Symbolinen laskenta ja koulumatematiikan tulevaisuus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Symbolinen laskenta ja koulumatematiikan tulevaisuus"

Transkriptio

1 Simo K. Kivelä Symbolinen laskenta ja koulumatematiikan tulevaisuus Graafisia laskimia on tiukoin ehdoin jo pitkään saanut käyttää ylioppilaskokeessa. Käyttöä on kuitenkin leimannut jonkinlainen vastahakoisuus: monia toimintoja on pidetty liian pitkälle menevinä eikä niiden käyttöä ole suosittu. Vuoden 202 alusta voimaan tullut uusi laskinohje muutti tilanteen: kaikki laskimet ovat sallittuja. Tilanne ei kuitenkaan ole niin selkeä, kuin voisi luulla. Laskimen ja tietokoneen ero on katoamassa, eikä laskinohjekaan viisaasti kyllä määrittele, mitä laskimella tarkoitetaan. Symboliset toiminnot tulivat sallituiksi, mutta aina ei ole selvää, mitä kaikkea voi käyttää enempää selittämättä. Seurauksena onkin ollut ajoittain kiivaankin keskustelun herääminen. On katsottu, että uudistus on viimeinen naula matematiikan opetuksen arkkuun. Mitään ei enää tarvitse osata, kun kaiken saa laskimesta mitään ymmärtämättä. Toisaalta kaikkien laskimien sallimista on pidetty ensimmäisenä askelena matematiikan opetuksen modernisoinnissa. Yritän seuraavassa hahmotella, mitä uudistus oikeastaan merkitsee ja millaisella tiellä olemme. Valmiita ratkaisuja en esitä, se ei ole vielä tällä hetkellä mahdollistakaan. Pikemminkin tarvitsemme keskustelua muokkaamaan omia mielikuviamme ja tuomaan uusia ideoita. Mistä olemme tulossa, mihin menossa? Alunperin tietokoneet olivat matemaatikolle numeerisen laskennan välineitä. 60-luvun loppuun mennessä ensimmäisten tietokoneiden numeeriset ominaisuudet mahdutettiin taskuun sopivaan laitteeseen. Syntyi funktiolaskin. Seuraavalla vuosikymmenellä kehittyivät tietokoneiden näyttöjen graafiset ominaisuudet ja nämäkin siirtyivät taskulaskimeen: syntyi graafinen laskin. Tietokoneohjelmilla on pyritty jo 60-luvulla käsittelemään lausekkeita, ts. tekemään symbolista laskentaa: ratkaisemaan yhtälöitä, derivoimaan, integroimaan, sieventämään. Ohjelmistoista on alettu käyttää myös nimitystä CAS, Computer Algebra System. Tätä voidaan pitää symbolisen laskennan synonyyminä, vaikka jonkinlainen näkökulmaero ehkä onkin. Myös symbolinen laskenta on löytänyt tiensä taskukokoisiin laitteisiin. Tämän päivän aika kohtuuhintaisesta laskimesta löytyy työkalut numeeriseen, graafiseen ja symboliseen laskentaan. Laskentaohjelmistojen kehitykseen kytkeytyy kuitenkin myös valtava tieto- ja viestintätekniikan kehitys. Omassa taskussa oleva laskin ei ole enää ainoa vaihtoehto

2 työvälineeksi. Selvää on, että tietokoneeseen on saatavissa ohjelmistot, joissa on vastaavat toiminnot ja enemmänkin. Oleellisesti samat toiminnot saadaan käyttöön myös verkon kautta, ilman että itse tarvitsee asentaa juuri mitään. Välineenä voi olla myös matkapuhelin tai tablettitietokone. Internetin ns. pilvipalvelut ovat lisääntymässä: omaan laitteeseen ei asenneta mitään eikä siihen välttämättä tallenneta edes omia tiedostoja, vaan kaikki sijaitsee joillakin palvelimilla jossakin Internetin syövereissä. Käyttö sujuu, kunhan käyttäjällä on verkkoyhteys. Asiaa ennestään tuntematon lukija voi aloittaa perehtymisen antamalla Googlelle hakusanoiksi symbolic computation (ranskaksi calcul formel ) tai computer algebra system. Symbolisen laskennan pilvipalveluista kelpaa esimerkiksi Wolfram Alpha[4]. Parin dollarin hinnalla lukija saa myös älypuhelimeensa tai tablettitietokoneeseensa pikkuohjelman, joka sovittaa näytön älypuhelimeen sopivaksi. Lisää pari dollaria ja näyttöön saadaan vaikkapa differentiaali- ja integraalilaskentaan keskittyvä laskin.[5] Edellä sanotun valossa symbolisten laskimien käyttöönotto lukiossa ei ole muuta kuin yksi askel jo kauan sitten aloitetulla tiellä. Eikä tie pääty tähän. Ellei maailmassa yllättäviä muutoksia tapahdu, Internetiä käytetään jonakin päivänä myös kokeissa normaalina työvälineenä kaikenlaisia pilvipalveluja hyödyntäen. Matematiikan opetuksen ja kokeiden tulee seurata maailman muuttumista. Jokaisella aikakaudella on laskentavälineensä ja niitä on jo koulussa opittava käyttämään. Emmehän käytä enää logaritmitaulujakaan emmekä yritä harjoittaa aritmetiikkaa roomalaisiin numeroihin perustuen. Jos koulumatematiikka eroaa liian paljon siitä, mitä matematiikan käyttö muualla elämässä on, se ei enää ole relevanttia eikä kiinnosta. Asia ei kuitenkaan ole niin suoraviivainen, kuin edellä esitetty tekniikkafriikin näkökulma näyttäisi osoittavan. Pelko, että mitään ei enää osata, kun kaiken saa laskimesta, ei kumpua tyhjästä. Totta on, että monet nykyisistä matematiikan tehtävistä voidaan ratkaista laskinta näpyttelemällä juuri mitään ymmärtämättä. Kuitenkin: Jo oikeiden toimintojen löytäminen laskimesta edellyttää kykyä jäsentää tilanne jollakin tavalla. Laskin saattaa myös antaa vastauksen, joka ei ole lainkaan sitä, mitä laskija odottaa, vaan jonka ymmärtäminen edellyttää paljon laajempia matematiikan taitoja. Puhumattakaan niistä tilanteista, joissa vastaus on eri syistä johtuen yksinkertaisesti väärä. Tietotekniikan laajeneva käyttö avaa myös mahdollisuuksia oppia enemmän ja monipuolisemmin, ehkä uudesta näkökulmasta. Edellytyksenä on, että mahdollisuus halutaan hyödyntää eikä vain tyydytä tavoittelemaan samaa kuin ennenkin. Tällaisen muutoksen aikaansaaminen varsinkaan kun ei edes tarkoin tiedetä, mitä se olisi ei ole yksinkertaista. Tielle kuitenkin pitää lähteä. Millaisia tehtäviä? Edellä sanotun konkretisoimiseksi tarkastelen joitakin viime vuosien ylioppilastehtäviä. Tarkoitus ei ole sanoa, että matematiikan opetuksessa pitäisi tähdätä vain 2

3 ylioppilaskokeeseen. Koe vain on varsin hyvä näyte siitä, millaisiin taitoihin nykyään tähdätään. Symbolilaskimet tuovat muutoksen näkökulmiin ja jossain määrin tavoitteena oleviin taitoihin, mutta kovin järkyttävästä asiasta ei ole kyse. En toista tehtävänantoja. Ne löytyvät esimerkiksi viitteestä [6]. Viime vuosina ylioppilaskokeen alussa on ollut pari tehtävää, joissa on pyydetty ratkaisemaan yksinkertaisia yhtälöitä, sieventämään lausekkeita, derivoimaan tai integroimaan. Kaikki voidaan ratkaista sangen suoraviivaisesti symbolisella laskimella. Taito ratkaista tällaiset kynällä ja paperilla on kuitenkin edelleenkin tarpeen. Ei niinkään siitä syystä, että käsinlasku sinänsä olisi tärkeätä, vaan käsitteiden ymmärtämisen ja niiden ominaisuuksien sisäistämisen takia. Tämä on tarpeen myös laskimia ja ohjelmistoja käytettäessä. Mitään DoWhatIHope-komentoa ei tunnetusti ole. Jotta perustehtäviä opitaan ratkaisemaan myös käsin, tarvittaneen kokeita, joissa apuvälineitä ei sallita. Yksinkertaisten perusoperaatioiden ohella on testattu tärkeiksi katsottuja algoritmeja: funktion suurimman ja pienimmän arvon etsimistä esimerkiksi tarkastelemalla polynomia x 3 4x + välillä [, 2], polynomin jakamista tekijöihin esimerkkinä 2x 4 x 3 + x 2 x, lukuteorian osaamista tutkimalla, onko jaollinen viidellä. Kaikki ovat tehtäviä, joista voi suoriutua löytämällä laskimesta sopivan funktion, joka antaa suoraan vastauksen. Tehtävissä on oikeastaan kyse ääriarvojen ja polynomin ominaisuuksien sekä lukuteorian alkeiden osaamisen testaamisesta. Jos tehtävistä suoriudutaan, uskotaan, että kyseiset asiat ovat hallinnassa. Tehtävä toimii siten osaamisen indikaattorina. Tämä logiikka ei kuitenkaan enää päde, jos käytössä on symbolinen laskin. Luontevaa olisikin indikaattorin käyttämisen sijasta siirtyä kysymään sitä, mitä halutaan testata. Kysymykseen voisi tulla vaikkapa lyhyen esseen kirjoittaminen aiheesta ja sopivan esimerkin muodostaminen. Tällöin tehtävä on vaativampi, mutta pakottaa toisaalta hahmottamaan asian yleisemmin. Perinteisissä tehtävissäkin on myös monia, jotka eivät oikeastaan tarvitse mitään muutoksia. Esimerkkejä ovat Penrosen laatoituksia koskeva tehtävä (kevään 20 pitkä) ja trombin sijainti Helsingin edustalla (kevään 20 lyhyt). Edellisessä tosin olisi yhtä helppoa laskea myös tarkat arvot. Tällaiset ja monimutkaisemmatkin tehtävät testaavat kykyä pitää tehtävän rakenne hallinnassa, mikä on hyvinkin tarpeellinen taito. Kun päähuomio keskittyy tähän eikä yksinkertaisten laskuvirheiden välttämiseen, on siirrytty askel kohden matematiikan soveltamisessa tarvittavia taitoja. Uutena tehtävätyyppinä voisivat olla avoimet tutkimustehtävät: onko jokin asia totta tai esitettävä hypoteesi jossakin tilanteessa. Symbolinen laskenta voi toisinaan aiheuttaa yllätyksiä, joihin tulisi osata suhtautua. Esimerkiksi funktion cos 3 x sin 2 x maksimikohtien etsiminen ja yhtälön x a = x b ratkaiseminen TI-Nspire-laskimella johtaa vaikeasti hahmotettavaan vastaukseen. Tämä on sinänsä oikea, mutta sen esitys and- ja or-operaattoreineen on sen verran mutkikas, että tulkinta ei ole aivan helppoa.[7, 8] Symbolisessa laskennassa myös usein oletetaan toimittavan kompleksialueella, jolloin em. yhtälön ratkai- 3

4 susta tulee todella monimutkainen.[9] Käyttäjällä tulisi olla jonkinlainen näkemys kompleksitasosta. Samantapainen tilanne saattaa syntyä derivoitaessa tan-funktiota, jolloin vastauksena voi olla sec 2 x. Käyttäjä ei saisi säikähtää, vaan hänen tulisi lähteä hakemaan sekantin määritelmää, vaikkapa Internetistä. Pilvipalvelu Wolfram Alpha puolestaan antaa syötteeseen (a + b) 2 varsin pitkän vastauksen. Joukossa on toki sekin, mitä laskija ehkä odottaa, mutta myös paljon muuta, josta on osattava valita. Mitä sitten pitäisi opettaa? Jos laskimia tai tietokoneohjelmia ja yleisemmin tietotekniikkaa halutaan matematiikan opetuksessa todella hyödyntää, tulisi kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin näkökulmiin: Tietyt perustaidot ovat edelleen tarpeellisia myös käsin laskemisen tasolla. Tavoitteena on tällöin käsitteiden ymmärtäminen ja niiden ominaisuuksien sisäistäminen, kyky analysoida laskimelle tai ohjelmalle annettavia syötteitä ja saatavia tuloksia. Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn pohjautuva tiede eikä tämä muutu miksikään laskentavälineiden muuttuessa. Laskentavälineet edellyttävät usein aiempaa laajempaa tietämystä matematiikasta. Kaikkea ei tarvitse todistaa, mutta kyky hakea eri lähteistä tietoja on tarpeen. Jonkinlaiseen universaaliin nappulatekniikkaan tulisi oppia. Yksittäisen laskimen tai ohjelmiston ominaisuuksia ei ole syytä erityisesti opettaa. Detaljitieto on kaikkein nopeimmin vanhenevaa. Sen sijaan kyky selvittää asioita manuaalista ja yleinen näkemys tarjolla olevien toimintojen luonteesta on tarpeen. Soveltavat tehtävät voivat olla aiempaa monimutkaisempiakin, koska mekaaninen laskeminen ja yksinkertaisten laskuvirheiden välttäminen ei ole ongelma. Oleellista on oppia pitämään laskenta hallinnassa: mitä tehdään, miksi, missä järjestyksessä. Symboliset laskimet ja ohjelmat sisältävät yleensä mahdollisuuden ohjelmointiin. Kyse ei tällöin ole varsinaisista ohjelmointikielistä, vaan peräkkäin suoritettavien toimintojen pakkaamisesta yhdeksi mahdollisesti parametreista riippuvaksi kokonaisuudeksi. Ohjelmoinnin idean oppiminen avaisi uusia mahdollisuuksia sekä matematiikan opiskeluun että teknistyvän maailman ymmärtämiseen yleisemminkin. On selvää, että tietotekniikan ja laskentavälineiden ottaminen käyttöön matematiikan opetuksessa on pitkä prosessi eikä se edes välttämättä etene siten, kuin tällä hetkellä ajatellaan. Uusien ajatusten täytyy löytää tiensä opetussuunnitelmiin ja 4

5 oppikirjoihin, opettajakunnan täytyy pohtia niitä ja kouluttautua niihin. Prosessin askelmerkit voisivat olla seuraavat:. askel: Laskimia ja ohjelmia käytetään irrallisissa tehtävissä. Tyypillisiä esimerkkejä ovat yhtälön x 2 4x+ = 0 ratkaiseminen ja funktion cos 3 x sin 2 x derivointi. Yhtä hyvin kuitenkin voidaan ratkaista yhtälö x 3 + x 2 5x + = 0 tai laskea integraali 2 e x2 dx, vaikka nämä ovatkin jo laajennuksia vanhaan nähden: yhtälöä ei käsinlaskulla osattaisi ratkaista eikä integrointi alkeisfunktioiden avulla onnistu. Symboliset järjestelmät kuitenkin suoriutuvat niistä, mutta laskijan täytyy ymmärtää saatava tulos. 2. askel: Laskimesta tai mieluummin tietokoneohjelmasta tulee työskentely-ympäristö. Välitulokset talletetaan muistiin sopivalla (kuvaavalla!) nimellä ja niitä käytetään syötteinä laskun myöhemmissä vaiheissa. Tehtävän ratkaiseminen tapahtuu kokonaan laskimessa tai tietokoneohjelmassa. Tällöin korostuu tehtävän kokonaisuuden hahmottamisen tärkeys. Esimerkkinä on funktion f(x) = x 3 3x 2 + 2x + ääriarvojen etsiminen laskemalla derivaatan nollakohdat (työvälineenä lakentaohjelma Mathematica).[0] Alkeellinen ohjelmointi on työskentelytavalle luonteva jatko. 3. askel: Edellä kuvatusta tehtävän ratkaisusta muodostetaan dokumentti kirjoittamalla laskennan lomaan perusideat, selitykset ja tarkemmat perustelut. Edellytyksenä on, että laskin tai ohjelma riittävän hyvin tukee tekstien kirjoittamista laskusyötteiden lomaan. Paperille tulostettu dokumentti voidaan jättää vaikkapa kokeen tarkastajalle. Esimerkkinä on kevään 20 pitkän matematiikan kokeen kaarevuusympyröitä käsittelevä tehtävä 5 (ratkaistuna Mathematicalla).[] Millaisia laskimia tai ohjelmistoja on tarjolla? Tällä hetkellä olemme astumassa ensimmäistä askelta ja tarjolla olevat symboliset laskimet vastaavat tarpeisiin kohtalaisen hyvin. Ongelmat ovat kuitenkin nähtävissä: laskimen käyttö muistuttaa avaimenreiän kautta työskentelyä eikä anna kovin hyviä mahdollisuuksia toisen askelen ottamiseen. Pelkästään siirtyminen laskimen toimintoja vastaavan tietokoneohjelman käyttämiseen helpottaa tilannetta paljon. Onneksi tällainen ohjelma on yleensä saatavissa. Useiden laskimien ja vastaavien tietokoneohjelmien käyttöä vaikeuttaa kunnollisen dokumentaation puute. Toimintoja ja niiden ominaisuuksia ei ole helppoa löytää ja dokumentaatio voi olla niin huonosti käännetty, että suomenkielisen voi ymmärtää vain ajattelemalla, mitä se on mahtanut olla englanniksi. Tilannetta vaikeuttaa lisäksi, että suomenkielinen terminologia ei kaikilta osin ole vakiintunutta eikä kääntäjä ole jäänyt asiaa pohtimaan. Toisen askelen ottaminen edellyttänee tietokoneohjelmiin siirtymistä. Vaihtoehtoja on useita, mutta ideaalista ratkaisua on vaikeata löytää. Laskimien mukana tulevat ohjelmistot ovat hyvä alku, mutta niiden toivoisi kehittyvän rakenteeltaan ja käyttöliittymältään selkeämmiksi ja yksinkertaisemmiksi. Opiskelun kohteen tulee olla matematiikka, ei ohjelmiston erikoisuudet. Toisena vaihtoehtona voisivat olla 5

6 varsinaiset symboliset laskentaohjelmat. Ongelmana on, että ne ovat joko ilmaisia ja hieman vanhahtavia (kuten Maxima) tai moderneja ja aivan liian kalliita (kuten Mathematica). (En luettele eri vaihtoehtoja. Tarkemmin esimerkiksi viitteessä [].) GeoGebra on suurta suosiota saavuttanut dynaamisen geometrian ohjelma, johon on luvassa myös symbolisen laskennan osio. Tämän kehitysversioita on saatavissa, mutta ne antavat vaikutelman, että paljon työtä on vielä tehtävänä.[2] Oman kehityssuuntansa muodostavat verkko- ja pilvipalvelut, ehkä merkittävimpinä esimerkkeinä Wolfram Alpha ja Sage [4, 3]. Pyrkimyksenä on saada nämä toimimaan myös tablettitietokoneissa ja matkapuhelimissa. Aika näyttää, mihin kehitys vie. Kolmatta askelta, dokumentin laatimista tehtävän ratkaisusta, pitäisin tavoittelemisen arvoisena päämääränä. Sehän mahdollistaisi matematiikan ylioppilaskokeen kirjoittamisen tietokoneella, mutta tärkeämpää olisi vähitellen oppia kirjoittamaan raportiksi kelpaavaa tekstiä myös matematiikasta. Koulumaailmaan sopivia työskentely-ympäristöjä ei kuitenkaan toistaiseksi ole. Mathematica (jolla on laadittu edellä mainitut esimerkit) on sinänsä hyvä ympäristö, Maple on toinen, mutta kumpikin on varsin kallis eikä alkuunpääsykään ole aivan helppoa. Käyttökelpoisia ratkaisuja siis joudumme odottamaan, mutta ajan voi toki käyttää hyödyksi tutkimalla tarjolla olevia vaihtoehtoja ja kehittämällä omaa näkemystä. Uhat ja mahdollisuudet Kaikkiaan olemme jonkinlaisessa tienhaarassa. Jos symboliset laskimet tai tietokoneohjelmat otetaan käyttöön ja niillä ratkaistaan vain yksinkertaisia perustehtäviä, unohdetaan varsinainen matematiikan opiskelu. Matematiikasta jää jäljelle tällöin nappulatekniikan opettelu, ja skeptikoiden pelot ovat toteutuneet. Vaihtoehtona on ottaa vastaan tekniikan kehityksen tuomat mahdollisuudet ja pyrkiä näiden avulla opettamaan matematiikkaa hieman laajemmin ja syvemmin, vanhoista tottumuksista irroten. Tällöin matematiikasta ja sen merkityksestä voidaan myös antaa monipuolisempi kuva. Uuteen lähteminen ei koskaan ole helppoa, tässä se voi vielä olla tavallistakin hankalampaa, jos kehitys tai muutos, miten vain on yhtä nopeaa kuin se viime vuosikymmeninä on ollut. Aikaa tarvitaan, mutta haaste on otettava vastaan. Viitteet [] [2] [3] [4] 6

7 [5] [6] [7] Maksimin TImax.png etsintä / TI-Nspire [8] TIabs.png [5] [9] Mabs.png [6] [0] Mmaxmin.pdf [7] TImax.png [] Mkaarevuus.pdf [8] Itseisarvoyhtälö TIabs.png / TI-Nspire [5] [9] Mabs.png [6] [0] Mmaxmin.pdf [7] TImax.png [] Mkaarevuus.pdf [8] TIabs.png [9] Itseisarvoyhtälö Mabs.png / Mathematica [0] Mmaxmin.pdf [] Mkaarevuus.pdf 7

8 [7] TImax.png [8] TIabs.png [9] Mabs.png [0] Ääriarvotehtävä Mmaxmin.pdf kokonaisuudessaan Mathematicalla laskettuna [] Mkaarevuus.pdf taso2esim.nb In[]:= f = x^3 3 x^2 + 2 x + Out[]= + 2 x 3 x 2 + x 3 In[2]:= Plot f, x,, Out[2]= In[3]:= Graphics f = D f, x Out[3]= 2 6 x + 3 x 2 In[4]:= dernollat = Solve f 0, x Out[4]= x 3 3 3, x In[5]:= funarvot = f. dernollat Out[5]= , In[6]:= funarvot Simplify 2 Out[6]= + 3 3, In[7]:= funarvot N Out[7]=.3849,

9 [8] TIabs.png [9] Mabs.png [0] Mmaxmin.pdf [] Kaarevuustehtävä Mkaarevuus.pdf Mathematicalla laskettuna ja selityksillä varustettuna taso3esim.nb In[]:= f x_ = x^2 Out[]= x 2 Kohta a) Yleinen ympyrän yhtälö: In[2]:= ympyra = x a ^2 + y b ^2 r^2 Out[2]= a + x 2 + b + y 2 r 2 Vaatimukset, että ympyrä kulkee pisteiden O, A ja B kautta: In[3]:= ehto = ympyra. x 0, y f 0 Out[3]= a 2 + b 2 r 2 In[4]:= ehto2 = ympyra. x t, y f t Out[4]= a t 2 + b + t 2 2 r 2 In[5]:= ehto3 = ympyra. x t, y f t Out[5]= a + t 2 + b + t 2 2 r 2 Ratkaistaan ehdoista kertoimet r, a ja b (t:n funktioina): In[6]:= kertoimet = Solve ehto, ehto2, ehto3, a, b, r Out[6]= r 2 t2, a 0, b 2 + t2, r 2 + t2, a 0, b 2 + t2 Valitaan positiivinen r: In[7]:= Out[7]= r t_ = r. kertoimet t2 7 Kohta b) Raja-ympyrän säde raja-arvona: In[8]:= Out[8]= r0 = Limit r t, t 0 2

10 taso3esim.nb 2 Kohta c) Raja-ympyrän yhtälö: In[9]:= ymp0 = ympyra. kertoimet 2. t 0 Out[9]= x y 2 4 Ratkaistaan tästä y ja valitaan se lauseke, joka antaa alapuolisen kaaren: In[0]:= rtk = Solve ymp0, y Out[0]= y 2 4 x2, y x 2 In[]:= Out[]= g x_ = y. rtk 4 x 2 2 Kohta d) Toiset derivaatat: In[2]:= f'' 0 Out[2]= 2 In[3]:= g'' 0 Out[3]= 2 In[4]:= r0 Out[4]= 2 Kuvio: (seuraava sivu) 0

11 taso3esim.nb 3 In[5]:= fkuva = Plot f x, x,, Out[5]= In[6]:= Graphics gkuva = Plot g x, x, 2, Out[6]= In[7]:= Graphics Show fkuva, gkuva Out[7]= Graphics

Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa

Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Meri Vainio Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka Tiivistelmä Symbolinen laskin sallitaan

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015

Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 DIGABI ylioppilastutkinnon sähköistämisprojekti Mitä tiedämme nyt fysiikan ja kemian kokeista? Koe suoritetaan suljetussa

Lisätiedot

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Pääkirjoitus. Uskon, että tämän vuoden 2012 edimensio on vähintään yhtä hyvä tieto- ja ideapankki kuin edeltäjänsä.

Pääkirjoitus. Uskon, että tämän vuoden 2012 edimensio on vähintään yhtä hyvä tieto- ja ideapankki kuin edeltäjänsä. Pääkirjoitus edimensio on MAOLin verkkolehti - Mitä se tarkoittaa? Dimensio on paperinen jäsenlehtemme, joka julkaistaan myös näköisversiona kotisivuillamme paperisen version jo ilmestyttyä. Mutta mitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus

Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus 1 Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus Peda-Forum 21.8.2013 Seppo Pohjolainen Tampereen teknillinen yliopisto Matematiikan laitos 2 Esityksen sisältö Taustaa Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

I. Perusteita. Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa

I. Perusteita. Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa Laskimien käyttöön liittyvä YTL:n ohjeistus ja lähes kaikenlaisten laskinten salliminen 1 ylioppilaskirjoituksissa muuttaa sekä matematiikan että

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat

EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat EHDOTUS Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL ry 12.2.2015 Asemamiehenkatu 4 00520 HELSINKI Opetushallitus Hakaniemenranta 6 00530 Helsinki EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä Sisällys 1. Algoritmi Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.1 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Matematiikan pitkä oppimäärä

Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Aloitusohje versiolle 4.0

Aloitusohje versiolle 4.0 Mikä on Geogebra? Aloitusohje versiolle 4.0 dynaamisen matematiiikan työvälineohjelma helppokäyttöisessä paketissa oppimisen ja opetuksen avuksi kaikille koulutustasoille vuorovaikutteiset geometria, algebra,

Lisätiedot

Lukemisen ja kirjoittamisen kompensoivat apuvälineet. Marja-Sisko Paloneva lukiapuvälineasiantuntija Datero

Lukemisen ja kirjoittamisen kompensoivat apuvälineet. Marja-Sisko Paloneva lukiapuvälineasiantuntija Datero Lukemisen ja kirjoittamisen kompensoivat apuvälineet lukiapuvälineasiantuntija Datero Esityksen sisältö Johdanto 1. Lukiapuvälinepalvelut Suomessa 2. Oppiminen ei ole vain lukemista ja kirjoittamista 3.

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Sähköiset kokeet lukion fysiikassa ja kemiassa. Tiina Tähkä

Sähköiset kokeet lukion fysiikassa ja kemiassa. Tiina Tähkä Sähköiset kokeet lukion fysiikassa ja kemiassa Tiina Tähkä Vastaa kysymyksiin esityksen aikana Avaa älypuhelimen selaimella m.socrative.com room number: 880190 Miksi tietokoneita pitäisi käyttää arvioinnissa?

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Symbolinen laskenta (MAT180,1ov)

Symbolinen laskenta (MAT180,1ov) Symbolinen laskenta (MAT180,1ov) Kurssin tavoite ja sisältö Symbolisen laskennan kurssilla opitaan tietokoneen käyttämistä apuvälineenä matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Kurssin tavoitteena on antaa

Lisätiedot

Opetusteknologiastako apua matematiikan opiskelun reaaliaikaisessa ohjaamisessa ja arvioinnissa. Kari Lehtonen Metropolia ammattikorkeakoulu

Opetusteknologiastako apua matematiikan opiskelun reaaliaikaisessa ohjaamisessa ja arvioinnissa. Kari Lehtonen Metropolia ammattikorkeakoulu Opetusteknologiastako apua matematiikan opiskelun reaaliaikaisessa ohjaamisessa ja arvioinnissa Kari Lehtonen Metropolia ammattikorkeakoulu Sisältö Matematiikka kompastuskivenä Matematiikan osaamisprofiilin

Lisätiedot

1. Algoritmi 1.1 Sisällys Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. Muuttujat ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi

Lisätiedot

http://info.edu.turku.fi/mato/

http://info.edu.turku.fi/mato/ Matemaattisia VALOja Vapaita avoimen lähdekoodin ohjelmia matematiikan opettamiseen ja muuhun matemaattiseen käyttöön. http://info.edu.turku.fi/mato/ LaTeX ja Texmaker LaTeX on ladontaohjelmisto, joka

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Suoritustavat: Laboratoriotöitä 2.-3.periodi. Luennot 2h, Laboratorityöt 4h, itsenäinen työskentely 124 h. Yhteensä 130 h.

Suoritustavat: Laboratoriotöitä 2.-3.periodi. Luennot 2h, Laboratorityöt 4h, itsenäinen työskentely 124 h. Yhteensä 130 h. Janne Parkkila Tavoitteet: Opintojakson aikana opiskelijoiden tulee: - Yhdistellä eri lähteistä löytämiään tietoja. - Kirjoittaa kriteerit täyttäviä alku- ja loppuraportteja. - Ratkaista laboratoriotöissä

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Asiakas ja tavoite. Tekninen toteutus

Asiakas ja tavoite. Tekninen toteutus Asiakas ja tavoite Heikieli on vuonna 2015 perustettu yhden hengen asiantuntijayritys, joka tarjoaa käännös- ja oikolukupalveluita englannista ja saksasta suomeksi. Freelance-kääntäjiä on Suomessa paljon,

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Öljyn määrä säiliössä

Öljyn määrä säiliössä Öljyn määrä säiliössä Heikki Apiola 19.1.2011 Liittyy matematiikkalehti Solmun artikkeliin: Riittääkö lämmitysöljy http://solmu.math.helsinki.fi/2011/1/apiola.pdf Maan sisällä makaava lieriön muotoinen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 21.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 21.9.2015 1 / 25 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.

Lisätiedot

C-ohjelmointikielen perusteet, osa 1

C-ohjelmointikielen perusteet, osa 1 C-ohjelmointikielen perusteet, osa 1 Kurssi johdattaa sinut askel askeleelta C-ohjelmoinnin perusteisiin. Kurssi suoritetaan kokonaan netissä vuorovaikutteisella alustalla itseopiskeluna tutorin avustuksella.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

GeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi

GeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi GeoGebra Quickstart Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi Algebraikkuna GeoGebra on ilmainen matematiikan opetusohjelma. Siinä on työvälineitä dynaamiseen geometriaan, algebraan ja analyysiin. Voit piirtää

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Matematiikan pitkä oppimäärä

Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän

Lisätiedot

Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen.

Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen. 5.6. Matematiikka Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija

Lisätiedot

Texas Instruments. Teknologiaa lukioon 2011-2012. Symboliset laskimet tulevat YO-kirjoituksiin. Texas Instruments -uutuudet

Texas Instruments. Teknologiaa lukioon 2011-2012. Symboliset laskimet tulevat YO-kirjoituksiin. Texas Instruments -uutuudet Texas Instruments Teknologiaa lukioon 2011-2012 Symboliset laskimet tulevat YO-kirjoituksiin Tämän lukuvuoden merkittävin uutinen laskinrintamalla on symbolisen laskennan salliminen YO-kirjoituksissa.

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon

Lisätiedot

Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5 Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5 Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta a) 3x 2 Funktio

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Haasteita opettajalle lukion lyhyen matematiikan opetuksessa ovat havainnollistaminen ja riittämätön aika. Oppitunnin aikana opettaja joutuu usein palamaan

Lisätiedot

Reaaliaineiden ja äidinkielen työpaja

Reaaliaineiden ja äidinkielen työpaja Reaaliaineiden ja äidinkielen työpaja Reaalikokeiden rakenne Äidinkielen suunnitelmia Matematiikan suunnitelmia Vieraidenkielten suunnitelmia ylioppilastutkinto.fi digabi.fi Reaalikokeet Osaamisen eri

Lisätiedot

H9 Julkaiseminen webissä

H9 Julkaiseminen webissä H9 Julkaiseminen webissä Tässä harjoituksessa opetetaan kaksi tapaa viedä tiedostoja jakoon webin kautta (tehtävä 1 ja tehtävä 3), sekä kokeillaan yksinkertaista, jokamiehen tapaa tehdä oma sivusto (tehtävä

Lisätiedot

Koulussamme opetetaan näppäilytaitoa seuraavan oppiaineen yhteydessä:

Koulussamme opetetaan näppäilytaitoa seuraavan oppiaineen yhteydessä: TypingMaster Online asiakaskyselyn tulokset Järjestimme toukokuussa asiakkaillemme asiakaskyselyn. Vastauksia tuli yhteensä 12 kappaletta, ja saimme paljon arvokasta lisätietoa ohjelman käytöstä. Kiitämme

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Digikansalaiseksi Olarin lukiossa

Digikansalaiseksi Olarin lukiossa Digikansalaiseksi Olarin lukiossa Olarin lukion ipad-ryhmä 2015 Kuvat: Helmi Hytti Hyvä Olarin lukion 1. vuosikurssin opiskelija ja opiskelijan huoltaja Tieto- ja viestintätekniikka on olennainen osa nykylukiolaisen

Lisätiedot

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Mia Peltomäki Kupittaan lukio ja Turun yliopiston IT-laitos http://crest.abo.fi /Imped Virtuaalikoulupäivät 24. marraskuuta 2009 1 Taustaa Todistukset muodostavat

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

OPPIKIRJATON OPETUS! Kari Nieminen!! Tampereen yliopiston normaalikoulu!! ITK 2015!

OPPIKIRJATON OPETUS! Kari Nieminen!! Tampereen yliopiston normaalikoulu!! ITK 2015! OPPIKIRJATON OPETUS! Kari Nieminen!! Tampereen yliopiston normaalikoulu!! ITK 2015! OMA TAUSTA! Matematiikan opetukseen liittyvä FL-tutkielma tietojenkäsittelyopissa 90-luvun alussa! Jatko-opiskelija "Mobile

Lisätiedot

Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua

Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua 4.1. Yhtälönratkaisu tehtäviä Tehtävä 4.1.1 Ratkaise yhtälöistä tuntematon muuttuja käyttäen oppimiasi muunnoksia. Valitse sarja. Sarja 1) 6 5 37 = 0 Kun eräs luku

Lisätiedot

Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi

Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi 1 Eri näkökulmia A Matematiikka välineenä B Matematiikka formaalina järjestelmänä C Matematiikka kulttuurina Matemaattinen ajattelu ja matematiikan

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

Pauliina Munter / Suvi Junes Tampereen yliopisto/tietohallinto 2013

Pauliina Munter / Suvi Junes Tampereen yliopisto/tietohallinto 2013 Tehtävä 2.2. Tehtävä-työkalun avulla opiskelijat voivat palauttaa tehtäviä Moodleen opettajan arvioitaviksi. Palautettu tehtävä näkyy ainoastaan opettajalle, ei toisille opiskelijoille. Tehtävä-työkalun

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

HALLITSEEKO YLIOPPILASKOKELAS PITKÄN MATEMATIIKAN?

HALLITSEEKO YLIOPPILASKOKELAS PITKÄN MATEMATIIKAN? HALLITSEEKO YLIOPPILASKOKELAS PITKÄN MATEMATIIKAN? Pitkän matematiikan tehtävien aihealuejaottelua ja tehtäväkohtaisten pisteiden analysointia Tiia Tallila Matematiikan Pro gradu Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Kirjoittaminen ja lukeminen

Kirjoittaminen ja lukeminen Kirjoittaminen ja lukeminen Miksi ihmeessä? Lukiossa on totuttu vain pienten tekstien kirjoittamiseen Laajemmat kirjoitukset ovat olleet yleensä proosaa. Lukiossa ja aiemmin on totuttu lukemaan Koululaisille

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Zeon PDF Driver Trial

Zeon PDF Driver Trial Matlab-harjoitus 2: Kuvaajien piirto, skriptit ja funktiot. Matlabohjelmoinnin perusteita Numeerinen integrointi trapezoidaalimenetelmällä voidaan tehdä komennolla trapz. Esimerkki: Vaimenevan eksponentiaalin

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

ClassPad kahvila. CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät. Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen

ClassPad kahvila. CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät. Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen ClassPad kahvila CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen Matematiikan ainepedagoginen tutkimuspraktikum Itä-Suomen yliopisto kevät 2013 Esipuhe

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot