T Digitaalinen kuvatekniikka Kevät 2015 Harjoitus 1: Kameran kuvanprosessointi
|
|
- Noora Karvonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 T Digitaalinen kuvatekniikka Kevät 2015 Harjoitus 1: Kameran kuvanprosessointi Palautus:
2 1 Tavoite Työssä tutkitaan kolmea kameran kuvanprosessointiketjun vaihetta: tarkennusta, mosaiikkikuvan muuntamista RGB-muotoon (demosaicing) ja valkotasapainon säätöä. Harjoitustyö liittyy luennoilla Kameran automatiikka ( ) ja Kameran kuvanprosessointi ( ) käsiteltyihin asioihin. Lisätietoa löytyy kurssikirjasta [1] sekä Ramanath et al. n artikkelista Color image processing pipeline [3]. 2 Aineisto Harjoitustyöhön liittyvä tiedostopaketti (T-75_4100_H1_tiedostot.zip) löytyy kurssin Harjoitustyötsivulta. Paketin sisältö on listattu taulukkoon 1. Tiedosto focus_01.jpg... focus_09.jpg open_raw_image.m process_linear_rgb_image_to_srgb.m sampleimage.dng separate_bayer_color_channels.m Sisältö Tehtävässä 1 käytettävät harmaasävykuvat (9 kpl) Matlab-skripti, joka lukee raw-kuvan muuttujaksi ja linearisoi sen; kuvan ohjella syntyy metadatamuuttuja meta_info Matlab-skripti, joka muuntaa linearisoidun RGB-kuvan srgb-väriavaruuteen katselua varten Digital Negative (DNG) -muotoinen raw-kuva, jota käytetään tehtävissä 2 ja 3 Matlab-skripti, joka erottelee mosaiikkikuvan värikanavat Taulukko 1: Harjoitustyöpaketin sisältö. Harjoitustyössä käytetään Matlab-ohjelmaa, joka löytyy lähes kaikista koulun tietokoneista ja jonka voi ladata kotikoneelle osoitteesta Kurssin Muu materiaali -sivulta (https: //noppa.aalto.fi/noppa/kurssi/t /materiaali) löytyy lyhyt Matlab-ohje, joka on tehty Kuvatekniikan perusteet -kurssin tarpeisiin, mutta josta voi olla hyötyä tälläkin kurssilla. Matlabin oma Help-toiminto on myös hyödyllinen työkalu. 3 Harjoitustyön pisteytys Työstä saa enintään 25 pistettä; hyväksytyn työn minimipistemäärä on 13 pistettä. Työssä on kolme tehtävää, joista jokainen sisältää useamman toteutettavan menetelmän. Menetelmät on pisteytetty vaikeusasteen ja/tai työmäärän mukaan. Tehtävässä 6.2 voi saada lisäpisteitä toteuttamalla kaikki menetelmät. Kokonaisuudessaan raportista voi kuitenkin saada enintään 25 pistettä. Lisäksi jokaisesta tehtävästä on saatava yli 0 pistettä. Yhden harjoitustyön osuus kurssin kokonaisarvosanasta on 25 %, jolloin kurssin kaksi harjoitustyötä muodostavat yhdessä puolet kurssin arvosanasta. 4 Raportin palautus Harjoitustyöstä palautetaan raportti PDF-muodossa Moodleen kurssin työtilaan ( fi/course/view.php?id=2660) viimeistään sunnuntaina 1.3. kello 23:59. Myöhäisiä palautuksia otetaan vastaan keskiviikkoon 4.3. kello 12:00 asti, mutta myöhässä palautetusta raportista voi saada korkeintaan 50 % maksimipisteistä eikä korjausmahdollisuutta ole. Sivu 1 / 7
3 Pisteet julkistetaan maanantaina 9.3. Jos työssä on korjattavaa, korjattu raportti tulee palauttaa Moodleen viimeistään torstaina klo 23:59. Hyväksytysti korjatusta työstä saa 50 % maksimipisteistä. 5 Raportin rakenne ja tyyli Raportissa kerrotaan mitä on tehty, mitä on saatu tulokseksi ja selitetään tarvittaessa taustalla olevaa teoriaa (erityisesti pyritään vastaamaan alempana tehtävänannossa esitettyihin kysymyksiin). Raportin tulee olla johdonmukainen, ymmärrettävä kokonaisuus. Selostuksiin liitetään kuvat ja kuvaajat (kaikista, jotka pyydetään piirtämään tai esittämään), mieluiten kohtaan, jossa ne on saatu aikaan. Kuvaajat numeroidaan ja niihin viitataan tekstissä. Joissain tapauksissa voi olla havainnollisempaa esittää kuvasta valittu yksityiskohta kuin koko kuva. Tuotettu Matlab-koodi kirjoitetaan selkeästi kommentoituna siihen kohtaan, jossa koodia on käytetty. Useaan kertaan toistuvia komentoja ei tarvitse esittää moneen kertaan, mutta joka kohdassa tulee kuitenkin mainita, mitä on tehty. Pyri noudattamaan harjoitustyöpohjan ulkoasua ja harjoitustöiden yleisohjetta. Molemmat löytyvät kurssin Muu materiaali -sivulta. Voit kirjoittaa raportin suomeksi, ruotsiksi tai englanniksi. Kurssisivujen Muu materiaali -sivulta löytyy muotopohja raportille sekä L A TEX- että Word-formaatissa. Kiinnitä huomiota siihen, että palauttamasi PDF-tiedosto on kohtuullisen kokoinen (< 10 MB). Pakkaa kuvat tarvittaessa. 6 Tehtävät Harjoitustyön ensimmäisessä tehtävässä (kohta 6.1) käsitellään kameran tarkennusta, toisessa (kohta 6.2) mosaiikkikuvan muuntamista RGB-muotoon ja kolmannessa (kohta 6.3) valkotasapainon säätöä. Tehtävät on esitetty osana kameran kuvanprosessointiketjua kuvassa 1. Ensimmäisessä tehtävässä käytetään materiaalina kuvia focus_01.jpg... focus_09.jpg, ja toisessa ja kolmannessa DNG-kuvaa sampleimage.dng. 6.1 Tehtävä 1: Tarkennus (8 p) Työn ensimmäisessä tehtävässä simuloidaan kameran tarkennusprosessia. Tehtävänä on toteuttaa Matlabskripti, joka löytää yhdeksän kuvan setistä (focus_01.jpg... focus_09.jpg) sen kuvan, joka on tarkin annetun tarkennuspisteen suhteen. Tarkennuspisteitä on neljä; ne on listattu alla taulukossa 2. Pisteiden koordinaatit on annettu Matlabmuodossa, jossa rivien (y) indeksit kasvavat ylhäältä alas ja sarakkeiden (x) vasemmalta oikealle. Tehtävässä toteutetaan kolme menetelmää, jotka on listattu pisteineen alla taulukossa 3. Taulukossa on mainittu myös kurssikirjan [1] menetelmää käsittelevät sivunumerot. Kaikkien näiden tarkennusmenetelmien lähtökohtana on, että tarkimmassa kuvassa on eniten korkeataajuuksisia muutoksia. Tämä näkyy kuvassa nopeana harmaasävyarvojen vaihteluna, eli terävinä reunoina. Sivu 2 / 7
4 Kuva 1: Harjoitustyön tehtävät 1 3 osana kameran kuvanprosessointiketjua [1]. # Kuvaus x y 1 Etualalla olevan henkilön paita Lehden Suomen Kuvalehti -teksti Taka-alalla olevan henkilön parta Takaseinän kaakelit Taulukko 2: Tarkennuspisteet. Menetelmä Pisteet Sivunumerot [1] Varianssi Kuvagradientin energia Laplace-operaattorin energia Taulukko 3: Toteutettavat tarkennusmenetelmät. Kaikki kolme menetelmää voidaan siis toteuttaa ns. spatiaalitasossa ilman kuvan muuntamista taajuustasoon esimerkiksi Fourier-muunnoksen avulla. Varianssimenetelmä perustuu oletukseen, että kuvajoukossa, jonka kuvat eroavat toisistaan vain tarkennuksen osalta, terävimmässä kuvissa on suurin varianssi. Matlabissa vektorin varianssi lasketaan komennolla var. Huomioi, että jos käytät tätä komentoa, joudut ensin muuttamaan kuvan matriisimuodosta vektorimuotoon ja lisäksi double precision -muotoon (komennolla im2double). Voit myös halutessasi kokeilla Matlabin edge-reunantunnistusfunktiota ja verrata tuloksia. Kuvagradientin energiaan perustuvassa menetelmässä kuvan terävyyttä arvioidaan sen ensimmäisen asteen derivaatan avulla. Kuvan osittaisderivaattoja voi approksimoida konvoluutiolla (Matlabissa funktio conv2), jossa 3x3-konvoluutiomatriisi liu utetaan kuvan yli. Osittaisderivaattojen G x ja G y konvoluutiomatriisit F x ja F y ovat: Sivu 3 / 7
5 1 2 1 F x = (1) F y = (2) Osittaisderivaattojen laskemisen jälkeen gradientin energiaa voidaan approksimoida laskemalla yhteen osittaisderivaattojen alkioittaiset neliöt. Laplace-operaattorin energiaan perustuva menetelmä muistuttaa kuvagradientin energiaan perustuvaa menetelmää, mutta siinä käytetään ensimmäisen asteen derivaatan sijaan Laplace-operaattoria 2, eli toisen asteen derivaattaa. Kuten edellä, sitäkin voi approksimoida konvoluutiolla käyttämällä seuraavaa konvoluutiomatriisia: F 2 = (3) Laplace-operaattorin 2 energiaa approksimoidaan vastaavasti sen alkioittaisella neliöllä. Jokaisen toteuttamasi menetelmän kohdalla raportoi jokaiselle tarkennuspisteelle kuva, jonka kirjoittamasi skripti valitsi tarkimmaksi. Arvioi silmämääräisesti, valitsiko skripti oikean kuvan. Arvioinnissa voi olla hyödyllistä piirtää kuvaaja, jossa vaaka-akselilla ovat kuvat 1 9 ja pystyakselilla valitsemasi tarkkuusmitan arvot kuullekin kuvalle. Määritä itse sopivan kokoinen tarkennusalue tarkennuspisteen ympärille. Kerro raportissa, miten alueen koon muuttaminen vaikutti menetelmän toimivuuteen. 6.2 Tehtävä 2: Demosaicing (9 p + mahdolliset lisäpisteet) Toisessa tehtävässä muunnetaan DNG-muotoinen raw-kuva (sampleimage.dng) lineaarisesta mosaiikkimuodosta RGB-muotoon, jossa jokaisen pikselin puuttuvat väriarvot on interpoloitu viereisten pikselien arvoista. Vaihtoehtoisia toteutettavia menetelmiä on kolme; ne on listattu alla pisteineen taulukossa 4. Menetelmistä kaksi ensimmäistä, bilineaarinen menetelmä ja väritasomenetelmä, ovat niin sanottuja spatiaalitason menetelmiä, joissa hyödynnetään vierekkäisten pikselien tilastollista samankaltaisuutta. Kolmas menetelmä, joka perustuu Fourier-muunnokseen, on puolestaan taajuustason menetelmä. Tällaiset menetelmät hyödyntävät oletuksia luonnollisten kuvien taajuusjakaumasta sekä ihmisen näköjärjestelmän herkkyydestä korkeille taajuuksille. Tehtävästä voi saada täydet pisteet (9 p) toteuttamalla pelkästään kaksi ensimmäistä menetelmää. Kolmas menetelmä on haastavampi, ja tehtävän voi suorittaa myös tekemällä pelkästään sen. Voit myös halutessasi kerätä lisäpisteitä (yhteensä 25 pisteeseen asti) toteuttamalla kaikki kolme menetelmää. Menetelmä Pisteet Sivunumerot [1] Bilineaarinen menetelmä Väritasomenetelmä Fourier-muunnokseen perustuva menetelmä ; lisäksi [2] Taulukko 4: Toteutettavat / vaihtoehtoiset demosaicing-menetelmät. Sivu 4 / 7
6 Kuva luetaan ensin Matlab-muuttujaksi tehtäväpaketista löytyvällä skriptillä open_raw_image.m. Tämän jälkeen muuttujassa on lineaarinen mosaiikkikuva, jossa vierekkäiset pikselit sisältävät eri värikanavien (R, G tai B) informaatiota. Kuvan Bayer-kuvio on RGGB-tyyppinen, jossa parittomilla riveillä vuorottelevat vasemmalta lukien pikselit R ja G, ja parillisilla riveillä pikselit G ja B. RGGB-kuvio on esitetty alla kuvassa 2. Kuva 2: RGGB-tyyppinen Bayer-kuvio. Molemmissa spatiaalisissa interpolaatiomenetelmissä voidaan hyödyntää konvoluutiota (ks. tehtävä 1). Konvoluutiomatriisi liu utetaan mosaiikkikuvan yli ja saadaan siten interpoloitua pikseleille niiden puuttuvat väriarvot. Koska mosaiikkikuvassa on kaksi kertaa niin paljon vihreitä pikseleitä kuin punaisia tai sinisiä pikseleitä, käytetään puuttuvien vihreiden väriarvojen interpolointiin eri konvoluutiomatriisia kuin punaisille ja sinisille pikseleille. Vihreän kanavan konvoluutiomatriisi F g ja punaisen sekä sinisen kanavan konvoluutiomatriisi F rb on esitetty alla yhtälöissä 4 ja 5. F g = (4) F rb = (5) Jokainen väri käsitellään erikseen siten, että konvoluutiomatriisi liu utetaan yli matriisin, jossa on pelkästään interpoloitavan värin arvoja ja muut arvot ovat nollia. Mosaiikkikuvasta saa tuotettua kuvan, jossa Bayer-matriisin alkuperäiset väriarvot on eroteltu omille dimensioilleen, tehtäväpaketista löytyvällä skriptillä separate_bayer_color_channels.m. Jos mosaiikkikuvan koko on m n, skriptin tuottaman kuvan koko on m n 3, jossa punaiset väriarvot ovat dimensiolla 1, vihreät dimensiolla 2 ja siniset dimensiolla 3. Puuttuvien väriarvojen kohdalla on nollaa. Erotellun matriisin dimensiot voidaan konvoloida erikseen sopivilla konvoluutiomatriiseilla. Konvoluutio tuottaa oletusasetuksilla matriisin, jossa on ylimääräisiä lukuarvoja reunoilla. Tuotetusta matriisista tuleekin poistaa ensimmäinen ja viimeinen rivi ja ensimmäinen ja viimeinen sarake, jotta matriisissa on sama määrä pikseleitä kuin alkuperäisessä kuvassa. Bilineaarisessa interpoloinnissa värikanavat konvoloidaan matriiseilla F g ja F rb. Reunantunnistukseen perustuvassa menetelmässä puuttuvat punaiset ja siniset väriarvot saadaan vastaavasti konvoluutiolla, mutta vihreän kanavan arvot interpoloidaan joko vaaka- tai pystysuunnassa sen mukaan, kummassa suunnassa viereisten pikselien ero on pienempi. Jos tarkoituksena on interpoloida vihreät väriarvot Sivu 5 / 7
7 kuvan 3 mukaisesti pikseliin A5, joka on joko punainen tai sininen, interpolaatio tapahtuu vaakasuunnassa, jos H 5 < V 5, ja pystysuunnassa, jos V 5 < H 5, missä H 5 = A3 + 2 A5 A7 + G4 G6 (6) V 5 = A1 + 2 A5 A9 + G2 G8. (7) Väritasomenetelmä eteen seuraavasti: Kuva 3: Pikselin A5 naapurusto [1]. 1. Interpoloidaan vihreät väriarvot punaisiin ja sinisiin pikseleihin em. tavalla. 2. Interpoloidaan punaiset ja siniset väriarvot vihreisiin pikseleihin kahdesta lähimmästä väriarvosta joko vaaka- tai pystysuunnassa, riippuen siitä, missä suunnassa lähimmät arvot ovat. 3. Interpoloidaan punaiset väriarvot sinisiin pikseleihin ja toisinpäin käyttäen neljää lähintä naapuria kuten bilineaarisessa interpoloinnissa. Matriisin reunoilla interpolointiin voi käyttää lähimmän kolmen (kulmissa kahden) pikselin keskiarvoa. Fourier-muunnokseen perustuvat menetelmät on selostettu yleisesti kurssikirjan [1] sivuilla Tehtävässä toteutettava menetelmä on selostettu tarkemmin artikkelissa [2]. Säädä lopuksi jokaisella menetelmällä tuottamasi RGB-kuvan valkotasapaino (tehtävä 3) ja prosessoi sen jälkeen kuvat srgb-muotoon ( Color Matrixing -vaihe kuvassa 1). srgb-muunnos tapahtuu skriptillä process_linear_rgb_image_to_srgb.m. Vertaile demosaicing-menetelmiä silmämääräisesti. Riittää, että käytät vertailussa vain yhtä valkotasapainomenetelmää. HUOM! srgb-muunnoksessa käytetään kahta muunnosmatriisia: CAM XYZ ja XYZ RGB. Näistä ensimmäinen muuttaa kameran väriarvot XYZ-yhdysavaruuteen ja jälkimmäinen XYZ-arvot edelleen RGBavaruuteen. CAM XYZ-matriisin arvot (9 kpl) löytyvät vektorimuodossa metadatamuuttujan meta_info kentästä ColorMatrix2. Skripti process_linear_rgb_image_to_srgb.m olettaa, että kyseessä on pystyvektori, joka skriptin rivillä 9 muutetaan 3x3-matriisimuotoon transponoimalla. On kuitenkin havaittu, että jotkut Matlabin versiot tallentavat vektorin vaakasuunnassa, jolloin skripti ei toimi oikein. Jos skripti tuottaa virheilmoituksen, poista transponoinnit riviltä Tehtävä 3: Valkotasapaino (8 p) Kolmannessa tehtävässä säädetään toisessa tehtävässä tuotetun kuvan valkotasapaino. Toteutettavia menetelmiä on kolme, joista ensimmäinen perustuu raw-kuvan metadataan (Matlab-muuttuja meta_info), Sivu 6 / 7
8 toinen on ns. Gray world -menetelmä ja kolmas Maximum RGB -menetelmä. Menetelmät on listattu pisteineen alla taulukossa 5. Menetelmä Pisteet Sivunumerot [1] Metadata 2 - Gray world Maximum RGB 3 96 Taulukko 5: Toteutettavat valkotasapainomenetelmät. Metadataan perustuvassa menetelmässä luetaan kameran määrittelemä R-, G- ja B-värikanavien valkopiste muuttujan meta_info kentästä AsShotNeutral. Tämän jälkeen lasketaan valkopisteen arvojen käänteisluvut, jotta niitä voidaan käyttää kertoimina kuvan väriarvoille. Lisäksi kertoimet skaalataan siten, että vihreän kanavan kerroin on 1. Kun tämä on tehty, tehtävässä 2 tuotetun kuvan jokaisen värikanavan arvot kerrotaan vastaavan värikanavan kertoimella. Gray world- ja Maximum RGB -menetelmät on esitelty kirjassa sekä luennon kalvoissa Prosessoi lopuksi kaikilla kolmella menetelmällä tuotetut kuvat srgb-muotoon yllä mainitulla tavalla ja vertaile valkotasapainomenetelmiä silmämääräisesti. Riittää, että käytät vertailussa yhtä valitsemaasi demosaicing-menetelmää (kohta 6.2). Viitteet [1] Sebastiano Battiato, Arcangelo Ranieri Bruna, Giuseppe Messina, and Giovanni Puglisi. Image Processing for Embedded Devices. Bentham Science Publishers, [2] J. W. Glotzbach, R. W. Schafer, and K. lllgner. A method of color filter array interpolation with alias cancellation properties. In IEEE International Conference on Image Processing (ICIP-2001), pages , [3] R. Ramanath, W.E. Snyder, Y. Yoo, and M.S. Drew. Color image processing pipeline. Signal Processing Magazine, IEEE, 22(1):34 43, Sivu 7 / 7
Toinen harjoitustyö. ASCII-grafiikkaa
Toinen harjoitustyö ASCII-grafiikkaa Yleistä Tehtävä: tee Javalla ASCII-merkkeinä esitettyä grafiikkaa käsittelevä ASCIIArt-ohjelma omia operaatioita ja taulukoita käyttäen. Työ tehdään pääosin itse. Ideoita
LisätiedotTieteellinen laskenta 2 Törmäykset
Tieteellinen laskenta 2 Törmäykset Aki Kutvonen Op.nmr 013185860 Sisällysluettelo Ohjelman tekninen dokumentti...3 Yleiskuvaus...3 Kääntöohje...3 Ohjelman yleinen rakenne...4 Esimerkkiajo ja käyttöohje...5
LisätiedotHarjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006
Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten
LisätiedotTehtävään voi perinteisen arviointitavan tilalle ottaa käyttöön monipuolisemman matriisiarvioinnin tai arviointioppaan.
Arviointimatriisi Tehtävään voi perinteisen arviointitavan tilalle ottaa käyttöön monipuolisemman matriisiarvioinnin tai arviointioppaan. Arviointimatriisin peruslogiikka: 1. 2. 3. 4. Opettaja valmistelee
LisätiedotLaskuharjoitus 9, tehtävä 6
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen
LisätiedotMitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn
Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa
LisätiedotMatriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
LisätiedotMarkkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat
Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Kurssiohjeita: Lue ainakin kertaalleen huolella! Harjoitustyö ja harjoitukset Harjoitustyö palautetaan kahdessa osassa Moodleen. Ensimmäisen osan palautuspäivä
LisätiedotValokuvien matematiikkaa
Valokuvien matematiikkaa Avainsanat: valokuva, pikseli, päättely Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, tehtävämonisteet (liitteenä), mahdollisiin jatkotutkimuksiin tietokone
LisätiedotTehtävän lisääminen ja tärkeimmät asetukset
Tehtävä Moodlen Tehtävä-aktiviteetti on tarkoitettu erilaisten tehtävien antamiseen verkossa. Tehtävä-aktiviteettia ei ole tarkoitettu ainoastaan tehtävien palautukseen, kuten moni sen sellaiseksi mieltää,
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede Laskuharjoitus 2 4.12.2006 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1 Tehtävässä 1 piti tehdä lineaarista suodatusta kuvalle. Lähtötietoina käytettiin kuvassa 1 näkyvää harmaasävyistä
LisätiedotHarjoitus 4 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio: In[15]:= f x : x 1 x Sin x ; Plot f x, x, 0, 3 Π, PlotRange All Out[159]= Luodaan tasavälinen pisteistö välille 0 x 3 Π. Tehdään se ensin kiinnitetyllä
LisätiedotMoodle TurnitIN:n käyttöohje opiskelijalle
Moodle TurnitIN:n käyttöohje opiskelijalle Sisällysluettelo TurnitIN tehtävä... 1 Tiedoston- / Tekstinpalautus Moodlen TurnitIN tehtävään... 3 Tekstipalautus... 4 Tiedoston palauttaminen... 5 Raportin
LisätiedotTehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja
LisätiedotOhjeita. Datan lukeminen
ATK Tähtitieteessä Harjoitustyö Tehtävä Harjoitystyössä tehdään tähtikartta jostain taivaanpallon alueesta annettujen rektaskensio- ja deklinaatiovälien avulla. Karttaan merkitään tähdet aina kuudenteen
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
LisätiedotLuento 6: 3-D koordinaatit
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotToinen harjoitustyö. ASCII-grafiikkaa 2017
Toinen harjoitustyö ASCII-grafiikkaa 2017 Yleistä Tehtävä: tee Javalla ASCII-merkkeinä esitettyä grafiikkaa käsittelevä ASCIIArt17-ohjelma omia operaatioita ja taulukoita käyttäen. Työ tehdään pääosin
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotTietokoneverkot. T Tietokoneverkot (4 op) viimeistä kertaa CSE-C2400 Tietokoneverkot (5 op) ensimmäistä kertaa
Tietokoneverkot T-110.4100 Tietokoneverkot (4 op) viimeistä kertaa CSE-C2400 Tietokoneverkot (5 op) ensimmäistä kertaa ja Matti Siekkinen Tietokoneverkot 2014 sanna.suoranta@aalto.fi Kurssista kaksi versiota
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotPuzzle SM 2005 15. 25.7.2005. Pistelasku
Puzzle SM 005 5. 5.7.005 Pistelasku Jokaisesta oikein ratkotusta tehtävästä saa yhden () pisteen, minkä lisäksi saa yhden () bonuspisteen jokaisesta muusta ratkojasta, joka ei ole osannut ratkoa tehtävää.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotTEHTÄVIEN PALAUTTAMINEN MOODLEEN
TEHTÄVIEN PALAUTTAMINEN MOODLEEN Moodlessa opettaja voi valita tehtävälleen jonkun neljästä erilaisesta tehtävämuodosta: Lähetä yksi tiedosto opiskelija palauttaa yhden tiedoston. Tiedostojen lähetys opiskelija
LisätiedotSäätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi
Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen 0.4 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 17.3. Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x),
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
Lisätiedotmlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä osittaisderivaatoista: y 1... J F =.
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotZeon PDF Driver Trial
Matlab-harjoitus 2: Kuvaajien piirto, skriptit ja funktiot. Matlabohjelmoinnin perusteita Numeerinen integrointi trapezoidaalimenetelmällä voidaan tehdä komennolla trapz. Esimerkki: Vaimenevan eksponentiaalin
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla ALKUHARJOITUS Kynän ja paperin avulla peilaaminen koordinaatistossa a) Peilaa pisteen (0,0) suhteen koordinaatistossa sijaitseva - neliö, jonka
LisätiedotMatriisilaskenta (TFM) MS-A0001 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 47, 2017
Matriisilaskenta (TFM) MS-A1 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 47, 17 R Alkuviikko TEHTÄVÄ J1 Mitkä matriisit E 1 ja E 31 nollaavat sijainnit (, 1) ja (3, 1) matriiseissa E 1 A ja E 31 A kun 1 A = 1. 8
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotVÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA
VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA Juha Lehtonen 20.3.2002 Joensuun yliopisto Tietojenkäsittelytiede Kandidaatintutkielma ESIPUHE Olen kirjoittanut tämän kandidaatintutkielman Joensuun yliopistossa
LisätiedotMatriiseista. Emmi Koljonen
Matriiseista Emmi Koljonen 3. lokakuuta 22 Usein meillä on monta systeemiä kuvaavaa muuttujaa ja voimme kirjoittaa niiden välille riippuvaisuuksia, esim. piirin silmukoihin voidaan soveltaa silmukkavirtayhtälöitä.
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
LisätiedotTAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Digitaali- ja tietokonetekniikan laitos. Harjoitustyö 4: Cache, osa 2
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Digitaali- ja tietokonetekniikan laitos TKT-3200 Tietokonetekniikka I Harjoitustyö 4: Cache, osa 2.. 2010 Ryhmä Nimi Op.num. 1 Valmistautuminen Cache-työn toisessa osassa
LisätiedotEsitysgrafiikka (20 pistettä)
Esitysgrafiikka (20 pistettä) Yleistä Tehtävänäsi on rakentaa PowerPoint esitys osavuosikatsauksesta mielikuvituksellista automyyntiä tekevälle yritykselle Skills Car Turku. Käytettävät tiedostot Tiedostot
LisätiedotSuvi Junes/Pauliina Munter Tietohallinto/Opetusteknologiapalvelut 2014
Työpaja Työpaja on vertaisarviointiin soveltuva työkalu. Työpaja mahdollistaa töiden palautuksen ja niiden jakelun opiskelijoiden arvioitavaksi sekä arvioinnin antamisen. Laita Muokkaustila päälle ja lisää
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotTTS kannattavuuslaskentaohjelma
TTS kannattavuuslaskentaohjelma Käyttöönotto TTS kannattavuuslaskentaohjelma on suunniteltu yrittäjän apuvälineeksi yrityksen keskeisten kannattavuuden, maksuvalmiuden ja vakavaraisuuden tunnuslukujen
LisätiedotS11-04 Kompaktikamerat stereokamerajärjestelmässä. Projektisuunnitelma
AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt S11-04 Kompaktikamerat stereokamerajärjestelmässä Projektisuunnitelma Ari-Matti Reinsalo Anssi Niemi 28.1.2011 Projektityön tavoite Projektityössä
LisätiedotT harjoitustyö, kevät 2012
T-110.4100 harjoitustyö, kevät 2012 Kurssiassistentit T-110.4100@tkk.fi Tietotekniikan laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto 31.1.2012 Yleistä Kurssin osasuoritteita ovat kaksi osatenttiä,
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotPauliina Munter / Suvi Junes Tampereen yliopisto/tietohallinto 2013
Tehtävä 2.2. Tehtävä-työkalun avulla opiskelijat voivat palauttaa tehtäviä Moodleen opettajan arvioitaviksi. Palautettu tehtävä näkyy ainoastaan opettajalle, ei toisille opiskelijoille. Tehtävä-työkalun
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotNXT Infrapuna-sensori
NXT Infrapuna-sensori Joissakin tilanteissa on hyödyllistä, jos robotti tunnistaa ympäristöstä tulevaa infrapunavaloa. Tämä tieto on välttämätön esim. RCJ:n robottijalkapallossa. Tässä esitellään vain
LisätiedotHITSATUT PROFIILIT EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010)
EN 1993 -KÄSIKIRJA (v.2010) Täsmennykset ja painovirhekorjaukset 6.6.2012: Sivu 27: Sivun alaosassa, ennen kursivoitua tekstiä: standardin EN 10149-2 mukaiset..., ks. taulukot 1.6 ja 1.7 standardin EN
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
Lisätiedot2 Konekieli, aliohjelmat, keskeytykset
ITK145 Käyttöjärjestelmät, kesä 2005 Tenttitärppejä Tässä on lueteltu suurin piirtein kaikki vuosina 2003-2005 kurssin tenteissä kysytyt kysymykset, ja mukana on myös muutama uusi. Jokaisessa kysymyksessä
Lisätiedot6.6. Tasoitus ja terävöinti
6.6. Tasoitus ja terävöinti Seuraavassa muutetaan pikselin arvoa perustuen mpäristön pikselien ominaisuuksiin. Kuvan 6.18.a nojalla ja Lukujen 3.4. ja 3.5. harmaasävjen käsittelssä esitellillä menetelmillä
Lisätiedot8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151
Vaasan yliopiston julkaisuja 151 8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS KantaOrthogon Sec:LinIndep 8.1 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus on oikeastaan jo määritelty, mutta kirjoitamme määritelmät
LisätiedotJypelin käyttöohjeet» Ruutukentän luominen
Jypelin käyttöohjeet» Ruutukentän luominen ==================HUOM!!!================== SISÄLLÖN TUOMINEN VISUAL STUDIOON ON MUUTTUNUT Uudet ajantasalla olevat ohjeet löytyvät timistä:?https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ohj1/tyokalut/sisallon-tuominen-peliin
LisätiedotKompassi Suoritusten tarkistaminen ja tulosten julkaisu
Kompassi Suoritusten tarkistaminen ja tulosten julkaisu Tässä ohjeessa kerrotaan, kuinka tarkistat kokeen ja julkaiset tulokset oppilaille. Suoritusten tarkistamisen voi aloittaa heti, kun ensimmäinen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotGeoGebra-harjoituksia malu-opettajille
GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotJypelin käyttöohjeet» Ruutukentän luominen
Jypelin käyttöohjeet» Ruutukentän luominen Pelissä kentän (Level) voi luoda tekstitiedostoon "piirretyn" mallin mukaisesti. Tällöin puhutaan, että tehdään ns. ruutukenttä, sillä tekstitiedostossa jokainen
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedot5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina. , 1] b) pienempi kuin Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d) enemmän kuin 2.
5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina a) välillä [ 1 2, 1] b) pienempi kuin 1 c) välillä [ 1 2, 3 ] 2 d) ei välttämättä mikään edellisistä. 6. Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d)
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotEnsimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat. Dept. of Mathematical Sciences
Johdatus L A TEXiin 7. Taulukot ja kuvat Dept. of Mathematical Sciences Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista
LisätiedotTentti erilaiset kysymystyypit
Tentti erilaiset kysymystyypit Kysymystyyppien kanssa kannatta huomioida, että ne ovat yhteydessä tentin asetuksiin ja erityisesti Kysymysten toimintatapa-kohtaan, jossa määritellään arvioidaanko kysymykset
LisätiedotKiipulan ammattiopisto. Liiketalous ja tietojenkäsittely. Erja Saarinen
Kiipulan ammattiopisto Liiketalous ja tietojenkäsittely Erja Saarinen 2 Sisällysluettelo 1. Johdanto... 3 2. Hyvät internetsivut... 3 3. Kuvien koko... 4 4. Sivujen lataus... 4 5. Sivukartta... 5 6. Sisältö...
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat. Dept. of Mathematical Sciences
Johdatus L A TEXiin 7. Taulukot ja kuvat Dept. of Mathematical Sciences Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista
LisätiedotS-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte
Lisätiedot4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen
4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa
LisätiedotJohdatus L A TEXiin. 8. Taulukot ja kuvat. Matemaattisten tieteiden laitos
Johdatus L A TEXiin 8. Taulukot ja kuvat Matemaattisten tieteiden laitos Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista
LisätiedotOhjelmoinnin jatkokurssi, kurssikoe 28.4.2014
Ohjelmoinnin jatkokurssi, kurssikoe 28.4.2014 Kirjoita jokaiseen palauttamaasi konseptiin kurssin nimi, kokeen päivämäärä, oma nimi ja opiskelijanumero. Vastaa kaikkiin tehtäviin omille konsepteilleen.
Lisätiedot