtmäsuunta määrät kummankin parametrin perusteella, mutta siirtmän suuruus riippuu ksinomaan parametrista v. Siis kaikki vektorin u kanssa samansuuntaiset vektorit nollavektoria lukuunottamatta määräävät saman transformaation. 5.1 Viistoutus koordinaatistossa Skalaariprojektion määritelmästä (3) ja transformaatiokaavasta (15) saadaan r = r + r u u v ja edelleen koordinaattimuodossa kirjoitettuna i + j + k = i + j + k + 1 u (u + u + u )(v i + v j + v k) [ = + 1 ] u (v u 2 + v u + v u ) i [ + 1 ] u (v u 2 + v u + v u ) j [ + 1 ] u (v u 2 + v u + v u ) k.

16 14 6 PEILAUS JA PROJEKTIO r u v r u r r u r u = 3 O v Kuva 9. Paikkavektorin r viistoutus toisiaan vastaan kohtisuorilla vektoreilla u ja v tehdään lisäämällä vektoriin r vektori v ventettnä kertoimella r u. Paikkavektorin r kärki siirt vektorin r u v verran, jolloin r viistoutuu paikkavektoriksi r. Kantavektorien kertoimille pätee = + u 1 (v u + v u + v u ) = + u 1 (v u + v u + v u ) = + u 1 (v u + v u + v u ), (16) joka on matriisimuodossa X = ( ) 1 I + U T U V U T X, (17) 6 Peilaus ja projektio Kolmiulotteisessa avaruudessa peilataan origon O kautta kulkevan tason T suhteen aivan samalla tavalla kuin tasossa origon kautta kulkevan suoran suhteen. Kuvassa 10 katsoja on sijoittunut siten, että hän näkee tason horisontaalisena suorana. Normaalivektori n määrää tason ksikäsitteisesti.

17 6.1 Peilaus ja projektio koordinaatistossa 15 n r T O θ θ p p r r p r Kuva 10. Paikkavektori r peilautuu paikkavektoriksi r. Oletetaan, että n = 1. Yhtälöstä p r / r = cos θ seuraa p r = r cos θ = r n cos θ = r n. Koska p r ja n ovat vastakkaissuuntaisia, on oltava Siis peilaus noudattaa kaavaa p r = ( r n) n. r = r 2( r n) n. (18) Jos peilaus jätetään puolitiehen, koko kolmiulotteinen avaruus projisoituu kaksiulotteiseksi tasoksi T : r = r ( r n) n. (19) 6.1 Peilaus ja projektio koordinaatistossa Peilauksen muunnoskaava (18) on standardikannassa i + j + k = i + j + k 2(n + n + n )(n i + n j + n k) = [ 2(n n + n n + n n )] i [ 2(n n + n n + n n )] j [ 2(n n + n n + n n )] k

18 16 7 KIERTO eli = 2(n n + n n + n n ) = 2(n n + n n + n n ) = 2(n n + n n + n n ). (20) Sama matriisimuodossa kirjoitettuna: Projektiolle vastaavasti X = ( I 2NN T ) X, (21) = (n n + n n + n n ) = (n n + n n + n n ) = (n n + n n + n n ) (22) eli X = ( I NN T ) X. (23) 7 Kierto Tarkastellaan kolmiulotteisen avaruuden R 3 kiertoa origon O kautta kulkevan akselin mpäri positiiviseen kiertosuuntaan kulman θ verran. Olkoon n akselin suuntavektori, ja n = 1. Positiivinen kiertosuunta määrät oikean käden säännöstä: kun suuntavektorista tartutaan kiinni oikealla kädellä peukalo ojennettuna vektorin suuntaan, muut sormet osoittavat positiivisen kiertosuunnan. Vektoria n vastaan kohtisuoralle vektorille v on voimassa n ( n v) = v. (24) Kiertköön paikkavektori r paikkavektoriksi r. Näillä vektoreilla on hteinen vektoriprojektio p kiertoakselilla (ks. kuva 11). Erotuksen r p projektio a vektorilla r p ja projektio b vektorilla n ( r p) ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa (ks. kuva 12). Yhtälöstä r p = r p ja kuvan 12 suorakulmaisista kolmioista nähdään, että a = ( r p ) cos θ, (25) b = n ( r p ) sin θ = n r sin θ. (26) Tässä n p = 0, sillä n ja p ovat hdensuuntaiset. Yhtälön (24) perusteella p r = n ( n ( r p )) = n ( n r ). (27)

19 17 n r p θ r p r O Kuva 11. Paikkavektori r kiert paikkavektoriksi r. n ( r p) r p b n ( n ( r p)) θ a r p Kuva 12. Tilanne kiertoakselilta katsottuna.

20 18 8 AKTIIVISET JA PASSIIVISET MUUNNOKSET Siis r = p + a + b (25)&(26) = p + ( r p ) cos θ + n r sin θ = r + ( p r )(1 cos θ) + n r sin θ (27) = r + n r sin θ + n ( n r ) (1 cos θ). Näin on päädtt Rodriguesin rotaatiokaavaan: r = r + n r sin θ + n ( n r ) (1 cos θ). (28) 7.1 Kierto koordinaatistossa Yhtälöstä (28) nähdään välittömästi, että [ ] X = I N sin θ + N 2 (1 cos θ) X. (29) Kaavan (6) mukaisesti N X tarkoittaa ristitulon n r matriisiesitstä. Auki kirjoitettuna (29) saa muodon = [1 (n 2 + n 2 )(1 cos θ)] + [n n (1 cos θ) + n sin θ] +[n n (1 cos θ) n sin θ] = [n n (1 cos θ) n sin θ] + [1 (n 2 + n 2 )(1 cos θ)] +[n n (1 cos θ) + n sin θ]. (30) = [n n (1 cos θ) + n sin θ] + [n n (1 cos θ) n sin θ] +[1 (n 2 + n 2 )(1 cos θ)] 8 Aktiiviset ja passiiviset muunnokset Edellä tarkasteltiin tilannetta, jossa avaruuden pisteitä liikuteltiin koordinaatiston psessä kiinteästi paikallaan. Tällaista tarkastelutapaa kutsutaan muunnoksen aktiiviseksi tulkinnaksi. Muunnos voidaan ajatella toteutettavaksi mös siten, että pisteet psvät paikoillaan, mutta koordinaatisto muuttuu (ks. kuva 13). Silloin on ksms muunnoksen passiivisesta tulkinnasta. Ottakaamme esimerkki television katselemisesta. Jos katsoja jostain sstä haluaa katsella televisiota lösalaisin, hän voi kääntää vastaanottimen lösalaisin. Vaikutus on kuitenkin sama, jos televisio jää oikein päin ja katsoja itse käänt lösalaisin käsilläseisontaan. Ensimmäisessä tilanteessa on kse aktiivisesta muunnoksesta, jälkimmäisessä passiivisesta vaikkakin jälkimmäinen tapa katsella televisiota vaatinee enemmän ponnistelua. 1 Televisioesimerkissä koordinaatiston ajatellaan olevan sidottu katsojaan ja liikkuvan hänen mukanaan. 1 Tämän kirjoittaja on päätnt siihen lopputulokseen, että televisiota ei kannata katsella lainkaan.

21 19 P P Kuva 13. Vanhan pisteen P koordinaatit uudessa -koordinaatistossa (passiivinen tulkinta) ovat samat kuin uuden pisteen P koordinaatit vanhassa -koordinaatistossa (aktiivinen tulkinta). Pisteen siirto johtaa siis samaan lopputulokseen kuin koordinaatiston htä pitkä vastakkaissuuntainen siirto. Koordinaatiston muuntaminen tarkoittaa sitä, että muunnos kohdistetaan origoon ja kantavektoreihin. Affiinissa muunnoksessa (1) kantavektoreita muutetaan lineaarisella osalla AX ja origoa siirrolla S. Kantavektorien i, j ja k matriisiesitkset ovat I = 1 0 0, J = ja K = Lineaarisessa muunnoksessa X = AX = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

22 20 8 AKTIIVISET JA PASSIIVISET MUUNNOKSET kantavektorit muuntuvat muotoon I = AI = J = AJ = K = AK = Muunnetut kantavektorit ovat siis a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = a 11 I + a 21 J + a 31 K = a 12 I + a 22 J + a 32 K = a 13 I + a 23 J + a 33 K. i = a 11 i + a 21 j + a 31 k j = a 12 i + a 22 j + a 32 k k = a 13 i + a 23 j + a 33 k. Olkoon pisteen (,, ) paikkavektori r = i+ j+ k muunnettujen kantavektorien avulla lausuttuna r = i + ỹ j + k. Kertoimien, ỹ ja lausekkeet selvitetään seuraavasti: r = i + ỹ j + k = (a 11 i + a 21 j + a 31 k) +ỹ(a 12 i + a 22 j + a 32 k) + (a 13 i + a 23 j + a 33 k) = (a 11 + a 12 ỹ + a 13 ) i + (a 21 + a 22 ỹ + a 23 ) j + (a 31 + a 32 ỹ + a 33 ) k. Esits kantavektorien avulla on ksikäsitteinen, joten = a 11 + a 12 ỹ + a 13 = a 21 + a 22 ỹ + a 23 = a 31 + a 32 ỹ + a 33 eli = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ỹ X = A X X = A 1 X. Täten pisteen koordinaatit (, ỹ, ) uudessa koordinaatistossa eli pstvektori X = [, ỹ, ] T saadaan vanhoista koordinaateista (,, ) kertomalla vektori X = [,, ] T matriisin A käänteismatriisilla A 1. Siirtotermillä S ei muuteta kantavektoreita (vektorilla ei ole paikkaa) vaan ainoastaan origoa kuvasta 13 ilmenevällä tavalla. Yhteenveto: avaruuden kantavektoreihin kohdistuvalla muunnoksella X = AX (31)

23 21 on sama vaikutus kuin avaruuden pisteisiin kohdistuvalla muunnoksella X = A 1 X. (32) Origon siirrolla paikkaan S on sama vaikutus kuin pisteisiin kohdistuvalla muunnoksella X = X S. (33) Aktiivisen muunnoksen (31) ja passiivisen muunnoksen (32) muunnosmatriisit ovat toistensa käänteismatriiseja, ja siirtovektorit ovat toistensa vastavektoreita. Esimerkki 1 Otetaan avaruuden uudeksi kannaksi vektorit i = 1 2 i j 1 2 k j = 1 2 i j k k = 1 2 i 1 2 j k ja siirretään origo pisteeseen (2, 3, 1). Silloin kantavektoreita on muunnettu matriisilla A = 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Huomaa kerrointaulukoiden transponointi! Jotta muunnos vanhasta koordinaatistosta uuteen onnistuisi, matriisille A pitää etsiä käänteismatriisi. Matriisilaskennan tunnetuilla menetelmillä saadaan A 1 = Asia voidaan tarkistaa matriisikertolaskulla: 1/2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ = Matriisi A 1 on vanhan tutun muunnoksen f(,, ) = ( +, +, + ) matriisi. Pisteen (,, ) koordinaatit uudessa kannassa ovat htälöiden (32) ja (33) mukaan ỹ = = =

24 22 8 AKTIIVISET JA PASSIIVISET MUUNNOKSET Tarkistetaan, pitääkö tämä paikkansa: Näin ollen i + ỹ j + k = ( + 5) i + ( + 2) j + ( + 1) k = ( + 5)( 1 2 i j 1 2 k) + ( + 2)( 1 2 i j k) +( + 1)( 1 2 i 1 2 j k) = [( + 5) ( + 2) + ( + 1)] 1 2 i +[( + 5) + ( + 2) ( + 1)] 1 2 j +[ ( + 5) + ( + 2) + ( + 1)] 1 2 k = (2 4) 1 2 i + (2 6) 1 2 j + (2 + 2) 1 2 k = i + j + k 2 i 3 j + k. ỹ joten asiat ovat kunnossa. = X = X S, 8.1 Muunnosten hdistäminen Kun muunnoksen muuttamaa avaruutta muutetaan välittömästi toisella muunnoksella, kseessä on muunnosten hdistäminen. Se vastaa perusmatematiikan hdistettä funktiota. Esimerkki 2 Kiertäköön muunnos A avaruuden pisteitä -akselin mpäri kulman π/3 verran ja olkoon B peilaus -tason suhteen. Muunnosmatriiseille saadaan htälöistä (21) ja (29) esitkset A = 1/2 3/2 0 3/2 1/2 0 ja B = Kun pistettä (,, ) ensin kierretään ja sitten peilataan, tapahtuu seuraavaa: A B 1/2 3/2 0 3/2 1/2 0 = =

25 8.1 Muunnosten hdistäminen 23 Ensimmäisessä vaiheessa laskettiin X = AX ja toisessa vaiheessa X = BX. Siis X = BX = B(AX) = (BA)X, joten hdistett operaatio on lineaarinen, ja sen matriisi on matriisitulo BA: (BA)X = = /2 3/2 0 3/2 1/ /2 3/2 0 3/2 1/ = Kun päinvastoin ensin peilataan ja sen jälkeen kierretään, piste (,, ) muuttuu näin: B A = 1/2 3/2 0 3/2 1/ = Tässä operoitiin ensin matriisilla B ja sitten matriisilla A, joten hdistetn operaation matriisi on tulo AB: (AB)X = = 1/2 3/2 0 3/2 1/ /2 3/2 0 3/2 1/ = Esimerkistä nähdään, että kahdesta lineaarisesta muunnoksesta hdistett muunnos on lineaarinen, ja sen matriisi on muunnosmatriisien tulo (ks. kuva 14). Sama koskee useamman muunnoksen hdistämistä. Lisäksi lopputulos riippuu siitä, missä järjestksessä muunnokset hdistetään (ks. kuva 15).

26 24 8 AKTIIVISET JA PASSIIVISET MUUNNOKSET X A AX B BAX BA Kuva 14. Muunnoksista A ja B hdistett muunnos BA. AX X ABX BAX BX Kuva 15. Muunnoksista A ja B hdistettjen muunnosten AB ja BA vaikutus pisteeseen X. Muunnos A on kierto -akselin mpäri kulman π/3 verran ja B on peilaus -tason suhteen. Kuvassa -akselin ajatellaan osoittavan kohtisuoraan katsojaa kohti.

27 25 Edellä tarkasteltiin muunnosta aktiivisesta näkökulmasta. Aktiivista muunnosta BA vastaa passiivinen muunnos (BA) 1. Matriisilaskennan teorian mukaan tulon käänteismatriisi on käänteismatriisien tulo, mutta päinvastaisessa järjestksessä! Siis (BA) 1 = A 1 B 1. Useammasta muunnoksesta hdistettä aktiivista muunnosta A n A n 1... A 2 A 1 vastaa passiivinen muunnos (A n A n 1... A 2 A 1 ) 1 = A 1 1 A A 1 n 1A 1 n. Passiiviset muunnokset hdistetään päinvastaisessa järjestksessä kuin aktiiviset muunnokset. 9 Affiinit muunnosmatriisit Avaruuden koordinaatiston tuntemiseksi riittää tuntea kantavektorit i, j ja k sekä origo O. Vektoreiden esittäminen koordinaattien avulla ei edelltä tietoa origon sijainnista, sillä vektori ei ole paikkaan sidottu. Avaruuden pisteillä sen sijaan on tiett sijainti, ja pisteen koordinaattien tunteminen vaatii origon paikan kiinnittämisen. Muodollisesti pisteet voidaan esittää summina i + j + k + 1O missä origo on mukana kertoimella 1. Vektorin lausekkeessa origon voidaan ajatella olevan mukana kertoimella 0: i + j + k = i + j + k + 0O. Summissa i+ j+ k+to kertoimet,, ja t määräävät ksikäsitteisesti, mistä vektorista tai pisteestä on ksms, joten merkinnöissä on turhaa raahata mukana kantavektoreita ja origoa. Siispä pisteet ja vektorit voidaan esittää ksikäsitteisesti 4 1 -pstvektoreina [ t ] T = Ne käsitetään kolmiulotteisen avaruuden pisteiksi, kun t = 1, ja vektoreiksi, kun t = 0. Puhumme siis pisteistä [ 1 ] T [ ] T ja vektoreista 0. Koska 1 2 λ λ 2 2 λ λ = λ λ 2 2 λ λ 2 2, vektorit säilvät vektoreina, kun niitä lasketaan hteen skalaareilla kerrottuina. Tällaisia summia kutsutaan lineaarikombinaatioiksi. Kahden pisteen lineaarikombinaatio 1 2 λ λ 2 2 λ λ = λ λ 2 2 λ λ λ 1 + λ 2 t

28 26 9 AFFIINIT MUUNNOSMATRIISIT on piste vain, kun λ 1 + λ 2 = 1. Jos merkitään X 1 = [ ] T ja X 2 = [ ] T, lineaarikombinaatio saa muodon λ 1 X 1 + λ 2 X 2. Tapauksessa λ 1 + λ 2 = 1 se voidaan kirjoittaa (1 λ 2 )X 1 + λ 2 X 2 = X 1 + λ 2 (X 2 X 1 ). Tästä muodosta nähdään parametrin λ 2 geometrinen merkits: kun sen arvoa muutetaan, piste X 1 + λ 2 (X 2 X 1 ) liikkuu pitkin pisteitä X 1 ja X 2 hdistävää suoraa (ks. kuva 16). Jos λ 1 + λ 2 = 0, summa λ 1 X 1 + λ 2 X 2 on vektori. Muodosta λ 2 X 1 + λ 2 X 2 = λ 2 (X 2 X 1 ) nähdään, että kseessä on pisteiden X 2 ja X 1 paikkavektorien erotus vakiolla λ 2 kerrottuna X X 1 Kuva 16. Pisteen X 1 + λ(x 2 X 1 ) sijainti parametrin λ eri arvoilla. Siirron erikoisasema on hienoinen kauneusvirhe edellä esitetssä affiinimuunnosten teoriassa. Epäkohta poistuu, kun muunnokset esitetään 3 3 -matriisien sijaan eritistä tppiä olevina 4 4 -matriiseina. Niitä kutsutaan affiineiksi matriiseiksi, ja ne ovat leistä muotoa A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a Ne ovat käteviä siinäkin mielessä, että ne säilttävät pisteet pisteinä ja vektorit vektoreina: a 11 a 12 a 13 a 14 a 11 + a 12 + a 13 + a 14 t a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 = a 21 + a 22 + a 23 + a 24 t a 31 + a 32 + a 33 + a 34 t (34) t t

29 27 On vaivatonta osoittaa, että kahden affiinimatriisin tulo on affiinimatriisi, ja affiinimatriisin käänteismatriisi on affiini. Sen sijaan affiinimatriisien summa ja erotus eivät leensä ole affiineja. Tavallisesti mös affiinimatriisin kertominen skalaarilla ja transponointi johtavat matriisiin, joka ei ole affiini. Jos htälössä (34) on t = 0 eli kseessä on vektorin kertominen affiinilla matriisilla, lopputulos on a 11 + a 12 + a 13 a 21 + a 22 + a 23 a 31 + a 32 + a 33 0 Kolme lintä riviä ovat tulos laskutoimituksesta a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Tämä esittää tavallista kolmiulotteisen avaruuden lineaarimuunnosta, joka voisi olla esimerkiksi peilaus tai kierto. Matriisialkioilla a 14, a 24 ja a 34 ei ole mitään merkitstä. Tapauksessa t = 1 piste kerrotaan affiinilla matriisilla, ja lopputulos on hiukan monimutkaisempi: a 11 + a 12 + a 13 + a 14 a 21 + a 22 + a 23 + a 24 a 31 + a 32 + a 33 + a 34 1 Kolme lintä riviä voidaan nt kirjoittaa muotoon a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 + a 31 a 32 a 33 Havaitaan, että tässä operoidaan vektoriin [ ] T kolmiulotteisen avaruuden lineaarimuunnoksella, ja sen jälkeen siirretään muunnettua vektoria vektorin [ a 14 a 24 a 34 ] T verran. Toisin sanoen samaan affiinimatriisiin voidaan kätkeä sekä lineaarimuunnos että siirto, ja siirron erikoisasema affiinimuunnosten teoriassa on poistunut. Tästä lähtien siirtokin voidaan tehdä matriisikertolaskuna. Avaruuden leinen affiini muunnos (1) on affiinimatriisin avulla kirjoitettuna t = a 11 a 12 a 13 s a 21 a 22 a 23 s a 31 a 32 a 33 s a 14 a 24 a 34 t (35) Tässä matriisit on selvden vuoksi lohkottu merkitkseltään erilaisiin lohkoihin. Lohko a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

30 28 10 MATRIISIPINO on kolmiulotteisen avaruuden lineaarimuunnos, kuten esimerkiksi vents, viistoutus, peilaus, projektio tai kierto. Lohko [ s s s ] T edustaa siirtoa, ja t = 0 tai t = 1 sen mukaan, muunnetaanko vektoria vai pistettä. Vektoriin siirto-osa ei vaikuta lainkaan. Pisteeseen se vaikuttaa siinä järjestksessä, että siirto tehdään lineaarisen transformaation jälkeen. Jos siirto halutaan tehdä ennen lineaarimuunnosta, järjestel on seuraava: 1 = a 11 a 12 a 13 0 a 21 a 22 a 23 0 a 31 a 32 a s s s Matriisipino Auringon halkaisija on km. Sitä kiertää kahdeksan 2 planeettaa, joista kaksi on Maa eli Tellus (halkaisija km) ja Mars (halkaisija km). Marsilla on kaksi kuuta, Phobos (halkaisija 23 km) ja Deimos (halkaisija 13 km). Maalla on ksi kuu, Kuu (halkaisija km). Kuun rata Aurinkoon sidotussa koordinaatistossa on turhan monimutkainen. Siksi on järkevää tarkastella Kuun kulkua Maan koordinaatistossa, jossa Kuun rata on ellipsin muotoinen. Olkoon tehtävänä nimeltä mainitut kuusi taivaankappaletta käsittävän miniaurinkokunnan tietokonemallin rakentaminen. Taivaankappaleet esitetään erisuuruisina palloina. Mittasuhteet on stä vääristää sellaisiksi, että kaikki pallot voidaan nähdä kuvaruudulla samanaikaisesti. Niiden paikat ja asennot päivitetään määrävälein sanokaamme sekunnin sadasosan välein. Seuraava algoritmi eli toimintaohjesarja kuvaa hden tällaisen päivitksen kulun: A1. Sijoita Aurinko koordinaatiston origoon. A2. Laske Maan uusi paikka Auringon koordinaatistossa ja siirrä koordinaatiston origo sinne. A3. Sijoita Maa koordinaatiston origoon. A4. Laske Kuun uusi paikka Maan koordinaatistossa ja siirrä koordinaatiston origo sinne. A5. Sijoita Kuu koordinaatiston origoon. A6. Palaa edelliseen koordinaatistoon (so. Maan koordinaatistoon). A7. Palaa edelliseen koordinaatistoon (so. Auringon koordinaatistoon). A8. Laske Marsin uusi paikka Auringon koordinaatistossa ja siirrä koordinaatiston origo sinne. A9. Sijoita Mars koordinaatiston origoon. 2 Tähtitieteilijät peruuttivat Plutolta planeetan tittelin v

31 29 A10. Laske Phobosin uusi paikka Marsin koordinaatistossa ja siirrä koordinaatiston origo sinne. A11. Sijoita Phobos koordinaatiston origoon. A12. Palaa edelliseen koordinaatistoon (so. Marsin koordinaatistoon). A13. Laske Deimosin uusi paikka Marsin koordinaatistossa ja siirrä koordinaatiston origo sinne. A14. Sijoita Deimos koordinaatiston origoon. A15. Palaa edelliseen koordinaatistoon (so. Marsin koordinaatistoon). A16. Palaa edelliseen koordinaatistoon (so. Aurinon koordinaatistoon). Algoritmissa esiint vain ksi sellainen komento, jossa malliin lisätään uusi geometrinen olio. Tämä komento on origokeskisen pallon lisääminen. Itse asiassa riittää, jos psttään konstruoimaan origokeskinen ksisäteinen pallo, sillä muun kokoiset pallot psttään tällöin luomaan venttämällä tai kutistamalla koordinaatteja. Merkillepantavaa edellisessä toimintaohjesarjassa on palaaminen aikaisempaan koordinaatistoon. Vanhan koordinaatiston tät siis olla talletettuna jonnekin. Silicon Graphicsissa (SGI) kehitett, kolmiulotteiseen tietokonegrafiikkaan tarkoitettu OpenGL-funktiokirjasto tallettaa koordinaatistot, tai oikeammin sanottuna koordinaatteja muuttavat (siis passiiviset) transformaatiot, pinoon tietokoneen muistiin. Transformaatiot talletetaan affiineina 4 4 -matriiseina. Pinon päällimmäistä matriisia kutsutaan tässä aktuelliksi matriisiksi (engl. current matri) sen takia, että kaikki grafiikkakomennot toteutetaan sen määräämässä koordinaatistossa. Aktuellia matriisia voidaan muuttaa korvaamalla se ksikkömatriisilla (komento glloadidentit()) tai kertomalla se oikealta puolelta affiinilla muunnosmatriisilla (komennot glrotate(θ,,, ), gltranslate(,, ) ja glscale(,, )). Matriisin kertominen toisella matriisilla merkitsee muunnosten hdistämistä, kuten aikaisemmin todettiin. Koska OpenGL:ssä muunnetaan koordinaatistoja eikä itse avaruutta ja sen pisteitä, on kse passiivisista muunnoksista. Niiden htedessä matriisitulon vasemmanpuoleista matriisia vastaava koordinaattimuunnos suoritetaan ennen oikeanpuoleista. Jos siis halutaan jo muunnettua koordinaatistoa muuntaa edelleen, vanha muunnosmatriisi pitää kertoa nimenomaan oikealta puolelta uuden muunnoksen matriisilla. Vanhan muunnosmatriisin tallettaminen pinoon tehdään push-operaatiolla (komento glpushmatri()). Siinä pinoa tönnetään ksi porras alaspäin, ja päällimmäiseksi jätetään aktiivisen matriisin kopio. Välittömästi push-operaation jälkeen pinon kaksi päällimmäistä matriisia ovat samat. Pop-operaatio (komento glpopmatri()) puolestaan nostaa pinoa hden portaan löspäin, jolloin aikaisemman pinon päällimmäisin matriisi lentää taivaan tuuliin. Seuraavaksi otetaan askel kohti OpenGL-koodia ja kirjoitetaan

32 30 10 MATRIISIPINO algoritmi kättäen edellä suluissa esiteltjä OpenGL-komentoja. A1. glloadidentit(), sijoita Aurinko koordinaatiston origoon. A2. Laske Maan uusi paikka ( T, T, T ) Auringon koordinaatistossa, glpushmatri(), gltranslate( T, T, T ). A3. Sijoita Maa koordinaatiston origoon. A4. Laske Kuun uusi paikka ( K, K, K ) Maan koordinaatistossa, glpushmatri(), gltranslate( K, K, K ). A5. Sijoita Kuu koordinaatiston origoon. A6. glpopmatri(). A7. glpopmatri(). A8. Laske Marsin uusi paikka ( M, M, M ) Auringon koordinaatistossa, glpushmatri(), gltranslate( M, M, M ). A9. Sijoita Mars koordinaatiston origoon. A10. Laske Phobosin uusi paikka ( P, P, P ) Marsin koordinaatistossa, glpushmatri(), gltranslate( P, P, P ). A11. Sijoita Phobos koordinaatiston origoon. A12. glpopmatri(). A13. Laske Deimosin uusi paikka ( D, D, D ) Marsin koordinaatistossa, glpushmatri(), gltranslate( D, D, D ). A14. Sijoita Deimos koordinaatiston origoon. A15. glpopmatri(). A16. glpopmatri(). Olkoon T sen koordinaattimuunnoksen matriisi, jolla päästään Auringon koordinaatistosta Maan eli Telluksen koordinaatistoon. Matriisit K, M, P ja D määritellään vastaavasti algoritmissa esiintvistä alaindekseistä ilmenevällä tavalla. Alla on esitett matriisipinon tila kunkin vaiheen suorituksen jälkeen: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 I T T T K T K T I M I I T T I I I I A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 M MP MP M MD MD M I I M M I M M I I I I I Kuvassa 17 on havainnollistettu taivaankappaleisiin sidottuja koordinaatistoja.

33 Kuva 17. Köhän miehen aurinkokunta. 31

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö. Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

VEKTORIT paikkavektori OA

VEKTORIT paikkavektori OA paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Sisältö. Luento 1: Transformaatiot (2D) 1. Koordinaattimuunnokset. Muunnokset (jatkuu) 2. Perustransformaatiot. Perustransformaatiot (jatkuu)

Sisältö. Luento 1: Transformaatiot (2D) 1. Koordinaattimuunnokset. Muunnokset (jatkuu) 2. Perustransformaatiot. Perustransformaatiot (jatkuu) Sisältö ietokonegrafiikka / perusteet Ako/-.3/3 4 ov / 2 ov Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia Luento : ransformaatiot (2D) Marko Mllmaa 6/4 2D

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Luento 4: 3D Transformaatiot

Luento 4: 3D Transformaatiot ietokonegrafiikan perusteet -.43 3 op Luento 4: 3D ransformaatiot Lauri aioja /5 3D transformaatiot / isältö Lineaarialgebran kertausta Geometriset objektit 3D-maailmassa Perustransformaatiot 3D:ssä 3D

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin 1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä

Lisätiedot

9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt

9.2 Lineaarikuvaus Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen U: jos nyt 9 Lineaarikuvaukset, matriisit 9 Vektoriavaruudet Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ja kotiavaruuden (R 3 vektoreista Nämä (kuten mös pelkkä R ovat esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista Yleisesti

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Jos γ on tylppä, niin. c 2 = h 2 + (b + s) 2 = a 2 s 2 + (b + s) 2 = a 2 + b 2 + 2bs

Jos γ on tylppä, niin. c 2 = h 2 + (b + s) 2 = a 2 s 2 + (b + s) 2 = a 2 + b 2 + 2bs 12 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Lause 1.2.5. Kosinilause: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Perustelu: a c h γ u b Tapaus: Terävä γ b u = a cos γ c h a s γ b Tapaus: Tlppä γ s = a cos γ Yllä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Luento 2: Transformaatiot (2D)

Luento 2: Transformaatiot (2D) ietokonegrafiikan perusteet -.43 3 op Luento 2: ransformaatiot (2D) Lauri Savioja /7 2D transformaatiot / Sisältö Perustransformaatiot ransformaatioiden hdistäminen Muunnosmatriisit Laskennallisia näkökohtia

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

Vektoreita GeoGebrassa.

Vektoreita GeoGebrassa. Vektoreita GeoGebrassa 1 Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot 5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset 32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta

Lisätiedot