MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

Transkriptio

1 MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 3k 5 4k 2 ) +5 2k 3, b) 7k +4 k 1 (2x+3) 3 dx, e) ( ln(2k 2 +3) k 1 3 k ) cos(3kπx) dx, c), f) k x 2 +1 dx k2 e k k 6kx dx 2k Olkoon a k = (k +1) 2 (k +2) 2, k = 1,2,3,... lukujono. Laske lukujonosta kolme ensimmäistä termiä, ja määrää lukujonon raja-arvo, jos jono suppenee. 3. Tarkastellaan sarjaa 2k +3 merk. (k +1) 2 (k +2) 2 = a k. a) Muodosta termin a k osamurtokehitelmä laskemalla kertoimet, B, ja D yhtälöstä k +1 + B (k +1) 2 + k +2 + D (k +2) 2 = 2k +3 (k +1) 2 (k +2) 2. b) Laske osasummien jonosta ( n ) n=1, n = n a k, n = 1, 2, 3,... kolme ensimmäistä termiä 1, 2 ja 3. c) Muodosta lauseke termille n. d) Määrää lim n ja päättele, suppeneeko sarja a k. Jos sarja suppenee, niin mikä on sarjan n summa. 4. Olkoon a R. Tarkastellaan suppenevaa sarjaa (a) = 3a 2 (3k 1)(3k +2). Laske sarjan summa (a) ja määrää reaaliluku a siten, että (a) = 18.., 5. Tutki tarkasti perustellen seuraavien sarjojen suppenemista: 4 3 k a) 2k 1, b) 8k 1 4k 2 k, c) 3 k (ln(k)+1) 4, d) 6k 3 2k Määrää seuraavien potenssisarjojen suppenemissäde R: 3 k +1 ( 1) k 2 k 5 a) k +1 xk, b) 8 k +4 (x+2)k, c) k!+k +1 xk, d) Millä reaaliluvun x arvoilla potenssisarja varmasti suppenee? (k +2)! ln(k +2) (x 7)k. 7. Olkoon a > reaaliluku. Määrää potenssisarjan ( 1) k 2k a 2k+a(x a2 ) k suppenemissäde R a. Millä reaaliluvun x arvoilla potenssisarja varmasti suppenee?

2 8. a) Funktion e arctan(x) Maclaurinin sarja on 1+x+ 1 2 x2 1 6 x6. Laske Maclaurinin sarjakehitelmien avulla raja-arvo 16e arctan(x3 ) 16cos(x 2 ) lim x 2xe 4x +ln(1+4x) 6x. b) Olkoon a reaaliluku. Laske potenssisarjojen avulla seuraava raja-arvo: Millä reaaliluvun a arvolla L a =? 9. Hahmottele 2π-jaksollisen funktion 2sin(ax 2 ) 3axsinh(x)+ax 2 cosh(x) L a = lim x x 2 sin(x 4. ) f(x) = (π x) 2, kun x < 2π, kuvaaja ja määrää funktion Fourier-sarja (x). Laske tuloksen (π) = f(π) avulla sarjan ( 1) k+1 summalle tarkka arvo. Opastus: Osittaisintegroinnilla voidaan johtaa seuraavat kaavat: (π t) 2 cos(kt)dt = k 3 [(π 2 k 2 2πk 2 t+k 2 t 2 2)sin(kt)+(2kt 2πk)cos(kt)]+, (π t) 2 sin(kt)dt = k 3 [( π 2 k 2 +2πk 2 t k 2 t 2 +2)cos(kt)+(2kt 2πk)sin(kt)]+. k 2 1. Määrää seuraavien funktioiden määritysjoukot ja piirrä ne xy- tai xyz-koordinaatistoon: x2 +y a) f(x,y) = 2 9, b) f(x,y) = ln(x2 +y 2 1) x y ln(5 x2 y 2 ), c) f(x,y,z) = x y x 2, d) f(x,y,z) = z 2y (1 x 2 y 2 z 2 ) 2 z. 11. Piirrä xyz-koordinaatistoon seuraavat pinnat: a) x 2 +y 2 +z 2 = 3, b) z x 1 =, c) z = 2+ x 2 +y 2, d) z = 3 x 2 y 2, e) y 2 +z 2 = 4. Mitkä eo. pinnoista ovat kahden muuttujan funktion z = f(x,y) kuvaajia? 12. Määrää kahden muuttujan funktion z = f(u,v) = 25u v 5u+v +1 arvoja z = 4 ja z = 2 vastaavat tasa-arvokäyrät. Mikä on näiden tasa-arvokäyrien käyrätyyppi (esim. hyperbeli, ellipsi, jne.)? 13. Tutki, onko seuraava raja-arvo olemassa: lim (x,y) (,) 8x 3 y x 6 +y 2. Valitse lähestymistieksi origon kautta kulkevat suora y = 2x sekä käyrä y = x Olkoon z(x,y) = e ay cos(bx), missä a, b R ovat vakioita. Osoita, että kaikilla (x,y) R 2 on voimassa a 2 2 z z x 2 +b2 2 y 2 =.

3 15. Olkoon a reaaliluku sekä u = i a j suuntavektori. Olkoon edelleen f(x,y) = 4x 4 e y2 kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio. a) Laske f(1, 1). b) Määrää reaaliluku a siten, että u f(1, 1) = 8e. 16. Olkoon f(x,y) = 3x x 2 y +3y 2 kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio. Tarkastellaan tämän funktion käyttäytymistä pisteessä ( 3,2). a) Laske suunnattu derivaatta vektorin 3 i + 4 j suuntaan. b) Mikä on funktion suunnatun derivaatan suurin arvo? c) Mihin suuntaan funktion arvot vähenevät voimakkaimmin? d) Mihin suuntaan funktion arvot muuttuvat vähiten? 17. Olkoon a reaaliluku. Olkoot edelleen f(x,y) = ax 2 y 3 ja g(x,y) = ax 2 + y 3 kahden muuttujan reaaliarvoisia funktiota sekä u = i 2 j suuntavektori. Määrää reaaliluku a siten, että u f( 1,2) = u g( 1,2). 18. Kappale liikkuu xy-koordinaatistossa käyrää x(t) = x(t) i + y(t) j = t i + t j pitkin, missä t kuvaa aikaa sekunneissa jax- jay- koordinaattien yksikkö on cm. Kappaleen lämpötila( ) pisteessä (x,y) R 2 on T(x,y) = 3e 2x2 +y 2. Muodostetaan yhdistetty funktio z(t) = T(x(t),y(t)). Laske ketjusäännön avulla kappaleen lämpötilan muutosnopeus ( /s) hetkellä t >. Johtopäätös? Millä ajan t hetkellä kappaleen lämpötila on suurin? Missä tason R 2 pisteessä kappale tällöin on? 19. a) Olkoon f(x,y) = 1 4 (x2 + 4)y kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio sekä x = x(t) = 4t, y = y(t) = arc tan(2t). Muodostetaan yhdistetty funktio z(t) = f(x(t), y(t)). Laske osittaisderivaatat f x (x,y) ja f y (x,y) sekä käytä ketjusääntöä ja esitä derivaatta dz muuttujan t avulla dt sievennetyssä muodossa. b) Olkoon g(x,y) = 4x 2 + 9y 2 kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio sekä x = x(s,t) = 3e s cos(t), y = y(s,t) = 2e s sin(t). Olkoon edelleen z(s,t) = g(x(s,t),y(s,t)) yhdistetty funktio. Käytä ketjusääntöä ja esitä osittaisderivaatat z s ja z t muuttujien s ja t avulla sievennetyssä muodossa. 2. a) Määrää funktion f(x,y) = x 2 6xy +3y 3 +5y kaikkien kriittisten pisteiden laatu. b) Olkoon a reaaliluku. Määrää funktion f(x,y) = 8xy 2xy 2 ax 2 kaikkien kriittisten pisteiden laatu. 21. a) Määrää Lagrangen menetelmällä funktion f(x, y, z) = 32x + 48y 4z suurin arvo lisäehdolla z = 2x 2 +3y 2. b) uunnitellaan suorakulmaisen särmiön muotoinen rakennus, jonka tilavuus on Vm 3. xyzkoordinaatistossa rakennuksen kärkipisteitä ovat (,,), (a,,), (,b,) ja (,,c), missä a > m, b > m, c > m, ja rakennusta katsotaan positiivisen x-akselin suunnasta. Oletetaan, että sivuseinien ja takaseinän sekä lattian valmistusmateriaali pinta-alayksikköä kohti maksaa Keuroa/m 2. Koristelujen vuoksi etuseinän valmistusmateriaali pinta-alayksikköä kohti on hinnaltaan kaksinkertainen takaseinän valmistusmateriaaliin verrattuna. Lisäksi katon valmistusmateriaali pinta-alayksikköä kohti on hinnaltaan puolitoistakertainen lattian valmistusmateriaaliin verrattuna. Määrää Lagrangen menetelmällä rakennuksen särmien pituudet a, b ja c niin, että rakennuksen materiaalikustannukset ovat mahdollisimman pienet. Laske myös näiden materiaalikustannusten pienin arvo. 22. Laske 2 2x 1 3y a) 7x 2 y dy dx, b) 4x 9y 2 x 2 dx dy. 1 x 2 Piirrä kuvat tasoalueista, joiden yli integrointi suoritetaan.

4 23. a) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu käyrän y = x+1 sekä suorien x = ja y = 2 leikatessa toisensa. Piirrä kuva tasoalueesta ja laske 2y(3 x) 7 d. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu paraabelin kaaren y = x 2, x, sekä suorien x = ja y = 4 leikatessa toisensa. Piirrä kuva tasoalueesta ja laske 24x 5 y 4 +1 d. 24. a) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu suorien x = ja y = 2 sekä käyrän y = 3 x leikatessa toisensa. Piirrä kuva tasoalueesta ja laske integrointijärjestystä vaihtamalla x 2 3 x(y 5 +1) 9 dydx. b) Olkoon M > reaaliluku. Osoita integrointijärjestystä vaihtamalla, että integraalin 4 2M M y 6 3 3x3 +M 3 dxdy arvo ei riipu reaaliluvusta M >. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. 25. Laske V 16 x 2 y 2 z xy dv, missä V = {(x,y,z) R 3 1 x 4,1 y x 4,1 z e xy }. 26. Laske sen kappaleen tilavuus, jota ylhäältä rajoittaa paraboloidipinta z = f(x,y) = 4 x 2 y 2, alhaalta taso z = 1 sekä sivuilta tasot y =, x = ja y = 2 x. Piirrä kuva kappaleesta. 27. a) Laske napakoordinaattien avulla 2 4 x x 2 y 2 dydx. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. b) Olkoon se osa xy-tason ympyrärengasta {(x,y) R x 2 +y }, jolle x, y. Piirrä kuva tasoalueesta ja laske napakoordinaattien avulla 54x[(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 +1] 2 d. 28. Kappaletta rajoittaa ylhäältä pallopintaz = 25 x 2 y 2 ja alhaalta kartiopintaz = x 2 +y 2 5 sekä sivuilta lieriöpinta x 2 +y 2 = 9. Laske sylinterikoordinaattien avulla kappaleen tilavuus. 29. Laske sylinterikoordinaattien avulla 1 1 x 2 2 x 2 y 2 x 2 +y 2 z 3 dzdydx. Hahmottele kuva kappaleesta, jota integrointirajat kuvaavat.

5 3. a) Olkoon kappale V se osa palloa x 2 + y 2 + z 2 1, jolle x, y ja z. Laske pallokoordinaattien avulla 42(z +1)(x 2 +y 2 +z 2 ) x 2 +y 2 +z 2 dv. b) Olkoon R > reaaliluku. Olkoon edelleen kappale V V = {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 R 2,x,y,z }. Laske pallokoordinaattien avulla x2 I R = +y 2 +z 2 e (x2 +y 2 +z 2 ) 2 dv. Määrää lim R I R. V 31. Tutki seuraavien vektorikenttien lähteettömyys ja pyörteettömyys, kun (x,y,z) R 3 : a) v(x,y,z) = (2y +3z) i+(2x+4z) j +(3x+4y) k, b) v(x,y,z) = 3yze xy i+3xze xy j +(3e xy +2cosz) k. 32. Olkoon F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k : R 3 R 3 vektorikenttä ja f(x,y,z) : R 3 R funktio. Oletetaan, että funktioiden P, Q, R ja f toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Osoita, että a) vektorikenttä F on lähteetön, b) vektorikenttä f on pyörteetön. 33. Totea, että vektorikenttä F(x,y,z) = (5y 2 z 3 6xz) i+(1xyz 3 +2z 2 ) j+(15xy 2 z 2 3x 2 +4yz 2z 4 ) k on konservatiivinen. Määrää potentiaalifunktio U(x, y, z). 34. a) Laske käyräintegraali (4x y)dx x 2 ydy, kun on käyrä y = 6 x pisteestä (1,6) pisteeseen (4,12). b) Olkoon a reaaliluku. Määrää luku a siten, että F d x = 2, kun on käyrä y = e ax pisteestä (,1) pisteeseen (1,e a ) ja F(x,y) = (4x y 3 ) i+5y 2 j.

6 35. a) Laske käyräintegraali (xy +z)dx x 2 dy +xdz, kun on käyrä x(t) = 3e t i+4e 2t j +e 3t k, t 1. b) Olkoon a reaaliluku. Olkoot edelleen b ja c reaalilukuja. Laske käyräintegraali F d x, kun F(x,y,z) = axy i + by 2 j cyz k on vektorikenttä ja on käyrä x(t) = t 2 i + 3t j + 4t k pisteestä (,,) pisteeseen (1,3,4). Jos a =, niin mikä on lukujen c ja b suhde c b, jotta F d x =. 36. Olkoon käyrä y = 3cos 5 ( π 2 x7 ) sin 3 (πx 3 )+2 pisteestä (,5) pisteeseen (1,2). Laske käyräintegraali (9x 2 y 4 y 5 )dx+(12x 3 y 3 5xy 4 +12y 2 )dy. 37. Laske (5y 2 z 3 6xz)dx+(1xyz 3 +2z 2 )dy +(15xy 2 z 2 3x 2 +4yz 2z 4 )dz, kun on käyrä a) x(t) = sin(πt 9 ) i+(3cos(πt 6 ) 1) j +(sin(πt 5 ) cos(πt 3 )) k, t 1, b) x(t) = 3cos(t) i+3sin(t) j +(19+18sin(2t)) k, t 2π. 38. a) Laske Greenin lauseen avulla 6xy 2 dx+28x 2 y 2 dy, kun muodostuu seuraavasti: pisteestä (,) pisteeseen (1,1) käyrä y = x, pisteestä (1,1) pisteeseen ( 1,1) suora y = 1, pisteestä ( 1,1) pisteeseen (,) paraabeli y = x 2. b) Olkoon = {(x,y) R 2 5 x, 25 x 2 y 25 x 2 } xy-tason suljettu ja rajoitettu ympyräalueen osa. Laske Greenin lauseen ja napakoordinaattien avulla (3x 2 +x 2 y 2 2)dx+(x 3 y 5y 3 +4)dy. 39. a) Laske pintaintegraali 8xy(25 z) 2 d, kun on se osa kartiopintaa z = f(x,y) = 25 x 2 +y 2, joka jää tasoalueen yläpuolelle. = {(x,y) R 2 1 x 2,1 y 2x} b) Laske napakoordinaattien avulla pintaintegraali 8 4z 7 d, kun on se osa paraboloidipintaa z = f(x,y) = x 2 + y 2 + 2, joka jää ympyrärenkaan osan = {(x,y) R 2 4 x 2 +y 2 9,x,y } yläpuolelle.

7 4. a) Olkoon se osa funktiopintaa z = f(x, y) = 3xy + 7, joka on tasoalueen = {(x,y) R 2 x 1, x y } yläpuolella. Määrää pinnan ulkoinen yksikkönormaalivektori n ja laske vektorikentän F(x,y,z) = (5x 4xz) i+( 5y+4yz) j +(yz 7y) k vuo pinnan läpi. b) Laske napakoordinaattien avulla vektorikentän F(x,y,z) = y(2 3y) i + x(3y 2) j + (12y 4z+24) k vuo sen paraboloidipinnan z = f(x,y) = 6 x 2 y 2 osan läpi, joka rajoittuu tasojen z = 1 ja z = 3 väliin. 41. a) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu suorien y =, y = 2x ja x = 1 leikatessa toisensa. Olkoon edelleen pinta se osa paraboloidipintaa z = f(x,y) = x 2 +y 2 +2, joka on tasoalueen yläpuolella ja jonka ulkoinen yksikkönormaalivektori on n = ( 2x, 2y,1) 1+4x2 +4y 2. Pinnan suljettu reunakäyrä olkoon. Laske käyräintegraalin (3y +12y 2 z)dx+(3x+5y 2 )dy +( 4x 3 +24xz)dz arvo tokesin lauseen avulla. b) Olkoon pinta se osa kartiopintaa z = f(x,y) = 4 x 2 +y 2, joka jää ympyrärenkaan osan = {(x,y) R 2 1 x 2 + y 2 4,x,y } yläpuolelle. Pinnan suljettu reunakäyrä olkoon. Määrää pinnan ulkoinen yksikkönormaalivektori n ja laske käyräintegraalin 5xdx+3z 2 dy +9yzdz 42. a) Olkoon arvo tokesin lauseen sekä napakoordinaattien avulla. V = {(x,y,z) R 3 3 x, 9 x 2 y,x 2 +y 2 9 z 9 x 2 y 2 } suljettu kappale, joka muodostuu tasojen x =, y = sekä pallopinnan z = 9 x 2 y 2 ja paraboloidipinnanz = x 2 +y 2 9 leikatessa toisensa. Olkoon edelleen tämän suljetun kappaleen pinta. Laske divergenssilauseen avulla vektorikentän F(x,y,z) = (2xz 2 1xyz) i+(5y 2 z+ 12z) j +(2z 3 8xy) k vuo kappaleen V pinnan läpi. Käytä sylinterikoordinaatteja! b) Olkoon V suljettu kappale, jota ylhäältä ja sivuilta rajoittaa pallopinta z = f(x,y) = 3 x2 y 2 sekä alhaalta taso z = g(x,y) =. Laske divergenssilauseen avulla vektorikentän F(x,y,z) = (9x 4) i + (4yz 7y) j + (3x 2 y + 5) k vuo kappaleen V pinnan läpi. Käytä pallokoordinaatteja!

8 Vastauksia harjoitustehtäviin kevät a) hajaantuu b) suppenee, raja-arvo = c) suppenee, raja-arvo = π 2 arctan(4) d) suppenee, raja-arvo = 1 1 e) suppenee, raja-arvo = f) suppenee, raja-arvo = 2. suppenee, raja-arvo = 3. a) =, B = 1, =, D = 1 c) n = (n+2) d) sarja suppenee, sarjan summa = (a) = a2 2, a = ±6 5. a) hajaantuu b) hajaantuu c) suppenee d) suppenee 6. a) R = 1 3, 1 3 < x < 1 3 b) R = 4, 6 < x < 2 c) R =, < x < d) R =, x = 7 7. R a = a 2, < x < 2a 2 8. a) 3 7 b) 2a3 +a 6, a = ± (x) = π k 2 cos(kx), ( 1) k+1 k 2 = π a) {(x,y) R 2 x 2 +y ja y x} b) {(x,y) R < x 2 +y 2 < 2 2 } c) {(x,y,z) R 3 z > 2y} d) {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 1 ja z < 2} 11. pinnat b), c), d) 12. tasa-arvokäyrät: v = u 4 5, v = 35u raja-arvo ei ole olemassa 15. a) f(1, 1) = 16e i 8e j b) a = a) 3 b) 3 1 c) 3 i j d) ±( i 3 j) 17. a = dz dt = +t, kappale lämpenee, kun s < t <.25 s, kappale jäähtyy, kun t >.25 s, ( 12t+3)e 2t2 lämpötila suurin, kun t =.25 s, tason piste (.25 cm,.5 cm) 19. a) dz dt = 8t arctan(2t)+2 b) z s = 72e 2s, z t = 2. a) (1, 1 3 ) satulapiste, (5,12 3 ) paikallinen minimipiste b) (,) ja (,4) satulapisteitä, ( 4 a,2) paikallinen maksimipiste, kun a >,,2) paikallinen minimipiste, kun a < ( 4 a 21. a) suurin arvo f(2,2,2) = 8 b) a = 3 3 V 15 m, b = 2 3 V 15 m, c = 5 3 V 2 15 m, pienimmät rakentamiskustannukset f(3 3 V 15 m,2 3 V 15 m, 5 3 V 2 15 m) = 45 3 V K euroa 22. a) 233 b) a) 2187 b) ln(257) 24. a) 3 1 (331 1) b) a) 3πln( 9 5 ) b) π π 8 3. a) 2π b) I R = π 8 ), raja-arvo = π (1 e R a) lähteetön, pyörteetön b) ei lähteetön, pyörteetön 33. U(x,y,z) = 5xy 2 z 3 3x 2 z +2yz 2 4z a) 376 b) käyräintegraalin arvo = 2+ 5a 1 3a (e3a 1), a = a) 6e 4 +6 b) 6a 5 +9b 16c, c b = U(x,y) = 3x 3 y 4 xy 5 +4y 3 +, käyräintegraalin arvo = a) 12 b) 38. a) 2 b) 39. a) b) ( 37 17)π 4. a) 2 b) 32π 41. a) 32 b) a) 11583π b) (9+4 3)π

9 KVKOKOELM VÄLI- J LOPPUKOKEIIIN cosx = sinx = e x = coshx = sinhx = ln(1+x) = arctanx = a = 1 π 2π x = ρsinθcosϕ y = ρsinθsinϕ z = ρcosθ x k k! ( 1) k x 2k (2k)! ( 1) k x 2k+1 (2k +1)! = 1+x+ x2 2! + x3 3! +, x R = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +, x R = x x3 3! + x5 5! x7 7! +, x R x 2k x2 = 1+ (2k)! 2! + x4 4! + x6 6! +, x R x 2k+1 x3 = x+ (2k +1)! 3! + x5 5! + x7 7! +, x R 1 1 x = x k = 1+x+x 2 +x 3 +, x < 1 ( 1) k x k+1 k +1 ( 1) k x 2k+1 2k +1 = x x2 2 + x3 3 x4 +, x < 1 4 = x x3 3 + x5 5 x7 +, x < 1 7 (x) = a 2 + [a k cos(kx)+b k sin(kx)] f(t)dt a k = 1 π 2π f(t)cos(kt)dt b k = 1 π 2π f(t)sin(kt)dt D(x,y) = f xx (x,y)f yy (x,y) [f xy (x,y)] 2 ( (x,y,z) (ρ,θ,ϕ) = ρ2 sinθ Q P dx+qdy = x P y F(x,y,z)d = F(x,y,f(x,y)) 1+[f x (x,y)] 2 +[f y (x,y)] 2 d F d x = F n d D( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) g (x)f(x) [g(x)] 2 F n d = F dv V ) d D(f(x)g(x)) = f (x)g(x)+f(x)g (x) Dx n = nx n 1 D([f(x)] n ) = n[f(x)] n 1 f (x) De f(x) = e f(x) f (x) Dln f(x) = f (x) f(x) D arctanx = 1 1+x 2 Dsinx = cosx Dcosx = sinx 1 x n dx = xn+1 + (n 1) n+1 dx = ln x + x f (x) dx = ln f(x) + f(x) f (x)[f(x)] n dx = [f(x)]n+1 + (n 1) n+1 f (x)e f(x) dx = e f(x) dx + 1+x 2 = arctanx+ sinxdx = cosx+ cosxdx = sinx+