Avaruuslentojen fysiikkaa (AstroKosmoTaikonautiikka)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Avaruuslentojen fysiikkaa (AstroKosmoTaikonautiikka)"

Transkriptio

1 Avaruuslentojen fysiikkaa (AstroKosmoTaikonautiikka) Astronautti Kosmonautti Taikonautti = länsimainen avaruuslentäjä = venäläinen avaruuslentäjä = kiinalainen avaruuslentäjä Juhani Kaukoranta Raahen lukio Raketin toimintaperiaate: reaktioliike Newtonin II laki: voima = massa kiihtyvyys dp F = ma = = dt d (mv) dt impulssin derivaatta Newtonin III lain mukaan: Kun raketti työntää palokaasuja (aktio) vakionopeudella taaksepäin, niin kaasu työntää rakettia vastakkaiseen suuntaan. Tästä tulee nimi reaktioliike ( jet propulsion) 1

2 Veneraketti Soutaja istuu veneessä, mukanaan 10 kpl 1 kg kiviä. Veneen, soutajan ja kivien yhteinen massa on 150 kg. Soutaja heittää kivet sekunnin välein nopeudella u=10 m/s taaksepäin. Minkä nopeuden v vene saa viimeisen kiven jälkeen? Yhteismassa M 0 = 150 kg kivien massa m = 10 kg kivien nopeus u = 10 m/s Kivien heittely keventää venettä, alussa yhteismassa 150 kg, lopussa 140 kg, joten keskimäärin yhteismassa M = 145 kg Liikemäärä säilyy: Mv = mu mu 10 kg 10 m/s v= = 0,69 m/s M 145 kg Rakettimoottorin työntövoima dm k = dt u Oletetaan, että palokaasuvirta on vakio k (kg/s) ja kaasujen nopeus on vakio u. Kaasujen suihkutus vaatii Newtonin II lain perusteella voiman F, joka on kaasun saaman impulssin (liikemäärän) derivaatta: d dm F = (mu) = u = ku dt dt Voiman ja vastavoiman lain mukaan raketti työntää kaasuja ja kaasu rakettia vakiovoimalla F = ku Raketti lähtee siis kiihtyvään liikkeeseen.

3 Laskuesimerkkejä 1. Moottoriruiskun vesisuihkun nopeus on 34 m/s ja suihkuvirta on 500 litraa minuutissa. Kuinka suurella voimalla ruiskua on pideltävä? massavirta k = 500 kg / 60 s =8,333 kg/s F = k u = 8,333 kg/s 34 m/s 80 N. Raketin työntövoima on 695 N ja palokaasujen virta 0,5 kg/s. Mikä on palokaasujen nopeus? u = F k 695 N = 0,5 kg/s 3090 m/s Paineilmapullon kaula rikkoutuu Kolarissa kyljellään olevan 00 barin paineilmapullon kaula posahtaa. Oletetaan, että kaulan poikkipinta on 1,0 cm. Kuinka suurella voimalla 1 litrainen ja 15 kg massainen pullo lähtee liikkeelle? massa m = 15 kg ala A = 1,0 cm = 0,0001 m p = 00 bar = Pa ( 1 bar = pascalia) paine työntää: F = p A = 000 N F 000 N m Alkukiihtyvyys a = = = 133 m 15 kg s Pullo lähtee siis salamannopeasti... 3

4 Tsiolkovskin rakettiyhtälö Nyt voimme laskea Newtonin II lain avulla raketin saaman kiihtyvyyden. Ongelmana on se, että raketin massa kevenee koko ajan, jolloin työntövoiman pysyessä samana raketin kiihtyvyys kasvaa koko ajan. u M F Olkoon raketin alkumassa M 0, palokaasujen virta k ja nopeus u Moottorin työntövoima F = ku Tällöin raketin massa hetkellä t on M = M 0 -kt F ku Kiihtyvyys a = = M M kt 0 Tsiolkovskin rakettiyhtälö dv Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, joten a = dt dv ku = dt M kt 0 ku Integrointia varten dv = dt M kt v v 0 t -k dv = -u dt M kt Integrointi onnistuu, oikealle saadaan luonnollinen logaritmi 4

5 Tsiolkovskin rakettiyhtälö Integroidaan ja sijoitetaan integroimisrajat: v - v 0 = -u (ln (M0 kt) - ln(m 0)) Vasemmalla on raketin nopeuden kasvu v, oikealla luonnolliset logaritmit voidaan yhdistää: M 0 v = u ln M0 kt Koska M = M0 kt, voidaan yhtälö kirjoittaa myös: M raketin alkumassa M 0 0 v = u ln M raketin loppumassa M Tsiolkovskin rakettiyhtälö u F M Raketin massa kevenee arvosta M 0 arvoon M, kun polttoaine palaa. Raketin nopeuden kasvulle saatiin: M 0 v = u ln M Raketin nopeus voi siis kasvaa paljon suuremmaksi kuin palokaasujen nopeus, jos massasuhde M 0 /M on suurempi kuin Neperin luku e =,718...Tällöin suurin osa raketin alkumassasta on polttoainetta. Käytännössä raketti on siis jättimäinen polttoainekanisteri... 5

6 MARS ODYSSEY-luotaimen JARRUTUS Mars Odysseyn massa oli 75 kg, kun se aloitti Marsin takana jarrutuspolton. Rakettimoottorin työntövoima oli 695 N. Poltto kesti 118 sekuntia, polttoainetta kului 66 kg. a) Kuinka suuri oli luotaimen jarrutushidastuvuus polton alussa? F=m a, josta F 695 N m a = = 0,959 m 75 kg s b) Kuinka suuri oli kiihtyvyys polton lopussa? työntövoima F = 695 N pysyy koko ajan samana, mutta luotaimen massa on lopussa pienentynyt 66 kg F 695 N 695 N m a = = = 1,51 m 75 kg - 66 kg 459 kg s MARS ODYSSEY-luotaimen JARRUTUS Mars Odysseyn massa oli 75 kg, kun se aloitti Marsin takana jarrutuspolton. Rakettimoottorin työntövoima oli 695 N. Poltto kesti 118 sekuntia, polttoainetta kului 66 kg. c) Kuinka suuri oli palokaasujen nopeus? F = ku, josta u = F 695 N = k 66 kg / 118 s 3090 m/s d) Kuinka suuri oli luotaimen nopeuden lasku? M 75 kg = M 75 kg - 66 kg 0 v = u ln 3088 m/s ln 1410 m/s 6

7 Veneraketti Tsiolkovskin mukaan Soutaja istuu veneessä, mukanaan 10 kpl 1 kg kiviä. Veneen, soutajan ja kivien yhteinen massa on 150 kg. Soutaja heittää kivet sekunnin välein nopeudella 10 m/s taaksepäin. Minkä nopeuden vene saa viimeisen kiven jälkeen, kun lasketaan Tsiolkovskin yhtälön mukaan? Yhteismassa alussa M 0 = 150 kg Yhteismassa lopussa M = 140 kg Kivisuihkun nopeus u = 10 m/s M 150 kg M 140 kg 0 Nopeuden muutos v = u ln = 10 m/s ln 0,69 m/s Siis saman tuloksen kuin laskettaessa liikemäärän säilymisen periaatteella. Syy: massan muutos on pieni. Laskutehtävä: Space Cadet Andy Rocca Space Cadet Andy Rocca on pelastautunut sukkulastaan Kuun kiertoradalle pelkässä avaruuspuvussa. Hänellä on isoisoisänsä perinne-suomi KP/ km korkeudella radan ylimmässä kohdassa Andy huomaa, että radan alin kohta hipaisee väistämättä Kuuta. Andy päättä nostaa rataa ampumalla 5 sekunnissa KP:n 70 patruunan lippaan tyhjäksi lentosuuntaa vastaan, jolloin hän saa lisäimpulssin. Kuinka suuren lisänopeuden Andy Rocca saa, kun hänen massansa varusteineen on 100 kg, luodin massa on 7,5 g ja luodin nopeus on 400 m/s? Ohje: Laske ensin perinteisellä liikemäärän säilymislailla, koska luotien mukana poistuvan massa on pieni. Laske sen jälkeen Tsiolkovskin rakettiyhtälöllä ja vertaile tuloksia. (,1 m/s) 7

8 Keplerin 1. laki satelliitille 1. Satelliitti kiertää planeetta ellipsiradalla, jonka toisessa polttopisteessä on planeetan keskipiste h r a R r p h 1 a = iso puoliakseli a = (h 1 + h + R)/ = (h 1 +h )/ + R a = r a + r p Ympyräradalla ellipsi on ympyrä ja a = h + R Keplerin. laki satelliitille. Satelliitin ratavektori pyyhkäisee yhtä pitkinä aikaväleinä yhtä suuret pinta-alat Apogeum v a r a r p Perigeum v p Kauimpana satelliitti liikkuu paljon hitaammin kuin lähimmässä kohdassaan. Tällöin saadaan ratanopeuksille v p r p = v a r a, jossa r a + r p = a (Itse asiassa impulssimomentin säilymislaki) 8

9 Keplerin 3. laki satelliitille 3. Satelliitin kiertoajan neliö on verrannollinen ellipsin pitemmän puoliakselin kuutioon h R h 1 a = iso puoliakseli Keplerin 3. lain perusteella kaikilla ellipsiradoilla, joilla on sama iso puoliakseli, on myös sama kiertoaika. Ellipsin soikeus ei siis vaikuta, ainoastaan iso puoliakseli. Erikoistapaus on ympyrärata, jossa säde R = a. Keplerin 3. laki satelliitille R=a Oheisilla ellipseillä on sama iso puoliakseli a, niillä on siis sama kiertoaika. Lasketaan ympyräradan kiertoaika, joka on samalla näiden kaikkien ellipsiratojen kiertoaika. Planeetan massa M, satelliitin massa m, radan säde R=a, ratanopeus v ja kiertoaika T. Keskeiskiihtyvyys on yhtä suuri kuin painovoima. Lennetään yksi ratakierros, joten mv m = R R vt = πr Näistä saadaan nopeus v ja kiertoaika T v = R 3 R T= π 9

10 Keplerin 3. laki satelliitille Ympyräradalla, jonka säde R = a saatiin kiertoajaksi T: 3 R T= π Koska R = a, saadaan lopulta kaikille niille ellipsiradoille,joiden iso puoliakseli on a, kiertoajaksi T: 3 a T = π Kaava pitää paikkansa, jos satelliitin massa on mitätön verrattuna planeetan massaan M. Kaavan mukaan kiertoaika riippuu ainoastaan ison puoliakselin pituudesta, ei ellipsin soikeudesta. Tarkemmat laskut Laskukaavoissa hyvin usein esiintyy gravitaatiovakio G ja planeetan tai Auringon massa M. Gravitaatiovakion arvoa ei tunneta kovin suurella tarkkuudella eikä myöskään planeettojen massoja. Käytännön laskuissa ei kuitenkaan tarvita erikseen gravitaatiovakioa M eikä planeetan massaa M. Sensijaan laskuissa esiintyy näiden tulo. Se tunnetaan hyvin tarkasti. Sen arvo voidaan laskea satelliitin kiertoajan perusteella. Maa-planeetalle = 3, m 3 s - Auringolle = 1, m 3 s - 10

11 Tulo eri planeetoille Kohde Aurinko Merkurius Venus Maa Mars Jupiter Saturnus Neptunus Uranus Pluto Tulo m 3 s - 1, E+0,03 E+13 3,4859 E+14 3, E+14 4,88 E+13 1, E+17 3, E+16 5, E+15 6,83659 E+15 1,001 E+1 Laskuesimerkki : Sputnik 1 Sputnik 1 laukaistiin radalleen Radan lähimmän kohdan etäisyys Maapallon pinnasta oli 7 km (perigeum) ja kaukaisimman kohdan korkeus 945 km (apogeum). Maapallon säde on 6370 km. Laske Sputnik 1:n kiertoaika a = (7 km km) / km = 6956 km = 3, m 3 /s 3 a T = π T 5774 s 96 minuuttia 11

12 Laskuesimerkki: Planeetan massa Marsin kuun Phoboksen kiertoaika on 7 h 39,5 min ja ympyränmuotoisen radan säde on 9380 km. Laske Marsin massa. 4π 3 T = a, koska Marsin massa M >> Phobos a = m T = 7h 39,5 min = 7570 s G = 6, Nm kg M = 4π a GT 3 M 6, kg Impulssimomentin säilymislaki Keplerin. lain mukaan satelliitin ratavektori pyyhkäisee yhtä pitkinä aikaväleinä yhtä suuret pinta-alat. Siis kiertoradan pintanopeus, pinta-alan derivaatta ajan suhteen, on vakio. ds=vdt r v r α T da = = vdt r sinα / da vrsinα Joten pintanopeus = = vakio dt siis v11 r sinα1= vrsinα (Vektoreina L = mv r = impulssimomenttivektori = vakio) 1

13 Impulssimomentti ja tulokulma Nopeusvektorin ja paikkavektorin välisen kulman sijasta on kätevämpää käyttää tulokulman käsitettä. Tulokulma eli flight-path on nopeusvektorin ja paikkavektorin normaalin välinen kulma Φ r α v Φ Tällöin vrsin α = vrcosθ = vakio vrcos φ = vrcosφ 11 1 Tämän ja energian säilymislain avulla voidaan laskea meteorin ja komeetan radan kaartuminen sen syöksyessä kohti Maata, kun ilmakehän vastus ei vielä vaikuta. Potentiaalienergia Siirretään kappale etäisyydeltä r 0 äärettömän kauaksi. Kuinka suuri työ tehdään? G =6, m -11 Nm kg - Painovoimalaki F = M = planeetan massa r m m m Nostotyö W = dr = - = r0 r r r0 m = nostettava kappale r = etäisyys planeetasta r 0 Tästä saadaan potentiaalienergian käsite. Valitaan potentiaalienergian nollataso äärettömyyteen. Tällöin potentiaalienergia on aina negatiivinen. W = - pot m r 13

14 Energian säilymisperiaate Vapaalla radalla massakeskuksen M vaikutuspiirissä liike-energian ja potentiaalienergian summa säilyy. (Pot.energian nollataso on valittu äärettömyyteen, siksi miinusmerkki) mv1 m mv m = r r 1 Sievennettynä (pätee kaikille vapaille radoille) v1 v = r r 1 Kaava ottaa huomioon painovoiman riippuvuuden etäisyydestä. (Koululaskuissa painovoima oletettiin vakioksi) Haemaelaeinen Deimoksen pinnalla Marsilla on kaksi kuuta, Phobos ja Deimos. Deimoksen tiedot: massa M = 1, kg keskisäde R=7,49 km kiertoaika T = 30 h 17,9 min etäisyys Marsista r = km Mestariurheilija Hämäläinen pystyi eläkeläisenäkin hyppäämään Maan pinnalla tasajalkaa 50 cm korkeuteen, mihin tarvittiin 3,1 m/s alkuvauhti. Astronauttina hän ponnisti Deimoksen pinnalla samalla 3,1 m/s nopeudella pystysuoraan. Kuinka korkealle hän nousi? Laskussa on sovellettava energian säilymislakia, mutta ei samaa kuin koulussa, vaan edellä olevaa yleispätevää lakia. 14

15 Haemaelaeinen Deimoksen pinnalla Alussa nopeus v 0 = 3,1 m/s, lakipisteessä v = 0 Alussa korkeus r 0 = 7490 m, lakipisteessä r Energia säilyy, joten v0 0 = r r 0 r 0 Josta saadaan r r = r0 6, Nm kg 1,8 10 kg 7490 m = m - r v 6, Nm kg 1,8 10 kg 7490 m (3,1 m/s) Lakikorkeus Deimoksen pinnasta on r - r 0 = m 7490 m = 300 m Esimerkki: 1000 tonnin asteroidin nopeus on 15 km/s km etäisyydellä Maan keskipisteestä. Mikä on asteroidin nopeus 100 km korkeudella, v 1 jolloin ilmakehä alkaa vaikuttamaan? v1 v = r r 1 v 1 = m/s r 1 = m r = ( ) km = m v =? 1 1 v = v km/s r r1 v Lentoaika noin 50 min 15

16 Jättimäinen komeetta Kali syöksyy kohti Maata. Missä tulokulmassa asteroidi tulee km etäisyydellä, jossa sen nopeus on 15 km/s, jotta se ohittaa Maan 60 km korkeudella ja poistuu? v 1 =15 km/s r 1 = km v =18,46 km/s r = 6438 km v 1 v θ =? θ = 0 1 Impulssimomentti säilyy v r cos φ = v r cosφ 11 1 cos 1 = = 0, v11 r 18,46 km/s km 1 φ v r cos0 15 km/s 6438 km 1 θ = - 87 (syöksyy siis melko jyrkästi kohti Maata) Kali synnyttää jättimäisen tulivanan ehkä 80 km korkeudella ja on lähimmillään Maata 60 km korkeudella. Ajatus on Arthur C. Clarken romaanista Hammer of God Milloin komeetta voi törmätä? Hyvin kaukana Maasta komeetan kulkusuunnan ja Maan etäisyys on d ja komeetan nopeus v. Törmääkö komeetta? α v Impulssimomentti säilyy α r=suuri v rsin α = v d=rsinα 0r0sin 90 α v 0 vd = vr 0 0 r 0 Energia säilyy Juuri ja juuri tilanne. Jos nollautuu d on pienempi, komeetta törmää v v0 = josta v0 = v + r r r r v + rv d = v v v 0 0 = 0 r0 r0 = r0 + 0 Jos d on tätä pienempi, komeetta törmää Maahan 0 16

17 Shoemaker-Levy Laskelmien mukaan Jupiter on suuri komeettojen imuri. Shoemaker-Levyn komeetta hajosi 1994 ja oli törmäyskurssilla. Ensimmäinen törmäys Tässä Kuva: NASA Jotkut tulipallot olivat Maapalloa suurempia Onneksi Jupiter imuroi komeettoja... Satelliitin nopeus ellipsiradalla Impulssimomentti säilyy, joten kaukaisimman ja lähimmän kohdan (apoapsis, periapsis) välille saadaan tärkeä yhteys v a r a = v p r p Energian ja impulssimomentin säilymisestä ja a=r a +r p voidaan johtaa kaikille ellipsiradoille kätevä nopeuskaava 1 v G M = r a r = etäisyys a = radan iso puoliakseli Tässä oletetaan, että satelliitin massa on mitätön planeetan massaan M verrattuna. 17

18 Yhteenveto laskukaavoista Kaikille radoille pätee energian säilyminen: v1 v = r r 1 Kaikille radoille pätee impulssimomentin säilyminen: Nopeuden ja ratavektorin kulman avulla v11 r sin α1 = vrsinα Nopeuden ja tulokulman avulla v r cos φ = v r cosφ 11 1 Ellipsiradalla nopeuden lauseke ja apoapsis ja periapsis: 1 v G M = r a v a r a a r p v p v a r a = v p r p r a + r p = a Ellipsi, paraabeli, hyperbeli Keplerin liikkeessä (rakettimoottori on kiinni, eikä ilmanvastus vaikuta) pätee energian säilyminen v1 v = = Kokonaisenergia r r 1 Lähellä Maata etäisyydellä r 1 satelliitin nopeus on v1 Äärettömän kaukana r =, jolloin äärettömän kaukana nopeus v on Jos v Jos v = > v = v + v 1 1 r1 r r1 0, rata on paraabeli, satelliitti pääsee juuri ja juuri pois Maan vaikutuspiiristä 0, rata on hyperbeli, satelliitti irtautuu Maan vaikutuspiiristä Pakonopeus etäisyydeltä r 1 Jos kokonaisenergia < 0, satelliitti on vangittu ellipsiradalle 18

19 Ympyränopeus Maan kiertoradalla a) 300 km korkeudella r = 6378 km km = m , m s v = = 776 m/s r m b) 1000 km korkeudella, r = m , m s v = = 7350 m/s r m c) km korkeudella v = 3075 m/s geosynkroninen rata, kiertoaika 3 h 56 min Satelliitti kiertää 300 km korkeudella ympyrärataa. Sille annetaan 00 m/s lisänopeus. Millaiselle elliptiselle radalle satelliitti siirtyy? r 0 = 6378 km+ 300 km = 6678 km v 0 = 776 m/s (kts edellä) uusi nopeus v = 796 m/s 1 v G M = r = etäisyys r a a = radan puoliakseli Uuden radan alin kohta on r 0 = 6678 km. 1 v = G M = = v0 r0 a r0 a a 19

20 Uuden radan alin kohta r p, perigeum, on on vanhan ympyräradan r 0 = 6678 km. Ylin kohta, apogeum, on luonnollisesti ylempänä r a r p , m s Ratkaistaan a = = v v (776 m/s) (796 m/s) 0 Josta iso puoliakseli a = 7047,3 km. Toisaalta a = (r a +r p ) / apogeum r a = a r p = 7047,3 km 6678 km =7417 km Perigeum r p = 6678 km, korkeus 300 km ekvaattorista Apogeum r a = 7417 km, korkeus 1039 km ekvaattorista Jos impulssi olisi annettu lentosuuntaa vastaan, nopeus siis alenisi ja polttokohdasta tulisi ylin kohta, apogeum. Haemaelaeisen kivenheitto Deimoksella Vanhana pesäpalloilijana Hämäläinen löysi Deimoksen pinnalta kiven ja päätti lähettää sen vaakasuoraan kiertoradalle. Hän antoi lähtönopeudeksi v 0 = 4,5 m/s. Radan alin kohta on Hämäläisen paikka r 0. Laske radan korkein kohta r a ja nopeus v a. Ellipsiradalla lähtöhetkellä 1 v0 =, ratkaistaan iso puoliakseli a r0 a Saadaan a = m Toisaalta r 0 +r a = a, joten r a = a r o Saadaan r a = m r a = m ja h = r a -r 0 = 5340 m r a r 0 =7490 m M=1, kg r a = - r v r 0 h

21 Haemaelaeisen kivenheitto Deimoksella Radan korkeimman kohdan nopeus saadaan helpoimmin impulssimomentin säilymislaista. Impulssimomentti säilyy v r = v r a a 0 0 v 0 = 4,5 m/s M = 1, kg r 0 = 7490 m r vr a = m r a = m v a =,6 m/s 4,5m/s 7490m 0 0 a = = ra 1830m Kiven kierrosaika, siis kivi tulee Hämäläisen kohdalle: 3 4π 3 a T = a = π = 5 h 9 min kuluttua heitosta,6 m/s Deimoksen vaikutuspiiri on 8,9 km, joten kivi voi mennä H:n ohi r a r 0 h Laskutehtävä: Hämäläisen pallonheitto Hämäläinen kiipeää Deimoksella näköalatorniin, jonka korkeus on 50 m. Sieltä hän heittää v 0 =? pesäpallon kiertoradalle, jonka alin kohta on juuri ja juuri Deimoksen pinnalla. Hämäläinen h=50 m ottaa pesäpallosta kopin, kun se tulee r a uudelleen tornin kohdalle. Kuinka suuri on heiton lähtönopeus v 0? Millä nopeudella v r 0 pesäpallo ohittaa Deimoksen toisen puolen? Mikä on kiertoaika T? v=? r 0 = 7490 m M = 1, kg Ohje: Käytä ellipsiradan nopeuden lauseketta ja ellipsin ison puoliakselin yhteyttä a = r 0 +h. 1

22 Vertailu: Ympyrä ja ellipsi v Ympyrärata = R 3 R T= π Ellipsirata 1 v G M = r a T = π 3 a r = satelliitin etäisyys planeetan keskipisteestä a = ellipsiradan iso puoliakseli M = planeetan massa G = painovoimavakio = 6, Nm kg - Ellipsikaavoista tulee ympyräkaava, kun a = r Avaruusaluksen laskeutuminen h Alus on h=300 km korkeudella. Mikä on edullisin tapa tuoda alus Maahan? Ympyräratanopeus v 300 = 776 m/s R = Jos laskeutuminen halutaan tehdä pystysuoraan alas, joudutaan antamaan 776 m/s nopeuden muutos. Tällöin alus alkaa pudota vapaasti. Kallista, koska tarvittava nopeuden muutos on hyvin suuri. Edullisin jarrutustapa on viedä alus elliptiselle radalle, joka sivua Maapalloa vastakkaisella puolella. Ilmakehä hoitaa sitten loppujarrutukset.

23 Edullisin elliptinen laskeutuminen R 0 h Laskeutumisradan iso puoliakseli a = R 0 +h, josta a = R 0 + h/ = 658 km Laskeutumisen lähtönopeus on: 1 v G M = R a Tästä saadaan v = 7637 m/s, jolloin tarvittava jarrutuspoltto v = 776 m/s 7637 m/s = 89 m/s R= m a = m 43 min päästä ilmakehään tulo 90 km korkeudella nopeudella 1 1 v90 = G M =,josta v90 = 7886 m/s R90 a m m Lämpökilpi ja sen jälkeen laskuvarjot hoitavat loppujarrutuksen Siirretään satelliitti alemmalta ympyräradalta R 1 ylemmälle ympyräradalle R v B lisävauhtia (tokapoltto) ympyrärata R A lisävauhtia (ekapoltto) R elliptinen siirtorata 1 v 1 = alempi ympyränopeus v = ylempi ympyränopeus Alus kiertää alemmalla ympyräradalla nopeudella v 1 A:ssa nopeus nostetaan arvoon v, jolloin alus siirtyy B:en B:ssä nopeus nostetaan arvoon v, alus menee ympyräradalle 3

24 Hohmannin siirtoellipsi alemmalta ympyräradalta ylemmälle, kahdella poltolla (mininergiasiirtyminen) Ellipsin iso puoliakseli on a = (R 1 + R )/ Lähtö A:sta nopeudella v Tulo B:hen nopeudella v 1 v = = uusi nopeus 1 R1 a v' = R a B:ssä lisävauhtia A:ssa lisävauhtia R R 1 v1 = = alempi ratanopeus R1 v = = ylempi ratanopeus R Alus kiertää alemmalla ympyräradalla nopeudella v 1 A:ssa nopeus nostetaan arvoon v, alus saapuu B:en elliptisesti nopeudella v. Siellä nopeus nostetaan ympyrärata-arvoon v Tarvittavat nopeudenmuutokset A:ssa aluksi ympyräradalla v1 = Uusi lähtönopeus A:ssa Nopeuden muutos = v v 1 (ekapoltto) R Tulo B:een Hohmannin ellipsirataa v' = pitkin nopeudella v R Uusi haluttu ratanopeus v v = (jotta päästään ympyräradalle) Nopeuden muutos = v v (tokapoltto) 1 1 v = R 1 a 1 a R 4

25 Radanmuutoksen tarvittava aika Siirtoon tarvitaan ellipsin puolikas. Iso puoliakseli a = (R 1 + R ) / Täyden ellipsin aika Hohmannin puoliellipsi 4π T = a = π a 3 3 T = π 3 a Hohmannin v 195 keksimä siirtoellipsi on energeettisesti edullisimpia radanmuutoskeinoja. Se ei kuitenkaan ole nopein keino. Jos on pelit ja vehkeet, uudelle radalle päästään nopeamminkin. Lento ISS:lta Hubble-teleskoopille Avaruusasema ISS lentää 368 km korkeudella ekvaattorin yläpuolella ympyräradalla. Maapallon ekvaattorin säde on 6378 km. ISS:sta lähetetään avaruusalus Hubblelle, joka lentää 573 km korkeudella ympyräradalla ekvaattorin yläpuolella. Laske ISS:n ja Hubblen kohdalla tarvittavat nopeudenlisäykset, jos käytetään Hohmannin siirtoellipsiä. R H R ISS R ISS = 6378 km km = 6746 km v ISS = = 7687 m/s (ympyräratanopeus) R ISS R H = 6378 km km = 6951 km v H = = 7573 m/s (ympyräratanopeus) R H 5

26 Lento ISS:lta Hubble-teleskoopille Hohmannin siirtoellipsiradan alku- ja loppunopeudet a = (R 1 + R )/ = 6848,5 km (iso puoliakseli) 1 Lähtönopeus ISS:sta v A = = 7744m/s RISS a Nopeuden lisäys v A -v ISS = 7744 m/s 7687 m/s lähdössä ISS:lta (ekapoltto) = 57 m/s 1 Tulonopeus Hubblelle v B = = 7516 m/s RH a Nopeuden lisäys v H v B = 7573 m/s 7516 m/s = 57 m/s Hubblen kohdalla (tokapoltto), jotta päästään ympyräradalle. Siirtymiseen kuluva aika T = π 3 a a = 6848,5 km m T = 80 s = 47 minuuttia Käytännössä on vielä laskettava lähtöpolton oikea hetki, jotta alus ja Hubble ovat samalla kohdalla siirron lopussa. Paluulennolla on tehtävä vastakkaiset nopeusmuutokset, jotta päästään takaisin ISS:lle. Tosin ISS ja Hubble eivät lennä aivan samassa tasossa eivätkä radat ole ekvaattoritasossa. Ensin aluksen ratatason inklinaatiokulma on muutettava samaksi kuin Hubblen radan inklinaatio. Vasta sitten aloitetaan poltto, jolla päästään Hubblelle vievälle siirtoellipsille. 6

27 Kohtaaminen samalla radalla B R 0 M β Alukset A ja B kiertävät etäisyydellä R Maapallon keskipisteestä. Maan säde on R 0 ja massa M. R 1 A Millä keinoin A saa B kiinni? Ensimmäiseksi mieleen tulee tietysti se, että A:n pitää lisätä nopeutta. Tämä on virhe. Tällöin nimittäin A nousee ylemmälle radalle, jonka kiertoaika on suurempi. A siis jäisi entistä enemmän jälkeen B:stä Oikea ratkaisu on se, että A:n pitää jarruttaa. Tällöin A siirtyy alemmalle radalle, jonka kiertoaika on lyhyempi Kohtaaminen on tapahduttava kohdassa 1. Kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β R A Alkuperäinen rata: v1 = R R 3 T1 = π 1 A jarruttaa ja siirtyy alemmalle radalle, jonka iso puoliakseli olkoon a. tällöin A:n uusi kiertoaika T on: 3 a T=π Ehtona on, ettei A:n uuden ellipsiradan alin kohta ei saa tulla alemmaksi kuin 100 km, ettei ilmakehä sotke asioita. Uudelle radalle saadaan siten ehto a > R 0 +R+h 7

28 Kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β R A 1 Kohtaaminen voi tapahtua vain kohdassa 1, jossa radat leikkaavat. Edullisinta olisi, että A kiertää yhden kierroksen ja B β astetta vähemmän. 100 km minimikorkeusvaatimus saattaa aiheuttaa sen, että tarvitaan useampia kierroksia. Oletetaan, että A lentää n kierrosta ja B n kierrosta. Kohtaamishetkellä kummankin lentoajat ovat yhtä suuria: A:n lentoaika B:n lentoaika 3 3 a 360n - β R n π = π 360 Kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β R A 1 A:n lentoaika B:n lentoaika 3 3 a 360n - β R n π = π 360 Näistä ratkaistaan A:n uuden radan iso puoliakseli a: a = R 360n - β 3 360n Ehtona on, että a > R 0 +R+h, jossa h = 100 km Etsitään pienin kokonaisluku n, jolla ehto toteutuu. 8

29 Kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β a = R 360n - β 360n 3 R A 1 Päästäkseen uudelle radalle A:n on tehtävä jarrutuspoltto : ympyräratanopeus A:n uusi ellipsiratanopeus 1 v = v 1 - v = - R R a Kohtaamishetkellä on tehtävä yhtä suuri nopeudenlisäys, jotta alusten nopeudet olisivat yhtä suuria. Yhteenveto: kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β R A 1 A tekee jarrutuspolton 1 v = v 1 - v = - R R a A:n uuden radan iso puoliakseli a on: a = R 360n - β 3 360n jossa n on pienin kokonaisluku, jolla toteutuu ehto a > R 0 +R+h, jossa h = 100 km minikorkeus. Kohtaaminen tapahtuu ajan t = n π kuluttua. 3 a 9

30 Laskuesimerkki kohtaamisesta h B R 0 M β R A 1 Olkoon R 0 =6378 km ja R=6678 km (300 km korkeudella ekvaattorista) Olkoon etumatka β = 30º. A jarruttaa ja pääsee alemmalle radalle, jonka iso puoliakseli a on: a = R 360n - β 3 360n Yksi kierros n=1 antaa a=630 km, mutta h=a-r 0 -R= -45 km. Vasta n= 4 antaa a=6585 km, jolloin h=114 km sopiva minimi. 3 ( m) Lentoaika t = 4 π 171 s 5 h 54 min 30s 1 A:n jarrutus v = v 1 - v = - 54, 75 m/s R R a Kohtaaminen:Edellä oleva jarruttaa B R 0 M β Alukset A ja B kiertävät etäisyydellä R Maapallon keskipisteestä. Maan säde on R 0 ja massa M. R 1 A Millä keinoin A saa B kiinni? Edellä tarkasteltiin tilannetta, että A:n jarruttaa ja siirtyy alemmalle radalle, jonka kiertoaika on lyhyempi Kohtaaminen on tapahtuu kohdassa 1. Toinen ratkaisu on, että edellä oleva B kiihdyttää. Tällöin B siirtyy ylemmälle hitaammalle radalla. Kohtaaminen voi tapahtua vain kohdassa, joka on ratojen leikkauspiste. Minikorkeusvaatimusta ei tarvita, koska rata on korkeampi. 30

31 Kohtaaminen:Edellä oleva jarruttaa B R 0 M β R A Alkuperäinen rata: v1 = R R 3 T1 = π B kiihdyttää ja siirtyy ylemmälle radalle, jonka iso puoliakseli olkoon a. tällöin A:n uusi kiertoaika T on: 3 B lentää yhden kierroksen ja A kierros+β: a T=π B:n lentoaika A:n lentoaika 3 3 a β R π = π 360 Ratkaistaan a Kohtaaminen:Edellä oleva jarruttaa B B:n uuden laajemman radan isoksi R puoliakseliksi a saadaan: 0 M β R A a = R β Esimerkki: R=6678 km, etumatka β=30º. Tällöin a= 7044 km. B lensi uudella radalla yhden kierroksen ja A kierroksen+β. 3 ( m) Lentoaika t = π 5884 s 98min 1 B:n kiihdytys v = v - v 1 = 198 m/s R a R 31

32 Inklinaatio määrää ratatason Satelliitin radan inklinaatio i tarkoittaa päiväntasaajan ja satelliitin ratatason välistä kulmaa. ekv rata i c β L C = Lähetyspaikka β = lähetyssuunta (atsimuutti) L = lähetyspaikan leveyspiiri i = inklinaatio Ongelmia tulee siitä, että inklinaatio ei voi olla alempi kuin lähetyspaikan leveyspiirin asteluku. Näin ollen Baikonourista ei voi lähettää alle 46º inklinaation satelliitteja, Plesetskistä alle 6º eikä Floridasta alle 8º. Geosynkronisen satelliitin inklinaatio on 0º, jolloin suora laukaisu onnistuu vain päiväntasaajalta. Miksi näin? Miksi ei muualta? Miksi ekvaattori on hyvä laukaisuun? ekv i c β L Pallokolmioiden trigonometriasta voidaan johtaa seuraava yhteys: cos i = sinβ cos L rata Etsitään laukaisupaikan minimi-inklinaatio. Se saadaan kun cos i on maksimissaan. Tällöin laukaisusuunta β = 90º, jolloin cos i = cos L ja siis i = L. Laukaisupaikan antama minimi-inklinaatio on siis sama kuin laukaisupaikan leveyspiiri. Tällöin laukaisusuunta on kohtisuorassa meridiaania vastaan, siis lännestä itään. Geosynkroniseen satelliitin suora laukaisu onnistuu siis vain päiväntasaajalta. Sea Launch-lautta ja Kourou ovat hyviä. 3

33 ekv rata Geosynkronirata ja polaarirata i c β L Inklinaatio kertoo myös leveyspiirin, jonka zeniittiin satelliitti voi nousta. Jos i=0º, satelliitti kiertää päiväntasaajalla. Jos i=90º, rata kulkee napojen kautta. Jos i=65º, rata kulkee Oulun zeniitin yli. Jatkuvasti saman paikan yläpuolella olevan satelliitin kiertoaika on sama kuin Maapallon pyörähdysaika, siis 3 h 56 min 4 s. Satelliitin on oltava päiväntasaajan yläpuolella noin km korkeudella Maan pinnasta. Tietoliikenne- ja TV-satelliitit ovat tällaisia. Napojen kautta kulkevan satelliitin inklinaatio = 90º. Rata voi olla kaikkien Maapallon paikkojen yläpuolella. Erinomainen valinta tiedustelu- ja luonnonvarasatelliitille! Satelliitin radan projektio Osoitteesta ISS:n rata klo 16.7 Suomen aikaa. Koska ISS kulkee noin 50-leveyspiirille asti, inklinaatio on noin 50º. 33

34 Satelliitin rata ja Maan pyörähdysaika Satelliitin ratataso säilyttää suuntansa, koska impulssimomenttivektori pysyy vakiona. Maapallo pyörii satelliitin alla noin 15º tunnissa. Jos kierrosaika on 1,5 tuntia, seuraavalla kierroksella Maa on pyörähtänyt 1,5 15º=,5º. Jos Maapallon pyörähdysaika 4 h 56 min 4 s on satelliitin kiertoajan monikerta, satelliitti tulee joka päivä samaan aikaan saman paikkakunnan yläpuolelle. GPS-satelliittit, 7 kpl, kiertävät Maapallon kahdesti vuorokaudessa. Tästä aiheutuu kuitenkin resonanssiongelmia, jotka häiritsevät satelliittien ratoja. Tältä kannalta katsoen GPS-satelliittien radat on valittu huolimattomasti. EU:n Galileossa näin ei pääse tapahtumaan. Myöskään Venäjän GLONASSilla ei ole resonanssiongelmia. Esim. Satelliitin inklinaatio on 90º ja kierrosaika 1,5h Se on Oulun yläpuolella (65º01 N,5º3 E) klo 15. Missä satelliitti on klo samana päivänä? Satelliitti on kiertänyt yhden kierroksen, joten se on leveyspiirin 65º01 yläpuolella. Maapallo on pyörähtänyt 1,5 h 15º/h =,5º=º30 itään, joten zeniitti on siirtynyt länteen. Satelliitin leveyspiiri = 65º01 N Satelliitin pituuspiiri = 5º3 - º30 = 03º0 E Satelliitti on siis Norjanmeren yläpuolella Seuraavana päivän klo 15 satelliitti on taas likipitäen Oulun yläpuolella, koska 4h/1,5 h = 16 34

35 Satelliitin ratatason vaihto kallista Erityisesti Venäjän kannalta on hankalaa, että lähetysasemat Baikonour ja Plesetsk sijaitsevat korkeilla leveyspiireillä. Jos niistä halutaan lähettää satelliitti geosynkroniselle radalle, inklinaatio on muutettava nollaksi ratatasoa vastaan kohtisuoralla impulssilla. Se on huomattavan kallista. Ratanopeus pidetään samana v, suuntaa muutetaan, jolloin saadaan θ v = v sin Esim. jos ratatasoa muutetaan 60º, nopeuden muutos on yhtä suuri kuin ratanopeus v. Siis pelkkä ratatason korjaus vaatii yhtä paljon kuin radalle nostaminen! Baikonourista (L=46º) lähetetyn ratatason oikaisu vaatii 0,78v:n impulssin. Intelsat Proton-M-kantoraketilla laukaistiin Baikonourista siihen asti maailman suurin tietoliikennesatelliitti Intelsat 10-0, massaltaan 5580 kg. Kantorakettina oli Proton-M varustettuna neljännen vaiheen kiihdytysblokilla Breeze-M. Lähdön jälkeen Breeze-M ja siihen kiinnitetty Intelsal asettuivat aluksi pysäköintiradalle noin 170 km korkeuteen. Radan inklinaatio oli 51,5 astetta. Breeze-M teki 4 ratakorjausta, joka muuttivat inklinaation 3,6 asteeseen ja radan alimman kohdan noin 4000 km korkeuteen ja ylimmän kohdan noin km korkeuteen. 9 tuntia 10 minuutin kuluttua lähdöstä Breeze-M oli tehnyt tehtävänsä ja se irrotettiin satelliitista. Intelsat 10-0:n omat rakettimoottorit vievät myöhemmin satelliitin geosynkroniselle radalle. Intelsat aloitti toimintansa elokuussa 004 ja jatkaa 13 vuotta. 35

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa

Lisätiedot

Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta. Kuva NASA

Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta. Kuva NASA Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta Kuva NASA Aurinkokunnan rakenne Keskustähti, Aurinko Aurinkoa kiertävät planeetat Planeettoja kiertävät kuut Planeettoja pienemmät kääpiöplaneetat,

Lisätiedot

Luvun 13 laskuesimerkit

Luvun 13 laskuesimerkit Luvun 13 laskuesimerkit Esimerkki 13.1 Olkoon Cavendishin vaa'an pienen pallon massa m 1 = 0.0100 kg ja suuren pallon m 2 = 0.500 kg (molempia kaksi kappaletta). Miten suuren gravitaatiovoiman F g pallot

Lisätiedot

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen 6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa. Liikeyhtälöt

Taivaanmekaniikkaa. Liikeyhtälöt Taivaanmekaniikkaa Liikeyhtälöt Olkoot kahden kappaleen (esim. Auringon ja planeetan) massat m 1 ja m 2 ja paikkavektorit jossakin kiinteässä inertiaalikoordinaatistossa r 1 ja r 2. Merkitään r:llä planeetan

Lisätiedot

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki 2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä

7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä 7. AURINKOKUNTA Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä Jupiter n. 4"päässä) = Keskustähti + jäännöksiä tähden syntyprosessista (debris) = jättiläisplaneetat,

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ II

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ II ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ II 91. Selitä mistä aiheutuvat a) vuorokaudenajat, b) vuodenajat, c) kuunpimennykset, d) auringonpimennykset? 92. Vastaa lyhyesti seuraaviin kysymyksiin: a) Mitä eroa on tähdellä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ

TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ ARKIPÄIVÄISTEN ASIOIDEN TÄHTITIETEELLISET AIHEUTTAJAT, FT Metsähovin Radio-observatorio, Aalto-yliopisto KOPERNIKUKSESTA KEPLERIIN JA NEWTONIIN Nikolaus Kopernikus

Lisätiedot

1 Oikean painoisen kuulan valinta

1 Oikean painoisen kuulan valinta Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton

Lisätiedot

2.11 Väliaineen vastus

2.11 Väliaineen vastus Jokainen, joka on taistellut eteenpäin kohti kovaa vastatuulta tai yrittänyt juosta vedessä, tietää omasta kokemuksestaan, että väliaineella todellakin on vastus. Jos seisoo vain hiljaa paikoillaan vaikkapa

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

AURINKOKUNNAN RAKENNE

AURINKOKUNNAN RAKENNE AURINKOKUNNAN RAKENNE 1) Aurinko (99,9% massasta) 2) Planeetat (8 kpl): Merkurius, Venus, Maa, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus - Maankaltaiset planeetat eli kiviplaneetat: Merkurius, Venus, Maa

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

AURINKOENERGIAA AVARUUDESTA

AURINKOENERGIAA AVARUUDESTA RISS 16. 9. 2009 AURINKOENERGIAA AVARUUDESTA Pentti O A Haikonen Adjunct Professor University of Illinois at Springfield Aurinkoenergiasatelliitin tekninen perusta Auringon säteilyn tehotiheys maapallon

Lisätiedot

Merkintöjä planeettojen liikkeistä jo muinaisissa nuolenpääkirjoituksissa. Geometriset mallit vielä alkeellisia.

Merkintöjä planeettojen liikkeistä jo muinaisissa nuolenpääkirjoituksissa. Geometriset mallit vielä alkeellisia. Johdanto Historiaa Antiikin aikaan Auringon ja Kuun lisäksi tunnettiin viisi kappaletta, jotka liikkuivat tähtitaivaan suhteen: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus. Näitä kutsuttiin planeetoiksi

Lisätiedot

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän 3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina

Lisätiedot

Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken

Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken Liikemäärä Henkilöauto törmää tukkirekkaan, miksi henkilöautossa olijat loukkaantuvat vakavasti, mutta rekan kuljettaja selviää yleensä aina vammoitta? Mihin suuntaan ja millä nopeudella rekka ja henkilöauto

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Planeetat. Jyri Näränen Geodeettinen laitos http://personal.inet.fi/tiede/naranen/

Planeetat. Jyri Näränen Geodeettinen laitos http://personal.inet.fi/tiede/naranen/ Planeetat Jyri Näränen Geodeettinen laitos http://personal.inet.fi/tiede/naranen/ Aiheet l Aurinkokuntamme planeetat, painopiste maankaltaisilla l Planeettojen olemus l Planeettojen sisäinen rakenne ja

Lisätiedot

www.mafyvalmennus.fi YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset

www.mafyvalmennus.fi YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset 1. a) Laskuvarjohyppääjän pudotessa häneen vaikuttaa kaksi putoamisliikkeen kannalta merkittävää voimaa: painovoima ja ilmanvastusvoima. Painovoima on likimain

Lisätiedot

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI 622. Kun katsot tähtiä, niin niiden valo ei ole tasaista, vaan tähdet vilkkuvat. Miksi? Jos astronautti katsoo tähtiä Kuun pinnalla seisten, niin vilkkuvatko tähdet tällöinkin?

Lisätiedot

Ensimmäinen matkani aurinkokuntaan

Ensimmäinen matkani aurinkokuntaan EDITORIAL WEEBLE Ensimmäinen matkani aurinkokuntaan FERNANDO G. RODRIGUEZ http://editorialweeble.com/suomi/ Ensimmäinen matkani aurinkokuntaan 2014 Editorial Weeble Kirjoittaja: Fernando G. Rodríguez info@editorialweeble.com

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa.

Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Valintakoe 2016/FYSIIKKA Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Boltzmannin vakio 1.3805 x 10-23 J/K Yleinen kaasuvakio 8.315 JK/mol

Lisätiedot

Sputnikista universumin alkuhetkiin 50 vuotta avaruuslentoja

Sputnikista universumin alkuhetkiin 50 vuotta avaruuslentoja Sputnikista universumin alkuhetkiin 50 vuotta avaruuslentoja MAOL Syyspäivät 07 Muutoksen tuulet Hannu Koskinen Helsingin yliopisto, fysikaalisten tieteiden laitos Ilmatieteen laitos Kumpulan avaruuskeskus

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin?

a) Kuinka pitkän matkan punnus putoaa, ennen kuin sen liikkeen suunta kääntyy ylöspäin? Luokka 3 Tehtävä 1 Pieni punnus on kiinnitetty venymättömän langan ja kevyen jousen välityksellä tukevaan kannattimeen. Alkutilanteessa punnusta kannatellaan käsin, ja lanka riippuu löysänä kuvan mukaisesti.

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Tekokuut ja raketti-ilmiöt Harrastuskatsaus ja tulevaa. Cygnus 2012

Tekokuut ja raketti-ilmiöt Harrastuskatsaus ja tulevaa. Cygnus 2012 Tekokuut ja raketti-ilmiöt Harrastuskatsaus ja tulevaa Cygnus 2012 Kesäkuu 2011 ATV 2 -alus tuhoutui ilmakehässä ATV 2 -alus eli Johannes Kepler laukaistiin avaruuteen helmikuun 17. päivänä. Tuolloin se

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ IV

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ IV ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ IV 423. Mitä perusteluja ja todistuksia esitettiin ennen ajanlaskun alkua ja sen jälkeen maapallon pallonmuotoisuudelle? (ks. http://www.kotiposti.net/ajnieminen/mpallo.pdf). 424.

Lisätiedot

Exploring aurinkokunnan ja sen jälkeen vuonna Suomi

Exploring aurinkokunnan ja sen jälkeen vuonna Suomi Exploring aurinkokunnan ja sen jälkeen vuonna Suomi Exploring the Solar System and Beyond in Finnish Kehittämä Nam Nguyen Hubble Ultra Deep Field ampui 2014 Exploring aurinkokunnan ja sen jälkeen tavoitteena

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Aurinkokunta. Jyri Näränen Jyri.naranen@nls.fi http://personal.inet.fi/tiede/naranen/ Paikkatietokeskus, MML

Aurinkokunta. Jyri Näränen Jyri.naranen@nls.fi http://personal.inet.fi/tiede/naranen/ Paikkatietokeskus, MML Aurinkokunta Jyri Näränen Jyri.naranen@nls.fi http://personal.inet.fi/tiede/naranen/ Paikkatietokeskus, MML Aurinkokunta Mikä se on, miten se on muodostunut ja mitä siellä on? Miten sitä tutkitaan? Planeetat

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

nopeusvektoria säädettäessä. kuvaruudulla olevien kappaleiden

nopeusvektoria säädettäessä. kuvaruudulla olevien kappaleiden 1 2 Ohjelman perusidea on varsin yksinkertainen. Kyseessä on tietokonepeli, jossa pelaaja pyrkii lähettämään kuvaruudulle ilmestyviä planeettoja radoilleen siten, että ne eivät törmäile virtuaalisessa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Aurinkokunnan tutkimuksen historiaa

Aurinkokunnan tutkimuksen historiaa Aurinkokunnan tutkimuksen historiaa Maan koko ja muoto Vetovoimalaki ja aurinkokunnan koko Planeettojen löytyminen Planeettojen rakenne ja koostumus Tutkimuslaitteiden ja menetelmien kehittyminen Aurinkokunnan

Lisätiedot

SUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA

SUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA MUSTAT AUKOT FAQ Kuinka gravitaatio pääsee ulos tapahtumahorisontista? Schwarzschildin ratkaisu on staattinen. Tähti on kaareuttanut avaruuden jo ennen romahtamistaan mustaksi aukoksi. Ulkopuolinen havaitsija

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Kierrätystä kosmoksessa

Kierrätystä kosmoksessa Sähkö&Tele (003) 5 63 Kierrätystä kosmoksessa Osmo Hassi Planeetta ellipsiradalla Ellipsirataa kiertävän planeetan ratanopeuden neliö v e saadaan yhtälöstä v e a ω sin (ω t) + b ω cos (ω t), missä ω on

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Aurinkokunta, kohteet

Aurinkokunta, kohteet Aurinkokunta, kohteet Merkurius Maasta katsoen Merkurius näkyy aina lähellä Aurinkoa; se voi etääntyä Auringosta vain noin 28 päähän. Siksi Merkurius näkyy vain vaalealla ilta- tai aamutaivaalla. Kirkkaimmillaan

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Satelliittipaikannus

Satelliittipaikannus Kolme maailmalaajuista järjestelmää 1. GPS (USAn puolustusministeriö) Täydessä laajuudessaan toiminnassa v. 1994. http://www.navcen.uscg.gov/gps/default.htm 2. GLONASS (Venäjän hallitus) Ilmeisesti 11

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit TUULEN TEHO

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit TUULEN TEHO SMG-4500 Tuulivoima Kolmannen luennon aihepiirit Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulivoimalatyypeistä: Miksi vaaka-akselinen, miksi kolme lapaa? Aerodynamiikkaa: Tuulivoimalan roottorin lapasuunnittelun

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien

Lisätiedot