Avaruuslentojen fysiikkaa (AstroKosmoTaikonautiikka)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Avaruuslentojen fysiikkaa (AstroKosmoTaikonautiikka)"

Transkriptio

1 Avaruuslentojen fysiikkaa (AstroKosmoTaikonautiikka) Astronautti Kosmonautti Taikonautti = länsimainen avaruuslentäjä = venäläinen avaruuslentäjä = kiinalainen avaruuslentäjä Juhani Kaukoranta Raahen lukio Raketin toimintaperiaate: reaktioliike Newtonin II laki: voima = massa kiihtyvyys dp F = ma = = dt d (mv) dt impulssin derivaatta Newtonin III lain mukaan: Kun raketti työntää palokaasuja (aktio) vakionopeudella taaksepäin, niin kaasu työntää rakettia vastakkaiseen suuntaan. Tästä tulee nimi reaktioliike ( jet propulsion) 1

2 Veneraketti Soutaja istuu veneessä, mukanaan 10 kpl 1 kg kiviä. Veneen, soutajan ja kivien yhteinen massa on 150 kg. Soutaja heittää kivet sekunnin välein nopeudella u=10 m/s taaksepäin. Minkä nopeuden v vene saa viimeisen kiven jälkeen? Yhteismassa M 0 = 150 kg kivien massa m = 10 kg kivien nopeus u = 10 m/s Kivien heittely keventää venettä, alussa yhteismassa 150 kg, lopussa 140 kg, joten keskimäärin yhteismassa M = 145 kg Liikemäärä säilyy: Mv = mu mu 10 kg 10 m/s v= = 0,69 m/s M 145 kg Rakettimoottorin työntövoima dm k = dt u Oletetaan, että palokaasuvirta on vakio k (kg/s) ja kaasujen nopeus on vakio u. Kaasujen suihkutus vaatii Newtonin II lain perusteella voiman F, joka on kaasun saaman impulssin (liikemäärän) derivaatta: d dm F = (mu) = u = ku dt dt Voiman ja vastavoiman lain mukaan raketti työntää kaasuja ja kaasu rakettia vakiovoimalla F = ku Raketti lähtee siis kiihtyvään liikkeeseen.

3 Laskuesimerkkejä 1. Moottoriruiskun vesisuihkun nopeus on 34 m/s ja suihkuvirta on 500 litraa minuutissa. Kuinka suurella voimalla ruiskua on pideltävä? massavirta k = 500 kg / 60 s =8,333 kg/s F = k u = 8,333 kg/s 34 m/s 80 N. Raketin työntövoima on 695 N ja palokaasujen virta 0,5 kg/s. Mikä on palokaasujen nopeus? u = F k 695 N = 0,5 kg/s 3090 m/s Paineilmapullon kaula rikkoutuu Kolarissa kyljellään olevan 00 barin paineilmapullon kaula posahtaa. Oletetaan, että kaulan poikkipinta on 1,0 cm. Kuinka suurella voimalla 1 litrainen ja 15 kg massainen pullo lähtee liikkeelle? massa m = 15 kg ala A = 1,0 cm = 0,0001 m p = 00 bar = Pa ( 1 bar = pascalia) paine työntää: F = p A = 000 N F 000 N m Alkukiihtyvyys a = = = 133 m 15 kg s Pullo lähtee siis salamannopeasti... 3

4 Tsiolkovskin rakettiyhtälö Nyt voimme laskea Newtonin II lain avulla raketin saaman kiihtyvyyden. Ongelmana on se, että raketin massa kevenee koko ajan, jolloin työntövoiman pysyessä samana raketin kiihtyvyys kasvaa koko ajan. u M F Olkoon raketin alkumassa M 0, palokaasujen virta k ja nopeus u Moottorin työntövoima F = ku Tällöin raketin massa hetkellä t on M = M 0 -kt F ku Kiihtyvyys a = = M M kt 0 Tsiolkovskin rakettiyhtälö dv Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, joten a = dt dv ku = dt M kt 0 ku Integrointia varten dv = dt M kt v v 0 t -k dv = -u dt M kt Integrointi onnistuu, oikealle saadaan luonnollinen logaritmi 4

5 Tsiolkovskin rakettiyhtälö Integroidaan ja sijoitetaan integroimisrajat: v - v 0 = -u (ln (M0 kt) - ln(m 0)) Vasemmalla on raketin nopeuden kasvu v, oikealla luonnolliset logaritmit voidaan yhdistää: M 0 v = u ln M0 kt Koska M = M0 kt, voidaan yhtälö kirjoittaa myös: M raketin alkumassa M 0 0 v = u ln M raketin loppumassa M Tsiolkovskin rakettiyhtälö u F M Raketin massa kevenee arvosta M 0 arvoon M, kun polttoaine palaa. Raketin nopeuden kasvulle saatiin: M 0 v = u ln M Raketin nopeus voi siis kasvaa paljon suuremmaksi kuin palokaasujen nopeus, jos massasuhde M 0 /M on suurempi kuin Neperin luku e =,718...Tällöin suurin osa raketin alkumassasta on polttoainetta. Käytännössä raketti on siis jättimäinen polttoainekanisteri... 5

6 MARS ODYSSEY-luotaimen JARRUTUS Mars Odysseyn massa oli 75 kg, kun se aloitti Marsin takana jarrutuspolton. Rakettimoottorin työntövoima oli 695 N. Poltto kesti 118 sekuntia, polttoainetta kului 66 kg. a) Kuinka suuri oli luotaimen jarrutushidastuvuus polton alussa? F=m a, josta F 695 N m a = = 0,959 m 75 kg s b) Kuinka suuri oli kiihtyvyys polton lopussa? työntövoima F = 695 N pysyy koko ajan samana, mutta luotaimen massa on lopussa pienentynyt 66 kg F 695 N 695 N m a = = = 1,51 m 75 kg - 66 kg 459 kg s MARS ODYSSEY-luotaimen JARRUTUS Mars Odysseyn massa oli 75 kg, kun se aloitti Marsin takana jarrutuspolton. Rakettimoottorin työntövoima oli 695 N. Poltto kesti 118 sekuntia, polttoainetta kului 66 kg. c) Kuinka suuri oli palokaasujen nopeus? F = ku, josta u = F 695 N = k 66 kg / 118 s 3090 m/s d) Kuinka suuri oli luotaimen nopeuden lasku? M 75 kg = M 75 kg - 66 kg 0 v = u ln 3088 m/s ln 1410 m/s 6

7 Veneraketti Tsiolkovskin mukaan Soutaja istuu veneessä, mukanaan 10 kpl 1 kg kiviä. Veneen, soutajan ja kivien yhteinen massa on 150 kg. Soutaja heittää kivet sekunnin välein nopeudella 10 m/s taaksepäin. Minkä nopeuden vene saa viimeisen kiven jälkeen, kun lasketaan Tsiolkovskin yhtälön mukaan? Yhteismassa alussa M 0 = 150 kg Yhteismassa lopussa M = 140 kg Kivisuihkun nopeus u = 10 m/s M 150 kg M 140 kg 0 Nopeuden muutos v = u ln = 10 m/s ln 0,69 m/s Siis saman tuloksen kuin laskettaessa liikemäärän säilymisen periaatteella. Syy: massan muutos on pieni. Laskutehtävä: Space Cadet Andy Rocca Space Cadet Andy Rocca on pelastautunut sukkulastaan Kuun kiertoradalle pelkässä avaruuspuvussa. Hänellä on isoisoisänsä perinne-suomi KP/ km korkeudella radan ylimmässä kohdassa Andy huomaa, että radan alin kohta hipaisee väistämättä Kuuta. Andy päättä nostaa rataa ampumalla 5 sekunnissa KP:n 70 patruunan lippaan tyhjäksi lentosuuntaa vastaan, jolloin hän saa lisäimpulssin. Kuinka suuren lisänopeuden Andy Rocca saa, kun hänen massansa varusteineen on 100 kg, luodin massa on 7,5 g ja luodin nopeus on 400 m/s? Ohje: Laske ensin perinteisellä liikemäärän säilymislailla, koska luotien mukana poistuvan massa on pieni. Laske sen jälkeen Tsiolkovskin rakettiyhtälöllä ja vertaile tuloksia. (,1 m/s) 7

8 Keplerin 1. laki satelliitille 1. Satelliitti kiertää planeetta ellipsiradalla, jonka toisessa polttopisteessä on planeetan keskipiste h r a R r p h 1 a = iso puoliakseli a = (h 1 + h + R)/ = (h 1 +h )/ + R a = r a + r p Ympyräradalla ellipsi on ympyrä ja a = h + R Keplerin. laki satelliitille. Satelliitin ratavektori pyyhkäisee yhtä pitkinä aikaväleinä yhtä suuret pinta-alat Apogeum v a r a r p Perigeum v p Kauimpana satelliitti liikkuu paljon hitaammin kuin lähimmässä kohdassaan. Tällöin saadaan ratanopeuksille v p r p = v a r a, jossa r a + r p = a (Itse asiassa impulssimomentin säilymislaki) 8

9 Keplerin 3. laki satelliitille 3. Satelliitin kiertoajan neliö on verrannollinen ellipsin pitemmän puoliakselin kuutioon h R h 1 a = iso puoliakseli Keplerin 3. lain perusteella kaikilla ellipsiradoilla, joilla on sama iso puoliakseli, on myös sama kiertoaika. Ellipsin soikeus ei siis vaikuta, ainoastaan iso puoliakseli. Erikoistapaus on ympyrärata, jossa säde R = a. Keplerin 3. laki satelliitille R=a Oheisilla ellipseillä on sama iso puoliakseli a, niillä on siis sama kiertoaika. Lasketaan ympyräradan kiertoaika, joka on samalla näiden kaikkien ellipsiratojen kiertoaika. Planeetan massa M, satelliitin massa m, radan säde R=a, ratanopeus v ja kiertoaika T. Keskeiskiihtyvyys on yhtä suuri kuin painovoima. Lennetään yksi ratakierros, joten mv m = R R vt = πr Näistä saadaan nopeus v ja kiertoaika T v = R 3 R T= π 9

10 Keplerin 3. laki satelliitille Ympyräradalla, jonka säde R = a saatiin kiertoajaksi T: 3 R T= π Koska R = a, saadaan lopulta kaikille niille ellipsiradoille,joiden iso puoliakseli on a, kiertoajaksi T: 3 a T = π Kaava pitää paikkansa, jos satelliitin massa on mitätön verrattuna planeetan massaan M. Kaavan mukaan kiertoaika riippuu ainoastaan ison puoliakselin pituudesta, ei ellipsin soikeudesta. Tarkemmat laskut Laskukaavoissa hyvin usein esiintyy gravitaatiovakio G ja planeetan tai Auringon massa M. Gravitaatiovakion arvoa ei tunneta kovin suurella tarkkuudella eikä myöskään planeettojen massoja. Käytännön laskuissa ei kuitenkaan tarvita erikseen gravitaatiovakioa M eikä planeetan massaa M. Sensijaan laskuissa esiintyy näiden tulo. Se tunnetaan hyvin tarkasti. Sen arvo voidaan laskea satelliitin kiertoajan perusteella. Maa-planeetalle = 3, m 3 s - Auringolle = 1, m 3 s - 10

11 Tulo eri planeetoille Kohde Aurinko Merkurius Venus Maa Mars Jupiter Saturnus Neptunus Uranus Pluto Tulo m 3 s - 1, E+0,03 E+13 3,4859 E+14 3, E+14 4,88 E+13 1, E+17 3, E+16 5, E+15 6,83659 E+15 1,001 E+1 Laskuesimerkki : Sputnik 1 Sputnik 1 laukaistiin radalleen Radan lähimmän kohdan etäisyys Maapallon pinnasta oli 7 km (perigeum) ja kaukaisimman kohdan korkeus 945 km (apogeum). Maapallon säde on 6370 km. Laske Sputnik 1:n kiertoaika a = (7 km km) / km = 6956 km = 3, m 3 /s 3 a T = π T 5774 s 96 minuuttia 11

12 Laskuesimerkki: Planeetan massa Marsin kuun Phoboksen kiertoaika on 7 h 39,5 min ja ympyränmuotoisen radan säde on 9380 km. Laske Marsin massa. 4π 3 T = a, koska Marsin massa M >> Phobos a = m T = 7h 39,5 min = 7570 s G = 6, Nm kg M = 4π a GT 3 M 6, kg Impulssimomentin säilymislaki Keplerin. lain mukaan satelliitin ratavektori pyyhkäisee yhtä pitkinä aikaväleinä yhtä suuret pinta-alat. Siis kiertoradan pintanopeus, pinta-alan derivaatta ajan suhteen, on vakio. ds=vdt r v r α T da = = vdt r sinα / da vrsinα Joten pintanopeus = = vakio dt siis v11 r sinα1= vrsinα (Vektoreina L = mv r = impulssimomenttivektori = vakio) 1

13 Impulssimomentti ja tulokulma Nopeusvektorin ja paikkavektorin välisen kulman sijasta on kätevämpää käyttää tulokulman käsitettä. Tulokulma eli flight-path on nopeusvektorin ja paikkavektorin normaalin välinen kulma Φ r α v Φ Tällöin vrsin α = vrcosθ = vakio vrcos φ = vrcosφ 11 1 Tämän ja energian säilymislain avulla voidaan laskea meteorin ja komeetan radan kaartuminen sen syöksyessä kohti Maata, kun ilmakehän vastus ei vielä vaikuta. Potentiaalienergia Siirretään kappale etäisyydeltä r 0 äärettömän kauaksi. Kuinka suuri työ tehdään? G =6, m -11 Nm kg - Painovoimalaki F = M = planeetan massa r m m m Nostotyö W = dr = - = r0 r r r0 m = nostettava kappale r = etäisyys planeetasta r 0 Tästä saadaan potentiaalienergian käsite. Valitaan potentiaalienergian nollataso äärettömyyteen. Tällöin potentiaalienergia on aina negatiivinen. W = - pot m r 13

14 Energian säilymisperiaate Vapaalla radalla massakeskuksen M vaikutuspiirissä liike-energian ja potentiaalienergian summa säilyy. (Pot.energian nollataso on valittu äärettömyyteen, siksi miinusmerkki) mv1 m mv m = r r 1 Sievennettynä (pätee kaikille vapaille radoille) v1 v = r r 1 Kaava ottaa huomioon painovoiman riippuvuuden etäisyydestä. (Koululaskuissa painovoima oletettiin vakioksi) Haemaelaeinen Deimoksen pinnalla Marsilla on kaksi kuuta, Phobos ja Deimos. Deimoksen tiedot: massa M = 1, kg keskisäde R=7,49 km kiertoaika T = 30 h 17,9 min etäisyys Marsista r = km Mestariurheilija Hämäläinen pystyi eläkeläisenäkin hyppäämään Maan pinnalla tasajalkaa 50 cm korkeuteen, mihin tarvittiin 3,1 m/s alkuvauhti. Astronauttina hän ponnisti Deimoksen pinnalla samalla 3,1 m/s nopeudella pystysuoraan. Kuinka korkealle hän nousi? Laskussa on sovellettava energian säilymislakia, mutta ei samaa kuin koulussa, vaan edellä olevaa yleispätevää lakia. 14

15 Haemaelaeinen Deimoksen pinnalla Alussa nopeus v 0 = 3,1 m/s, lakipisteessä v = 0 Alussa korkeus r 0 = 7490 m, lakipisteessä r Energia säilyy, joten v0 0 = r r 0 r 0 Josta saadaan r r = r0 6, Nm kg 1,8 10 kg 7490 m = m - r v 6, Nm kg 1,8 10 kg 7490 m (3,1 m/s) Lakikorkeus Deimoksen pinnasta on r - r 0 = m 7490 m = 300 m Esimerkki: 1000 tonnin asteroidin nopeus on 15 km/s km etäisyydellä Maan keskipisteestä. Mikä on asteroidin nopeus 100 km korkeudella, v 1 jolloin ilmakehä alkaa vaikuttamaan? v1 v = r r 1 v 1 = m/s r 1 = m r = ( ) km = m v =? 1 1 v = v km/s r r1 v Lentoaika noin 50 min 15

16 Jättimäinen komeetta Kali syöksyy kohti Maata. Missä tulokulmassa asteroidi tulee km etäisyydellä, jossa sen nopeus on 15 km/s, jotta se ohittaa Maan 60 km korkeudella ja poistuu? v 1 =15 km/s r 1 = km v =18,46 km/s r = 6438 km v 1 v θ =? θ = 0 1 Impulssimomentti säilyy v r cos φ = v r cosφ 11 1 cos 1 = = 0, v11 r 18,46 km/s km 1 φ v r cos0 15 km/s 6438 km 1 θ = - 87 (syöksyy siis melko jyrkästi kohti Maata) Kali synnyttää jättimäisen tulivanan ehkä 80 km korkeudella ja on lähimmillään Maata 60 km korkeudella. Ajatus on Arthur C. Clarken romaanista Hammer of God Milloin komeetta voi törmätä? Hyvin kaukana Maasta komeetan kulkusuunnan ja Maan etäisyys on d ja komeetan nopeus v. Törmääkö komeetta? α v Impulssimomentti säilyy α r=suuri v rsin α = v d=rsinα 0r0sin 90 α v 0 vd = vr 0 0 r 0 Energia säilyy Juuri ja juuri tilanne. Jos nollautuu d on pienempi, komeetta törmää v v0 = josta v0 = v + r r r r v + rv d = v v v 0 0 = 0 r0 r0 = r0 + 0 Jos d on tätä pienempi, komeetta törmää Maahan 0 16

17 Shoemaker-Levy Laskelmien mukaan Jupiter on suuri komeettojen imuri. Shoemaker-Levyn komeetta hajosi 1994 ja oli törmäyskurssilla. Ensimmäinen törmäys Tässä Kuva: NASA Jotkut tulipallot olivat Maapalloa suurempia Onneksi Jupiter imuroi komeettoja... Satelliitin nopeus ellipsiradalla Impulssimomentti säilyy, joten kaukaisimman ja lähimmän kohdan (apoapsis, periapsis) välille saadaan tärkeä yhteys v a r a = v p r p Energian ja impulssimomentin säilymisestä ja a=r a +r p voidaan johtaa kaikille ellipsiradoille kätevä nopeuskaava 1 v G M = r a r = etäisyys a = radan iso puoliakseli Tässä oletetaan, että satelliitin massa on mitätön planeetan massaan M verrattuna. 17

18 Yhteenveto laskukaavoista Kaikille radoille pätee energian säilyminen: v1 v = r r 1 Kaikille radoille pätee impulssimomentin säilyminen: Nopeuden ja ratavektorin kulman avulla v11 r sin α1 = vrsinα Nopeuden ja tulokulman avulla v r cos φ = v r cosφ 11 1 Ellipsiradalla nopeuden lauseke ja apoapsis ja periapsis: 1 v G M = r a v a r a a r p v p v a r a = v p r p r a + r p = a Ellipsi, paraabeli, hyperbeli Keplerin liikkeessä (rakettimoottori on kiinni, eikä ilmanvastus vaikuta) pätee energian säilyminen v1 v = = Kokonaisenergia r r 1 Lähellä Maata etäisyydellä r 1 satelliitin nopeus on v1 Äärettömän kaukana r =, jolloin äärettömän kaukana nopeus v on Jos v Jos v = > v = v + v 1 1 r1 r r1 0, rata on paraabeli, satelliitti pääsee juuri ja juuri pois Maan vaikutuspiiristä 0, rata on hyperbeli, satelliitti irtautuu Maan vaikutuspiiristä Pakonopeus etäisyydeltä r 1 Jos kokonaisenergia < 0, satelliitti on vangittu ellipsiradalle 18

19 Ympyränopeus Maan kiertoradalla a) 300 km korkeudella r = 6378 km km = m , m s v = = 776 m/s r m b) 1000 km korkeudella, r = m , m s v = = 7350 m/s r m c) km korkeudella v = 3075 m/s geosynkroninen rata, kiertoaika 3 h 56 min Satelliitti kiertää 300 km korkeudella ympyrärataa. Sille annetaan 00 m/s lisänopeus. Millaiselle elliptiselle radalle satelliitti siirtyy? r 0 = 6378 km+ 300 km = 6678 km v 0 = 776 m/s (kts edellä) uusi nopeus v = 796 m/s 1 v G M = r = etäisyys r a a = radan puoliakseli Uuden radan alin kohta on r 0 = 6678 km. 1 v = G M = = v0 r0 a r0 a a 19

20 Uuden radan alin kohta r p, perigeum, on on vanhan ympyräradan r 0 = 6678 km. Ylin kohta, apogeum, on luonnollisesti ylempänä r a r p , m s Ratkaistaan a = = v v (776 m/s) (796 m/s) 0 Josta iso puoliakseli a = 7047,3 km. Toisaalta a = (r a +r p ) / apogeum r a = a r p = 7047,3 km 6678 km =7417 km Perigeum r p = 6678 km, korkeus 300 km ekvaattorista Apogeum r a = 7417 km, korkeus 1039 km ekvaattorista Jos impulssi olisi annettu lentosuuntaa vastaan, nopeus siis alenisi ja polttokohdasta tulisi ylin kohta, apogeum. Haemaelaeisen kivenheitto Deimoksella Vanhana pesäpalloilijana Hämäläinen löysi Deimoksen pinnalta kiven ja päätti lähettää sen vaakasuoraan kiertoradalle. Hän antoi lähtönopeudeksi v 0 = 4,5 m/s. Radan alin kohta on Hämäläisen paikka r 0. Laske radan korkein kohta r a ja nopeus v a. Ellipsiradalla lähtöhetkellä 1 v0 =, ratkaistaan iso puoliakseli a r0 a Saadaan a = m Toisaalta r 0 +r a = a, joten r a = a r o Saadaan r a = m r a = m ja h = r a -r 0 = 5340 m r a r 0 =7490 m M=1, kg r a = - r v r 0 h

21 Haemaelaeisen kivenheitto Deimoksella Radan korkeimman kohdan nopeus saadaan helpoimmin impulssimomentin säilymislaista. Impulssimomentti säilyy v r = v r a a 0 0 v 0 = 4,5 m/s M = 1, kg r 0 = 7490 m r vr a = m r a = m v a =,6 m/s 4,5m/s 7490m 0 0 a = = ra 1830m Kiven kierrosaika, siis kivi tulee Hämäläisen kohdalle: 3 4π 3 a T = a = π = 5 h 9 min kuluttua heitosta,6 m/s Deimoksen vaikutuspiiri on 8,9 km, joten kivi voi mennä H:n ohi r a r 0 h Laskutehtävä: Hämäläisen pallonheitto Hämäläinen kiipeää Deimoksella näköalatorniin, jonka korkeus on 50 m. Sieltä hän heittää v 0 =? pesäpallon kiertoradalle, jonka alin kohta on juuri ja juuri Deimoksen pinnalla. Hämäläinen h=50 m ottaa pesäpallosta kopin, kun se tulee r a uudelleen tornin kohdalle. Kuinka suuri on heiton lähtönopeus v 0? Millä nopeudella v r 0 pesäpallo ohittaa Deimoksen toisen puolen? Mikä on kiertoaika T? v=? r 0 = 7490 m M = 1, kg Ohje: Käytä ellipsiradan nopeuden lauseketta ja ellipsin ison puoliakselin yhteyttä a = r 0 +h. 1

22 Vertailu: Ympyrä ja ellipsi v Ympyrärata = R 3 R T= π Ellipsirata 1 v G M = r a T = π 3 a r = satelliitin etäisyys planeetan keskipisteestä a = ellipsiradan iso puoliakseli M = planeetan massa G = painovoimavakio = 6, Nm kg - Ellipsikaavoista tulee ympyräkaava, kun a = r Avaruusaluksen laskeutuminen h Alus on h=300 km korkeudella. Mikä on edullisin tapa tuoda alus Maahan? Ympyräratanopeus v 300 = 776 m/s R = Jos laskeutuminen halutaan tehdä pystysuoraan alas, joudutaan antamaan 776 m/s nopeuden muutos. Tällöin alus alkaa pudota vapaasti. Kallista, koska tarvittava nopeuden muutos on hyvin suuri. Edullisin jarrutustapa on viedä alus elliptiselle radalle, joka sivua Maapalloa vastakkaisella puolella. Ilmakehä hoitaa sitten loppujarrutukset.

23 Edullisin elliptinen laskeutuminen R 0 h Laskeutumisradan iso puoliakseli a = R 0 +h, josta a = R 0 + h/ = 658 km Laskeutumisen lähtönopeus on: 1 v G M = R a Tästä saadaan v = 7637 m/s, jolloin tarvittava jarrutuspoltto v = 776 m/s 7637 m/s = 89 m/s R= m a = m 43 min päästä ilmakehään tulo 90 km korkeudella nopeudella 1 1 v90 = G M =,josta v90 = 7886 m/s R90 a m m Lämpökilpi ja sen jälkeen laskuvarjot hoitavat loppujarrutuksen Siirretään satelliitti alemmalta ympyräradalta R 1 ylemmälle ympyräradalle R v B lisävauhtia (tokapoltto) ympyrärata R A lisävauhtia (ekapoltto) R elliptinen siirtorata 1 v 1 = alempi ympyränopeus v = ylempi ympyränopeus Alus kiertää alemmalla ympyräradalla nopeudella v 1 A:ssa nopeus nostetaan arvoon v, jolloin alus siirtyy B:en B:ssä nopeus nostetaan arvoon v, alus menee ympyräradalle 3

24 Hohmannin siirtoellipsi alemmalta ympyräradalta ylemmälle, kahdella poltolla (mininergiasiirtyminen) Ellipsin iso puoliakseli on a = (R 1 + R )/ Lähtö A:sta nopeudella v Tulo B:hen nopeudella v 1 v = = uusi nopeus 1 R1 a v' = R a B:ssä lisävauhtia A:ssa lisävauhtia R R 1 v1 = = alempi ratanopeus R1 v = = ylempi ratanopeus R Alus kiertää alemmalla ympyräradalla nopeudella v 1 A:ssa nopeus nostetaan arvoon v, alus saapuu B:en elliptisesti nopeudella v. Siellä nopeus nostetaan ympyrärata-arvoon v Tarvittavat nopeudenmuutokset A:ssa aluksi ympyräradalla v1 = Uusi lähtönopeus A:ssa Nopeuden muutos = v v 1 (ekapoltto) R Tulo B:een Hohmannin ellipsirataa v' = pitkin nopeudella v R Uusi haluttu ratanopeus v v = (jotta päästään ympyräradalle) Nopeuden muutos = v v (tokapoltto) 1 1 v = R 1 a 1 a R 4

25 Radanmuutoksen tarvittava aika Siirtoon tarvitaan ellipsin puolikas. Iso puoliakseli a = (R 1 + R ) / Täyden ellipsin aika Hohmannin puoliellipsi 4π T = a = π a 3 3 T = π 3 a Hohmannin v 195 keksimä siirtoellipsi on energeettisesti edullisimpia radanmuutoskeinoja. Se ei kuitenkaan ole nopein keino. Jos on pelit ja vehkeet, uudelle radalle päästään nopeamminkin. Lento ISS:lta Hubble-teleskoopille Avaruusasema ISS lentää 368 km korkeudella ekvaattorin yläpuolella ympyräradalla. Maapallon ekvaattorin säde on 6378 km. ISS:sta lähetetään avaruusalus Hubblelle, joka lentää 573 km korkeudella ympyräradalla ekvaattorin yläpuolella. Laske ISS:n ja Hubblen kohdalla tarvittavat nopeudenlisäykset, jos käytetään Hohmannin siirtoellipsiä. R H R ISS R ISS = 6378 km km = 6746 km v ISS = = 7687 m/s (ympyräratanopeus) R ISS R H = 6378 km km = 6951 km v H = = 7573 m/s (ympyräratanopeus) R H 5

26 Lento ISS:lta Hubble-teleskoopille Hohmannin siirtoellipsiradan alku- ja loppunopeudet a = (R 1 + R )/ = 6848,5 km (iso puoliakseli) 1 Lähtönopeus ISS:sta v A = = 7744m/s RISS a Nopeuden lisäys v A -v ISS = 7744 m/s 7687 m/s lähdössä ISS:lta (ekapoltto) = 57 m/s 1 Tulonopeus Hubblelle v B = = 7516 m/s RH a Nopeuden lisäys v H v B = 7573 m/s 7516 m/s = 57 m/s Hubblen kohdalla (tokapoltto), jotta päästään ympyräradalle. Siirtymiseen kuluva aika T = π 3 a a = 6848,5 km m T = 80 s = 47 minuuttia Käytännössä on vielä laskettava lähtöpolton oikea hetki, jotta alus ja Hubble ovat samalla kohdalla siirron lopussa. Paluulennolla on tehtävä vastakkaiset nopeusmuutokset, jotta päästään takaisin ISS:lle. Tosin ISS ja Hubble eivät lennä aivan samassa tasossa eivätkä radat ole ekvaattoritasossa. Ensin aluksen ratatason inklinaatiokulma on muutettava samaksi kuin Hubblen radan inklinaatio. Vasta sitten aloitetaan poltto, jolla päästään Hubblelle vievälle siirtoellipsille. 6

27 Kohtaaminen samalla radalla B R 0 M β Alukset A ja B kiertävät etäisyydellä R Maapallon keskipisteestä. Maan säde on R 0 ja massa M. R 1 A Millä keinoin A saa B kiinni? Ensimmäiseksi mieleen tulee tietysti se, että A:n pitää lisätä nopeutta. Tämä on virhe. Tällöin nimittäin A nousee ylemmälle radalle, jonka kiertoaika on suurempi. A siis jäisi entistä enemmän jälkeen B:stä Oikea ratkaisu on se, että A:n pitää jarruttaa. Tällöin A siirtyy alemmalle radalle, jonka kiertoaika on lyhyempi Kohtaaminen on tapahduttava kohdassa 1. Kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β R A Alkuperäinen rata: v1 = R R 3 T1 = π 1 A jarruttaa ja siirtyy alemmalle radalle, jonka iso puoliakseli olkoon a. tällöin A:n uusi kiertoaika T on: 3 a T=π Ehtona on, ettei A:n uuden ellipsiradan alin kohta ei saa tulla alemmaksi kuin 100 km, ettei ilmakehä sotke asioita. Uudelle radalle saadaan siten ehto a > R 0 +R+h 7

28 Kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β R A 1 Kohtaaminen voi tapahtua vain kohdassa 1, jossa radat leikkaavat. Edullisinta olisi, että A kiertää yhden kierroksen ja B β astetta vähemmän. 100 km minimikorkeusvaatimus saattaa aiheuttaa sen, että tarvitaan useampia kierroksia. Oletetaan, että A lentää n kierrosta ja B n kierrosta. Kohtaamishetkellä kummankin lentoajat ovat yhtä suuria: A:n lentoaika B:n lentoaika 3 3 a 360n - β R n π = π 360 Kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β R A 1 A:n lentoaika B:n lentoaika 3 3 a 360n - β R n π = π 360 Näistä ratkaistaan A:n uuden radan iso puoliakseli a: a = R 360n - β 3 360n Ehtona on, että a > R 0 +R+h, jossa h = 100 km Etsitään pienin kokonaisluku n, jolla ehto toteutuu. 8

29 Kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β a = R 360n - β 360n 3 R A 1 Päästäkseen uudelle radalle A:n on tehtävä jarrutuspoltto : ympyräratanopeus A:n uusi ellipsiratanopeus 1 v = v 1 - v = - R R a Kohtaamishetkellä on tehtävä yhtä suuri nopeudenlisäys, jotta alusten nopeudet olisivat yhtä suuria. Yhteenveto: kohtaaminen samalla radalla h B R 0 M β R A 1 A tekee jarrutuspolton 1 v = v 1 - v = - R R a A:n uuden radan iso puoliakseli a on: a = R 360n - β 3 360n jossa n on pienin kokonaisluku, jolla toteutuu ehto a > R 0 +R+h, jossa h = 100 km minikorkeus. Kohtaaminen tapahtuu ajan t = n π kuluttua. 3 a 9

30 Laskuesimerkki kohtaamisesta h B R 0 M β R A 1 Olkoon R 0 =6378 km ja R=6678 km (300 km korkeudella ekvaattorista) Olkoon etumatka β = 30º. A jarruttaa ja pääsee alemmalle radalle, jonka iso puoliakseli a on: a = R 360n - β 3 360n Yksi kierros n=1 antaa a=630 km, mutta h=a-r 0 -R= -45 km. Vasta n= 4 antaa a=6585 km, jolloin h=114 km sopiva minimi. 3 ( m) Lentoaika t = 4 π 171 s 5 h 54 min 30s 1 A:n jarrutus v = v 1 - v = - 54, 75 m/s R R a Kohtaaminen:Edellä oleva jarruttaa B R 0 M β Alukset A ja B kiertävät etäisyydellä R Maapallon keskipisteestä. Maan säde on R 0 ja massa M. R 1 A Millä keinoin A saa B kiinni? Edellä tarkasteltiin tilannetta, että A:n jarruttaa ja siirtyy alemmalle radalle, jonka kiertoaika on lyhyempi Kohtaaminen on tapahtuu kohdassa 1. Toinen ratkaisu on, että edellä oleva B kiihdyttää. Tällöin B siirtyy ylemmälle hitaammalle radalla. Kohtaaminen voi tapahtua vain kohdassa, joka on ratojen leikkauspiste. Minikorkeusvaatimusta ei tarvita, koska rata on korkeampi. 30

31 Kohtaaminen:Edellä oleva jarruttaa B R 0 M β R A Alkuperäinen rata: v1 = R R 3 T1 = π B kiihdyttää ja siirtyy ylemmälle radalle, jonka iso puoliakseli olkoon a. tällöin A:n uusi kiertoaika T on: 3 B lentää yhden kierroksen ja A kierros+β: a T=π B:n lentoaika A:n lentoaika 3 3 a β R π = π 360 Ratkaistaan a Kohtaaminen:Edellä oleva jarruttaa B B:n uuden laajemman radan isoksi R puoliakseliksi a saadaan: 0 M β R A a = R β Esimerkki: R=6678 km, etumatka β=30º. Tällöin a= 7044 km. B lensi uudella radalla yhden kierroksen ja A kierroksen+β. 3 ( m) Lentoaika t = π 5884 s 98min 1 B:n kiihdytys v = v - v 1 = 198 m/s R a R 31

32 Inklinaatio määrää ratatason Satelliitin radan inklinaatio i tarkoittaa päiväntasaajan ja satelliitin ratatason välistä kulmaa. ekv rata i c β L C = Lähetyspaikka β = lähetyssuunta (atsimuutti) L = lähetyspaikan leveyspiiri i = inklinaatio Ongelmia tulee siitä, että inklinaatio ei voi olla alempi kuin lähetyspaikan leveyspiirin asteluku. Näin ollen Baikonourista ei voi lähettää alle 46º inklinaation satelliitteja, Plesetskistä alle 6º eikä Floridasta alle 8º. Geosynkronisen satelliitin inklinaatio on 0º, jolloin suora laukaisu onnistuu vain päiväntasaajalta. Miksi näin? Miksi ei muualta? Miksi ekvaattori on hyvä laukaisuun? ekv i c β L Pallokolmioiden trigonometriasta voidaan johtaa seuraava yhteys: cos i = sinβ cos L rata Etsitään laukaisupaikan minimi-inklinaatio. Se saadaan kun cos i on maksimissaan. Tällöin laukaisusuunta β = 90º, jolloin cos i = cos L ja siis i = L. Laukaisupaikan antama minimi-inklinaatio on siis sama kuin laukaisupaikan leveyspiiri. Tällöin laukaisusuunta on kohtisuorassa meridiaania vastaan, siis lännestä itään. Geosynkroniseen satelliitin suora laukaisu onnistuu siis vain päiväntasaajalta. Sea Launch-lautta ja Kourou ovat hyviä. 3

33 ekv rata Geosynkronirata ja polaarirata i c β L Inklinaatio kertoo myös leveyspiirin, jonka zeniittiin satelliitti voi nousta. Jos i=0º, satelliitti kiertää päiväntasaajalla. Jos i=90º, rata kulkee napojen kautta. Jos i=65º, rata kulkee Oulun zeniitin yli. Jatkuvasti saman paikan yläpuolella olevan satelliitin kiertoaika on sama kuin Maapallon pyörähdysaika, siis 3 h 56 min 4 s. Satelliitin on oltava päiväntasaajan yläpuolella noin km korkeudella Maan pinnasta. Tietoliikenne- ja TV-satelliitit ovat tällaisia. Napojen kautta kulkevan satelliitin inklinaatio = 90º. Rata voi olla kaikkien Maapallon paikkojen yläpuolella. Erinomainen valinta tiedustelu- ja luonnonvarasatelliitille! Satelliitin radan projektio Osoitteesta ISS:n rata klo 16.7 Suomen aikaa. Koska ISS kulkee noin 50-leveyspiirille asti, inklinaatio on noin 50º. 33

34 Satelliitin rata ja Maan pyörähdysaika Satelliitin ratataso säilyttää suuntansa, koska impulssimomenttivektori pysyy vakiona. Maapallo pyörii satelliitin alla noin 15º tunnissa. Jos kierrosaika on 1,5 tuntia, seuraavalla kierroksella Maa on pyörähtänyt 1,5 15º=,5º. Jos Maapallon pyörähdysaika 4 h 56 min 4 s on satelliitin kiertoajan monikerta, satelliitti tulee joka päivä samaan aikaan saman paikkakunnan yläpuolelle. GPS-satelliittit, 7 kpl, kiertävät Maapallon kahdesti vuorokaudessa. Tästä aiheutuu kuitenkin resonanssiongelmia, jotka häiritsevät satelliittien ratoja. Tältä kannalta katsoen GPS-satelliittien radat on valittu huolimattomasti. EU:n Galileossa näin ei pääse tapahtumaan. Myöskään Venäjän GLONASSilla ei ole resonanssiongelmia. Esim. Satelliitin inklinaatio on 90º ja kierrosaika 1,5h Se on Oulun yläpuolella (65º01 N,5º3 E) klo 15. Missä satelliitti on klo samana päivänä? Satelliitti on kiertänyt yhden kierroksen, joten se on leveyspiirin 65º01 yläpuolella. Maapallo on pyörähtänyt 1,5 h 15º/h =,5º=º30 itään, joten zeniitti on siirtynyt länteen. Satelliitin leveyspiiri = 65º01 N Satelliitin pituuspiiri = 5º3 - º30 = 03º0 E Satelliitti on siis Norjanmeren yläpuolella Seuraavana päivän klo 15 satelliitti on taas likipitäen Oulun yläpuolella, koska 4h/1,5 h = 16 34

35 Satelliitin ratatason vaihto kallista Erityisesti Venäjän kannalta on hankalaa, että lähetysasemat Baikonour ja Plesetsk sijaitsevat korkeilla leveyspiireillä. Jos niistä halutaan lähettää satelliitti geosynkroniselle radalle, inklinaatio on muutettava nollaksi ratatasoa vastaan kohtisuoralla impulssilla. Se on huomattavan kallista. Ratanopeus pidetään samana v, suuntaa muutetaan, jolloin saadaan θ v = v sin Esim. jos ratatasoa muutetaan 60º, nopeuden muutos on yhtä suuri kuin ratanopeus v. Siis pelkkä ratatason korjaus vaatii yhtä paljon kuin radalle nostaminen! Baikonourista (L=46º) lähetetyn ratatason oikaisu vaatii 0,78v:n impulssin. Intelsat Proton-M-kantoraketilla laukaistiin Baikonourista siihen asti maailman suurin tietoliikennesatelliitti Intelsat 10-0, massaltaan 5580 kg. Kantorakettina oli Proton-M varustettuna neljännen vaiheen kiihdytysblokilla Breeze-M. Lähdön jälkeen Breeze-M ja siihen kiinnitetty Intelsal asettuivat aluksi pysäköintiradalle noin 170 km korkeuteen. Radan inklinaatio oli 51,5 astetta. Breeze-M teki 4 ratakorjausta, joka muuttivat inklinaation 3,6 asteeseen ja radan alimman kohdan noin 4000 km korkeuteen ja ylimmän kohdan noin km korkeuteen. 9 tuntia 10 minuutin kuluttua lähdöstä Breeze-M oli tehnyt tehtävänsä ja se irrotettiin satelliitista. Intelsat 10-0:n omat rakettimoottorit vievät myöhemmin satelliitin geosynkroniselle radalle. Intelsat aloitti toimintansa elokuussa 004 ja jatkaa 13 vuotta. 35

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden

Lisätiedot

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ. Nostotyön suuruus ei riipu a) nopeudesta, jolla kappale nostetaan b) nostokorkeudesta c) nostettavan kappaleen massasta

MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ. Nostotyön suuruus ei riipu a) nopeudesta, jolla kappale nostetaan b) nostokorkeudesta c) nostettavan kappaleen massasta MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ Ympyröi oikea vaihtoehto. Normaali ilmanpaine on a) 1013 kpa b) 1013 mbar c) 1 Pa Kappaleen liike on tasaista, jos a) kappaleen paikka pysyy samana b) kappaleen nopeus pysyy samana

Lisätiedot

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja

Lisätiedot

5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat

5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat 5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat Muistellaan menneitä Jo peruskoulussa lienee opetettu tämä Newtonin gravitaatiolaki kahden kappaleen välisestä gravitaatiovoimasta: Tässä yhtälössä G on gravitaatiovakio

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa

Lisätiedot

= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N

= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta. Kuva NASA

Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta. Kuva NASA Tähtitieteen peruskurssi Lounais-Hämeen Uranus ry 2013 Aurinkokunta Kuva NASA Aurinkokunnan rakenne Keskustähti, Aurinko Aurinkoa kiertävät planeetat Planeettoja kiertävät kuut Planeettoja pienemmät kääpiöplaneetat,

Lisätiedot

Jupiter-järjestelmä ja Galileo-luotain II

Jupiter-järjestelmä ja Galileo-luotain II Jupiter-järjestelmä ja Galileo-luotain II Jupiter ja Galilein kuut Galileo-luotain luotain Jupiterissa NASA, laukaisu 18. 10. 1989 Gaspra 29. 10. 1991 Ida ja ja sen kuu Dactyl 8. 12. 1992 Jupiter 7. 12.

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja

Lisätiedot

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika

Lisätiedot

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen 6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition

Lisätiedot

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Planeetan määritelmä

Planeetan määritelmä Planeetta on suurimassainen tähteä kiertävä kappale, joka on painovoimansa vaikutuksen vuoksi lähes pallon muotoinen ja on tyhjentänyt ympäristönsä planetesimaalista. Sana planeetta tulee muinaiskreikan

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk I LUOKKAHUONEESSA ENNEN TIETOMAA- VIERAILUA POHDITTAVIA TEHTÄVIÄ Nimi Luokka Koulu yyyyyyyyyy Tehtävä 1. ETSI TIETOA PAINOVOIMASTA JA TÄYDENNÄ. TIETOA LÖYDÄT MM. PAINOVOIMA- NÄYTTELYN VERKKOSIVUILTA. Painovoima

Lisätiedot

AKAAN AURINKOKUNTAMALLI

AKAAN AURINKOKUNTAMALLI AKAAN AURINKOKUNTAMALLI Millainen on avaruus ympärillämme? Kuinka kaukana Aurinko on meistä? Minkä kokoisia planeetat ovat? Tämä Aurinkokunnan pienoismalli on rakennettu vastaamaan näihin ja moneen muuhun

Lisätiedot

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki 2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

SATURNUS. Jättiläismäinen kaasuplaneetta Saturnus on aurinkokuntamme toiseksi suurin planeetta heti Jupiterin jälkeen

SATURNUS. Jättiläismäinen kaasuplaneetta Saturnus on aurinkokuntamme toiseksi suurin planeetta heti Jupiterin jälkeen SATURNUKSEN RENKAAT http://cacarlsagan.blogspot.fi/2009/04/compare-otamanho-dos-planetas-nesta.html SATURNUS Jättiläismäinen kaasuplaneetta Saturnus on aurinkokuntamme toiseksi suurin planeetta heti Jupiterin

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

Kosmos = maailmankaikkeus

Kosmos = maailmankaikkeus Kosmos = maailmankaikkeus Synty: Big Bang, alkuräjähdys 13 820 000 000 v sitten Koostumus: - Pimeä energia 3/4 - Pimeä aine ¼ - Näkyvä aine 1/20: - vetyä ¾, heliumia ¼, pari prosenttia muita alkuaineita

Lisätiedot

7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä

7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä 7. AURINKOKUNTA Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä Jupiter n. 4"päässä) = Keskustähti + jäännöksiä tähden syntyprosessista (debris) = jättiläisplaneetat,

Lisätiedot

Luvun 13 laskuesimerkit

Luvun 13 laskuesimerkit Luvun 13 laskuesimerkit Esimerkki 13.1 Olkoon Cavendishin vaa'an pienen pallon massa m 1 = 0.0100 kg ja suuren pallon m 2 = 0.500 kg (molempia kaksi kappaletta). Miten suuren gravitaatiovoiman F g pallot

Lisätiedot

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa. Liikeyhtälöt

Taivaanmekaniikkaa. Liikeyhtälöt Taivaanmekaniikkaa Liikeyhtälöt Olkoot kahden kappaleen (esim. Auringon ja planeetan) massat m 1 ja m 2 ja paikkavektorit jossakin kiinteässä inertiaalikoordinaatistossa r 1 ja r 2. Merkitään r:llä planeetan

Lisätiedot

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

Gravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike

Gravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa

Lisätiedot

Jupiterin magnetosfääri. Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009

Jupiterin magnetosfääri. Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009 Jupiterin magnetosfääri Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009 Johdanto Magnetosfääri on planeetan magneettikentän luoma onkalo aurinkotuuleen. Magnetosfäärissä plasman liikettä hallitsee planeetan magneettikenttä.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen

Lisätiedot

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ II

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ II ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ II 91. Selitä mistä aiheutuvat a) vuorokaudenajat, b) vuodenajat, c) kuunpimennykset, d) auringonpimennykset? 92. Vastaa lyhyesti seuraaviin kysymyksiin: a) Mitä eroa on tähdellä

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän

Lisätiedot

2.11 Väliaineen vastus

2.11 Väliaineen vastus Jokainen, joka on taistellut eteenpäin kohti kovaa vastatuulta tai yrittänyt juosta vedessä, tietää omasta kokemuksestaan, että väliaineella todellakin on vastus. Jos seisoo vain hiljaa paikoillaan vaikkapa

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

1 Oikean painoisen kuulan valinta

1 Oikean painoisen kuulan valinta Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton

Lisätiedot

TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ

TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ ARKIPÄIVÄISTEN ASIOIDEN TÄHTITIETEELLISET AIHEUTTAJAT, FT Metsähovin Radio-observatorio, Aalto-yliopisto KOPERNIKUKSESTA KEPLERIIN JA NEWTONIIN Nikolaus Kopernikus

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Suhteellisuusteorian perusteet 2017 Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit

Lisätiedot

AURINKOKUNNAN RAKENNE

AURINKOKUNNAN RAKENNE AURINKOKUNNAN RAKENNE 1) Aurinko (99,9% massasta) 2) Planeetat (8 kpl): Merkurius, Venus, Maa, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus - Maankaltaiset planeetat eli kiviplaneetat: Merkurius, Venus, Maa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Ajankohtaista Konseptitesti 1 ÄLÄ KOKEILE TÄTÄ KOTONA! Kysymys

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Aloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä.

Aloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä. LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: AURINKOKUNTA Huom! Valmistele maitopurkit valmiiksi. Varmista, että sinulla on riittävästi soraa jupiteria varten. 1. Alkupohdintaa Aloitetaan kyselemällä, mitä

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä

Lisätiedot

dx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.

dx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7. BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 31.5.2006, malliratkaisut ja arvostelu. 1 Linja-autoon on suunniteltu vauhtipyörä, johon osa linja-auton liike-energiasta siirtyy jarrutuksen aikana Tätä energiaa käytetään hyväksi kun linja-autoa taas kiihdytetään Linja-auto, jonka nopeus on

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike

Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin

Lisätiedot

Miltä työn tekeminen tuntuu

Miltä työn tekeminen tuntuu Työ ja teho Miltä työn tekeminen tuntuu Millaisia töitä on? Mistä tiedät tekeväsi työtä? Miltä työ tuntuu? Mitä työn tekeminen vaatii? Ihmiseltä Koneelta Työ, W Yksikkö 1 J (joule) = 1 Nm Työnmäärä riippuu

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot